FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

Transkript

1 UNIEITETET I GDE Gimsta E K M E N O P P G E : FG: M-9 Matematikk LÆE: Pe Henik Hogsta Klasse: Dato: 8.5. Eksamensti fa-til: 9.. Eksamensoppgaen bestå a følgene ntall sie: 5 inkl. fosie elegg ntall oppgae: ntall elegg: Tillatte hjelpemile e: Kalklato Hogsta: Fomle M-9 Hagan: Fomle og tabelle Glenals fomelsamling Ikke tillatt å skie i fomelsamlingene KNDIDTEN MÅ EL KONTOLLEE T OPPGEETTET E FULLTENDIG

2 M-9 Oinæ Eksamen å Oppg n Poeng a b c a b c a b c e f g h m Poengene ise ekt-foelingen fo e enkelte el-spøsmålene. e kaaktesetting ektlegges selfølgelig i tillegg en total-eing bl.a. en eing a i hilken ga kaniaten ha knnskape innenfo e like omåene gitt i oppgae-settet. LYKKE TIL!

3 . a i ha gitt følgene ke i ommet: [ t t t] [ ] t t Beegn lengen a ken. b Beegn obbeltintegalet e e ln e å btte om integasjonsekkefølgen. is e hjelp a en fig hilket omåe et integees oe. c La æe tapeset i -planet me hjøne og. Beegn obbeltintegalet e hjelp a følgene sbstitsjon: is e hjelp a en fig hilket omåe et integees oe i -planet og hilket tilhøene omåe G et integees oe i -planet.. Fig. ise en moell a en iettshall i et -kooinatsstem. I moellen e sieeggen en el a slineflaten glet e en elen a -planet som ligge innenfo slineflaten og taket e en elen a flaten som ligge innenfo slineflaten. a Beegn olmet a moellen. b Beegn aealet a taket a moellen. c Beegn aealet a sieeggen i moellen. Fig.

4 . La æe legemet begenset a følgene to flate: Ken e skjæingen mellom isse to flatene. Denne ken e oientet i etning mot klokka sett oenfa neoe langs -aksen. La æe oeflaten a legemet. La æe oeflaten a en plane flaten på toppen a legemet. La æe oeflaten a en kmme sieflaten a legemet. i ha i tillegg gitt følgene ektofelt: F [ ] a Tegn en skisse a legemet og bestem olmet a ette legemet. b Bestem iegens og cl til et gitte ektofeltet. c Bestem keintegalet F ten bk a tokes teoem. Bestem keintegalet i c e hjelp a tokes teoem. e Bentt Gass iegensteoem F n F til å bestemme flksen a et gitte ektofeltet t a oeflaten til legemet. f Bestem flksen a et gitte ektofeltet t a en kmme sieflaten til legemet. Det finnes like altenatie fome fo Gass iegensteoem. Ett a isse altenatiene e at F-ekto bttes t me en skala fnksjon ϕ og at skalamltiplikasjon bttes t me anlig mltiplikasjon: ϕn ϕ I motsetning til Gass oiginale iegensteoem så e enne altenatie fomen en ektoligning begge sie a likhetstegnet e en ekto. i skal bentte enne altenatie fomen til å ise chimees lo. chimees lo sie følgene: Nå et legeme senkes ne i en æske il oppiften på legemet kaften fa æsken på legemet æe lik tngen a fotengt æskemenge.

5 La oss tenke oss et ka me æske eks. ann. i plassee en -akse etikalt oppoe me oigo i bnnen a kaet. La p æe tkket på toppen a æsken s p e lik lfttkket oe æsken og la æe posisjonen høen til toppen a æsken s høen opp til æskeoeflaten. Tkket p i en høe i æsken e a gitt e: p p ρ g ho ρ e tettheten a æsken ρ betaktes som konstant i hele æsken og g e tngeakseleasjonen. g Bestem gaienten til en skalae fnksjonen p. La nå tkket p kaften p aeal æe tkket i høen på et legeme nesenket i en æske. Kaften på et infinitesimalt flateelement a ette nesenkee legemet il nå æe gitt e: p n ho n-ekto e enhetsnomalekto t a a legemet mins-tegnet skles at kaften fa æsken ike nomalt innoe mot legemet. Oppiften på legement netto sm a kaften fa æsken på legemet il nå æe lik integalet a ette sistnente ttkket oe hele legemets oeflate. h Bk en nente altenatie fomen a Gass iegensteoem til å ise at oppiften e lik tngen a fotengt æskemenge og at enne nettokaften e ettet etikalt oppoe.

6 Løsning:. a Ken i ommet: [ t t t] [ ] t t Lengen a ken : t t t [ t t t] ' t [ tt] ' t t t t t 9 9 t 9 t 9 9 L s s t t t t t t ' t t [ t] t t b e ln e ln ln ln e ln e e e e [ e ] [ ] [ ] [ ] ln e e e ln ln ln ln e e ln ln e e ln ln e ln e ln ln e ln ln ln ln e ln e ln e ln e e ln e e e e e ln e e ln e

7 c Integasjonsomåene og G: Bestemmelse a Jacobi-eteminant i fobinelse me aiabelskifte: J J J Integalbestemmelse: 6 G G J

8 . a olm: [ ] 8 Elle: [ ] Integalleet me integan bli nll pga smmetien til og omået. b eal a taket: i bestemme føst en skalafnksjon f som ha taket a iettshallmoellen som en niåflate. e å sette f -- så il taket a iettshallmoellen æe gitt e niåflaten f. Gaienten til f il a æe en nomalekto til taket a iettshallmoellen. [ ] f f f f [ ] [ ] p f f

9 c ealet a sieeggen: i paameteisee eggen i iettshallmoellen. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k j i G G Elle: i kan obbeltintegee et infinitesimale flateelementet oe hele sieeggen i iettshallmoellen. [ ] G Elle: Bette t sieeggen. Elle pga smmeti se fig oenfo:

10 . a olmet a legemet: [ ] [ ] 8 b Diegens: [ ] F if l: [ ] [ ] [ ] k j i F clf Pojeksjonen ne i -planet a ektofeltet fo.

11 c Keintegal ten tokes teoem: t t F t t [ t t] [ tt] t8 [ ] [ tt] t t 8t t 8t t t t [ t 8 t t] t t t t 8t t t 8t t t t t Keintegal me tokes teoem: F F s F Ts s F n [ ] [ ] e Flksen a ektofeltet t a oeflaten a legemet : F n F 8 6 f Flksen t a toppflaten a legemet: s F n [ ] [ ] s [ ] [ ] [ 8] [ ] s Flksen a ektofeltet t a sieflaten a legemet: s s s s F n F n s F n F n s s F n F n 6 6

12 g Gaienten til tkket p: p p ρ p g p p ρg p ρg p ρg [ ρg ] ρg[ ] ρgk h Oppiften B: i la n -ekto æe enhetsnomalekto inn mot en infinitesimal flate a legemet. Kaften fa æsken inn mot enne infinitesimale flaten il a ha støelse p og ha etning langs n -ekto. La n-ekto æe enhetsnomalektoen på en infinitesimale flaten me etning nomalt t fa flaten. n-ekto e a en ektoen som inngå i Gass teoem båe oiginal og altenati fom. Oppiften B-ekto il nå æe lik ektosmmen a alle slike infinitesimale kefte me støelse p og etning inn mot legemet s obbeltintegalet oe hele oeflaten a legemet a p mltipliset me n -ekto. Til beegning a ette obbeltintegalet bentte i nå en nente altenatie fomen a Gass teoem. B pn p n p pn ρgk ρgk ρgk ρgk ρgk mgk