14.1 Doble og itererte integraler over rektangler

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "14.1 Doble og itererte integraler over rektangler"

Transkript

1 Kapittel Mltiple Integals I dette apitlet sal i se på integale a fnsjone a to aiable f og a te aiable f z.. Doble og iteete integale oe etangle Vi ønse å integee en ontinelig fnsjon f oe et etangel. : a b c d En måte å gjøe dette på e å tilnæme integalene med iemann smme. Vi dele opp i små etangle som ha bedde og lengde. A = // Et lite etangel bestå a mange små etangle med aeal A. Dette ha følgende oppdeling Integalet an nå tilnæmes med S n n f A Ahengig a hodan i elge an i få noe fosjellige edie fo S n.

2 Kapittel Mltiple Integals Nå man be metoden med iemann-smme i pasis e det et spøsmål ho stoe etangle man sal bentte. Teoetis il man få bede esltat jo minde etangle. Man an sie lim n n f A Denne gensen il gi en esat edi a integalet lim n n A f f da I pasis il man imidletid ie nne jobbe med endelig mange etangle. His i an finne gense fo lim n n f A sie i at fnsjonen f e integabel om gensen fo det doble integalet sies f da elle f dd

3 Kapittel Mltiple Integals Doble integale som olme Nå f e en positi fnsjon oe et etanglæt omåde i --planet an i se på det doble integalet som et olm i te dimensjone. He del i f n A e i smmen lim n f A e et olm.

4 Kapittel Mltiple Integals Fbini s teoem fo å beegne doble integale Vi ønse å finne olmet nde planet f = 8 : // Fige. og.5 ie samme som i esempel. Figen ise f i et z-oodinatsstem. Volmet e da V A d Ho A 8 d Integalet an da sies V 8 d d

5 Kapittel Mltiple Integals 5 Utegning gi d dd V 8 8 d d 6 / 8 / d Uttet med to integale 8 d d Ha gitt oppha til ttet iteet integasjon. Med dette menes gjentatt integasjon.

6 Kapittel Mltiple Integals 6 I esempelet på foige side integete i føst med tane på og deette. 8 d d Ha il esltatet bli om i bttet om eefølgen? 8 d d Utegning gi d dd 8 8 d d d Vi fi samme sa som på foige side. Dette e i oeensstemmelse med Fbinis teoem Teoem Fbini s teoem His f e ontinelig oe en etanglæ egion : a b c d da e b a d c d c b a d d f d d f da f

7 Kapittel Mltiple Integals 7 Esempel Finn olmet nde paaboloiden f = + : - - Tegn fig a egionen og f d d d d f d d d d 8 Pøe Fbinis teoem d d dd f d d d d 8

8 Kapittel Mltiple Integals. Doble integale oe geneelle egione I dette asnittet sal i definee og ealee doble integale oe bnnede egione i planet. Siden egione fo integasjon an ha ande gense enn ette linje som e paallelle med oodinatasene il gensen ofte inneholde aiable og ie bae onstante. Doble integale oe bnnede ie etanglæe egione Vi sal nå definee et dobbelt integal på en fnsjon f oe en bndet ie etanglæ egion som an se t som følgende Vi dele opp i små etangle som ha bedde og lengde. A = // Et lite etangel bestå a mange små etangle med aeal A. Integalet an nå tilnæmes med S n n f A Alle A il ie ligge i. Men ed å gjøe A små il tilnæmingen bli god. Denne gensen il gi en esat edi a integalet lim n A n f f da 8

9 Kapittel Mltiple Integals Volme His f e positi og ontinelig oe definee i olmet mellom og oeflaten til å æe f da 9

10 Kapittel Mltiple Integals Vi sal se på integalet fo følgende egion Fo denne egionen i -planet som e bndet a g og g il aealet fa -planet til z se fig. oe æe g g d f A Fo å finne olmet an i nå integee en gang til d d f d A V b a g g b a Vi an på linende måte beegne integalet fo følgende egion Fo denne egionen i -planet som e bndet a h og h il aealet til -planet til z æe d f A h h

11 Kapittel Mltiple Integals Fo å finne olmet an i nå integee en gang til d d f d A V d c h h d c Teoem Fbinis teoem stengee fom La f æe ontinelig på egionen.. His e definet ed a b g g med g og g ontinelige på [a b] da e b a g g d d f da f. His e definet ed c d h h med h og h ontinelige på [c d] da e d c h h d d f da f

12 Kapittel Mltiple Integals Esempel Finn olmet til pismet som e bndet a tiangelet = og = i -planet og som ligge nde en z = f = 8 // Fig. ie den samme som i esempel.

13 Kapittel Mltiple Integals I te dimensjone d d V 8 d d d Vi sn på eefølgen og integee med tane på føst d d V 8 d d d d

14 Kapittel Mltiple Integals Esempel Beegne integalet sin da ho e teanten i -planet nde = og mellom = og = Vi integee føst med tane på og deette på sin sin d d sin d d cos cos cos.5. 6 Vi sn så på integalet og integee føst med tane på og deette på d d sin Dette integalet lae i ie da i ie jenne den anti deiete til sin /.

15 Kapittel Mltiple Integals Å finne gense fo integasjon Vi sal nå se på en femgangsmåte fo å finne gense fo integasjon som an benttes fo mange egione i planet. Me omplese egione som denne femgangsmåten ie lae diete an ofte deles opp i enlee egione som femgangsmåten an lae. Vetial etning Nå man sal ealee f da Intege føst med tane på og deette med tane på. Gjø følgende sitt. Tegn! Tegn egionen som sal integees si tt fo ene som omgi egionen.. Finn gensene fo integasjonen i -etning. Foestill deg en etial linje L som tte opp i -etningen. Me -ediene de L gå inn i og de L folate. Dette e gensene fo integasjonen i -etning som anligis e fnsjone a.. Finn gensene fo integasjonen i -etning. Bestem gensene fo integasjonen i -etning som inldee alle etiale linje gjennom. 5

16 Kapittel Mltiple Integals Esempel etial etning Ønse å integee en fnsjon f i en egion i -planet. egionen sal ligge mellom sielen + = og linjen + =.. Tegn egionen.. Finn gensene fo integasjonen i -etning etial L.. Finn gensene fo integasjonen i -etning etial L. 6

17 Kapittel Mltiple Integals 7 Minste = og støste =. d d f da f Hoisontal etning Esempelet oe med hoisontal etning fo linjen L d d f da f Esempel Ønse å integee en fnsjon f i en egion i -planet. egionen sal ligge mellom ot tet = og linjen = /.. Tegn egionen.

18 Kapittel Mltiple Integals. Finn gensene fo integasjonen i -etning etial L. L state i = / og folate i =. Finn gensene fo integasjonen i -etning etial L. Minste = og støste =. f da / f d d 8

19 Kapittel Mltiple Integals Hoisontal etning Esempelet oe med hoisontal etning fo linjen L Minste = og støste =. L state i = og folate i = Dette gi integalet f da f d d 9

20 Kapittel Mltiple Integals Egensape ed doble integale Doble integale ha på samme måte som enle integale algebaise egensape som e nttige nå man sal tføe beegninge. His f og g e ontinelige på en bndet egion da gjelde følgende. cf da c f da fo alle c. g da f da f g da. Domineing a f da his f på b f da g da his f g på. f da f da f da His e nionen a og Esempel Finn olmet a figen som ligge nde flaten z = 5 og oe egionen i -planet bndet a = og =. Tegning a egionen. Minste = og støste =. L state i = og folate i =.

21 Kapittel Mltiple Integals Tegning a egionen til figen. d d 5 d d d

22 Kapittel Mltiple Integals. Aeale ed dobbel integasjon Vi ha sett på dobbel integasjon a olme med f da Denne integasjonsfomelen an også bes ed integasjon a aeale. Dette gjøes ganse enelt ed å sette f = i fomelen. A da Esempel Ønse å finne aealet a en egion i -planet. egionen sal ligge mellom sielen = og linjen =.. Tegn egionen.. Finn gensene fo integasjonen i -etning etial L. L state i = og folate i =. Finn gensene fo integasjonen i -etning etial L. -etning state i = og til = Dette gi integalet

23 Kapittel Mltiple Integals d d da d d d d 8 8 Esempel Ønse å finne aealet a en egion i -planet. egionen sal ligge mellom = e og linjen = - på inteallet [ ].. Tegn egionen.. Finn gensene fo integasjonen i -etning etial L. L state i = - og folate i = e. Finn gensene fo integasjonen i -etning etial L. -etning state i = og til =

24 Kapittel Mltiple Integals Dette gi integalet d d da e d e d d d e e e e e e e Gjennomsnittedi fo en fnsjon Gjennomsnittsedien fo en fnsjon a en aiabel på et let inteall e integalet a fnsjonen diidet med lengden a inteallet. Gjennomsnittsedien fo en fnsjon a to aiable på et let inteall e integalet a fnsjonen diidet med aealet til egionen. da f til aealet oe f a Gjennomsnittedien Esempel Finn gjennomsnittsedien fo f = cos oe etangelet : π. d d cos cos sin sin d d Aeal = lengde høde = π = π Gjennomsnittsedien a f oe = / π

25 Kapittel Mltiple Integals. Doble integale i pola fom Noen integale bli lettee å tføe his i sifte til pola oodinate. Integale i pola oodinate Anta at en fnsjon f e definet på en egion som e bndet linje = og = og de ontinelige fnsjonene = g og = g. Anta også at g g a fo alle edie a mellom og. ligge da i en setofomet egion Q definet a a og. bli delt opp i aealene A A A A A5 An Astanden fo aealene fa oigo e 5 Vinelastanden e = = + = + = + = + =. Integalet oe egionen an nå tilnæmes ed S n n f A Og i ha at lim S f da n n 5

26 Kapittel Mltiple Integals 6 Vi sal se næmee på et aeal A Aealet til seto e A = / Dette gi at aealet til inde sielen e og at aealet til te sielen e Dette gi at aealet til A e A A Innsatt i fomelen fo smmen fo S n gi dette n n f S Og i ha at n n d d f S lim Integalet an sies d d f d d f g g

27 Kapittel Mltiple Integals Finne gense fo integasjonen Fo å finne gense fo integasjon an bentte metode som i etanglæe oodinate. Intege føst med tane på og deette med tane på. Gjø følgende sitt. Tegn! Tegn egionen som sal integees si tt fo ene som omgi egionen.. Finn -gensene fo integasjonen. Foestill deg en etial linje L som tte opp i etning med øende. Me -ediene de L gå inn i og de L folate. Dette e gensene fo integasjonen i -etning som anligis e fnsjone a.. Finn -gensene fo integasjonen. Bestem minste og støste -edie i. 7

28 Kapittel Mltiple Integals Integalet bli da f d d g g f d d Esempel Finn gensene fo integasjon fo å integee f oe egionen som e mellom adioiden = + cos og sielen =.. Tegne føst egionen som sal integees.. Finne -gensene fo integasjonen. Tegne en etial linje L som tte opp i etning med øende. L state i = og gå t i = + cos.. Finn -gensene fo integasjonen. Minste og støste -edie i. gå fa π/ til π/. Dette gi integalet / / cos f d d 8

29 Kapittel Mltiple Integals Esempel Finn gensene fo integasjon fo å integee f oe egionen som ligge innenfo = cos NB! Sal beegne integalet fo hele figen ie bae maet omåde.. Tegne føst egionen som sal integees.. Finne -gensene fo integasjonen. Tegne en etial linje L som tte opp i etning med øende. L state i = og gå t i cos. Finn -gensene fo integasjonen. Minste og støste -edie i. gå fa π/ til π/. cos = = π/ Dette gi integalet / cos d d / cos / d cos d sin / 9

30 Kapittel Mltiple Integals Tansfomee fa atesise oodinate til polae oodinate Å tansfomee et atesis integal f d d til et integal i polae oodinate innebæe to sitt. Btt t og med = cos og = sin. Btt t polae genseedien istedenfo genseedie med og. Integalet an da sies f d d G e he egionen i polae oodinate. G f cos sin d d Esempel Beegne integalet e d d Ho e halsielen bndet a -asen og en Dette integalet e anselig i atesise oodinate så i sifte til polae oodinate. e d d e d d e d e d e

31 Kapittel Mltiple Integals Esempel Beegne olmet til en slinde gitt ed + = og som e bndet a - planet og z =. adis = og høde = fo slindeen. Det il si at f = adien gå fa til og inelen gå fa til π. Dette gi integalet f da d d d d Dette stemme da olm slinde e V = π h. V

32 Kapittel Mltiple Integals Esempel B pola oodinate til å finne aealet til egionen i --planet som e bndet a sielen + = oe linjen og nde linjen = = sin = csc sin sin 6 sin / / / da d d d / 6 csc / 6 csc / 6 csc d / / 6 cot 6 csc sin cot tan sec cos sin tan cos

33 Kapittel Mltiple Integals.5 Tiple integale i etanglæ fom Tiple integale benttes gjene til å beegne olme og gjennomsnittsedien til en fnsjon i en tedimensjonal egion. Tiple integale His F z e en fnsjon definet på en let bndet egion D i ommet an integalet definees på følgende måte. Vi dele egionen D opp i etanglæe bose. Disse bosene nmmeees fa til n. Volmet til he bos e gitt ed V = z Vi elge et pnt z i he bos og få smmen S n n F z V His olmet til bosene gjøes minde og minde få i lim S F z dv n n D

34 Kapittel Mltiple Integals Volmet til en egion i ommet His F e en onstant fnsjon med edi e li il liningen fo integalet bli S n n F z V n V n V Nå V = z bli minde og minde il tilpasningen til D bli bede. Dette gi lim n n V D dv Definisjon Volmet til en let bndet egion D i ommet e V D dv Å finne gense fo integasjon i eefølgen d d dz Nå i sal ealee et integal på fomen V D dv integee i føst med tane på z så på og sist på. Vi an btte om på eefølgen men posessen bli den samme. Følgende gi en besielse a femgangsmåten i an be.

35 Kapittel Mltiple Integals 5

36 Kapittel Mltiple Integals. Tegn egionen D sammen med dens sgge i -planet. Si inn oeflatene som gi nede og øe gense fo D. Si inn ene som gi nede og øe gense fo.. Finn z-gensene fo integasjonen. Tegn en linje M som gå gjennom et tpis pnt i paallell til z-asen. Nå z øe gå M gjennom z = f og z = f. 6

37 Kapittel Mltiple Integals. Finn -gensene fo integasjonen. Tegn en linje L som gå gjennom i paallell til -asen. Nå øe gå L gjennom = g og = g. Dette e -gensene fo integasjonen.. Finn -gensene fo integasjonen. Finn minste og støste edi langs -asen. I figen oe e dette =a og = b. Integalet e nå gitt ed b g z f a g z f F z dz d d Denne femgangsmåten gjelde nå solid egion D e bndet oe og nde en oeflate og nå sggen e bndet a en e oe og en e nde. 7

38 Kapittel Mltiple Integals Esempel Finn olmet a egionen D mellom z = og z = + + Volmet e V D dz d d I z-etning e gensene fo integalet z = og z = + + Gensene fo integalet i -etning og -etning finne i ed å sette = = + + = Gensene fo integalet i -etning e defo og Gensene fo integalet i -etning e = - til = 8

39 Kapittel Mltiple Integals 9 Integalet bli dz d d dz d d V D d d d d z dz d d 8 d 8 d 8 8

40 Kapittel Mltiple Integals d 6 d d d 8 = sin d = cos d d d d cos cos 8 cos sin cos 8 d Table of Integals n. 68 læebo.

41 Kapittel Mltiple Integals Esempel Finn olmet til det teantede legemet D med sideante og. B integasjonseefølgen d dz d.. Tegn. Linjen M state i = + z og gå t i =.. Linjen L state i z = og gå t i + z =. Dette gi integalet d dz z dz d d dz d z z d d d z z 6 6

42 Kapittel Mltiple Integals Gjennomsnittsedien fo en fnsjon i ommet Gjennomsnittsedien fo en fnsjon oe en egion D i ommet e gitt ed fomelen Gjennomsnittedien a F oe D olmet til D D F dv Esempel Finn gjennomsnittsedien fo F z = + + z på ben bndet a planene = = og z =. z dz d d z z z d d d d d d Volm be = = Gjennomsnittsedien fo F z bli defo også / G = I/V = // = /

43 Kapittel Mltiple Integals.6 Moment og masse sente Vi sal nå se på hodan beegne masse og momente fo to og te dimensjonale objete i atesise oodinate. Masse og føste moment Ønse i å beegne massen til et legeme an i be Masse = olm tetthet Denne fomelen fotsette onstant tetthet i legemet. His tettheten aie i legemet og i jenne en fnsjon z som besie tettheten an i finne massen ed integasjon M z dv D Det føste momentet om en solid egion D ndt et oodinatplan e definet som et tippelintegal oe D i astand fa planet mltipliset med tettheten til legemet i pntet. Fo esempel e det føste momentet om z-planet følgende integal M z dv z D Masse senteet an beegnes med følgende fomel M M z M M z

44 Kapittel Mltiple Integals Esempel Finn masse senteet fo en omfig med onstant tetthet med øe gense a z = 9 og nede gense -planet. // Ie samme fig som i esempel Vi ha ed smmeti at og. Vi sal defo beegne z M M M z dz d d og D D M dz d d M 9 z dz d d z 9 d d 9 d d 9 d d d d 6 6 En linende beegning gi massen M 9 dz d d 9 z d d 9 d d

45 Kapittel Mltiple Integals 9 d d d d M z M 79 8 Tabell med føste moment fomle Fomle fo tedimensjonale fige Masse: M dz d d D Føste moment om oodinatase: Masse sente: M z dz d d M z dz d d D D D M z dz d d M M z M M z z M M Fomle fo todimensjonale fige Masse: M da Føste moment om oodinatase: Masse sente: M da M da M M M M 5

46 Kapittel Mltiple Integals Esempel Vi sal også ta et esempel på å beegne masse sente i to dimensjone. Gitt teanten mellom -asen og linjen = fa = til = og med =. M da d d d d M da d d d d M da d d d d 6 6 M M M M 6 6 6

47 Kapittel Mltiple Integals Teghetsmoment Teghetsmoment = Moments of Inetia Fo å state et tog med masse m som beege seg i lineæ hastighet må i tilføe inetis enegi som e li KE = /m Sal i state å otee et legeme ndt en linje L som ha teghetsmoment I må i tilføe inetis enegi som e li KE = / I I = teghetsmomentet = inelhastigheten ndt linjen Et legeme an deies om alle ase samt en ilålig line. Fo å deie et legeme må tilføe enegien KE = / I Vi må da beegne teghetsmomentet fo figen. I L dv Dette e fomelen fo en linje. ndt -asen an man sie fomelen. I z dv + z = 7

48 Kapittel Mltiple Integals Fomle fo teghetsmomente Tedimensjonale omfige ndt -asen: I z ndt -asen: I z ndt z-asen: I z dv dv dv ndt en linje L: I L dv z ast fa z til L Todimensjonale plate ndt -asen: ndt -asen: I I da da ndt en linje L: I L da ast fa til L ndt oigo: I da I I 8

49 Kapittel Mltiple Integals 9 Esempel Sal beegne teghetsmomentet ndt -asen fo en be med lengde = = og z =. Tettheten e onstant. KE = / I I = teghetsmomentet = inelhastigheten ndt linjen d dz d z dv z I d d d d z z I d d I

50 Kapittel Mltiple Integals.7 Tiple integale i slindise og le oodinate Nå et integal inneholde en slinde jegle elle en le an det æe lettee å tansfomee integalet til slindise oodinate elle le oodinate. Integasjon i slindise oodinate Vi få slindise oodinate ed å ombinee polae oodinate i -planet med z-asen. Definisjon Slindise oodinate epesentee et pnt P i ommet ttt ed z ho. og e polae oodinate i -planet. z e den samme etiale oodinaten som i atesise oodinate. Lininge som ise foholdet mellom z og slindise z oodinate = cos = sin z = z = + tan = / 5

51 Kapittel Mltiple Integals 5 Esemple på lininge i slindise oodinate I slindise oodinate il liningen = a gi en slinde ndt z-asen. Liningen = il besie et plan som inneholde z-asen. Liningen z = a il besie et plan paallelt med -planet og med høde a langs z-asen. Visaliseing a slindise oodinate Slindeen deles opp i mange små bloe A = / Inde adis Yte adis A A Fo et pnt z il A = V = z

52 Kapittel Mltiple Integals iemann smmen a en fnsjon bli da S n f z z Dette gi integalet nå n gå mot endelig lim S n n D f dv D f dz d d Esempel Finn olmet a figen bndet a planet z = paaboloiden z = + og slindeen + =. + = + + = sin = = sin. Tegn. z = til z =. = til = sin. = til = π z = + -> z = 5

53 Kapittel Mltiple Integals Dette gi integalet sin dz d d sin z sin sin d d d d d sin d sin d Be fomelen // Se tabell fo integasjone ba i læebo sin n Dette gi at sin d n cos n n n sin n d sin d Hodan integee i slindise oodinate D Fo å ealee f z dv oe en egion D i slindise oodinate intege føst med tane på z denest på tane på og til sltt med tane på. B følgende sitt 5

54 Kapittel Mltiple Integals. Tegn egionen D sammen med dens sgge i -planet. Si inn oeflatene som gi nede og øe gense fo D. Si inn ene som gi nede og øe gense fo.. Finn z-gensene fo integasjonen. Tegn en linje M som gå gjennom et tpis pnt i paallell til z-asen. Nå z øe gå M gjennom z = g og z = g. 5

55 Kapittel Mltiple Integals. Finn -gensene fo integasjonen. Tegn en linje L gjennom fa oigo. Nå øe gå L gjennom = h og = h. Dette e -gensene fo integasjonen.. Finn -gensene fo integasjonen. Fltt L oe hele. Vinelen L gjø med positi -ase gå fa = til =. Dette e -gensene fo integasjonen. Esempel Finn tngdepntet the centoid = fo figen bndet a slindeen + = og Paaboloiden z = + og oe -planet.. Tegn figen z = z = og = 55

56 Kapittel Mltiple Integals. Finn z-gensene fo integasjonen. Tegn en linje M som gå gjennom et tpis pnt i paallell til z-asen. Nå z øe gå M fa z = til z =.. Finn -gensene fo integasjonen. Tegn en linje L gjennom fa oigo. Nå øe gå L fa = til =.. Finn -gensene fo integasjonen. Fltt L oe hele. Vinelen L lage gå fa = til = π. M M z dz d d z d d 6 d 6 d 5 d d M dz d d z d d d d d d 8 z M M 8 ed smmeti. Massesente = / 56

57 Kapittel Mltiple Integals Kle oodinate og integasjon Kle oodinate loalisee pnte ed hjelp a to inle og en astand. Definisjon Kle oodinate epesentee et pnt P i ommet odnet ed ho. e astanden fa oigo til pntet P.. e inelen OP til z-asen. π.. e samme inelen som i slinde oodinate. π. Esemple på lininge i le oodinate I slindise oodinate il liningen = a en le med adis a. Liningen = il besie en jegle med sentm i oigo. Liningen = il besie et plan som inneholde z-asen. 57

58 Kapittel Mltiple Integals Lininge eleante fo le oodinate i fohold til atesise og slindise oodinate = sin z = cos = cos = sin cos = sin = sin sin z z 58

59 Kapittel Mltiple Integals Esempel Finn le oodinate fo len + + z = = sin cos = sin sin z = cos Vi sette inn fo og z sin cos + sin sin + cos = sin cos + sin + cos cos + = sin +cos cos = cos = = cos π/ Vinelen aiee fa på Nodpolen til len til π/ på sdpolen. Vinelen e ie med i liningen fo len pga smmeti om z-asen. 59

60 Kapittel Mltiple Integals Esempel Finn le oodinatene til jeglen z Vi sette inn fo og z = sin cos = sin sin z = cos cos sin cos sin cos sin 6

61 Kapittel Mltiple Integals Visaliseing a le oodinate Klen deles opp i mange små bloe Fo et pnt il V = sin Den tilhøende iemann smmen il æe S n n f Integalet bli da sin lim S n n dv f f D D sin d d d Vi ha i leoodinate at dv sin d d d Hodan integee i le oodinate D Fo å ealee f dv oe en egion D i le oodinate intege føst med tane på denest på tane på og til sltt med tane på. B følgende sitt 6

62 Kapittel Mltiple Integals. Tegn egionen D sammen med dens sgge i -planet. Si inn oeflatene som gi nede og øe gense fo D.. Finn -gensene fo integasjonen. Tegn en linje M som gjø en inel med den positie z-asen. Tegn også pojesjonen a D ned på -planet. Linjen L danne en inel med positi -ase. Nå M stige gå den inn i = g og t i = g. Dette e -gensene fo integasjonen.. Finn -gensene fo integasjonen. Fo hilen som helst il inelen som M gjø med z-asen gå fa = min til = mas. Dette e -gensene fo integasjonen.. Finn -gensene fo integasjonen. Fltt L oe hele. Vinelen L gjø med positi -ase gå fa = til =. Dette e -gensene fo integasjonen. 6

63 Kapittel Mltiple Integals Integalet bli dv f f D D sin d d d Esempel Finn olmet til en isem jegle som e bndet a og jeglen = π/.. Tegn figen. Finn -gensene fo integasjonen. Tegn en linje M som gjø en inel med den positie z-asen. Tegn også pojesjonen a D ned på -planet. Linjen L danne en inel med positi -ase. Nå M stige gå den inn i = og t i =. -gensene fo integasjonen fa = til =.. Finn -gensene fo integasjonen. Fo hilen som helst il inelen som M gjø med z-asen gå den fa = til = π/. -gensene fo integasjonen e fa = til = π/.. Finn -gensene fo integasjonen. Fltt L oe hele. Vinelen L gjø med positi -ase gå fa = til = π. -gensene fo integasjonen e fa = til = π. 6

64 Kapittel Mltiple Integals 6 / sin sin d d d d d d V D d d d d d V / / / cos sin sin d d V

65 Kapittel Mltiple Integals.8 Sbstitsjone i mltiple integale I dette apitelet sal i se på hodan tansfomee et integal fa et oodinatsstem til et annet. Vi il ende integale ed sbstitsjone. Hensiten med dette e å gjøe integalet lettee å ealee. Sbstitsjone i doble integale Sett at en egion G i -planet an tansfomees til en egion i -planet ed følgende lininge = g = h Vi alle bildet a G nde tansfomasjonen. He fnsjon f definet på an tenes som en fnsjon fg h i G. Foholdet mellom et integal i og G an ttes f d d f g h J G d d J alles den jaobise deteminanten til oodinat tansfomasjonen. 65

66 Kapittel Mltiple Integals 66 Definisjon Den jaobise deteminanten til oodinat tansfomasjonen = g og = h e J Den jaobise deteminanten an sies på en enlee fom J Esempel Finn den jaobise deteminanten fo pola oodinattansfomasjonen = cos = sin og si integalet i atesise oodinate i pola oodinate.

67 Kapittel Mltiple Integals Fo polae oodinate ha i og istedenfo og. Med = cos og = sin få i J cos sin sin cos cos sin Sette dette esltatet inn i integalet f d d f g h J G d d Og få f d d f cos sin d d G Esempel Beegne integalet / / d d : / / + // Tegn Fo å foenle integalet an i be tansfomasjonene 67

68 Kapittel Mltiple Integals 68 Vi ha at = + = Vi må finne gensene fo G ed å sette disse ttene inn i gensene fo = / + = / = = / + + = / + = = = = = = = Sal så finne den jaobise deteminanten J Dette gi integalet / / d d d d J d d d d d d

69 Kapittel Mltiple Integals Esempel Beegne integalet d d : // Tegn Fo å foenle integalet an i be tansfomasjonene = + = Dette gi ed maniplasjon at = / / = / + / Vi må finne gensene fo G ed å sette disse ttene inn i gensene fo + = / / + / + / = = = / / = = = / + / = = - 69

70 Kapittel Mltiple Integals 7 J d d J d d d d d d 8 9 d d d d d Esempel Beegne integalet d d e / Fo å foenle integalet an i be tansfomasjonene Dette gi ed maniplasjon at = / =

71 Kapittel Mltiple Integals 7 Vi må finne gensene fo G ed å sette disse ttene inn i gensene fo = = / = = / = = = = = J d d e d d e d d e / / / d e d e e d e / // delis integasjon e e e e e e e

72 Kapittel Mltiple Integals 7 Sbstitsjone i tiple integale Sett at en egion G i et w-om tansfomees en til en til en egion D i z-ommet på fomen = g w = h w z = w Da an fnsjonen F z define på D bli sett på fnsjonen Fg w h w w = H w His g h ha ontinelige deiete an et integal a F z på D sies som et integal i G som d d dw w J w H d d dz z F G D Den jaobise deteminanten J w e w z w z z z w w w J

73 Kapittel Mltiple Integals 7 Tansfomasjonen fa atesise oodinate til slindise oodinate = cos = sin z = z Den jaobise deteminanten til tansfomasjonen e z z z z z z z J sin cos cos sin sin cos Dette gi integalet dz d d z H d d dz z F G D

74 Kapittel Mltiple Integals 7 Tansfomasjonen fa atesise oodinate til le oodinate Vi sal se på tansfomasjonen fa atesise oodinate til le oodinate Foholdet mellom atesise oodinate og le oodinate a = sin cos = sin sin z = cos Den jaobise deteminanten til tansfomasjonen e sin z z z J Dette gi integalet d d d H d d dz z F G D sin

75 Kapittel Mltiple Integals Esempel Beegne integalet z z d d dz z / D: z / / + // Tegn D Fo å foenle integalet an i be tansfomasjonene = / = / w = z/ Dette gi ed maniplasjon at = + = z = w 75

76 Kapittel Mltiple Integals 76 = + = z = w Vi må finne gensene fo G ed å sette disse ttene inn i gensene fo = / + = / = = = / + + = / + = + = = = = = = = z = w = w = z = w = w = 6 w z z z w w w J z w d d dw w J w dd dz z z z / d dw w d d dw w 6 6 dw w dw w d dw w w w

15.1 Linje integraler

15.1 Linje integraler Kapittel 5 Integasjon i etofelt I dette apitlet sal i tide teoien om integasjon til e og oeflate i ommet. Denne teoien gi stee matematise etø fo itensap og ingeniøe. Linjeintegale bli bt til å finne abeid

Detaljer

Fysikkolympiaden Norsk finale 2010

Fysikkolympiaden Norsk finale 2010 Uniesitetet i Oslo Nosk Fysikklæefoening Fysikkolympiaden Nosk finale. ttakingsnde Fedag 6. mas kl 9. til. Hjelpemidle: abell/fomelsamling, lommeegne og tdelt fomelak Oppgaesettet bestå a 6 oppgae på side

Detaljer

FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG UNIVERITETET I GDER Gimstad E K M E N O P P G V E : G: M-9 Matematikk LÆRER: Pe Henik Hogstad Klasse: Dato: 8..8 Eksamenstid fa-til: 9.. Eksamensoppgaven bestå av følgende ntall side: 6 inkl. foside vedlegg

Detaljer

FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG UNIVERITETET I AGDER Gimstad E K A M E N O P P G A V E : FAG: MA-9 Matematikk ÆRER: Pe enik ogstad Klasse: Dato:.6. Eksamenstid fa-til: 9.. Eksamensoppgaven bestå av følgende Antall side: 5 inkl. foside

Detaljer

FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG UNIEITETET I GDE Gimsta E K M E N O P P G E : FG: M-9 Matematikk LÆE: Pe Henik Hogsta Klasse: Dato: 8.5. Eksamensti fa-til: 9.. Eksamensoppgaen bestå a følgene ntall sie: 5 inkl. fosie elegg ntall oppgae:

Detaljer

Fysikk 2 Eksamen høsten Løsningsforslag

Fysikk 2 Eksamen høsten Løsningsforslag Fysi - Løsningsfoslag Oppgae 1 a) B b) B Vi se på eftene på lossen so ie i y-etning (noalt på såplanet). y N G y N G N G cos y N g cos Vi se på eftene på lossen so ie i -etning (langs planet). G R Gsin

Detaljer

c) etingelsen fo at det elektiske feltet E e otasjonsinvaiant om x-aksen e, med E og ee som denet ovenfo, at e E = E. Dette skal gjelde fo en vilkalig

c) etingelsen fo at det elektiske feltet E e otasjonsinvaiant om x-aksen e, med E og ee som denet ovenfo, at e E = E. Dette skal gjelde fo en vilkalig Eksamen i klassisk feltteoi, fag 74 5, 4. august 995 Lsninge a) Koodinatene x; y; z tansfomees slik x 7 bx = x; y 7 by = y cos, z sin ; z 7 by = y sin + z cos Den invese tansfomasjonen e en otasjon en

Detaljer

Fysikkolympiaden Norsk finale 2016

Fysikkolympiaden Norsk finale 2016 Nosk fysikklæefoening Fysikkolypiaden Nosk finale 16 Fedag 8. apil kl. 9. til 11.3 Hjelpeidle: abell/foelsaling, loeegne og utdelt foelak Oppgaesettet bestå a 6 oppgae på side Lykke til! Oppgae 1 En patikkel

Detaljer

( 6z + 3z 2 ) dz = = 4. (xi + zj) 3 i + 2 ) 3 x x 4 9 y. 3 (6 2y) (6 2y)2 4 y(6 2y)

( 6z + 3z 2 ) dz = = 4. (xi + zj) 3 i + 2 ) 3 x x 4 9 y. 3 (6 2y) (6 2y)2 4 y(6 2y) TMA415 Matematikk 2 Vå 215 Noges teknisk natuvitenskapelige univesitet Institutt fo matematiske fag Løsningsfoslag Øving 11 Alle oppgavenumme efeee til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete Couse.

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner

Newtons lover i to og tre dimensjoner Newtons love i to og te dimensjone 7..13 innleveing: buk iktige boks! FYS-MEK 111 7..13 1 Skått kast kontaktkaft: luftmotstand langtekkende kaft: gavitasjon initialbetingelse: () v() v v cos( α ) iˆ +

Detaljer

Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 14 (12).

Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 14 (12). Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () For å gi et inntrkk a integrasjonsrekkefølgens betdning er oppgaene fra asnitt løst på begge måtene Vi får forskjellige ttrkk ahengig a integrasjonsrekkefølgen

Detaljer

Fysikk 2 Eksamen våren Løsningsforslag

Fysikk 2 Eksamen våren Løsningsforslag Fysi - Løsningsfoslag Ogae a) Wb B B Enhet: [ ] b) D Vi finne aaetefastillingen fo aseleasjonen ed å deiee to gange. x a x x x y 8 a y y y c) D Den salede inetise enegien oe fa endingen i otensiell enegi

Detaljer

Realstart og Teknostart ROTASJONSFYSIKK. PROSJEKTOPPGAVE for BFY, MLREAL og MTFYMA

Realstart og Teknostart ROTASJONSFYSIKK. PROSJEKTOPPGAVE for BFY, MLREAL og MTFYMA FY1001 og TFY4145 Mekanisk fysikk Institutt fo fysikk, august 2014 Realstat og Teknostat ROTASJONSFYSIKK PROSJEKTOPPGAVE fo BFY, MLREAL og MTFYMA Mål Dee skal i denne posjektoppgaen utfoske egenskape til

Detaljer

Forelesning 9/ ved Karsten Trulsen

Forelesning 9/ ved Karsten Trulsen Foelesning 9/2 218 ved Kasten Tulsen Husk fa sist våe to spøsmål om kuveintegale: Desom vi skal beegne et kuveintegal som state i et punkt og ende opp i et annet punkt 1, så kan det væe mange veie fo å

Detaljer

Fysikk 2 Eksamen høsten Løsningsforslag

Fysikk 2 Eksamen høsten Løsningsforslag Fysi - Løsningsfoslag Ogae a) A Siden BA B, il enheten fo flus unne sies so A Wb T b) C Ved å bue Newtons. lo i fobindelse ed satellittbeegelse få i 4π F a de a og F G T 4π M G de G T M 4π T 3 4π T M Rundetiden

Detaljer

NORSK TEKSTARKIV J o s t e in H. Hauge

NORSK TEKSTARKIV J o s t e in H. Hauge NAVF'S EDB-SENTER FOR HUMANISTISK FORSKNING V IL L A V E I 1 0, POSTBOKS 53 50 1 4 BERG EN-UNIVERSITETET 7 O k to b e r 1979 NORSK TEKSTARKIV J o s t e in H. Hauge 1. FO RHISTORIE D a ta m a s k in e ll

Detaljer

Kap 12 Fluid mekanikk

Kap 12 Fluid mekanikk Ka Fluid mekanikk Hdostatikk. Atmosfæetkket e å k. a Ho ø annsøle sae til dette tkket? b Ho ø kikksølsøle sae til dette tkket? Tetteten til ann o kikksøl e enoldis. k/m o.6 k/m.. Bestem tkket å metes dbde

Detaljer

3rd Nordic Conference of Computational Linguistics NODALIDA 1981 137

3rd Nordic Conference of Computational Linguistics NODALIDA 1981 137 137 Anne G olden N orsk u n d erv i sn in ijen fo r u te n la n d s k e s t u d e n te r U n i v e r s i t e t e t i O slo PRESENTASJON AV PROSJEKTET LÆREBOKSPRM N å r d e f r e n u nedspråkliye e l e

Detaljer

Eksamen TFY 4240: Elektromagnetisk teori

Eksamen TFY 4240: Elektromagnetisk teori NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt unde eksamen: Ola Hundei, tlf. 93411 (mobil: 95143671) Eksamen TFY 4240: Elektomagnetisk teoi 8 desembe 2007 kl. 09.00-13.00

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i FY101 Elektromagnetisme torsdag 12. desember 2002

Løsningsforslag for eksamen i FY101 Elektromagnetisme torsdag 12. desember 2002 Løsningsfoslag fo eksamen i FY Elektomagnetisme tosdag. desembe Ved sensueing vil alle delspøsmål i utgangspunktet bli gitt samme vekt (uavhengig av oppgavenumme), men vi fobeholde oss etten til justeinge.

Detaljer

Rekursjon og induksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis. Induksjonsbevis. Eksempel (Fortsatt) Eksempel

Rekursjon og induksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis. Induksjonsbevis. Eksempel (Fortsatt) Eksempel Reursjon og indusjon MAT1030 Disret matemati Forelesning 15: Indusjon og reursjon, reurenslininger Dag Normann Matematis Institutt, Universitetet i Oslo 3 mars 008 Onsdag ga vi endel esempler på reursive

Detaljer

Mandag E = V. y ŷ + V ẑ (kartesiske koordinater) r sin θ φ ˆφ (kulekoordinater)

Mandag E = V. y ŷ + V ẑ (kartesiske koordinater) r sin θ φ ˆφ (kulekoordinater) Institutt fo fysikk, NTNU TFY4155/FY13: Elektisitet og magnetisme Vå 26, uke 6 Mandag 6.2.6 Beegning av E fa V [FGT 24.4; YF 23.5; TM 23.3; F 21.1; LHL 19.9; DJG 2.3.1, 1.2.2] Gadientopeatoen : V = V V

Detaljer

MAT1030 Forelesning 16

MAT1030 Forelesning 16 MAT1030 Forelesning 16 Reursjon og indusjon Roger Antonsen - 17 mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4 Forelesning 16 Reursjon og indusjon Forrige gang ga vi endel esempler på reursive definisjoner og

Detaljer

Fysikk 2 Eksamen høsten Løsningsforslag

Fysikk 2 Eksamen høsten Løsningsforslag Fysikk - Løsningsfoslag Oppgae a) B Beegelsesmengde e gitt som p m og enheten bli defo kgm/s. Samtidig et i at N = kgm/s. Da kan i skie b) C kgm/s kgm/s s N s Vi gi patiklene numme fa til 3, se figuen.

Detaljer

"Kapittel 5 i et nøtteskall"

Kapittel 5 i et nøtteskall Ulve "Kapittel 5 i et øtteskall" (Vesjo 9.01.0 ) Jeg gå he i gjeom alle tekikke/fomle som e elevate i dette kapitlet ved å buke et eksempel side 198 som utgagspukt fo alle tekikkee. Ovesikt ove fomle og

Detaljer

Oppgave 1 Svar KORT på disse oppgavene:

Oppgave 1 Svar KORT på disse oppgavene: Løsningsfoslag til Eksamen i FYS000. juni 0 Oppgae Sa KORT på disse oppgaene: a) En kontinuelig stålingskilde il gi et Planckspektum. Desom den kontinuelige stålingskilden passee gjennom en gass, il stålingen

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsoslg kpittel 3 3.1 ) Uttykket o (den konigusjonelle) entopien S e gitt ved S k ln W, de W uttykke ntll skillbe mikotilstnde. Siden kystllen inneholde n vknse odelt ove N N! N! tomplsse e W og S

Detaljer

Løsning, eksamen 3FY juni 1999

Løsning, eksamen 3FY juni 1999 Løsning, eksamen 3FY juni 1999 Oppgae 1 km/s a) Hubbles lo sie at H, de H. 10 lyså Faten til galaksen e: 3 10 m/s H 5,0 10 7 lyså 1,10 10 m/s 10 lyså b) Dopplefomelen gi oss λ, de c e lysfaten og λ 0 e

Detaljer

n_angle_min.htm

n_angle_min.htm Kp 9 Rotjon 9.1 En ptikkel beege eg i en ikelbne ed kontnt inkelhtighet lik 1. -1. Siule, ål og beegn ho to inkel diuekto h beeget eg i løpet.. Mek: Mek i checkboken D lik t du ende iuleingen f 3D til

Detaljer

Klikk (ctrl + klikk for nytt vindu) for å starte simuleringen i SimReal.

Klikk (ctrl + klikk for nytt vindu) for å starte simuleringen i SimReal. Kp 9 Rotjon 9. En ptikkel beege eg i en ikelbne ed kontnt inkelhtighet lik. -. Siule, ål og beegn ho to inkel diuekto h beeget eg i løpet.. Mek: Mek i checkboken D lik t du ende iuleingen f 3D til D. Fjen

Detaljer

Formelsamling i medisinsk statistikk

Formelsamling i medisinsk statistikk Fomelsamling i medisinsk statistikk Vesjon av 5. juni 2009 Dette e en fomelsamling til O. O. Aalen (ed.): Statistiske metode i medisin og helsefag, Gyldendal, 2006. Mek at boken ha en nettside de det e

Detaljer

Kap Rotasjon av stive legemer

Kap Rotasjon av stive legemer Kap. 9+10 Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ask ekap) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ask ekap) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Rulling Kaftmoment τ Spinn

Detaljer

6. VARMEOVERGANG OG VARMEVEKSLERE

6. VARMEOVERGANG OG VARMEVEKSLERE 6. VMEOVEGNG OG VMEVEKSLEE Kjøg og oppamng på plattfomen Kjøg a bønnstøm fø posesseng/sepaasjon (plattfompodsjon) Oppamng a bønnstøm fø posesseng/sepaasjon (ndeannspodsjon) Kjøg a åolje fø lastng (tl båt)

Detaljer

Høst 95 Ordinær eksamen

Høst 95 Ordinær eksamen Høt 95 Odinæ eken. En ptikkel ed e =.5 kg e i o i oigo ed tiden t =.. Ptikkelen utette (f tiden t =. ) fo en kft F ho koponentene F og F e gitt ed: F = t F = t Kontntene og e gitt ed: = 5. N/ =. N/ ngdekften

Detaljer

Notat i FYS-MEK/F 1110 våren 2006

Notat i FYS-MEK/F 1110 våren 2006 1 Notat i FYS-MEK/F 1110 våen 2006 Rulling og skliing av kule og sylinde Foelest 24. mai 2006 av Ant Inge Vistnes Geneelt Rotasjonsdynamikk e en svæt viktig del av mekanikkuset våt. Dette e nytt stoff

Detaljer

Oppgave 8.12 Gitt en potensialhvirvel med styrke K i origo. Bestem sirkulasjonen ' langs kurven C. Sirkulasjonen er definert som: ' /

Oppgave 8.12 Gitt en potensialhvirvel med styrke K i origo. Bestem sirkulasjonen ' langs kurven C. Sirkulasjonen er definert som: ' / Løsning øving 3 Oppgve 8. Gitt en potensilhvivel med styke i oigo. Bestem sikulsjonen ' lngs kuven C. C y (I oppgven stå det t vi skl gå med klokk, men he h vi gått mot klokk i oveensstemmelse med definisjonen

Detaljer

Fysikk 2 Eksamen våren Løsningsforslag

Fysikk 2 Eksamen våren Løsningsforslag Fysikk - Løsningsfoslag Ogae a) B Siden t, il enheten fo fluks kunne skies so t enheten til esen ultiliset ed enheten til tida, altså Vs. b) D Minial lengde a klasseoet: 0,990 0 9,90 Maksial lengde a klasseoet:,04

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG UNIVESIEE I AGDE Gimsa E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: MA-9 Maemaikk LÆE: Pe Henik Hogsa Klasse: Dao:..5 Eksamensi a-il: 9.. Eksamensoppgaven beså av ølgene Anall sie: 5 inkl. osie velegg Anall oppgave:

Detaljer

Kap Rotasjon av stive legemer

Kap Rotasjon av stive legemer Kap. 9+10 Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ask ekap) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ask ekap) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Rulling Kaftmoment τ Spinn

Detaljer

Arbeid og potensiell energi

Arbeid og potensiell energi Areid og poensiell energi 6..3 YS-ME 6..3 areid:, d ne, ne dr areid-energi eorem, ineis energi: areid er ilfør meanis energi ureinegral langs en ure C sar i r slu i r os: generell ahenger areid a eien!

Detaljer

FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG UNIVESITETET I AGDE Gimsad E S A M E N S O P P G A V E : AG: MA-9 Maemaikk LÆE: Pe Henik Hogsad lasse: Dao: 6.5. Eksamensid a-il: 9.. Eksamensoppgaven beså av ølgende Anall side: 5 inkl. oside vedlegg

Detaljer

Løsning midtveiseksamen H12 AST1100

Løsning midtveiseksamen H12 AST1100 Løsning midtveiseksamen H AST00 Aleksande Seland Setembe 5, 04 Ogave Vi se at kuven fo adiell hastighet e eiodisk og minne om en hamonisk funksjon. Vi kan defo anta at denne stjenen gå i bane undt et felles

Detaljer

Løsning 1 med teori, IM3 høst 2012.

Løsning 1 med teori, IM3 høst 2012. Løsning med teori, IM3 høst Oppgae a) Vi obsererer at ttrkket er bestemt og i ndersøker det først langs koordinataksene Langs - aksen er Innsatt gir dette sin( ), Langs - aksen er Innsatt gir dette sin(

Detaljer

FAG: FYS118 Fysikk LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad Thomas Gjesteland

FAG: FYS118 Fysikk LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad Thomas Gjesteland UNIVESITETET I GDE Giad E K S M E N S O P P G V E : FG: FYS8 Fikk LÆE: Fikk : Pe Henik Hogad Thoa Gjeeland Klae: Dao:.5.6 Ekaenid, fa-il: 9. 4. Ekaenoppgaen beå a følgende nall ide: 6 inkl. foide nall

Detaljer

Løsningsforslag sist oppdatert

Løsningsforslag sist oppdatert Løsningsfoslag sist oppdatet.. BOKMÅL Oppgave En funksjon f e definet i intevallet ved f ( ) ( ) e a) Finn f ( ). Avgjø hvo funksjonen e stigende og hvo funksjonen e avtagende. Bestem funksjonens eventuelle

Detaljer

Løsning øving 12 N L. Fra Faradays induksjonslov får vi da en indusert elektromotorisk spenning:

Løsning øving 12 N L. Fra Faradays induksjonslov får vi da en indusert elektromotorisk spenning: nstitutt fo fysikk, NTNU Fg SF 4 Elektognetise og MNFFY 3 Elektisitet og gnetise Høst øsning øving Oppgve Mgnetfeltet inne i solenoiden e : ( H( (N/) ( (dvs fo < R). Utenfo solenoiden: ( > R) Fo å eegne

Detaljer

Kap. 23 Elektrisk potensial

Kap. 23 Elektrisk potensial Kp. 3 Elektisk potensil Skl definee p gunnlg v elektisk felt E: Elektisk potensiell enegi, U Elektisk potensil, V (Ketsteknikk: El. potensilfoskjell spenning) Aeid keves fo føe smmen ldninge Pføt eid gi

Detaljer

trygghet FASE 1: barnehage

trygghet FASE 1: barnehage tygghet banehage De voksnes olle Banemøte Leikeguppe Guppeaktivitet Hjemmebesøk Samlinge Måltid Påkledning Uteleik Konfliktløsning Vudeing Haug banehage 2011-2012 tygghet tygghet «Banehagen skal bistå

Detaljer

Løsningsforslag til eksempeloppgave 2 i fysikk 2, 2009

Løsningsforslag til eksempeloppgave 2 i fysikk 2, 2009 Fysikk Eksempeloppgae Løsningsfoslag il eksempeloppgae i fysikk, 9 Del Oppgae Rikige sa på flealgsoppgaene a x e: a) C b) D c) B d) C e) C f) D g) C h) D i) B j) C k) A l) B m) A n) D o) B p) D q) D )

Detaljer

Billige arboresenser og matchinger

Billige arboresenser og matchinger Billige aboesense og matchinge Magnus Lie Hetland 16. jan 009 Dette e foelesningsnotate til føste foelesning i faget Algoitmekonstuksjon, videegående kus, ved Institutt fo datateknikk og infomasjonsvitenskap,

Detaljer

Ge i r Berge 47. En d a t a s t r u k t u r f o r o rd b ø k e r f o r n a t u r lig e sp råk. 1. In n le d n in g

Ge i r Berge 47. En d a t a s t r u k t u r f o r o rd b ø k e r f o r n a t u r lig e sp råk. 1. In n le d n in g Ge i r Berge 47 En d a t a s t r u k t u r f o r o rd b ø k e r f o r n a t u r lig e sp råk 1. In n le d n in g Det a r b e id e t som s k a l r e f e r e r e s h e r hadde som m ål å k o n s tru e re

Detaljer

Nytt Bodø rådhus MOTTO: SUB COMMUNIS. Situasjonsplan 1:500 MOTTO: SUB COMMUNIS 1. Sammenheng til by / bydel

Nytt Bodø rådhus MOTTO: SUB COMMUNIS. Situasjonsplan 1:500 MOTTO: SUB COMMUNIS 1. Sammenheng til by / bydel MOTTO: SUB COMMUNIS Situasjonsplan 1:0 Nytt Bodø ådhus Saenheng til by / bydel nkuansefoslaget e baset på Mulighetsstudiens alt.. hvo adinistasjonen salokalisees i Rådhuskvatalet. Det eksisteende Rådhuset

Detaljer

Eksamen 3FY mai Løsningsforslag

Eksamen 3FY mai Løsningsforslag Eksaen 3FY ai. Løsningsfoslag Oppgae a Fekensen og enegien til fotone ed bølgelengden λ,43 e in f aks c 3 λ in,,3,43 Hz E aks hf aks hc λ in 6 4 4 34,63 s 3,,5,43,9 b De sale linjene i øntgenspekteet e

Detaljer

FAG: FYS Fysikk LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad

FAG: FYS Fysikk LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad UNIVEITETET I GDE Gid E K M E N O G V E : FG: FY Fikk LÆE: Fikk : e Henik Hogd Kle: Do:.5.6 Ekenid, f-il: 9. 4. Ekenoppgen beå følgende nll ide: 6 inkl. foide nll oppge: 4 nll edlegg: Tille hjelpeidle

Detaljer

Spørretime TEP Våren Spørretime TEP Våren 2008

Spørretime TEP Våren Spørretime TEP Våren 2008 Søetime EP 4115 - Våen 28 Fotegnskonvensjonen og Ka.9 (& OB s slides) Q: ilsynelatende uoveensstemmelse mellom det Olav Bolland esentete fo Otto/Diesel og det som stå i læeboka nå det gjelde fotegn i likninge.

Detaljer

Newtons tredje lov. Kinematikk i to og tre dimensjoner

Newtons tredje lov. Kinematikk i to og tre dimensjoner Newons ede lo Knemkk o og e dmensone 31.1.213 husk: nnleeng oblg #1 Mndg, 4.eb. kl.1 YS-MEK 111 31.1.213 1 Newons ede lo: Enhe knng h lld og lsende en moknng, elle den gensdge påknng o legeme på hende

Detaljer

Kap 21 Elektrisk ladning / Elektrisk felt

Kap 21 Elektrisk ladning / Elektrisk felt Kp lektisk lning / lektisk felt. To like elektiske lninge e plsset i vstn.. Kften so hve v lningene vike på en ne e e.5. Beste støelsen på hve v lningene. b Se so i, en enne gng e en ene lningen obbelt

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00 EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen MET 11803 Matematikk Institutt fo Samfunnsøkonomi Utleveing: 17122014 Kl 0900 Innleveing: 17122014 Kl 1400 Vekt: 70% av MET 1180 Antall side i oppgaven: Antall vedleggsfile:

Detaljer

Kap. 23 Elektrisk potensial

Kap. 23 Elektrisk potensial Kp. 23 Elektisk potensil Skl definee på gunnlg v elektisk felt E: Elektisk potensiell enegi, U Elektisk potensil, V (Ketsteknikk: El. potensilfoskjell = spenning) Potensilgdient og elektisk felt. Ekvipotensilflte

Detaljer

EKSAMEN i. MA-132 Geometri. Torsdag 3. desember 2009 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.

EKSAMEN i. MA-132 Geometri. Torsdag 3. desember 2009 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Institutt fo matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometi Tosdag. desembe 009 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidle: Alle tykte og skevne hjelpemidle. Kalkulato. Bokmål Oppgave 1 I oppgaven nedenfo skal du oppgi

Detaljer

Kap. 4+5 Rotasjon av stive legemer

Kap. 4+5 Rotasjon av stive legemer Kap. 4+5 Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ask ekap) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ask ekap) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Rulling Kaftmoment τ Spinn

Detaljer

At energi ikke kan gå tapt, må bety at den er bevart. Derav betegnelsen bevaringslov.

At energi ikke kan gå tapt, må bety at den er bevart. Derav betegnelsen bevaringslov. Side av 8 LØSNINGSFORSLAG KONINUASJONSEKSAMEN 006 SMN694 VARMELÆRE DAO: 04. Mai 007 ID: KL. 09.00 -.00 OPPGAVE (Vekt: 40%) a) emodynamikkens. hovedsats:. hovedsetning: Enegi kan hveken oppstå elle fosvinne,

Detaljer

Førsteordens lineære differensiallikninger

Førsteordens lineære differensiallikninger Førsteordens lineære differensiallininger Begrepet førsteordens lineære differensiallininger er ie sielig definert i Sinus R. Denne artielen omhandler det temaet. En førsteordens lineær differensiallining

Detaljer

Betinget bevegelse

Betinget bevegelse Betinget bevegelse 1.0.013 innleveing på fonte FYS-MEK 1110 1.0.013 1 Innleveinge aksenavn! enhete! kommente esultatene utegninge: skitt fo skitt, ikke bae esultatet vi tenge å fostå hva du ha gjot sett

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner

Newtons lover i to og tre dimensjoner Newons loe i o og e dimensjone 5..3 oblige innleees mndg kl. bel fo læeboken FYS-MEK 5..3 Beegelse i e dimensjone Beegelsen e kkeise ed posisjon, hsighe og kselesjon. Vi må buke ekoe: posisjon: i j z k

Detaljer

Løsning 1med teori, IM3 høst 2011.

Løsning 1med teori, IM3 høst 2011. Løsning med teori, IM høst 0 Oppgae a) Vi obsererer at ttrkket er bestemt og i ndersøker det først langs koordinataksene Langs - aksen er = 0 Innsatt gir dette sin( ), 0 Langs - aksen sin( ) cos( ) er

Detaljer

FAG: F121 Fysikk LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad Thomas Gjesteland Hans Grelland

FAG: F121 Fysikk LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad Thomas Gjesteland Hans Grelland UNIVESITETET I GDE Giad E K S M E N S O P P G V E : FG: F Fikk LÆE: Fikk : Pe Henik Hogad Thoa Gjeeland Han Gelland Klae: Dao:.5.6 Ekaenid, fa-il: 9. 4. Ekaenoppgaen beå a følgende nall ide: 6 inkl. foide

Detaljer

FYSIKK-OLYMPIADEN Andre runde: 4/2 2010

FYSIKK-OLYMPIADEN Andre runde: 4/2 2010 Nosk Fysikklæefoening Nosk Fysisk Selskaps fagguppe fo undevisning FYSIKK-OLYMPIADEN 009 010 Ande unde: / 010 Skiv øvest: Navn, fødselsdato, e-postadesse og skolens navn Vaighet:3 klokketime Hjelpemidle:abell

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner

Newtons lover i to og tre dimensjoner Newtons love i to og te dimensjone 9..17 Oblig e lagt ut. Innleveing: Mandag,.. FYS-MEK 111 9..17 1 Skått kast med luftmotstand F net F D G D v v mg ˆj hoisontal og vetikal bevegelse ikke lenge uavhengig:

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner

Newtons lover i to og tre dimensjoner Newons loer i o og re dimensjoner 3..4 Innleering: på papir på ekspedisjonskonore: bruk forsiden elekronisk på froner én pdf fil nan på førse side egenerklæring med signaur innleeringsboks på ekspedisjon

Detaljer

Refleksjon og transmisjon av transverselle bølger på en streng

Refleksjon og transmisjon av transverselle bølger på en streng Reflesjon og ansmsjon av ansveselle bølge på en seng Fgu vse o lange senge med masse pe lengde og 2 som e sjøe sammen ogo, x 0. x-asen lgge paallel med sengen. V sal se hva som sje med en bølge som passee

Detaljer

0 g = B, R M ,, R M , , q q jgj = jet(g )j = 2 sin 2 sin 2 C A Ette at vi ha iviet Klein{Goon-ligningen me p jgj se en ut som f

0 g = B, R M ,, R M , , q q jgj = jet(g )j = 2 sin 2 sin 2 C A Ette at vi ha iviet Klein{Goon-ligningen me p jgj se en ut som f Eksamen i klassisk feltteoi, fag 7 50, 5. eseme 997 Lsninge a) Enhve evaingslov q = konstant, fo en elle annen fysisk stelse q (la oss kalle en \laning"), e en gloal evaingslov. En lokal evaingslov ha

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. ving 9.

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. ving 9. TFY404 Fsikk. Institutt fo fsikk, NTNU. ving 9. Oppgve ) Figuen vise et unifomt elektisk felt (heltukne linje). Lngs hvilken stiplet linje ende potensilet seg ikke? 2 C 3 D 4 2 3 4 b) Den potensielle enegien

Detaljer

Pytagoreiske tripler og Fibonacci-tall

Pytagoreiske tripler og Fibonacci-tall Johan F. Aanes Pytagoeiske tiple og Fibonai-tall Pytagoas og Fibonai siamesiske tvillinge? Me enn 700 å skille dem i tid, men matematisk e de på en måte uadskillelige. Pytagoas (a. 585 500 f.k.) og Leonado

Detaljer

Obj104. Ukentlige lekser med oppgaver knyttet til de fire regneartene, tid, omgjøring mellom ulike enheter, brøk, algebra og problemløsning

Obj104. Ukentlige lekser med oppgaver knyttet til de fire regneartene, tid, omgjøring mellom ulike enheter, brøk, algebra og problemløsning Obj104 RENDALEN KOMMUNE Fagetun skole Åsplan i matematikk fo 6. tinn 2014/15 Ukentlige lekse med oppgave knyttet til de fie egneatene, tid, omgjøing mellom ulike enhete, bøk, algeba poblemløsning TID TEMA

Detaljer

Fiktive krefter. Gravitasjon og planetenes bevegelser

Fiktive krefter. Gravitasjon og planetenes bevegelser iktive kefte Gavitasjon og planetenes bevegelse 30.04.013 YS-MEK 1110 30.04.013 1 Sentifugalkaft inetialsstem S f N G fiksjon mellom passasje og sete sentipetalkaft passasje bevege seg i en sikelbane f

Detaljer

b) 3 MATEMATISKE METODER I 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Repetisjonsoppgaver Bruk av regneregler: 1 Regn ut: e) 0 x ) 4 3 d) 4 x f) 5y

b) 3 MATEMATISKE METODER I 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Repetisjonsoppgaver Bruk av regneregler: 1 Regn ut: e) 0 x ) 4 3 d) 4 x f) 5y MATEMATISKE METODER I Buk av egneegle: Regn ut: a ( ( b 7 c ( 7 y 8 d 8 e f 5y y Regn ut og tekk sammen: a 5a b a b a + b b y + y + + y c t t + 6 ( 6t t + 8 d s+ s + s ( s + s Multiplise ut og odne a (

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG UNIVEITETET I DE imsa E K M E N O P P V E : : M-9 Maemaikk LÆE: Pe enik ogsa Klasse: Dao:.. Eksamensi a-il: 9.. Eksamensoppgaen beså a ølgene nall sie: 6 inkl. osie elegg nall oppgae: nall elegg: Tillae

Detaljer

Hånd i hånd fra Kilden Konsert 25.3.12 Tekster

Hånd i hånd fra Kilden Konsert 25.3.12 Tekster Hånd i hånd fra Kilden Konsert 25.3.12 Tekster 01 Gud har skapt 02 Glory to Jesus 03 Herren er min hyrde 04 Vennesang 05 Vi deler den samme jord 06 Hjertesangen 07 En stille bønn 08 Brød for verden 09

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Øving 9. Veiledning: 18. oktober. Innleveringsfrist: 23. oktober kl 14.

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Øving 9. Veiledning: 18. oktober. Innleveringsfrist: 23. oktober kl 14. TFY404 Fysikk. Institutt fo fysikk, NTNU. Høsten 203. Øving 9. Veiledning: 8. oktobe. Innleveingsfist: 23. oktobe kl 4. Oppgve ) Figuen vise et unifomt elektisk felt (heltukne linje). Lngs hvilken stiplet

Detaljer

Utvalg med tilbakelegging

Utvalg med tilbakelegging Utvalg med tilbakelegging Gitt n foskjellige objekte. Vi skal velge objekte på en slik måte at fo hvet objekt vi velge, notee vi hvilket det e og legge det tilbake. Det bety at vi kan velge det samme objektet

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN MAI 2007

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN MAI 2007 NTNU Noges teknisk-ntuvitenskpelige univesitet Fkultet fo ntuvitenskp og teknologi Institutt fo mteilteknologi TMT40 KJEMI LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN MAI 007 OPPGAVE ) - ph definees som den negtive logitmen

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 6. august 2003

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 6. august 2003 Noges teknisk natuvitenskapelige univesitet NTNU Side av 9 Institutt fo fysikk Fakultet fo natuvitenskap og teknologi Løsningsfoslag til eksamen i SIF47 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 6. august 3 Dette løsningsfoslaget

Detaljer

Kap Rotasjon av stive legemer

Kap Rotasjon av stive legemer Kap. 9+10 Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ep) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ep) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Kaftmoment τ Rulling Spinn (deieimpuls):

Detaljer

Vi skal nå sette opp bevegelseslikninger når friksjonskraften

Vi skal nå sette opp bevegelseslikninger når friksjonskraften ysi or ingeniører Klassis eani 3 Kreter Newtons loer Side 3 - Mer o beegelse ed isøs risjon Vi sal nå sette opp beegelseslininger når risjonsraten er gitt ed der er en onstant so ahenger a legeets størrelse

Detaljer

Brukerhåndbok - Sikkerhetspresenning manuell med skinner

Brukerhåndbok - Sikkerhetspresenning manuell med skinner MEGET ENKELT! Når man lukker bassenget ved å trekke i reimen til utrekkstanga så rulles inn en reim på den ene siden av opprulleren. Mekanismen kan valgfritt plasseres på høyre eller venstre side. Man

Detaljer

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 2. august 2003 kl. 09.00-15.00

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 2. august 2003 kl. 09.00-15.00 Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 42 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK

Detaljer

Utvalg med tilbakelegging

Utvalg med tilbakelegging Utvalg med tilbakelegging Gitt n foskjellige objekte. Vi skal velge objekte på en slik måte at fo hvet objekt vi velge, notee vi hvilket det e og legge det tilbake. Det bety at vi kan velge det samme objektet

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen FY0001 Brukerkurs i fysikk Torsdag 3. juni 2010

Løsningsforslag til eksamen FY0001 Brukerkurs i fysikk Torsdag 3. juni 2010 NTNU Institutt for Fysikk øsningsforslag til eksamen FY0001 Brukerkurs i fysikk Torsdag 3 juni 2010 Oppgae 1 a) His i elger nullniå for potensiell energi ed bunnen a skråningen, har du i utgangspunktet

Detaljer

Trygg med tog. Trygg med tog Jernbaneverket og Trygg Trafikk. Flytt til 68. 44 45 Flytt til 65. Flytt til 56. Flytt til 20.

Trygg med tog. Trygg med tog Jernbaneverket og Trygg Trafikk. Flytt til 68. 44 45 Flytt til 65. Flytt til 56. Flytt til 20. rygg med tog rbeidsoppgaver for skole og hjem (-.trinn) 6 0 6 6 60 0 6 lytt til 6 66 6 W W D M E C W L W Q V V XLE M C Q I Z L Z U J C P X H E 6 6 6 6 6 6 0 lytt til 6 6 0 lytt til 6 0 6 LVI EDL LILLEHMME

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner

Newtons lover i to og tre dimensjoner Newtons loer i to og tre dimensjoner 6..17 FYS-MEK 111 6..17 1 Beegelse i tre dimensjoner Beegelsen er karakterisert ed posisjon, hastighet og akselerasjon. Vi må bruker ektorer: posisjon: r( = x t i +

Detaljer

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Vektorer.

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Vektorer. I dette lille notatet skal jeg gi en kortfattet oersikt oer grnnleggende ektorregning Me a dette er forhåpentlig kjent fra før, men det skader sikkert ikke med en kort repetisjon Definisjoner Mange a de

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner 09.02.2015

Newtons lover i to og tre dimensjoner 09.02.2015 Newons loer i o og re dimensjoner 9..5 FYS-MEK 3..4 Innleering Oblig : på grunn a forsinkelse med deilry er frisen usa il onsdag,.., kl. Innleering Oblig : fris: mandag, 6.., kl. Mideiseksamen: 6. mars

Detaljer

Diodekart: Opplegg av: Tormod Ludvigsen, Kjeldås Skole 2008. www.kjeldas.skole.no

Diodekart: Opplegg av: Tormod Ludvigsen, Kjeldås Skole 2008. www.kjeldas.skole.no Diodekart: Opplegg av: Tormod Ludvigsen, Kjeldås Skole 2008 www.kjeldas.skole.no Steg for steg hva du bør gjøre for å lage et diodekart: 1. Lag en tegning som du skal bruke, og finn en plastplate. 2. Stek

Detaljer

Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 12 (15).

Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 12 (15). Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 7 ( 5) Vi skal btte integrasjonsrekkefølgen i integralet dd Når vi btter integrasjons- rekkefølgen må integrasjonsområdet beskrives på ntt Dobbelintegralet

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er

Detaljer

Newtons lover i én dimensjon (2)

Newtons lover i én dimensjon (2) Newtons love i én dimensjon () 9.1.13 husk: data lab fedag 1-16 FYS-MEK 111 9.1.13 1 Identifikasjon av keftene: 1. Del poblemet inn i system og omgivelse.. Tegn figu av objektet og alt som beøe det. 3.

Detaljer

FAG: FYS122 Fysikk LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad

FAG: FYS122 Fysikk LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad UNVEEE AGDE Gid E K A E N O G A V E : FAG: FY Fi ÆE: Fi : e Heni Hod Kle: Do: 8.5.5 Eenid, f-il: 9. 4. Eenoppen beå følende Anll ide: 6 inl. foide Anll oppe: Anll edle: ille hjelpeidle e: Klulo Foellin:

Detaljer