15.1 Linje integraler

Transkript

1 Kapittel 5 Integasjon i etofelt I dette apitlet sal i tide teoien om integasjon til e og oeflate i ommet. Denne teoien gi stee matematise etø fo itensap og ingeniøe. Linjeintegale bli bt til å finne abeid som e gjot a en aft som beege seg langs en e og til å finne massen til en wie med aiabel tetthet. Oeflateintegale bli bt til å finne hastigheten som en ese passe gjennom en flate. I apitlet pesentees fndamentale teoeme om eto integasjon og hodan de benttes i pasis. 5. Linje integale Ha læt om linjeintegale i ingeniømatemati, men i behøe en me geneell notasjon fo linje integale. o esempel fo å nne finne abeidet ed å fltte en gjenstand langs en e nå aften e aiabel. Vi behøe å nne integee en e i te dimensjone istedenfo i -planet. ett at i ønse å integee fnsjonen f(,, ) oe en e og f e paametiset ed (t) = g(t)i + h(t)j + (t) a t b. Vediene fo f langs en e da f(g(t), h(t), (t)) o å isalisee integalet dele i en opp i mange dele. He del ha lengden s. Vi an da sie smmen a lengdene s som n n f,, s om line en Riemann sm.

2 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Definisjon His f e definet på en e ed (t) = g(t)i + h(t)j + (t) a t b da e linjeintegalet oe f oe f (,, ) ds lim n n His denne smmen esistee. f,, s His en e jen fo a t b og fnsjonen f e ontinelig på så esistee gensen i definisjonen oe. Integalet a f oe en e al i ealee integalet a en fnsjon oe an i bentte Ho b g( t), h( t), ( t) ( t dt f (,, ) ds f ) a ds dt d dt d dt d dt Hodan integee et linjeintegal o å integee en ontinelig fnsjon f(,, ) oe en e :. inn en jen paametiseing a (t) = g(t)i + h(t)j + (t) a t b = g(t). Eale integalet som = h(t) = (t) b g( t), h( t), ( t) ( t dt f (,, ) ds f ) a

3 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel Intege f(,, ) = + oe linjesegmentet som gå fa t = a til t = b på figen Vi elge paametiseingen (t) = ti + tj + t t = t = t = t ) ( j i t dt t t t f dt t t t h t g f ds f b a,, ) ( ) ( ), ( ), ( ),, ( t dt t dt t t t ammenleggbahet Iblant an det æe det gnstig å dele opp et linjeintegal i flee integale... ds f ds f ds f ds f

4 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 4 Esempel Intege opp fnsjonen f(,, ) = + oe steningen ist i figen Vi elge de enleste paametiseingene fo og : (t) = ti + tj t ) ( j i t : (t) = i + j + t t ) ( j i t Dette gi integalet ),, ( ),, ( ),, ( ds f ds f ds f )() (,,,), ( dt t f dt t t f dt t dt t dt t dt t t 6 9 t t t

5 Kapittel 5 Integasjon i etofelt asse og moment beegninge al i beegne massen til en steng bentte i integalet b a d dt d dt d dt ( t), ( t), ( t) dt gi tettheten til stengen som fnsjon a (t), (t) og (t). Tabell 5. asse og moment fomle fo stenge, wie og tåde som ligge ette en e asse: ds øste moment om oodinatplanene: ds ds ds Koodinatene til masse senteet: Teghetsmoment ndt asene og ande linje: I I L ds I ds I ds ds 5

6 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel En tnn metall be, tee på toppen enn på bnnen, ligge langs en halsiel i -planet + = >= inn masse senteet til halsielen om tettheten til ben e (,, ) = Vi et at og da ben e smmetis om -planet. o å finne paametisee i sielen som (t) = (cos t)j + (sin t) t π = cos t = sin t o denne paametiseingen få i ( t) d dt d dt d dt ( sin t) (cos t) Dette gi ds ( ) ds ( sin t) dt ds ( ) ds (sin t)( sin t) dt sin t sin t 8 dt (8 ) Tegn inn masse senteet. 6

7 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 5. Veto felt og linje integale: Abeid, silasjon og stømme Gaitasjon og eletise efte ha en etning og en støelse. Disse eftene an epesentees med en eto.. Retningen til etoen gi etningen til aften.. Lengden til etoen gi sten til aften. His aften ie oe et støe omåde sape dette et etofelt. Het pnt i domenet til aften an epesentees med en eto. Dette gi mange etoe som danne et etofelt. I dette apitelet sal i se på abeidet som bli tføt ed å beege et objet gjennom et slit felt ed å be et linjeintegal. Vetofelt Et esempel på et etofelt e ann som e i beegelse. Het annmolel ha en etning og hastighet som an epesentees med en eto. igen ise annstømmen i en el ho elen smalne. Et annet esempel på et etofelt e lft som pesses mot noe som e i beegelse. Det an æe en bil som jøe, elle et fl. Het lftmolel ha en etning og hastighet som an epesentees med en eto. igen ise lftstømmen ndt en fl inge. 7

8 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Gaitasjonsfelt an også epesentees med etoe. Geneelt an man si at et etofelt e fnsjon som tilodne en eto til het pnt i sitt domene. Et etofelt i ommet an ttes ed fomelen (,, ) = (,, )i + N(,, )j + P(,, ) eltet e ontinelig his omponent fnsjonene, N og P e ontinelige. eltet e deiebat his omponent fnsjonene, N og P e deiebae. Et etofelt i to dimensjone an ttes ed fomelen (, ) = (, )i + N(, )j En oeflate an ha et etofelt som epesentee ann som stømme elle ind som flte ndt et legeme. 8

9 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Et esempel på etofelt e adiasjonsfelt (ståling). Et annet esempel på etofelt e ann i en iel. En tpe etofelt e fobndet til e. Tangentetoen T og nomaletoen N til en e danne etofelt. Langs en e an omponenten ha fomle som line etofelt. (t) = f(t)i + g(t)j + h(t) 9

10 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Vi an ntte gadientetoen f a en fnsjon f(,, ) til het pnt på en oeflate. Gadientfelte Gadientetoen til en deieba fnsjon gi etningen til den støste øningen fo fnsjonen i et pnt!! ange gadientetoe danne defo et etofelt. Et slit etofelt alles et gadientfelt. f f f i f j Het pnt (,, ) i gadientfeltet gi en eto som pee i etning med støst øning fo fnsjonen f. Esempel Gitt at tempeaten T i het pnt (,, ) i en egion i ommet e gitt ed T = og at (,, ) e definet til å æe gadienten til T. Ha e etofeltet? Gadientfeltet e definet ed = T = -i j Til het pnt i ommet, angi etofeltet etningen fo ho stigningen til tempeaten e støst.

11 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Linjeintegale i etofelt Anta at etofeltet = (,, )i + N(,, )j + P(,, ) ha ontinelige omponente. Og at en ha en jen paametiseing (t) = g(t)i +h(t)j + (t) a t b Til het pnt langs en il tangentetoen T d ds æe en ni tangenteto til en. Definisjon La æe et etofelt med ontinelige omponente definet langs en jen e paametiset ed (t), a t b. Da e linjeintegalet a langs gitt ed T ds d ds ds d Ealeing a linjeintegalet a = i + N j + P langs. Utt etofeltet som en paametiset e som ((t)), ed å sbstitee omponentene = g(t), = h(t), = (t) a i omponentene (,, ), N(,, ), P(,, ) tilhøende.. inn den deiete etoen d/dt.. Eale linjeintegalet med hensn til paameteen t, a t b fo å få integalet d ( t) d dt dt

12 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel Eale d ho (,, ) = i + j + langs en gitt ed (t) = t i + t j + t t. ((t)) = (t) i + tt j + t ( = t, = t, = t). d/dt = i + t j + d dt. Dette gi integalet d ( t) dt 4 9 t i t j t i tj dt 7t 6t 4t dt 9t 6 t 5 5 t Linjeintegale med hensn til d, d, d Nå man holde på med stømninge e det ofte gnstig å se på he omponent fo seg. I slie sitasjone se i på linjeintegalet a en fnsjon med hensn på en a oodinatene fo esempel d. o å definee d fo en fnsjon (,, ) spesifisee i et etofelt = (,, ) i. Dette etofeltet ha en omponent i -etningen og ingen i -etningen elle -etningen. Ken e paametiset med (t) = g(t)i +h(t)j + (t) fo a t b. Vi ha da at = g(t) og d = g (t) dt og at d d dt (,, ) g'( t) dt (,, ) d dt Vi an da definee linjeintegalet (,, ) d d ho = (,, ) i.

13 Kapittel 5 Integasjon i etofelt På samme måte an i definee = N(,, ) j med omponent bae i -etningen. På samme måte an i definee = P(,, ) med omponent bae i -etningen. Dette gi integalene (,, ) d b a g( t), h( t), ( t) g'( t) dt (,, ) d b a N N g( t), h( t), ( t) h'( t) dt (,, ) d b a P P g( t), h( t), ( t) '( t) dt Det an foeomme at disse linjeintegalene foeomme i ombinasjon (,, ) d N(,, ) d P(,, ) d d N d Pd Esempel Eale linjeintegalet (t) = cos t i + sin t j + t d d d ho e en spial gitt ed t 4π Vi ha at = cos t, = sin t og = t Og at d = - sin t dt, d = cos t dt og d = dt. Dette sette i inn integalet. d d d 4 t t cos t sin t sin t sin t sin t sin tcos t (cos t) dt 8 8 4

14 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Abeid gjot a en aft oe en e i ommet ett at et etofelt = (,, ) i + N(,, ) j + P(,, ) epesentee en aft i en egion i ommet. Og at (t) = g(t)i +h(t)j + (t) a t b e en jen e i egionen. o å finne abeidet som sal til fo å fltte et objet langs en, dele i opp en i dele P - P med lengde s. Vi elge et pnt (,, ) på delen P - P og la T(,, ) æe tangentetoen i pntet. Abeidet W gjot ed å fltte objetet langs P - P an tilnæmes med W = (,, ). T(,, ). s Totalt abeid ed å fltte objetet fa a til b an da ttes ed W n W n,, T,, s His nå n il dette disse smmene tilnæme integalet T ds 4

15 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Definisjon La æe en jen e paametiset med (t), a t b og la æe et ontinelig aftfelt oe egionen som inneholde. Da il abeidet gjot ed å fltte et objet fa et pnt A = (a) til B = (b) langs æe W T ds ) b a d dt ( t dt otegnet til saet på integalet il ahenge a etningen i integee. Btte i om a og b il fotegnet sn. Tabell osjellige måte å sie abeidsintegalet på oe en e W T ds Definisjon W d Veto diffeensiell fom b d W dt Paametiset eto beegning dt a b W g' ( t) Nh'( t) P'( t) dt Paametiset sala beegning a W d N d P d ala diffeensiell fom 5

16 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 6 Esempel inn abeidet gjot a aftfeltet = ( ) i + ( ) j + ( ) langs en (t) = t i + t j + t t fa (,, ) til (,, ) øst finne i ttt med t = ( ) i + ( ) j + ( ) = (t t ) i + (t t 4 ) j + (t t 6 ) = i + (t t 4 ) j + (t t 6 ) å finne i d/dt t tj i t j t ti dt d dt d å finne i. d/dt t t t t t t t t t t t tj i t t j t t dt d t t t t dt t t t t W

17 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel inn abeidet gjot a aftfeltet = i + j + ed å beege et objet langs en paametiset ed (t) = sin t i + t j + cos t t π inne føst ((t)) = t i + sin t j + cos t ( = sin t, = t, = cos t) inne deette d/dt d/dt = cos t i + j sin t d dt t i sin t j cos t cos t i j sin t t cos t sin t sin t cos t W W t cos t sin t sin t cos t dt t sin t cos t cos t ( ) ( ) ( ( )) sin t Abeid d dt dt 7

18 Kapittel 5 Integasjon i etofelt ltintegale og silasjon fo etofelt low = flt elle stømning ett at epesentee et hastighetsfelt fo en ese som flte gjennom en egion i ommet. I dette tilfellet il integalet a. T langs en e i egionen gi esens flt langs, elle silasjonen i, en. Definisjon His (t) paametisee en jen e i domenet til et ontinelig hastighetsfelt il flten langs en fa A = (a) til B = (b) æe low T ds Dette integalet e alt fltintegalet. His en state og ende i samme pnt, sli at A = B, da e flten alt silasjonen ndt en. Esempel En eses hastighetsfelt e gitt ed = - i + j + inn flten i spialen (t) = cos t i + sin t j + t t 4π Vi finne føst ttt med t = - i + j + = -sin t i + cos t j + t ( = cos t, = sin t, = t) Vi finne så d/dt d/dt = -sin t i + cos t j + d dt sin t i cos t j t sin t i cos t j sin t cos t t t low 4 4 t dt t t 4 8 8

19 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel inn silasjonen i et felt = ( )i + j ndt sielen (t) = (cos t)i + (sin t)j t π ette føst inn fo t = ( )i + j = (cos t sin t)i + cos t j inne så d/dt d/dt = -sin t i + cos t j d dt (cos t sin t) i cos tj sin t i cos t j sin t cos t sin t cos t sin t cos t ilasjo nen sin cos t t dt t sin t 9

20 Kapittel 5 Integasjon i etofelt lt ndt en enel plan e En e i -planet e enel his den ie sse seg sel. Nå en e state og sltte i samme pnt alles den let. o å finne hilen hastighet en ese gå inn i elle folate en egion som e omgitt a en enel jen e i -planet, allee i linjeintegalet oe. n, som e omponenten til esens hastighet i etning a ens tpeende nomal eto. Definisjon His e en jen enel let e i domenet til et ontinelig etofelt = (, )i + N(, )j i planet, og his n e tpeende enhetsetoen nomalt på, e flten a tes oe li l of acoss nds o å ealee flsen paametisee i en = g(t) = h(t) a t b Nomaletoen n an i finne med sspodtet d n T i ds d ds d j i ds d ds j

21 Kapittel 5 Integasjon i etofelt His = (, )i + N(, )j, da e d d n (, ) i N(, ) ds ds j Da bli integalet nds d ds d N ds ds d N d o å allee flsen tes oe en jen let plan e l of = i + Nj oe = d N d Integalet an ealees fa en he jen e med paametiseingen = g(t), = h(t), a t b, som følge en gang ndt mot loeetningen. ls = flt ate pe enhet aeal ls = mengde/tid/aeal

22 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel inn flsen til = ( ) i + j oe sielen + = i -planet. Be paametiseingen (t) = cos t i + sin t j t π = = cos t sin t N = = cos t d = d(sin t ) = cos t dt d = d(cos t ) = -sin t dt Dette gi l cos c d N d t dt lsen oe sielen e π cos t sin t cos t cos t sin t cos t t sin t dt 4 dt

23 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 5. Vei ahengighet, onseatie felte, og potensielle fnsjone Et gaitasjonsfelt G e et etofelt som epesentee effeten a gaiteten i et pnt ho den an ie på et objet med masse. Gaitasjonen som ie på et legeme med masse m e = mg G = gaitasjonsfeltet = gaitasjonsaften På samme måte e et eletis felt E et etofelt i ommet som epesentee effeten på ladede patile. Kaften som ie på et legeme med ladning q som e i et eletis felt e = qe I gaitasjonsfelt og eletise felt ønse man gjene å finne abeidet som sal til fo å fltte et objet fa et pnt til et annet. Vei ahengighet Nå A og B e to pnte i en åpen egion D i ommet, il linjeintegalet a mellom A og B i et etofelt anligis ahenge a eien. o noen spesielle felte il imidletid integalets edi æe det samme fo alle eie mellom A og B. Definisjon La æe et etofelt definet på en åpen egion D i ommet, og anta at fo alle to pnte A og B i D il linjeintegalet d langs en e mellom A og B i D, ha samme edi ansett hodan i elge eien mellom A og B. Vi sie da at integalet d e eiahengig i D og at feltet e onseatit på D.

24 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Vi il siden se at et felt e onseatit his det e gadientfeltet til en fnsjon f. Det il si at = f fo en fnsjon f. Definisjon His e et etofelt definet på D og = f fo en fnsjon f på D, da e f alt en potensiell fnsjon fo. Et gaitasjonspotensial e en fnsjon som ha en gadientfelt som e et gaitasjonsfelt. Et eletis potensial e en fnsjon som ha en gadientfelt som e et eletis felt. Nå i ha fnnet en potensiell fnsjon f fo et felt, an i ealee alle linjeintegale omådet til fo enhe e mellom A og B med B A d B A f d f ( A) f ( B) His man se på f fo fnsjone a flee aiable som noe som line f fo fnsjone a en enel aiabel, da e integalet oe analogt med det fndamentale teoemet a calcls b a f '( ) d f ( a) f ( b) En annen egensap ed onseatie felte e His feltet e onseatit på D e integalet a he let ei li nll. 4

25 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Egensape ed e, etofelt og domene o at i sal nne be teoien integale i ha sett på, må isse betingelse æe oppflt.. Kene i se på må æe jene og ontinelige.. Domenet D må æe åpne egione i ommet.. Domenet D må æe sammenhengende. 4. Vi anta også at domenet D må æe enelt sammenhengende. 5

26 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Linjeintegale i onseatie felte Gadientfelte oppstå ed å deiee en fnsjon f. Et teoem gi anledning til å integee linjeintegale oe gadientfelte Teoem ndamentalt teoem fo linjeintegale La æe en jen e fa et pnt A til et pnt B i planet elle i ommet og la æe paametiset ed (t). La f æe en deieba fnsjon med en ontinelig gadient eto = f på et domene D som inneholde. Da e d f ( B) f ( A) På samme måte som det fndamentale teoemet gi teoem en måte å ealee linjeintegale. Esempel Anta at et aftfelt = f e gadienten til fnsjonen f (,, ) inn abeidet gjot a ed å fltte et objet langs en jen e som gå fa (,, ) til (,, ). Ken må ie gå gjennom oigo da det gi diisjon med nll. Teoem gi oss at integalet oe e d f (,,) f (,,) ( ) 4 4 6

27 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Beis a Teoem ett at A og B e to pnte i egionen D og at : (t) = g(t)i + h(t)j + (t) a t b e en jen e i D mellom A og B. = g(t) = h(t) = (t) Vi be fomen (t) = i + j + fo paametiseingen a en Dette gi df dt f d dt f d dt f d dt f d i dt d dt d j f dt d dt d dt Vi ha at // (a) = A og (b) = B d tb ta d dt dt tb ta df dt dt b f g( t), h( t), ( t) f ( B) f ( A) Det e defo lett å beegne linjeintegalet om = f his i jenne f. a Teoem Konseatie felte og gadientfelte La = i + Nj + P æe et etofelt med omponente som e ontinelige oe en åpen sammenhengende egion D i ommet. Da e onseati his og bae his e et gadient felt f fo en deieba fnsjon f. Det Teoem sie e at = f his og bae his fo alle to pnte A og B i en egion D, e edien til linjeintegalet d e ahengig a ei mellom A og B i D. 7

28 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel inn abeidet gjot a det onseatie feltet f f f = i + j + = f ho f = f i j langs en jen e som gå fa A(-,, 9) til B(, 6-4). ed f = ha i d tb ta d B 6( 4) ( ) 9 f ( B) f ( A) A Vediflle egensape ed linjeintegale i onseatie felte få man om man integee oe en let e. Teoem Let e egensape fo onseatie felte De følgende tsagn fotsette heande. d ndt he let e i D.. eltet e onseatit. Beis del fo Teoem Vi ønse å ise at fo alle to pnte A og B i D ha integalet a. d den samme edi mellom to e og fa A til B. d d d d d 8

29 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Beis del fo Teoem Vi ønse å beise at integalet. d e li nll oe en he let e d d d B A d B A d ølgende ise esltatene i Teoem og = f på D e onseati på D d Hodan et i at et etofelt e onseatit? His e onseatit, hodan finne i en potensiell fnsjon f sli at = f? Å finne potensiale fo onseatie file Testen fo at et etofelt e onseatit inolee at diese deiet e li heande omponent test fo onseatie felte P N P N = i + Nj + P 9

30 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Beis fo at liningene oe holde his e onseatit f j f i f P Nj i Dette gi N f f f f P Nå i et at e onseati, ønse i å finne en potensiell fnsjon fo. Dette gjø i ed å løse liningen f =. Det il si P Nj i f j f i f Vi tføe dette ed å integee de te liningene f N f P f om il bli ist i neste esempel Esempel Vis at = (e cos + )i + ( e sin )j + ( + ) e onseati på sitt natlige domene og finn en potensiell fnsjon fo den. Vi be testen på = e cos + N = e sin P = + N P P e N sin iden de patielt deiet e ontinelige e onseatit.

31 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Vi sal nå finne en fnsjon f sli at f = Vi finne f ed å integee liningene = e cos + N = e sin P = + f f e cos e sin f Vi integee den føste liningen med tane på og få f (,, ) e cos g(, ) Vi sie den anlige onstanten ed integasjon som en fnsjon a (, ), fodi den an ahenge a og, men ie a. Vi finne nå f/ fo denne integasjonen og sammenline med f/ oe integasjonen. g e sin e sin Dette ise at g/ =. Defo e g en fnsjon a alene f (,, ) e cos h( ) Vi finne nå f/ fo denne integasjonen og sammenline med f/ fø integasjonen. h Dette ise at h Dette gi at h Vi få nå at den potensielle fnsjonen e f (,, ) e cos Det e endelig mange potensielle fnsjone, en fo he.

32 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel Vis at = ( )i j + (cos ) ie e onseatie. Vi be omponent testen N P cos P N Vi se at disse ie e lie, så e ie onseati. Esempel Vis at etofeltet j i tilfedsstille liningene i omponent testen, men at allieel ie e onseati. Vi ha at N P Vi be omponent testen N P P N Vi se at lae omponent testen Imidletid sal også æe enelt sammenhengende fo å lae testen. Vi se at en a de deiete an få diisjon med nll. Dette medføe at ie il æe med og at ie e enelt sammenhengende. o at et etofelt sal æe onseatit må integalet ndt en let e æe =. Vi teste dette.

33 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Be sielen i -planet som. (t) = cos t i + sin t j t π ette inn i sin t cos t i j i j ( sin t) i (cos t) j sin t cos t cos t sin t d/dt = -sin t i + cos t j d d dt dt sin t cos t dt iden det lede integalet ie e li nll e ie onseatit. Esat diffeensiell fom Det e ofte gnstig å tte silasjonsintegale på diffeensiell fom d N d P d lie integale e lette å ealee d N d P d f f f d d d B A f d f ( B) f ( A) Vi ha defo at B A df f ( B) f ( A) lisom fo deiebae fnsjone a en aiabel.

34 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Definisjon Et het tt (,, )d + N(,, )d + P(,, )d e en diffeensiell fom. En diffeensiell fom e esat på et domene D i ommet om f f f d N d Pd d d d df fo en fnsjon f gjennom D. His d + N d + P d = df på D, da e = i + Nj + P et gadientfelt fo f på D. His = f, da e fomen d + N d + P d esat. Test på om esat e defo den samme som testen på om e onseatit. Komponent test på esathet a d + N d + P d Den diffeensielle fomen d + N d + P d e et esat og enelt sammenhengende domene his og bae his P N P N Dette e det samme som å si at feltet d + N d + P d e onseatit. 4

35 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel Vis at d + d + 4 d e esat og eale integalet (,) (,,) d d 4d oe en hilen som helst e fa (,, ) til (,, -). Vi la = N= P = 4 Vi tføe testen på esathet P N P N Vi se at d + d + 4 d e esat, så d + d + 4 d = df fo en fnsjon f, og integalets edi e f(,, -) f(,, ). Vi bestemme f ed å integee liningene f f f 4 Den føste liningen gi f(,, ) = + g(, ) Den ande liningen gi f g g som gi Vi få da at f(,, ) = + h() 5

36 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Den tedje liningen gi f h 4 som gi h( ) 4 Vi få da at f(,, ) = Vedien fo integalet bli = f(,, -) f(,, ) = + 4(-) + ( ) = - 6

37 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 5.4 Geen s teoem i planet His e et onseatit felt, et i at = f fo en deieba fnsjon f, og i an beegne integalet a oe en hilen som helst e mellom pntene A og B. d f ( B) f ( A) I dette apitlet sal i tile en metode fo å beegne abeidet elle flsintegalet oe en let e i planet, nå feltet ie e onseatit. Denne metoden som alles Geen s teoem gi oss anledning til å omfome et linjeintegal til et dobbelintegal oe egionen i en. Vi sal se på b a Geen s teoem i fobindelse med ese i beegelse, fodi dette e lett å isalisee. Geen s teoem an imidletid bes på alle etofelt. Diegens ett at (, ) = (, )i + N(, )j e et hastighetsfelt elle en ese som flte i planet. ett også at de deiete til og N e ontinelige i het pnt i egionen R. La (, ) æe et pnt i R og la A æe et lite etangel med et hjøne i (, ) sli at etangel A helt ligge inne i R. idene til etanglene ligge paallelt med oodinatasene og ha lengde og. Hastigheten som en ese folate etangelet oe bnnen a etangelet e (, ). (-j) = -N(, ) 7

38 Kapittel 5 Integasjon i etofelt (, ). (-j) = -N(, ) e omponenten til hastigheten i (, ). His hastigheten e i mete / send il også flt hastigheten æe i mete / send. Vi sal nå sette opp linende tt fo de ande antene til etangelet. Topp: Bnn: Høe: Venste (, + ). j = N(, + ) (, ). (-j) = -N(, ) ( +, ). i = ( +, ) (, ). (-i) = -(, ) His i smmee motsatte side få i Topp og bnn: N N(, + ) N(, ) Høe og enste: ( +, ) (, ) His i legge sammen disse få i sammenlagt flt hastighet ls t a etangelet N His i nå diidee med få i total fls pe enhet elle flstettheten fo etangelet lst a et et aeal N Vi la nå og gå mot nll fo å definee flstettheten til i pntet (, ). Vi alle flstettheten fo diegensen til. 8

39 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Definisjon Diegensen (flstettheten) til et eto felt = i + Nj i et pnt (, ) e di N ølgende etofelt epesentee hodan gass an flte i et etofelt 9

40 Kapittel 5 Integasjon i etofelt (a) di >, gassen tide seg. (b) di =, gassen heen tide seg elle tee seg sammen. (c) di =, gassen heen tide seg elle tee seg sammen. (d) di =, gassen heen tide seg elle tee seg sammen. pinn ndt en ase: -omponenten a en iel Den neste ideen i tenge fo Geen s teoem e å måle hodan en ese flte i en iel. Dette ha å gjøe med silasjon. Vi ønse å finne tt fo silasjonstettheten. o å finne silasjonstettheten anta tene i oss et etofelt (, ) = (, )i + N(, )j Og et etangel A ilasjonshastigheten i ndt etangelet A e smmen a fltehastighetene lang sidene. o bnnen il fltehastigheten æe (, ). i = (, ) o alle sidene il fltehastighetene æe Topp: Bnn: Høe: Venste (, + ). (-i) = -(, + ) (, ). i = (, ) ( +, ). j = N( +, ) (, ). (-j) = -N(, ) 4

41 Kapittel 5 Integasjon i etofelt His i smmee motsatte side få i Topp og bnn: -((, + ) (, )) N Høe og enste: (N( +, ) N(, )) Legge i sammen disse to liningene få i ilasjonen ndt et N et aeal Vedien til silasjonstettheten e -omponenten a et me geneelt etofelt. Dette alles ielen (l) a etofeltet. Definisjon ilasjonstettheten til et etofelt = i + Nj i et pnt (, ) e ttet l = N Dette ttet e også alt -omponenten a ielen (the l), betegnet med (l ).. 4

42 Kapittel 5 Integasjon i etofelt His ann flte ndt i en egion i -planet i et tnt lag, il -omponenten til ielen (l) i et pnt (, ) æe en måte å beegne ho fot og i hilen etning et lite padlehjl spinne i pntet (, ) med ase pependilæt til planet og paallelt med. e man ned på -planet, spinne det mot loa nå (l ). e positi og men loa nå (l ). e negati. 4

43 Kapittel 5 Integasjon i etofelt To fome a Geen s teoem I en fom sie Geen s teoem at nde gnstige betingelse e flsen t a et etofelt oe en let e i planet, det samme som dobbeltintegalet a diegensen til feltet oe egionen til den lede en. Teoem 4 Geen s teoem (ls-diegens og nomal fom) La æe en sammenhengende jen let e som omgi en egion R i planet. La = i + Nj æe et etofelt med og N som ha ontinelige føste patielle deiete i en åpen egion R. lsen t a oe e det samme som det doble integalet a di oe egionen R omgitt a. nds d N d R N d d (lsen t) (Diegens integal) En annen fom a Geen s teoem sie at silasjonen mot loa til et etofelt ndt en enel let e e dobbelt integalet a -omponenten til ielen (cl) a feltet oe egionen let a en. Teoem 5 Geen s teoem (ilasjon-iel elle tangentfomen) La æe en sammenhengende jen let e som omgi en egion R i planet. La = i + Nj æe et etofelt med og N som ha ontinelige føste patielle deiete i en åpen egion R. Da il silasjonen a mot loa ndt æe li integalet a (cl ). oe R. T ds d N d R N d d (ilasjonen mot loa) (l integal) De to fomene a Geen s teoem e lie. 4

44 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel Veifise begge fome a Geen s teoem fo eto feltet (, ) = i + j Og egionen R bndet a sielen + = 4 : (t) = ( cos t)i + ( sin t)j t π inne føst ((t)) og deiee omponente = cos t = sin t d = d( cos t) = - sin t dt d = d( sin t) = cos t dt = i + Nj = = sin t N = = cos t N N Vi integee føst opp de to sidene i teoem 4 d N d sin t(cos t dt) (cos t)( sin t dt) dt R N dd R ( ) dd Vi integee opp de to sidene i teoem 5 d N d ( sin t)( sin t dt) (cos t)(cos t dt) 4sin t 4cos t dt 8 R N dd R ( ( )) dd d d d 4d 8 44

45 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Å be Geen s teoem til å ealee linjeintegale Eale integalet d d Ho e adatet i føste adant bndet a = og + = og =. Vi an be begge fome a Geen s teoem til å foande integalet til et dobbelt integal.. Ved nomal fomen og be N = - og = og og R som teantens gense. d N d d ( ) R d N d d R ( ) d d d d d d d 4 d. Ved tangentfomen i teoem 5 = N = d N d R N d d d d d d d d // amme som nde R Esempel Beegne flsen t a etofeltet (, ) = i + j oe adatet bndet a linjene = og = = N = / = N/ = al i beegne dette integalet med et linjeintegal il det bli fie integale, en fo he side. Be i Geen s teoem an i tansfomee til et dobbelt integal. ls nds dd d N d R N d d d d 4 45

46 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 46 Beis fo Geen s teoem La æe en jen enel let e i -planet med den egensap at linje paallelle til asene ie dele en i me enn to pnte. La R æe egionen som e innelet a og anta. N og dees patielt deiete e ontinelige i het pnt i en åpen egion som inneholde og R. Vi ønse å beise Geen s teoem R d d N N d d igen ise delt i to dele : = f () a b : = f () b a o hilen som helst mellom a og b an i integee / med hensn på fa = f () til = f () og få ) (, ) (, ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( f f d f f f f Vi an deette integee dette med hensn på fa a til b d f f d d b a b a f f ) (, ) (, ) ( ) ( b a a b d d d d f d f ) (, ) (,

47 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Defo ha i at d R d d Denne liningen e bae hale esltatet. Vi finne den ande haldelen ed å integee N/ med hensn på fa = g () til = g () lisom i figen nde Ved å integee opp som i figen få i N d R N d d Ved å smmee denne med liningen med tidligee lining ha i ist Geen s teoem. 47

48 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Geen s teoem holde også fo ande egione. o esempel som ist i figen nde Geen s teoem an også bes på noen ie sammenhengende egione. o esempel som ist i figen nde 48

49 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 5.5 Oeflate og aeal Vi ha definet e i planet på te måte Esplisitt fom: = f() Implisitt fom: (, ) = Paametis fom: (t) = f(t) i + g(t) j a t b På samme måte ha i definet oeflate i ommet Esplisitt fom: = f(, ) Implisitt fom: (,, ) = Det e også en paametis fom fo oeflate som gi posisjonen til et pnt på oeflaten som en eto a to aiable. Paametiseing a oeflate Anta at (, ) = f(, ) i + g(, ) j + h(, ) e en ontinelig eto fnsjon som e definet på en egion R i -planet. Vi sie at eeidden a (, ) e oeflaten, som e definet a elle gitt ed. Liningen oe sammen med domenet R tgjø en paametiseing a oeflaten. Vaiablene og e paametee. R e gjene et etangel definet med a b, c d. Det ees at (, ) e en-til-en på det inde a R sli at ie oelappe med seg sel. Liningen oe an også sies = f(, ) = g(, ) = h(, ) 49

50 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel inn paametiseingen til oeflaten til en paaboloide 4 Vi se at i an bentte slindise oodinate. = cos = sin 4 Dette gi oss paametiseingen (, ) = cos i + sin j + (4 ) Paametiseingen e en-til-en på det inde til R. 5

51 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel inn paametiseingen til oeflaten til en le + + = a Kan be le oodinate. Et pnt på en le an besies ed = sin cos = sin sin = cos π π Vi bentte = og = og få (, ) = ( sin cos )i + ( sin sin )j + ( cos ) a Paametiseingen e en-til-en på det inde til R. 5

52 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel inn paametiseingen til oeflaten til slindeen ( ) + = 4 I slindeoodinate e et pnt (,, ) gitt ed = cos = sin = 4 - Løse opp og sette inn i liningen ( ) + = = 4 cos + sin 4 cos = 4 cos = = 4 cos π/ -π/ Et pnt på slindeen e defo = cos = 4 cos cos = 4 cos = sin = 4 cos sin = sin = Dette gi liningen (, ) = (4 cos ) i + ( sin ) j + 5

53 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Oeflate aeal Vi ønse å nne beegne integale fo oeflate a tpen (, ) = f(, ) i + g(, ) j + h(, ) a b c d o å bestemme integalet ha i b fo de patielt deiete f g i h j f g i h j Definisjon En paametiset oeflate (, ) = f(, ) i + g(, ) j + h(, ) e jen his og e ontinelige, og aldi e li nll på det inde til paamete domenet. At bet at etoene og ie e li nll, og ie ligge langs samme linje. Da il de alltid spenne et plan i ommet. Vi se på et lite etangel A i R ed side =, = +, =, = +. He side a A mappe en e på oeflaten til. Til sammen danne disse fie ene en oeflate på alt. 5

54 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Den patielt deiete etoen (, ) e tangent til i P. Den patielt deiete etoen (, ) e tangent til i P. Ksspodtet e nomal til oeflaten i P. Vi ønse å tilnæme oeflaten ed paallellogammet på tangentplanet, his side e bestemt a og. Aealet til paallellogammet e = En inndeling a egionen R i -planet med eglæe egione A gi en oppdeling i oeflaten til oeflate elementet. Vi tilnæme aealet til he oeflate ed og smmee disse aealene n Nå og gå mot nll og nå n il smmene bli li integalet a oeflaten. n d d n R 54

55 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Definisjon Aealet a den jene oeflaten (, ) = f(, ) i + g(, ) j + h(, ) a b c d e da A d d R d b c a Vi an sie integalet på en otee måte ed å bentte d. Oeflate aeal diffeensial fo en paametiset oeflate d d d d Oeflate aeal diffeensial Diffeensiell fomel fo oeflate aeal Esempel inn oeflaten til paaboloiden 4 Paametiseingen fo en paaboloide e (, ) = cos i + sin j + (4 ) = cos i + sin j = - sin i + cos j + øst finne i i cos sin j sin cos ( cos ) i ( sin ) j ( cos sin ) Dette gi (4 4 cos 4 4 sin )

56 Kapittel 5 Integasjon i etofelt / 7 4 d 7 d A d d 4 d d A Esempel inn oeflaten til en le med adis a. Vi be paametiseingen (, ) = ( sin cos )i + ( sin sin )j + ( cos ) π π øst finne i i acos cos sin sin j acos sin asin cos asin ( a sin cos ) i ( a sin sin ) j ( a sin cos) Dette gi at ( a sin cos ) ( a sin sin ) ( a sin cos ) a sin a sin cos a 4 sin sin cos a sin A a sin d d a cos d a d 4 a Oeflate le = 4π 56

57 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel La æe fotball oeflaten fomet ed å otee en = cos, =, -π/ π/, ndt -asen. inn en paametiseing fo og beegne oeflaten. Vi be paametene = og =. Vi ha at = cos = cos = cos Dette gi = cos = cos cos = sin = cos sin = Paametiseingen bli da (, ) = (cos cos ) i + (cos sin ) j + -π/ π/ π 57

58 Kapittel 5 Integasjon i etofelt inne tt fo og = -sin cos i sin sin j + = -cos sin i cos cos j + Danne i sin cos cos sin j sin sin cos cos (cos cos ) i (cos sin ) j (sin cos cos cos sin sin ) (cos cos ) (cos sin ) (sin cos cos cos sin sin ) sin cos sin (cos A / / cos sin d d Be sbstitsjonen w = sin og dw = cos d, - w. w A w dwd w ln w w d d ln A ln 58

59 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Implisitte oeflate Implisitt = ndefostått Oeflate an ttes som et niå til en fnsjon (,, ) = c En sli niåoeflate omme ie med en esplisitt paametiseing. Kansje il det også æe anselig å besie oeflaten på fomen (, ) = f(, ) i + g(, ) j + h(, ) Vi sal allieel ise hodan beegne oeflate aeal diffeensialet d fo implisitte oeflate. igen ise en del a en implisitt oeflate som ligge oe sgge egionen R nde. Oeflaten e definet ed (,, ) = c p e en eto nomalt på egionen R. Anta at p e enhetsetoen sli at R ligge i -planet. Vi ha da at. p =. = = i + j + 59

60 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 6 Vi anta at e gafen til en deieba fnsjon = h(, ) sel om i ie jenne h(, ). Vi definee paametene = og =. Da e = h(, ) og (, ) = i + j + h(, ) (, ) il nå paametisee oeflaten. Vi finne de deiete til (, ) h i h j Be i jeneegelen fo implisitt deiasjon på (,, ) = c gi dette at h h ide 78 læebo Dette gi ed innsetting i j Vi ha nå at j i i i p p = Vi ha defo at d d p d d d

61 Kapittel 5 Integasjon i etofelt omel fo oeflate aeal til en implisitt oeflate Aealet til oeflaten (,, ) = c oe en let og bndet plan egion R e Oeflate aeal R d d p Ho p = i, j elle e nomalt på R og. p. Esempel inn oeflaten til den delen a paaboloiden som ligge mellom 4 = og -planet. Vi tegne oeflaten og egionen R. R e sielen + = 4 i -planet. o å elge en enhetseto fo R bentte i p =. 6

62 Kapittel 5 Integasjon i etofelt o het pnt (,, ) på oeflaten, ha i (,, ) = 4 = i j ( ) ( ) ( ) 4 4 p I egionen R e da = d d Oeflate aeal R d d p d d 4 d d 4 / d / 7 d Esempel Utled oeflate diffeensialet d fo oeflaten = f(, ) oe en egion R i -planet a) Paametis ed å bentte d d d og d b) Implisitt ed d d p R 6

63 Kapittel 5 Integasjon i etofelt a) Vi paametisee oeflaten ed å be =, =, og = f(, ) oe R. Dette gi paametiseingen (, ) = i + j + f(, ) De deiete bli = i + f og = j + f. Dette gi Dette gi at f i f j i j f f f f Ved å sbstitee fo og få i oeflate diffeensialet d f f dd b) Vi definee en implisitt fnsjon (,, ) = f(, ) iden (, ) tilhøe egionen R e enhetsetoen nomalt til planet li p =. Da e = f i + f j, sli at. p = - = og f f Dette gi at p 6

64 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Oeflate aeal diffeensialet e igjen gitt ed d f f dd Dette gi følgende fomel fo å beegne oeflaten til en gaf gitt esplisitt ed = f(, ) omel fo oeflate aeal fo gafen = f(, ) o en gaf = f(, ) oe en egion R i -planet, e fomelen fo oeflaten gitt ed A f f d d R 64

65 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 5.6 Oeflateintegale o å beegne støelse som ese flt gjennom en memban elle aften som ie oppoe på en fallsjem, må i integee en fnsjon oe en et oeflate i ommet. Et oeflateintegal e en tiding a linjeintegal oe en e. Oeflateintegale Anta at i ha en eletis ladning fodelt oe en oeflate, og at fnsjonen G(,, ) gi ladningstettheten (ladning pe aealenhet) på het pnt på. Da an i allee total ladning på på følgende måte. Anta at oeflaten e definet paametis ed (, ) = i + j + h(, ) (, ) R igen nde ise hodan deles opp i aeale Het etangel ha aeal d d Lisom i ha gjot med tidligee integale dele i opp oeflaten i dele som ha aeale,, 4,, n. o å danne en Riemann sm oe, elge i et pnt (,, ), og mltiplisee he edi fo fnsjonen G i pntet med aealet og smmee podtene. n G(,, ) 65

66 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Vi la n og og og få oeflateintegalet a G(,, ) oe oeflaten G(,, ) d lim n n G(,, ) Hodan fomelen fo oeflateintegalet e, ahenge a hodan e beseet. Det il si om oeflaten e beseet paametis, implisitt elle esplisitt. omle fo oeflateintegale. o en jen oeflate definet paametis ed (, ) = f(, ) i + g(, ) j + h(, ) Og en ontinelig fnsjon G(,, ) definet på, e oeflateintegalet a G oe gitt a dobbel integalet oe R G (,, ) d G( f (, ), g(, ), h(, )) d d. o en oeflate gitt implisitt a (,, ) = c, ho e en ontinelig deieba fnsjon, med liggende oe en let og bndet sggeegion R i oodinatplanet nde det, il oeflateintegalet a fnsjonen G oe æe gitt ed G(,, ) d R G(,, ) d d p ho p e en enhetseto nomal til R og. p.. o en oeflate gitt esplisitt ed = f(, ), ho f e en ontinelig deieba fnsjon oe en egion R i -planet, il oeflateintegalet a den ontinelige fnsjonen G oe æe gitt ed følgende dobbelintegal oe R,, f (, ) f f dd G(,, ) d G R Oeflateintegalet il defo se fosjellig t i fosjellige sammenhenge. 66

67 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 67 Esempel Intege G(,, ) = oe len + + = d d h g f G d G )), ( ),, ( ),, ( ( ),, ( (, ) = sin cos i + sin sin j + cos = cos cos i + cos sin j sin = - sin sin i + sin cos j + sin d d d d cos sin sin d d d cos cos cos sin cos sin cos sin 4 sin cos 4 cos 4 d d Ha bt fomel 67 og 68 i fomelsamlingen ba i læebo Oeflateintegale an som ande integale deles opp i flee n G d G d G d d G... Integalet a fo esempel en be e integalet oe sidene til ben.

68 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel Intege G(,, ) = + + oe oeflaten a ben som ligge i føste adant, asået a planene =, =, og =. Vi integee + + oe he a de ses sidene og legge sammen esltatet. Kbe oeflate G d idea G d ideb G d ide G d plan G d plan G d plan G d ide A ha oeflaten f(,, ) = = oe adat egionen. // Implisitt oeflate (,, ) = c R :,, i -planet. o denne oe flaten og egionen ha i p = f = f = f. p =. = d p da d d d d + + = + + idea d R dd dd d d 68

69 Kapittel 5 Integasjon i etofelt ide B ha oeflaten f(,, ) = = oe adat egionen. R :,, i -planet. p = i f = i f = f. p =. = ideb d d d // Lisom side A (smmeti) ide ha oeflaten f(,, ) = = oe adat egionen. ide d dd // Lisom side A (smmeti) ide -plan ha oeflaten f(,, ) = = oe adat egionen. p = - f = f = f. p =. (-) = d p da d d d d + + = + ide plan d R dd d d d d plan plan d d // Lisom side -plan (smmeti) Kbe oeflate d 9 69

70 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel Intege G(,, ) oe fotball oeflaten gitt ed å otee en = cos = -π/ π/ ndt -asen. Paametiseingen til oeflaten ha i tidligee fnnet å æe = cos cos = cos sin = π ho e inelen til otasjonen om ndt -asen. Vi sbstitee denne paametiseingen inn i ttet fo G. cos cos sin cos sin Oeflate aeal diffeensialet fo paametiseing ha i tidligee fnnet å æe d cos sin d d 7

71 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Vi an nå beegne oeflate integalet / d sin cos sin d d / / sin cos sin d d Be w = + sin dw = sin cos d = nå w =, = π/ nå w =. w dwd w / d 4 d Oienteing Vi alle en jen oeflate oienteba elle to-sidet his det e mlig å definee et felt n a nomaletoe på som aiee ontinelig med posisjon. Kle og jene oeflate i ommet e oientebae. Vi elge n til å pee toe på en let oeflate. Vetoen n alles den positie etningen i pntet. 7

72 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Et møbis bånd e et esempel på en ie oienteba oeflate En eto n il ie ha en positi etning i et pnt. osøe i å beege etoen n oming på oeflaten il den positie etningen ahenge a ho i statet. Oeflateintegal fo fls Anta at e et ontinelig etofelt oe en oientet oeflate og n e et algt etofelt på oeflaten. Vi alle integalet a. n fo flsen a oe i positi etning. Da e flsen integalet oe a sala omponenten i etningen til n. Definisjon lsen til et te dimensjonalt eto felt oe en oientet oeflate i etning med n. l nd nd His e et hastighetsfelt i et tedimensjonalt om som besie ese som flte, e flsen a oe hastigheten som esen sse. Definisjonen e li den fo flsen i et todimensjonalt felt oe et plan l nds 7

73 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 7 Esempel inn flsen til = i + j + gjennom planet + + = Vi be at = = = Dette gi paametiseingen (, ) = i + j + ( ) = i = j Ksspodtet til tangentetoene e j i j i Enhetsetoen pee t fa oeflaten og e j i j i n = i + j + = i + ( ) j + ( ) Dette gi at j i j i n ) ( ) ( n 4 4

74 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 74 lsen gjennom oeflaten e d d nd 4 4 d d 4 4 d d Det e en enel fomel fo flsen a gjennom en paametiset oeflate (, ). iden d d d og n ølge det at d d nd Dette integalet foenle beegningen i foige esempel da d d d d d nd

75 Kapittel 5 Integasjon i etofelt His e en del a oeflaten g(,, ) = c, da an n bli tatt fa en a de to feltene g n g Ahengig a hilen som gi foetet etning. lsen bli da nd R g g da g g p R g da g p Esempel inn flsen til = i t gjennom oeflaten som e gitt ed jeglen n d d (, ) = cos i + sin j + = cos i + sin j + = - sin i + cos j + i cos sin j sin cos cos i sin j = cos sin i cos sin i cos i sin j cos sin d cos sin d d 75

76 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 76 4 sin cos 4 sin cos 4 d d = cos d = sin d cos 4 omente og masse til tnne oeflate Tnne flate a mateiale lisom bolle og metalltomme e modellet som oeflate. Tabell 5. asse og moment fomle fo tnne oeflate asse: d øste moment om oodinatplanene: d d d Koodinate fo masse sente: Teghetsmoment om oodinatplanene: d I d I d I L d I

77 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel inn masse senteet til en tnn halle oeflate med adis og onstant tetthet. mmetien om -asen sie at. Vi sal defo finne. assen til oeflaten e Oeflate le = 4π d d ( )( aeal ) 8 Vi be p = f i j 4 f p f f 4 d da da da f p Dette gi d da da 8 R R 8 8 assesente =,, 77

78 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel inn masse senteet til en tnn oeflate med tetthet = / ttet a fa jeglen og planene = og =. mmetien om -asen sie at. Vi sal defo finne. Paametiseingen fo flaten e (, ) = ( cos )i + ( sin )j + og assen til oeflaten e = = / d d d ln d ln d ln d d d d d ln ln,, ln 78

79 Kapittel 5 Integasjon i etofelt toe s teoem Vi ha tidligee sett at silasjonstettheten elle l omponenten til et to dimensjonalt felt = i + Nj i et pnt (, ) e gitt ed N ett at e et hastighetsfelt fo en ese i ommet. Patile næ pntet (,, ) i esen il otee ndt en ase gjennom pntet (,, ) som e paallell med en eto i sal definee. Denne etoen pee i en etning sli at otasjonen e mot loa, nå sett oenfa toppen til etoen. Denne etoen alles l eto og e fo etofeltet = i + Nj + P definet til N j P i N P l Denne fomelen ttes ofte ed hjelp a. ttes del j i l an da sies l N j P i N P P N j i l =

80 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel inn l fo = () i + e j + Vi be ttet fo l i j e i ( ) j e i ( j e ) e i j e Opeatoen bes i mange sammenhenge. Be i den på en fnsjon f(,, ) få i gadienten f f f i f j f alles del f elle gad f toe s teoem toe s teoem e en genealiseing a Geen s teoem i te dimensjone. ilasjonsfomen a Geen s teoem besie silasjonen a et etofelt ndt en enel og let e i -planet mot loa til å æe li et dobbelt integal oe den plane egionen R som e innenfo. toe s teoem besie silasjonen til et etofelt ndt. e en ndt en oientet oeflate i ommet. Oeflaten må æe jen og sammenhengende. 8

81 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Oienteingen til en ndt e mot loa. Teoem 6 toe s teoem La æe en steis jen oientet oeflate ominget a en jen e. La = i + N j + P æe et etofelt som ha omponente med ontinelige føste patielle deiete på en åpen egion. ilasjonen a ndt i etning mot loa, med hensn til oeflatens nomale enhetseto, il æe li integalet oe. n oe : d nd En følge a dette e at to lie oeflate og begge omgitt a samme e, il ha samme l integal. n d n d Begge integale gi silasjonen mot loa his n og n ha itig etning. 8

82 Kapittel 5 Integasjon i etofelt His e en e i -planet, oientet mot loa, og R e egionen i -planet omgitt a, da e d = d d og n N Unde disse omstendighetene il toe s teom bli d R N dd Dette e silasjonsfomen til Geen s teoem Ved å bentte teoien oe an i nå sie Geen s teoem om til d R da igen ise en sammenligning a Geen s teoem og toe s teoem. 8

83 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel B toe s teoem på hallen : + + = 6. ielen ndt e : + = 6 = -i + j Vi allee silasjonen mot loa ndt med paametiseingen () = 4 cos i + 4 sin j π d = -4 sin i + 4 cos j = -i + j = (-8 sin ) i + (8 cos ) j = (-planet). d = sin + cos d = d d d 64 Vi sal nå integee l til sammenligning = i + Nj + P = - N = P = - P N i P N j ( ) i ( ) j (( )) 4 8

84 Kapittel 5 Integasjon i etofelt = 4 f = (le) f () () () f p f n f i j f ( i j ) 4 i j 4 d f f p 8 4 n 4 4 da da 4 nd da 4 da 4( ) Esempel Kalle silasjonen ndt sielen i foige esempel ed å bentte en sielsie med adis 4 sentet i oigo i -planet som oeflate Vi ha at = 4 iden sielsien e i -planet, ha i at n =, sli at. n = 4. da = 4 da Dette gi n 6 4dA 4 4 d d 64 A = π = π 4 = 6π 4 6π = 64 π 84

85 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 85 Esempel inn silasjonen til feltet = i + j ndt en ho planet = 4 møte paaboloiden, mot loa som på figen nde. Tegn. : + = 4 = 4 = cos = sin = Vi an finne silasjonen ed å integee oe oeflaten til paaboloiden ed å bentte toe s teoem. Vi paametisee paaboloiden ed (, ) = cos i + sin j + π j i j i sin cos cos sin sin cos 4 4 sin cos 4 4 sin cos j i n d d d d d 4 = i + j j i j i 4 n n d d d d nd d

86 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel Å be en paaboloide lisom i foige esempel, e ie den letteste måte fo å beegne silasjonen ndt. Vi be i stedet en flat sielsie med adis sentet på -asen og i planet =. Da il nomaletoen til oeflaten æe n =. Vi an da be. n =. = Dette gi d 4 da d d 4 A 4 Esempel inn en paametiseing fo oeflaten fomet ed den delen a den hpebolise paaboloiden = som ligge inne i en slinde med adis en ndt -asen. lindeen e da også gensen fo en. Vis toe s teoem fo ed å bentte nomalen som ha positi -omponent og etofeltet = i j +. 86

87 Kapittel 5 Integasjon i etofelt En paametiseing fo e gitt ed (t) = (cos t) i + (sin t) j + (sin t cos t) t π Dette gi d/dt = -(sin t) i + (cos t) j + (4 sin t cos t) t π Langs en (t) e fomelen fo etofeltet = (sin t) i (cos t)j + = i j + Dette gi linjeintegalet d dt dt sin t cos t 4sin t cos tdt 4sin t cos t sin t dt cos t t dt Vi sal nå beegne integalet på n ed å bentte. n oe oeflaten. Vi be polaoodinate og paametisee ed å bentte at oe pntet (, ) i planet, e -oodinaten til = sin cos. = cos = sin En paametiseing fo e (, ) = ( cos ) i + ( sin ) j + (sin cos ) π Vi beegne deette. n d i j = i j + 87

88 Kapittel 5 Integasjon i etofelt = (cos ) i + (sin ) j + (sin cos ) = (- sin ) i + ( cos ) j + 4 (sin cos ) i cos sin j sin cos (sin cos ) 4 (sin cos ) sin cos sin cos cos i sin cos sin sin cos j Dette gi = - nd d d d d d d Padle hjl intepetasjonen a ett at e et hastighetsfelt fo en ese som flte i en egion R i ommet som inneholde en let e. Da e d silasjonen a esen ndt. Ved toe s teoem e silasjonen li flsen a gjennom en he passende oeflate med omets d nd 88

89 Kapittel 5 Integasjon i etofelt His i fise et pnt Q i egionen og en etning i Q. Ta til å æe en siel med adis, med sente i Q, og som ha et plan nomalt til. His e ontinelig i Q, il gjennomsnittsedien til -omponenten a oe halsielen bndet a næme seg -omponenten a i Q nå adien : lim Q d // () Vi be toe s teoem og estatte oeflate integalet med et linjeintegal oe Q lim d // () Venste side a liningen ha sin masimale edi nå e i etning med. Nå e liten il høe side a liningen oe æe tilnæmet li d silasjonstetthete n silasjon aeal som e silasjonen ndt diidet med aealet til flaten (silasjonstettheten). Anta at et lite padlehjl med adis omme inn i esen i Q, med etning langs. ilasjonen a esen ndt ie inn på spinningen til padlehjlet. Hjlet spinne asest nå silasjonsintegalet e masimet. Hjlet spinne defo asest nå padlehjlet pee i etning a. 89

90 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Esempel En ese med onstant tetthet otee ndt -asen med hastighet = (-i + j) ho e en onstant alt inelhastigheten til otasjonen. inn og elate det til silasjonstettheten. ed = -i + j, finne i cl = -w N = w P = P N i P N j ( ) i ( ) j ( ( )) Ved toe s teoem e silasjonen a ndt en siel med adis ndt en flate i planet nomal til, fo esempel i -planet li d nd d d () Ved å løse den siste liningen få i at d // ilasjonstettheten Dette e samme esltat i ha ommet til tidligee, men da med =. 9

91 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 9 Esempel B toe s teoem til å beegne d nå = i + j + og e bndet a planet + + = i føste adant, sli at etningen gå mot loa. Tegn Planet e niå oeflate fo f(,, ) = til fnsjonen f(,, ) = + + Enhets nomal eto e j i j i j i f f n Vi beegne så = i + j + j i j i l ) ( ) ( ) ( j i l ) ( Dette gi at ) ( ) ( n Oeflate elementet e f = i + j + f d d da f f d

92 Kapittel 5 Integasjon i etofelt 9 ilasjonen e d d nd d = d d d d 4 ) ( d d d Esempel La oeflaten æe den elliptise paaboloiden = + 4 som ligge nde planet =. Vi definee oienteingen til ed å ta den inde nomal etoen n til oeflaten, som e nomalen som ha positi -omponent. inn flsen a oe i etning n fo etofeltet = i j + Vi be toe s teoem til å allee cl integalet ed å finne den eialente silasjonen a mot loa, ed sjæingen a til paaboloiden = + 4 og planet =.

93 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Vi an paametisee ellipsen ed = cos t = ½ sin t = t π e da gitt ed (t) = (cos t) i + (½ sin t) j + t π o å beegne silasjonsintegalet d beegne i langs og finne hastighetsetoen d/dt = i j + = i j + ( = ) ) d dt ( t) (sin t) i (cos t) j (cos t (sin t) i (cos t) j Da e d d ( t) dt sin t cos t dt dt dt Defo e flsen oe i etning med n fo feltet nd 9

94 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Beis fo toe s teoem fo polede oeflate La æe en polede oeflate som bestå a mange flate egione. Vi be Geen s teoem på he oeflate. Det e to tpe oeflate. De som e omgitt a oeflate på alle ante.. De som ha en elle flee ante som ie støte mot en annen oeflate. I figen il teantene EAB, BE, og DE epesentee en del a, med ABD som tteant. Vi be Geen s teoem på de te teantene. EAB BE DE d EAB BE DE nd De te linjeintegalene ombinees til et enelt linjeintegal oming ABD fodi integalene langs inde segmente ansellee heande. o esempel il integalet langs BE i teanten ABE ha motsatt fotegn til integalet a samme segment i teanten EB. Det samme holde fo segment E. 94

95 Kapittel 5 Integasjon i etofelt Liningen oe bli defo edset til ABDE d ABDE n d His i be denne genealisete fomen fo Geen s teoem til alle oeflate og legge sammen esltatet få i d n d Dette e toe s teoem fo polede oeflate i figen oe. toe s teoem fo oeflate med hlle toe s teoem holde også fo oeflate med en elle flee hlle. Oeflate integalet oe a nomal omponenten e li smmen a linjeintegalene ndt alle e oming. 95

96 Kapittel 5 Integasjon i etofelt En itig identitet ølgende identitet de stadig opp i matemati og fsi l gad f = elle f = Kefte som oppstå ed stdiene a eletomagnetisme og tngdeaft e ofte assosiet med en potensiell fnsjon f. Identiteten oe sie at disse eftene ha cl li nll. Identiteten holde fo en hilen som helst fnsjon f(,, ) som ha ontinelige patielle ande deiete. Beiset e som følge i j f f f i f f j f f f f f His de patielle ande deiet e ontinelige, ha de blandede deiete i paentesene li edi og etoen bli li. Konseatie felte og toe s teoem Vi ha tidligee fnnet at et felt e onseatit i en åpen egion D i ommet e eialent med at integalet ndt he let e i D e li nll. Dette e eialent i en enel sammenhengende åpen egion som sie at = Teoem 7 l = elatet til let e egensapen His = i het pnt i en enel åpen egion D i ommet, da e på het steis jene lede e i D. d 96