Eksamen 3FY mai Løsningsforslag

Transkript

1 Eksamen 3FY mai 001. Løsningsfoslag Oppgae 1 a) A U E = finne i spenningen U. d U = E d 4 6 V/m 3 m = 14 kv b) I en blekkskie bli en dåpe påiket a tyngdekaften mg nedoe og en elektisk kaft qe oppoe. (Den øeste plata må altså æe positit ladd.) Fo at oljedåpen skal beege seg paallelt med platene må disse to keftene æe like stoe: mg = qe Dette gi massen til oljedåpen: qe, 0 C 1, 4 V/m m = = 4 g 9, 1 m/s kg Oppgae a) Vi anta at oeflatetempeatuen til mennesket e 300 K (7 C) og at i kan egne at mennesket ståle som et sat legeme. Vi finne da den bølgelengden de utstålingstettheten e støst, fa Wiens foskyningslo: 3 a, 90 Km 6 λ topp = = = 9, 67 m ( = 9, 67 µm) T 300 K b) Fo å anslå oeflateaealet til et menneske buke i en foenklet modell: Et menneske e en sylinde med høyde 1,6 m og omkets 0,70 m. Da e oeflaten 1,1 m idet i se bot fa topp- og bunnflatene a sylindeen. Vi anta fotsatt at mennesket ståle som et sat legeme med oeflatetempeatuen 300 K. Da gi Stefan- Boltzmanns lo: 4 4 P = MA = σ T A = 5, 67 W/(K m ) (300 K) 11, m = 505 W = 0, 51 kw 4 En egne at et menneske bida med 65 0 W til oppaming a et om. Aiket skyldes føst og femst at menneskene også absobee ståling fa omgielsene. Dessuten gjelde ikke Stefan-Boltzmanns lo helt nøyaktig fodi mennesket ikke e et sat legeme. CAPPELEN EKSAMEN 3 FY 001 LØSNINGSFORSLAG

2 Oppgae 3 a) Figuen ise magnetfeltet undt en ett stømføende spole. Feltet likne mye på feltet undt en stamagnet. Retningen e gitt ed denne egelen: Legg høye hånd om spolen slik at fingene peke i stømetningen. Da peke tommelen mot nodpolen i spolen. b) Eleene kan buke mange eksemple på hodan i kan indusee støm i en ledningssløyfe, fo eksempel disse: Vi ha en stømsløyfe i fom a en spole som e koplet til en følsom stømmåle. His i føe en magnet inn i spolen, gå det en støm så lenge magneten beege seg. Det samme gjelde nå magneten bli tukket ut a spolen, men da e stømetningen den motsatte. o askee i beege magneten, dess støe e den indusete stømmen. Se figuen nedenfo til enste. Vi kan også buke en elektomagnet som i stille opp sammen med spolen. Nå i slå på (elle byte) stømmen i elektomagneten, bli det induset en kotaig støm i spolen. Stømetningene e motsatte nå stømmen slås på og a. Effekten kan økes his i ha en jenkjene gjennom begge spolene. Se figuen oenfo til høye. His i sende ekselstøm gjennom elektomagneten, få i induset en ekselstøm i spolen hele tida. Et annet eksempel: La en magnet elle elektomagnet otee inne i stømsløyfen (spolen). Da bli det hele tida induset en ekselstøm i sløyfen, se figuen oenfo. Elle en kan la sløyfen otee i et magnetfelt, se figuen på neste side. CAPPELEN EKSAMEN 3 FY 001 LØSNINGSFORSLAG

3 Det bli også induset elektisk støm i en ledningssløyfe i et magnetfelt nå i ende aealet til sløyfa ed fo eksempel å pesse den sammen. c) Vi finne den indusete spenningen i den sikelfomede ledeen ed hjelp a Faadays induksjonslo ε = dφ dt Vi finne den deiete a fluksen fa t = 0 til t =,0 s: 3 0 Wb ε = = 1, 5 mv, 0 s Så egne i ut stømmen ed hjelp a Ohms lo: U 1, 5 mv I = = = 0, 75 ma R,0 Ω dφ som stigningsfoholdet til gafen i tidsommet dt På tilsaende måte finne i at stømmen i tidsommene t =,0 s til t = 4,0 s og t = 4,0 s til t = 5,0 s e 0 og 1,5 ma. (Fotegnet ise etningen til stømmen i fohold til en algt positi etning.) Gafen e ist nedenfo: d) Nå feltstyken e inkelett på planet, e fluksen gitt ed Φ = BA. (Vi ha da foutsatt at positi stømetning e algt slik at aealektoen til spoleplanet og B ha samme etning ed t = 0.) Da få i dette utykket fo fluksen gjennom den sikelfomede banen: 0 0 t Φ = BA = B sin ( ω t ) π = B π sin ( ω ) Faadays induksjonslo gi da dette uttykket fo den indusete emsen i banen: dφ ε = = B0π cos ( ω t ) ω = ω B0π cos ( ω t ) dt CAPPELEN EKSAMEN 3 FY 001 LØSNINGSFORSLAG

4 ε e) Stømmen e gitt ed I = = I m cos ( ωt ) de R ise stømmen som funksjon a tida. I m ω B0π =. Gafen nedenfo R CAPPELEN EKSAMEN 3 FY 001 LØSNINGSFORSLAG Fotegnet til I ise etningen til stømmen i fohold til den algte positie omløpsetningen. Gafen ise at stømmen skifte etning to gange pe peiode. Peioden e π T =. ω Oppgae 4 Altenati A om elatiitetsteoi a) Einsteins postulate fo den spesielle elatiitetsteoien e: 1) Alle de gunnleggende loene i fysikken ha samme fom i alle teghetssysteme. ) Lysfaten ha samme edi i alle teghetssysteme. b) Vi e ant til å ta det som en selfølge at to begienhete som e samtidige fo en obseatø, også e samtidige fo alle ande obseatøe. Men en kan ise at Einsteins to postulate føe til at det ikke e slik: His de to obseatøene beege seg i fohold til heande, il to begienhete som e samtidige fo den ene obseatøen, ikke æe samtidige fo den ande. På samme måte hadde en fø Einstein tatt det fo gitt at alle like klokke gå likt. A Einsteins postulate følge det at helle ikke det e tilfelle: His to begienhete skje på samme sted i fohold til en obseatø A (et teghets-system) og A måle tida t 0 mellom begienhetene, il obseatøe som beege seg i fohold til A (og som befinne seg i et annet teghetssystem), måle en annen og lenge tid t mellom de samme begienhetene. Sammenhengen mellom t og t 0 e t = t 0 1 c de e faten til de ande obseatøene målt a A, og c e lysfaten i akuum. (Det e en eksta bonus om eleene beskie tankeekspeimente som ise hodan disse esultatene kan utledes a Einsteins postulate. Det e også en eksta bonus om eleene nene at en pga. elatiistisk tidsfolengelse kan obseee sæt kotliede patikle, de t >> t0, i laboatoie som CERN.) c) Det klassiske uttykket fo kinetisk enegi e 1 m, mens det elatiistiske uttykket mc e mc. Fo å undesøke om det e imelig å buke det klassiske 1 c uttykket nå < 0, c, egne i ut med begge uttykkene den kinetiske enegien til et kilogamlodd som beege seg med ulik fat:

5 = 0, 05c : Klassisk: 1 1 kg (0, 05 m/s) = 1, 14 Relatiistisk: = 0, c : 1 kg ( m/s) 1 kg ( m/s) 14 = 117, 05 Klassisk: 1 1 kg (0, m/s) = 4, 5 14 Relatiistisk: = 0, c : 1 kg ( m/s) 1 kg ( m/s) 14 = 4, 534 Klassisk: 1 1 kg (0, m/s) 0 Relatiistisk: = 0, 0c : 1 kg ( m/s) 1 kg ( m/s) 099 Klassisk: 1 1 kg (0, 0 m/s) Relatiistisk: = 0, 50c : 1 kg ( m/s) 1 kg ( m/s) 55 0 Klassisk: 1 1 kg (0, 50 m/s) = 1, 16 Relatiistisk: 1 kg ( m/s) 1 kg ( m/s) Vi se at foskjellen e minde enn 1 % så lenge faten e minde enn % a lysfaten. Ette het som faten øke, øke aiket, og det øke askee og askee. d) På dette spøsmålet kan en sae på mange måte, fo eksempel slik: Den næmeste stjenen e ca. 4 lyså unna, ds. at et omskip som gå med en fat tett oppunde lysfaten, il buke 4 å på tuen. Med en fat på % a lysfaten il tuen ta 40 å. Vi kan edusee eisetida til 5 å ed å få faten opp i 0 % a lysfaten. Fo obseatøe i omskipet il eisetida synes kotee. Den e t 0 = t 1 = 5 å 0 = 3 å c Dette e jo me oekommelig fo passasjeene, men til gjengjeld må omskipet tilføes en sæt sto kinetisk enegi. His i egne at omskipet e på 00 tonn, e den kinetiske enegien: 3 mc kg ( m/s) 3 E k = = 5 = 4, 1 0 c 16 kwh CAPPELEN EKSAMEN 3 FY 001 LØSNINGSFORSLAG

6 Dette e mange gange det ålige enegifobuket i Noge. I tillegg komme enegien som må til fo å løsie omskipet fa jodas og solas gaitasjonsfelt. Og omskipet skal el hjem igjen Altenati B om astofysikk a) (Eleene kan he gjøe ede fo hodan et sat hull dannes som sluttstadiet i en kjempestjenes utikling. Hodan massie sate hull a den typen en anta finnes i sentum a galakse som M7, dannes, kan eleene ikke foentes å kunne noe om.) Nå en kjempestjene aslutte sitt li i en supenoaeksplosjon, kan det bli igjen en est. Desom massen til denne esten e 3 gange solas masse, il den tekke seg sammen slik at massen samles i ett punkt. I et omåde undt dette punktet il ingen ting helle ikke lys kunne komme ut. Stoff som falle inn i omådet, kan ikke komme ut igjen, det e et hull. Omådet sende altså ikke ut noe ståling; det e sat, et sat hull. Omådet som danne det sate hullet, ha en adius, Schwazschild-adien R, gitt ed M R = γ c b) Vi se på en del a gasskyen i bane undt det sate hullet som et lite legeme med masse m. Den eneste kaften som ike på dette legemet, e tyngdekaften F = γ Mm de M e massen til det sate hullet og e adien i banen til gasskyen. Newtons. lo på gasskylegemet gi da, idet akseleasjonen e a = : Mm γ = m Vi løse likningen med hensyn på M og få M = som skulle ises. γ Vi sette inn de gitte støelsene og finne massen til det sate hullet: 3 ( 39 6 m/s) 60 9, 46 m 39 M = = 06 kg = ,67 Nm /kg Foholdet mellom massen til det sate hullet og massen til sola e kg M M O 06 =, kg 5 kg 9 Massen a det sate hullet e altså 1,5 milliade solmasse. c) Spektallinjene i spektene fa gasskyen e på gunn a Dopple-effekten foskjøet i fohold til plasseingen a linjene i laboatoiet. His lyskilden beege seg ekk fa oss, il fæe bølgetoppe nå fam til oss pe sekund enn nå lyskilden e i o i laboatoiet. Fekensen bli altså minde. Siden lysfaten e den samme (Einsteins. postulat), må bølgelengden bli støe (ødfoskyning). Nå lyskilden beege seg mot oss, bli det omendt, og i få kotee bølgelengde (blåfoskyning). Støelsen a foskyningen λ = λ λ0 e gitt ed fomelen λ = λ 0 c de e faten til lyskilden. CAPPELEN EKSAMEN 3 FY 001 LØSNINGSFORSLAG

7 d) Både A og B beege seg ekk fa oss ettesom begge kuene e ødfoskjøet. Vi lese a bølgelengdene λ A og λ B fa gafen og finne faten til A og B: λa λ0 50 nm 500, 7 nm A: A = c = m/s = 77, 9 km/s λ 500,7 nm 0 λ 504 nm nm B λ0, B: B = c = m/s = 1977, km/s λ 500,7 nm 0 Banefaten til gasskyen e lik hale diffeansen mellom faten til B og A: = 1 (1977, km/s 77, 9 km/s) = 599 km/s, som stemme ba med 600 km/s. Faten til det sate hullet e gjennomsnittet a faten til A og B: = A + B 77, 9 km/s , km/s = = 137 km/s Ette Hubbles lo e da astanden til galaksen M7: 137 km/s 6 = = = 63 lyså H km/s 6 lyså Oppgae 5 93 a) Fa faktaaket finne i at toppfaten e m = 93 km/h = m/s = 5, m/s og at 6 det høyeste fallet e på H = 3 m. His i se bot fa fiksjon, e det bae nomalkaften som ike på ogna i tillegg til tyngden. Ettesom nomal-kaften ikke gjø noe abeid på ogna, e den mekaniske enegien beat. Vi få da nå i elge nullniå fo potensiell enegi nedest i fallet: m m + mgh = m som idee gi 0 = m gh = (5, m/s) 9, 1 m/s 3 m = 6, 14 m/s = km/h I paksis il det æe fiksjon og luftmotstand slik at faten på toppen må æe støe enn km/h fo å oppnå den oppgitte maksimalfaten. b) (Helle ikke fo en god besaelse e det imelig å foente så mye som i ha skeet nedoe. Men i ha likeel æt så fyldige.) Keftene som ike på ogna, e altså tyngden m g, kaften fa undelaget som i tenke oss delt i to komponente, nomalkaften N og fiksjonen R, og luftmotstanden L. R og L ike alltid mot fatsetningen og bida til å edusee den mekaniske enegien til ogna. He skal i se bot fa disse to keftene og bae se på m g og N. Figuene på neste side ise disse keftene i noen a stillingene som ogna passee. Figuen til enste ise et etikalt snitt gjennom en del a banen som inneholde en bakketopp, et ett stykke (skåplan) og en bakkebunn. Vi skal egne at bakketoppen og bakkebunnen e dele a sikle med adius. Figuen til høye ise en del a banen de ogna gå i en hoisontal sikelfomet sing. Vi ha i tegnet keftene m g og N i fie posisjone. CAPPELEN EKSAMEN 3 FY 001 LØSNINGSFORSLAG

8 På en bakketopp og i en bakkebunn e begge keftene etikale og de ha motsatte etninge. Vektosummen a keftene må æe lik sentipetalkaften m inn mot sentum i sikelbanen med adius, fodi akseleasjonen i disse posisjonene e gitt ed. På bakketoppen gi Newtons. lo på en ogn med massen m og faten : mg N = m som gi N = mg m Fo en ogn på 00 kg som passee en bakketopp med en adius 50 m med faten m/s få i fo eksempel N = 00 kg 9,1 m/s ( m/s) 00 kg 50 m = 6 N 1 kn På bakketoppen e N minde enn tyngden mg. Det må den alltid æe fo at akseleasjonen skal æe ettet inn mot sentum, ds. nedoe. I en bakkebunn de m g og N ha samme etning, gi Newtons. lo på en ogn med massen m og faten : N mg = m som gi N = mg + m Fo en ogn på 00 kg som passee en bakketopp med en adius 50 m med faten m/s få i fo eksempel N = 00 kg 9,1 m/s ( m/s) + 00 kg 50 m = 6 N =,9 kn I bakkebunnen e N støe enn tyngden mg. Det må den alltid æe fo at akseleasjonen skal æe ettet inn mot sentum, ds. oppoe. På skåplanet e komponenten a nomalkaften N. Komponenten a m g nomalt på skåplanet like sto som m g paallelt med skåplanet gi ogna en CAPPELEN EKSAMEN 3 FY 001 LØSNINGSFORSLAG

9 CAPPELEN EKSAMEN 3 FY 001 LØSNINGSFORSLAG akseleasjon langs skåplanet. I det batteste fallet på banen e helningsinkelen α = 57. Nomalkaften N fa undelaget bli da N = mg cosα = 00 kg 9,1 m/s cos 57 = 6 N 1 kn Akseleasjonen til ogna finne i ed å buke Newtons. lo langs banen: mg sin α a = = g sin α = 9, 1 m/s sin 57 =, m/s m Vi finne altså at akseleasjonen til ogna e lik g sinα de α e helningsinkelen. Men da ha i sett bot fa R og L som il søge fo at akseleasjonen i ikeligheten e minde. I den hoisontale sikelen e ektosummen a keftene ettet inn mot sentum i den hoisontale sikelen. Banen må da æe doset på passende måte slik at nomalkaften N ha en etikalkomponent oppoe som e like sto som tyngden g m. Hoisontalkomponenten a N e lik sentipetalkaften m inn mot sentum i sikelbanen med adius. His doseingsinkelen e φ, gi Newtons. lo i hoisontal og etikal etning: F = m N sin ϕ = og N cos ϕ = mg Vi kan da bestemme doseingsinkelen slik m N sin ϕ = som gi tan ϕ = N cosϕ mg g Nomalkaften fa undelaget bli mg N = cosϕ Fo en ogn med massen 00 kg som beege seg med faten m/s i en hoisontal sing med adius 0 m, få i fo eksempel ( m/s) tan ϕ = som gi ϕ = 49 og idee 9, 1 m/s 0 m 00 kg 9, 1 m/s N = = 0 kn cos 49 c) Vi nente på foige side at N e minde enn tyngden nå ogna passee en bakketopp. Det e N som gi oss følelse a tyngde. His N = 0 på en peson, føle edkommende peson altså ingen tyngde, i sie at han elle hun e ektløs. Foan fant i følgende uttykk fo nomalkaften på ogna nå den passee en bakketopp: N = mg m Dette uttykket gjelde også fo en passasje med massen m. Passasjeen il føle ekt bae nå det e en nomalkaft, altså nå N > 0. Vi løse likningen N = 0 og få mg m = 0 som gi = g Fa faktaaket se i at adien i etikale sikle aiee fa 1 m til m. Fo å æe i fitt fall på bakketoppe må faten da aiee i omådet fa

10 9, 1 m/s 1 m =, m/s til 9, 1 m/s m = 34, 3 m/s Vi huske at minimalfaten e 6,14 m/s og at maksimalfaten e 5, m/s. Så stoe adie som m på bakketoppen il altså ikke gi ektløshet. Men det kan tenkes at de støste adiene bae e bukt i bakkebunne, så opplysningen om at en e ektløs på alle bakketoppene kan æe iktig. Foutsetningen e at adien i bakketoppsiklene e minde enn m g (5, m/s) = 9, 1 m/s = 6 m Fofatteen kjøte banen i septembe 001. Han konsentete seg om å telle antall gange han følte seg ektløs og kom til at det a 11 gange. Kollege og elee som besøke Tusenfyd, oppfodes til å kjøe og kontollee. CAPPELEN EKSAMEN 3 FY 001 LØSNINGSFORSLAG