FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

Transkript

1 UNIVESITETET I AGDE Gimsa E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: MA-9 Mamaikk LÆE: P Hnik Hogsa Klass: Dao: 8..6 Eksamnsi, fa-il: 9.. Eksamnsoppgavn bså av følgn Anall si: 6 inkl. fosi + vlgg Anall oppgav: 5 Anall vlgg: Tilla hjlpmil : Kalklao Hogsa: Foml MA-9 Don Panic omann: Mamaisk fomlsamling Ikk illa å skiv i fomlsamlingn KANDIDATEN MÅ SELV KONTOLLEE AT OPPGAVESETTET E FULLSTENDIG

2 MA-9 Oinæ Eksamn Høs 6 Oppg n Pong a b a b a b a b c f g h i Sm 8 Pongn vis vkfolingn fo nkl lspøsmåln. V kaaksing vklggs slvfølglig i illgg n oalving, bl.a. n ving av i hvilkn ga kanian ha knnskap innnfo lik omån gi i oppgavs. Bsvalsn skal innhol mllomgning. Kalklao skal ikk bns i bgningn, kn il vnll konoll av gn sva. Ta gn fosning hvis finn klah i oppgavs. LYKKE TIL!

3 . Vi ha gi følgn obbl-ingal: a Vis v hjlp av n fig ingasjonsomå som h ings ov. b Bgn obbl-ingal v å b om ingasjons-kkfølgn.. Vi ha gi følgn o pola kv: θ,, a Tgn iss o pola kvn i samm -kooinassm. Fokla hva slags kv iss o pola kvn. b Bsm aal av flls-omå ovlappn omå som innnfo bgg iss o pola kvn.. Vi ha n såkal ååp bskv v følgn paamis kv: [a a, b, hvo a og b posiiv konsan s fig.. Fig. a Bgn og/ll fokla hvo vi finn igjn a og b på fign. b Bn Gns aalom il å bsmm aal av nn ååpn.

4 . Vi ha gi følgn o fla: S : = + S : = 5 Vi ha vi gi følgn vkofl: F [,, a Fokla hva slags fla S og S. Tgn lgm T som avgns av o flan S og S. b Vis a pojksjonn n i -plan av skjæingskvn mllom o flan S og S n sikl m snm i oigo og ais. c Bsm n paamising av kvn. Kvn skal fo økn paamvi gjnnomløps i ning mo klokka s ovnfa nov langs -aksn. Bgn v hjlp av ipplingal volm av lgm T. Bsm ivgns og cl il gi vkofl. f Bsm kvingal: F v ik bgning, vs n bk av Soks om. g Bsm kvingal i oppgav f v hjlp av Soks om. h Bsm no flks av gi vkofl av lkk lgm T. i Bsm no flks av gi vkofl av hv av o gi flan S og S som avgns lgm T.

5 5. La E,,, og B,,, psn hnholsvis lkisk og magnisk fl i pnk,, v ispnk. Fa lkomagnism vlkjn a vi ha følgn sammnhng mllom cl il lkisk fl E-vko og n pailliv m hnsn på in av magnisk fl B-vko: B E La oss nå nk oss a vi ha n lkk sløf av n mallå som kan gå søm gjnnom. En slik søm vil gå i nn sløfn hvis vi ha n lkomooisk spnning i nn sløfn. Dnn spnningn gi v kvingal av lkisk fl langs nn lkk sløfn. Bn Soks om il å vis a hvis vi foan flksn av magnisk fl gjnnom n fla som ha nn sløfn som an, så få vi n lkomooisk spnning i nn sløfn, vs vil gå søm i nn sløfn. I paksis kan vi n n slik flks v å bvg n magn i næhn av sløfn s fig 5.. Fig 5.

6 Vlgg: f S f f n f S f v v v v v v v v v n nivåfla il som n fla nhsnomalvko il n nivåfla il som n fla nomalvko il ' h ' h h ' h ' an ' ' ln

7 Løsning:. Ingasjonsomå: -

8 . Vi ha gi følgn o pola kv:,, θ a Foklaing av kvn: θ θ Dnn kvn n sikl m snm i, og ais. θ θ Dnn kvn n sikl m snm i, og ais. En skiss av o pola kvn og fllsomå som bfinn sg innnfo bgg kvn mk a vi få gn hl sikln fo bgg kvn nå ligg i invall [,:

9 Aal av fllsomå som bfinn sg innnfo bgg o pola kvn: / innnfo n pola kvn o fa il - vko nå som obbl av aal som avss Aal bgns,, g A A θ Ell: / innnfo n pola kvn / il o fa vko - nå som obbl av aal som avss Aal bgns g A A θ Ell kombinasjon av o fogån løsningn:... g A A Ell gang iffns mllom ¼ siklaal og kanaal innnfo siklsgmn: A

10 . Tåkåp: [a a, b, a Foklaing av konsann a og b: Vi s av.komponnn a kvns skjæingspnk m -aksn sva il = ll. Vi s av.komponnn a kvns høs pnk sva il = /. V å s =, få vi: [a a, b [a, a alså halv avsann fa oigo il åpns skjæingspnk m -akn. V å s = /, få vi: [a a, b [,b b alså avsann fa oigo opp il åpns skjæingspnk m -aksn. Tilsvan få vi også skjæing m - og -aksn i hnholsvis -a, og,-b. Mk: D b ikk nøvnigvis a vinkln mllom -vko og -aksn. b Aal av ååpn: [a a, b, [ a a, b A A ab ab a a b ab 6 ab

11 . a Flan S n siklæ paaboloifla m bnnpnk i pnk,, og m linjn nomal på -plan gjnnom pnk,, som snaks. Flan S plan paalll m -aksn. Plan skjæ -aksn i pnk,5/, og -aksn i pnk,,5. En skiss av lgm T som avgnss av o flan S og S : b Pojksjonn av skjæingskvn n i -plan: Hav følg a pojksjonn av skjæingskvn n i -plan n sikl m snm i oigo og ais. c Paamising av kvn : D o føs komponnn og bsm fa a pojksjonn av kvn n i -plan n sikl m snm i oigo og ais =, =. Dn j komponnn kan vi bsm fa kk il n av o gi flan. Vi vlg flan S sin n ha nkls kk. Vi få: = 5 = 5 = 5. [,,5 [,,5,

12 Volm av lgm T: A A A V V T Divgns og cl il vkofl:,, [ F, [,,, F F iv, [,,, [ k j i F F cl f Kv-ingal v ik bgning n bk av Soks om: F F 6,, [, [,6, [,6, [,,, [,5, [ F

13 g Kv-ingal vha Soks om: Som fla i Soks om vlg vi n ln av flan = 5 som ligg innnfo kvn sin nn ln av flan ha kvn som an. Lag følgn skala fnksjon: f,, Flan S a gi v f,, = 5, vs flan S n nivåfla il n skala fnksjonn f. Gainn il f så a nomal på flan S. ga f f [,, f f f f [,, [,, Lngn av gainn il f gi v: f [,, 5 Enhsnomaln il flan S a gi v: n f f [,, 5 Kv-ingal nå gi v: F S F ns f F f f A f p [,, 5 [,, A 5 [,, [,, A 6 sla smm ovns m sla fa oppgav f.

14 h No flks av vkofl av lkk lgm T: Φ S F ns T FV T V V V 8 T i No flks av flan S : Φ S F ns [,, 6 A [,, 5 [,, 5 A [,, Smmi - gnn No flks av flan S : Vi bn a n oal flksn av lgm T lik smmn av flksn av hv av o nkl-flan S og S. Φ Φ Φ Φ Φ Φ π π Mk a vi ikk kan bn Gass ivgnsom il bgning av flksn gjnnom hv a o nkl-flan S og S sin ingn av iss flan lkk i omm.

15 5. B E E S E ns S B ns S B ns B Hav s vi a n lkomooisk spnningn i sløfn vns sin i ligningn lik mins n isiv av flksn av magnisk fl gjnnom flan S som ha kvn som an. D b a hvis vi n n magnisk flksn gjnnom n flan som ha som an vs hø sin i ligningn ovnfo lik nll så vil gå søm i nn sløfn fosa a sløfn kan l søm sin vns sin i ligningn ovnfo også a må væ lik nll. Mk a vi ikk få n lkomooisk spnning i sløfn hvis n magnisk flksn konsan sin n paill-iv av flksn mh in a vil væ lik nll. Dn magnisk flksn kan vi n v å n magnfl og/ll v å n sløfn n sisnvn ningn vil n flan S og m n magnisk flksn. I paksis kan vi n n slik flks v å fl n magn i næhn av sløfn s fig 5. ll v å n sløfn f.ks. v å fl, vi ll fom n. Minsgn på høsin i ligningn ovnfo vis a sømmn vil gå i n slik ning i sløfn a sømmn slv s opp n magnisk flks som fosøk å hin ningn i n påk magnisk flksn Ln s lov. Mk også a implikasjonsgn mllom linj og linj i bgningn ovnfo kan sas av kvivalnsgn sin ligningn i linj skal gjl fo all nkl fla S som ha n lkk kvn som an. Fig 5.