c) etingelsen fo at det elektiske feltet E e otasjonsinvaiant om x-aksen e, med E og ee som denet ovenfo, at e E = E. Dette skal gjelde fo en vilkalig

Transkript

1 Eksamen i klassisk feltteoi, fag 74 5, 4. august 995 Lsninge a) Koodinatene x; y; z tansfomees slik x 7 bx = x; y 7 by = y cos, z sin ; z 7 by = y sin + z cos Den invese tansfomasjonen e en otasjon en vinkel, bx 7 x = bx ; Det otete feltet e E e denet ved at by 7 y = by cos + bz sin ; bz 7 z =,by sin + bz cos ee x (b;t) = E x (;t) ; ee y (b;t) = E y (;t) cos, E z (;t) sin ; ee z (b;t) = E y (;t) sin + E z (;t) cos Helt eksplisitt e da ee x (x; y; z; t) = E x (x; y cos + z sin ;,y sin + z cos ; t) ; ee y (x; y; z; t) = ee z (x; y; z; t) = E y (x; y cos + z sin ;,y sin + z cos ; t) cos,e z (x; y cos + z sin ;,y sin + z cos ; t) sin ; E y (x; y cos + z sin ;,y sin + z cos ; t) sin +E z (x; y cos + z sin ;,y sin + z cos ; t) cos Ladningstettheten tansfomees som en skala unde otasjon, det vil si at e(x; y; z; t) =(x; y cos + z sin ;,y sin + z cos ; t) Na vi buke ligningen E = =, nne vi at e E = e Dette bety, p. denisjon, at ligningen e invaiant unde otasjonen. b) Ande tansfomasjone som la ligningen invaiant { vilkalige otasjone, og vilkalige tanslasjone i om og tid, { ominvesjon og tidsevesjon, { ladningskonjugasjon (E 7,E, 7,). Men ikke geneelle Loentz-tansfomasjone, sa lenge vi ikke involvee de te Maxwellligningene med komponentene av stmtettheten som kilde.

2 c) etingelsen fo at det elektiske feltet E e otasjonsinvaiant om x-aksen e, med E og ee som denet ovenfo, at e E = E. Dette skal gjelde fo en vilkalig otasjonsvinkel. Dene u = p y + z. Det mest geneelle feltet som e otasjonsivaiant om x-aksen ha fomen E x = f(x; u; t) ; de f, g og h e vilkalige funksjone. a) Rotasjonssymmetien av feltet bety at E y = g(x; u; t) y, h(x; u; t) z; E z = h(x; u; t) y + g(x; u; t) z; E x E y E z og tilsvaende fo x, y og z. Videe e Flgelig e = E x = E sin cos '; y = E = E sin sin '; z = E = E cos ; dx = sin cos ' d + cos cos ' d, sin sin ' d' ; dy = sin sin ' d + cos sin ' d + sin cos ' d' ; dz = cos d, sin d dz ^ dy = sin ' d ^ d + sin cos cos ' d ^ d', sin cos ' d ^ d' ; dx ^ dz =, cos ' d ^ d + sin cos sin ' d ^ d', sin sin ' d ^ d' ; dy ^ dx =, sin d ^ d', sin cos d ^ d' ; Det gi at og at E x dt ^ dx + E y dt ^ dy + E z dt ^ dz =dt ^ (E x dx + E y dy + E z dz) =E dt ^ d Som det skulle vises. x dz ^ dy + y dx ^ dz + z dy ^ dx =, sin d ^ d' b) Na F = E dt ^ d, sin d ^ d', sa e d ^ dt ^ dt ^ dt ^ sin dt ^ d ^ d', cos d ^ d ^ d' sin d ^ d sin dt ^ d ^ d' sin d ^ d ^ d' F.eks. e d ^ dt ^ d =, fodi ytepoduktet \^" mellom -fomene d og dt e antisymmetisk. Vi se at ligningen df = ha de to ikke-tivielle =

3 c) Med koodinatene x = ct, x =, x = og x = ' ha vi e komponente av F som ikke e lik null, nemlig F =,F = E c ; F =,F =, sin Den metiske tensoen e g e a,e b,, sin C A ; med deteminant g =,e (a+b) 4 sin, og den invese matisen e e,a g,e,b C A,=( sin ) Med denisjonen F = g g F ha vi at E F =,F = g g F =, c e ; F =,F = g g F (a+b) =, sin Den duale tensoen F og ha ogsa e komponente som ikke enull, nemlig F =, F = F =, F = Dette gi den oppgitte fomelen fo F. q jgj (F, F )=,e a+b ; q jgj (F, F )=, E c e a+b sin d) Na vi sammenligne med ligningen df =,se vi at ligningen d F =e ekvivalent med de to ligningene Lsningen E e = = E = E () = ea+b Q e 4 = c e a+b Q e 4 ; de Q e e en konstant som epesentee en elektisk punktladning i oigo. e) En ask sjekk vise at T e diagonal. Da sta det igjen a beegne diagonalelementene. Dene F = 4 g g F F = =, e,(a+b) E + c g g (F ) + g g (F ) = c (,Q e + Q m ) 4

4 Vi ha at T =,g (F ) + g F = e,b E +e a c = c e a Q ; 4 de vi ha denet Q = Q m + Q e. Q e sa a si den \totale" ladningen, magnetisk og elektisk tilsammen. Videe e T =,g (F ) + g F =,e,a E, e b c =, c e b Q 4 Det tedje diagonalelementet e T =,g (F ) + g F = e,(a+b) E + c = c Q Og det fjede e T =,g (F ) + g F = T sin Som en kontoll ha vi at g T = g T + g T + g T + g T = a) Flytt begge indeksene opp, og skiv gavitasjonsligningen, ligning (), som G, g = 8G c 4 T Ta sa den kovaiante divegensen av denne ligningen. Det gi at G ;, ; g, g ; = 8G c 4 T ; Men G ; =, pga. ianchi-identiteten. Videe e g ; =, fodi metikken e kovaiant konstant, p. denisjon. Og endelig e T ; =, fodi enegi og impuls e bevat. Av det flge at ; g =, og defo ; =, som e det samme som at e konstant. b) Ligningen G, g = 8G c 4 T fo > ha 6 komponente, men bae te av dem e ikke-tivielle, nemlig = =, = =og = =. Ta fst = = e a d, e,b, e a = 8G c e a Q d c 4 4 de K e en positiv konstant. En enkel omfoming gi ligningen d, e,b, = K d ; 4 = K ea 4 ;

5 med lsningen, e,b, =,K + R M ; de R M e en integasjonskonstant. He sta det at Sa til = = Innsatt fo e b gi det at e,b =, R M + K, a +, e b +e b =, K eb 4 a, e,b =e b, K, = Denne ligningen kan integees diekte, og gi at a =a +ln R M, K + K,, + K, ; de a e en integasjonskonstant. Vi kan like gjene sette a =, siden dette bae bety at vi ksee tidsskalaen. Det gi at e a =e,b =, R M + K, Demed e metikken bestemt. Det gjensta a veisee ligningen fo = = Vi kjenne a, og nne at e,b, a +(+a )(a, b ) + = K a = =, R M, R M Dessuten e b =,a, slik at + K, + K, + K, + K,, RM, (a ) a +(+a )(a, b )=a +a +(a ) = Flgelig e, som vi skulle vise,, K, + K, K, + K, e,b, a +(+a )(a, b ) = K, 5