KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME

Transkript

1 Noges teknisk natuvitenskapelige univesitet Institutt fo elektonikk og telekommunikasjon ide 1 av 8 Bokmål/Nynosk Faglig/fagleg kontakt unde eksamen: Jon Olav Gepstad ) Hjelpemidle: C - pesifisete tykte og håndskevne hjelpemidle tillatt: Rottmann: Matematisk fomelsamling. Bestemt, enkel kalkulato tillatt. Hjelpemiddel: C - pesifisete tykte og handskevne hjelpemiddel tillate: Rottmann: Matematisk fomelsamling. Bestemt, enkel kalkulato tillaten. KONTINUAJONEKAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETIME Tisdag 10. aug Tid: 09:00 13:00 ensu: 31. aug Oppgave 1 a) Define magnetisk fluks gjennom en flate. b) Vis at fluksen gjennom kan uttykkes som et linjeintegal av vektopotensialet A, og angi hvilken kuve det skal integees ove. c) Vektopotensialet fa en sløyfe C 1 som føe stømmen I 1 e gitt av Biot-avats lov fo A: A 1 = µ 0 I 1 d l 1, 1) 4π C 1 de e avstanden fa stømelementet I 1 d l 1 til obsevasjonspunktet. Vi ha he antatt at det e vakuum omking sløyfa.

2 ide 2 av 8 C 1 d l 1 d l 2 C 2 Figu 1: He vises elementene d l 1 og d l 2, samt avstanden mellom dem. Vis at gjensidig induktans mellom en sløyfe C 1 og en sløyfe C 2 kan skives L 12 = µ 0 d l 1 d l 2, 2) 4π C 1 C 2 de e avstanden mellom elementene d l 1 og d l 2. Anta at det e vakuum ovealt i næheten av sløyfene. d) Fokla med utgangspunkt i 2) hvofo L 21 = L 12. e) tømmen I 1 i sløyfe C 1 vaiee med tiden t på følgende måte: I 1 t) = I 0 sinωt), 3) de ω og I 0 e positive konstante. Resistansen i sløyfe C 2 e uendelig. Hva e den indusete elektomotoiske spenningen i sløyfe C 2? Oppgave 2 I denne oppgaven se vi på en to-tådslinje, som bestå av to paallelle, sylindiske ledee med avstand d mellom sentene, se fig. 2. Begge ha adius a, de 2a < d. Ledene e så lange at man kan se bot fa effekte næ endene de kan egnes som uendelig lange). I omådet omking kablene e det luft, med pemittivitet ɛ 0 og pemeabilitet µ 0. I hele oppgaven kan du anta at en eventuell ladning elle støm e jevnt fodelt ove ledenes oveflate. Denne antagelsen e ikke alltid helt ett, f.eks. vil antagelsen bety at det elektiske feltet ikke bli null i ledene, slik den skulle ha væt i elektostatikken. Unde gitte foutsetninge kan imidletid antagelsen væe en god tilnæmelse.) a) Anta at kabelen til venste ha en ladning pe lengdeenhet Q, mens kabelen til høye ha ladning pe lengdeenhet Q. Anta at ladningen e jevnt fodelt ove ledeenes oveflate. Finn det elektiske feltet fo a < x < d a langs x-aksen, se fig. 2. Tips: Finn føst feltet fa hve av ledene sepaat vha. Gauss lov.)

3 ide 3 av 8 z luft, ǫ 0 2a x d y Figu 2: To-tådslinje med paallelle, sylindiske ledee. Begge ledene ha adius a. b) Potensialfoskjellen mellom ledene e V 0. Vis at det elektiske feltet fo a < x < d a langs x-aksen e V 0 d E = 2 lnd/a 1) xd x) u x. 4) c) Bestem kapasitansen pe lengdeenhet fo to-tådslinja. d) Luft tåle en maksimal feltstyke på E t = V/m fø det bli gjennomslag. Fo en gitt vedi av d, finn den vedien av a som gjø at to-tådslinja tåle høyest mulig spenning V 0. Oppgitt: Om du skulle ende opp med en likning 1 2u) ln1/u 1) = 1: Denne ha løsningene u = og u = ) e) Den venste ledeen føe nå stømmen I i positiv z-etning, mens etustømmen I gå i den ande. Anta at stømmen e jevnt fodelt ove ledenes oveflate. Finn den magnetiske flukstettheten B langs x-aksen fo a < x < d a. f) Bestem selvinduktansen pe lengdeenhet fo to-tådslinja.

4 ide 4 av 8 Oppgave 3 Til hvet av spøsmålene som e stilt nedenfo, e det foeslått 4 sva. Oppgi hvilket sva du mene e best dekkende fo hvet spøsmål. vaene, som ikke skal begunnes, avgis i skjemaet på siste side. Denne siden ives fa og levees inn som del av besvaelsen. Det gis 3 poeng fo hvet iktig sva, 1 poeng fo hvet galt sva og 0 poeng fo ubesvat. Helgadeing me enn ett kyss) gi 0 poeng. a) Hva e sant om følgende lov: H = J? i) den kalles Ampees lov, ii) den gjelde alltid, til og med i elektodynamikken, iii) den gjelde bae nå det e symmeti, iv) alle altenativene ovenfo. b) Magne Tisme påstå at den magnetiske flukstettheten B fa en gitt, tidsuavhengig stømfodeling i vakuum e gitt av uttykket B) = µ 0I 4π 2 u, 5) i et sfæisk koodinatsystem. He e I 0 en konstant støm. Hvodan kan du væe sikke på at Magne e helt på jodet? i) uttykket ha ikke iktig dimensjon, ii) feltet e ikke divegensfitt i oigo dvs. feltet bite ikke seg selv i halen ), iii) fo > 0 e H = 0; dessuten sikulee helle ikke H undt oigo. Altså e stømtettheten null ovealt, hvilket skulle gitt H = 0 og demed B = 0. iv) alle altenativene ovenfo. c) Det elektiske feltet ovealt i ommet e gitt av uttykket { C 1 E) 2 u, fo < a, = 1 C 2 u, elles, 6) i et sfæisk koodinatsystem. He e C 1 en vilkålig konstant, og C 2 C 1 a 3. Anta at pemittiviteten e ɛ 0 ovealt. Hva kan du si om ladningsfodelingen? i) det e omladning fo < a, flateladning fo = a, men ingen omladning fo > a,

5 ide 5 av 8 ii) det e omladning fo < a, ingen flateladning fo = a, og ingen omladning fo > a, iii) det e omladning fo < a, flateladning fo = a, og omladning fo > a, iv) det e ingen omladning fo < a, men det e flateladning fo = a og omladning fo > a. d) På et piano slå du an tonene A 4, med fekvens 440 Hz, og E 6, med fekvens 2 19/ Hz. En av ovetonene til A 4 sammen med gunntonen E 6 vil da sveve med en svevefekvens som e så lav at den kan oppfattes som sveving av menneske. Hva e svevefekvensen? i) 1 Hz, ii) 19 Hz, iii) 1.49 Hz, iv) ingen av altenativene ovenfo. e) Nå e følgende vesjone av Gauss lov gyldig? 1) D = ρ og 2) ɛ 0 E = ρ total. He e ρ den fie omladningstettheten, mens ρ total e all omladningstetthet fi og bunden). i) 1) e gyldig i et vilkålig medium, mens 2) e kun gyldig i vakuum, ii) begge e alltid gyldige, iii) begge e alltid ugyldige, iv) de e bae gyldige på sommeen.

6 ide 6 av 8 Fomle i elektomagnetisme: F = Qq 4πɛ 2 u, E def = F /q, V P = D d = Q fi i, D = ρ, R P E d l, V = Q 4πɛ, D def = ɛ 0 E + P, P = ɛ0 χ e E, D = ɛ E, ɛ = ɛ0 1 + χ e ), C def = Q/V, C = ɛ/d, E = V, W e = 1 2 CV 2, w e = 1 D 2 E, p = Qd, J = NQ v, J = σe, J = E/ρ, σ = 1/ρ, PJ = J Edv, v df 12 = I 2 d µ 0 I 1 d l 2 ) l 1 u 4π 2, db = µ 0 Id l u 4π 2, df = Id l B, H def B = M, µ M = χmh, B = µ H, µ = µ0 1 + χ m ), m = I, 0 M F = m B, B = 0, H d l = J d, w m = 1 B 2 H, L 12 = Φ 12 I 1 = L 21 = Φ 21 I 2, L = Φ I, W m = 1 2 C n I k Φ k = 1 2 k=1 F = W m ) Φ=konst, F = + Wm ) I=konst, J + ρ t = 0, Maxwells likninge: E = B t, H = J + D t, D = ρ, B = 0, C E d l = d dt H d l = C D d = Q fi i, B d = 0. Potensiale i elektodynamikken: B d, J + D ) d, t e = dφ dt ), n j=1 k=1 n L jk I j I k, F = Q E + v B). B = A, E A = V t, 2 V ɛµ 2 V t 2 = ρ ɛ, 2 A 2 A ɛµ t 2 = µ J, V, t) = 1 ρ, t R/c)dv, µ J, t R/c)dv A, t) =. 4πɛ v R 4π v R Gensebetingelse: E 1 tang = E 2 tang, D1 nom D 2 nom = σ n, H 1 tang H 2 tang = J s n, B1 nom = B 2 nom.

7 ide 7 av 8 Konstante: Katesisk koodinatsystem: µ 0 = 4π 10 7 H/m ɛ 0 = 1/µ 0 c 2 0) F/m Lyshastighet i vakuum: c 0 = 1/ µ 0 ɛ 0 = m/s m/s Lyshastighet i et medium: c = 1/ µɛ Elementæladningen: e = C Elektonets hvilemasse: m e = kg tandad tyngdeakseleasjon: g = m/s 2 Gavitasjonskonstant: γ = N m 2 /kg 2. Diffeensielle vektoidentitete: u x V = V x vilkålig akse) x V + W ) = V + W V W ) = V W + W V fv ) = f V ) V A + B) = A + B V A) = V A + A V A B) = B A A B A + B) = A + B V A) = V ) A + V A A) = 0 V ) = 2 V V ) = 0 A) = A) 2 A V = V x u x + V y u y + V u z A = A x x + A y y + A z A Az = u x y A y Ay + u z x A x y 2 V = 2 V x V y 2 ) Ax + u y ) + 2 V 2 A ) z x 2 A = 2 A x ) u x + 2 A y ) u y + 2 A z ) u z ylindisk koodinatsystem: V = V u + 1 V φ u φ + V u z A = 1 A ) A 1 A z = u φ A φ + u z Aφ ) 2 V = 1 V fæisk koodinatsystem: + 1 A φ φ + A z ) A + u φ A ) φ A ) z ) V φ V 2 Integalidentitete: V dv = V d v Adv = A d Divegensteoemet) v Adv = d A v A d = A d l tokes teoem) C V = V u + 1 V θ u θ + 1 V sin θ φ u φ A = 1 2 A ) sin θa θ ) + 1 A φ sin θ θ sin θ φ A = u sin θaφ ) A ) θ sin θ θ φ + u θ 1 A sin θ φ A ) φ) + u φ Aθ ) A ) θ 2 V = V ) sin θ V ) 1 2 V + sin θ θ θ 2 sin 2 θ φ 2

8 ide 8 av 8 EMNE TFE4120 ELEKTROMAGNETIME KANDIDATNR.:... vakupong Mek med kyss i de aktuelle utene. Kun ett kyss fo hvet spøsmål. pøsmål Alt. i) Alt. ii) Alt. iii) Alt. iv) a) b) c) d) e)