Notat i FYS-MEK/F 1110 våren 2006

Transkript

1 1 Notat i FYS-MEK/F 1110 våen 2006 Rulling og skliing av kule og sylinde Foelest 24. mai 2006 av Ant Inge Vistnes Geneelt Rotasjonsdynamikk e en svæt viktig del av mekanikkuset våt. Dette e nytt stoff sammenlign med hva man møte på den videegående skolen, og man få ofte buk fo stoe dele av pensum fo å løse en og samme oppgave. Det e defo ikke at at nesten ethvet eksamenssett de siste åene ha hatt minst en oppgave knyttet til otasjonsdynamikk. Geneelt sett kan de fleste oppgavene vi komme bot i løses ved å buke te ligningsett, nemlig de som e baset på: Massesentesatsen (Newtons annen lov): ΣF macm Στ d L Στ Iα dt Spinnsatsen på følgende fom: elle på fomen:, og endelig En elle annen geometisk føing som f.eks. fobinde a cm med α. Det e da essentielt at man angi hvilket system man anvende massesentesatsen på, og nå man buke spinnsatsen, må man i tillegg angi hvilken akse man anvende den fo. Et kaftmoment ha jo ingen mening uten at man angi en akse, helle ikke ha spinn noe mening om man ikke angi akse. Så dette e meget viktig. Massesentesatsen e enklest å buke fodi uansett hvo kefte vike på et stivt legeme, så vil akseleasjonen til massesenteet følge denne loven. Spinnsatsen e me poblematisk. Vi må ofte skille mellom et fitt bevegelig legeme og et legeme som faktisk otee om en fast akse. Den faste aksen behøve ikke væe en vikelig akse med kulelage osv. Vi kjenne til oppgaven med et sykkelhjul som teffe en fotauskant, og også i en slik type oppgave vil vi kunne betakte bevegelsen som en otasjon om en fast akse (fotauskanten) så lenge hjulet ikke gli mot kanten. Spinnsatsen angitt i den føste fomen ovenfo, e mest geneell. I denne kan spinnet L både væe egenspinn (spinn om en akse gjennom legemet) elle banespinn (et legeme som fae fobi elle undt en tenkt akse), elle summen av disse. Siste fomen kan bae bukes nå vi ha et legeme som otee omking en symmetiakse (gjennom massesenteet), elle desom aksen e fast. Den geometiske føingen kan gjene væe den vi ha ved en ulling (elle nå vi tekke en sno omking en tinse uten at den sli), nemlig en av de følgende: s θ, v ω elle a α de s, v og a stå fo veilengde, hastighet og akseleasjon fo den tanslatoiske bevegelsen og θ, ω og α tilsvaende fo otasjonsbevegelsen. Men disse elasjonene må ikke bukes ukitisk! Desom vi ha en jojo-oppgave, de snoa tekkes ut fa en sylindefomet tapp i midten, vil

2 Side 2 ikke jojo-en bevege seg en veilengde langt støe enn den snolengden vi snue ut. Videe må man væe svæt nøye med fotegn. Vi stå nemlig fitt i å definee positiv bevegelsesetning fo den tanslatoiske bevegelsen, og vi kan velge fitt hva vi vil definee som positiv otasjonsetning. Det kan defo like godt hende at vi må buke a α som a α. Vi må selv passe på at det bli samsva mellom de vaiablene vi velge. Fo fittbevegelige legeme e det ofte enklest å betakte bevegelsen som summen av en tanslatoisk og en otasjonsbevegelse. Vi velge da om mulig en (tenkt) otasjonsakse som gå gjennom massesenteet, fo da kan vi nokså lett beegne totalbevegelsen siden massesentesatsen nettopp gi bevegelsen til massesenteet og spinnsatsen gi oss bevegelsen om aksen gjennom massesenteet. Man bø meke seg at vi iblant kan få nokså mekelige esultate ved otasjonsdynamikk. Spesielt e det ikke alltid lett å foutsi hvilken vei en fiksjonskaft komme til å vike. Dee huske vel f.eks. jojo-oppgaven hvo man ved en spesiell kombinasjon av sno ove elle unde, og inde adius elativt til yte, så vil jojo-en faktisk ulle fa oss nå vi tekke i snoa! Sylinde som skli og ulle Det e en type oppgave som gå ofte igjen, nemlig den hvo vi ha en kule elle sylinde som skli og ulle mot et plant undelag. La oss ta fo oss den enkleste vaianten av slike oppgave. Selv denne enkleste vaianten inneholde en ekke detalje som man bø meke seg. Vi state da med en sylinde som ligge i o på et hoisontalt, plant undelag, som indiket i figuen (se de sylindeen inn langs aksen slik at vi bae se et tvesnitt gjennom den). F f x Positiv hastighetsetning Positiv vinkelhastighetsetning Ved tiden t 0 gi vi sylindeen et makant, kaftig. Vi anvende da en kaft F som e hoisontalt ettet (og vinkelett på aksen) og som teffe sylindeen i samme høyde som aksen. Dette et gi sylindeen en bevegelse, og vi kan analysee denne bevegelsen ved våe lovene nevnt på føste side i dette notatet, men vi må i pinsippet behandle bevegelsen gjennom te ulike fase: Støtfasen Peioden hvo vi ha kombinet skliing og ulling, og Ren ulling

3 Side 3 Støtfasen I fasen e det fie kefte som vike på sylindeen som system: Tyngdekaften, nomlakaften fa undelaget, fiksjonskaft mot undelaget og kaften. Tyngdekaften og nomalkaften e motsatt like stoe og nulle hveande ut (ingen akseleasjon i vetikal etning). Tilbake stå kaften og fiksjonskaften, men ved makante vil kaften ofte væe svæt mye støe enn fiksjonskaften. Dette ha ofte sammenheng med at kaften bae vike i en meget kot tid. Av den gunn e det vanlig (som ved mange kollisjons-oppgave) å se bot fa fiksjonen i denne føste fasen. Vi kan da hente fam massesentesats og spinnsats og anvende den sistnevnte om sylindeaksen og få: dvcm ΣF macm m dt og Στ Iα I t d d ω Vi kan integee opp disse uttykkene ove den tiden et vae: ΣFdt dvcm m dt m dvcm dt mv ( 0 v i ) hvo v i e hastigheten like fø et (i våt tilfelle lik null), og v 0 e hastigheten like ette et. Dette e egentlig utledningen på impuls-bevegelsesmengde-teoemet, som sie at impulsen i et e lik ending i bevegelsesmengde. Mek at selv om kaften F ende seg hele tiden innenfo peioden, bli esultatet likevel som angitt ovenfo. Integee vi opp spinnsatsen, få vi på tilsvaende vis: Στ d t Idω I( ω 0 ω i ) Men vi ha i dette tilfellet at kaftmomentet til kaften F e lik null, siden kaftens vikepunkt og etning e slik at kaften ikke ha noe am omking den valgte aksen. Følgelig vil ω 0 ω i, det vil si, ingen ending i otasjonshastighet: Sylindeen vil ikke få noe otasjon gjennom et siden den lå i o alleede fø et. Resultatet av det sentale et e altså at massesenteet til sylindeen få en tanslatoisk hastighet v 0 like ette et, men sylindeen deie seg ikke like ette et. Mek deg skivemåten like ette et. Det bety at vi hittil bae ha sett på vikningen av den makante, kotvaige kaften som viket i et, og at vi denest må finne ut hva som skje deette. Kombinet skliing og ulling Ette et bli summen av kefte som vike på sylindeen kun fiksjonskaften, i alle fall så lenge som sylindeen skli mot undelaget. Men fiksjonskaften vil føe til at den tanslatoiske hastigheten avta samtidig som sylindeen begynne å ulle me og me. Fø elle siden komme disse til en gense hvo ullingen e akkuat så sto som den tengs fo den tanslatoiske bevegelsen som da eksistee. Fa da av vil sylindeen ikke skli mot undelaget, men bae ha det vi kalle en ulling. Så lenge sylindeen skli mot undelaget, e fiksjonskaften tilnæmet konstant og gitt ved:

4 Side 4 f mgμ, hvo m e sylindemassen, g e tyngdens akseleasjon og μ e den kinetiske fiksjonskoeffisienten. Integee vi nå massesentesatsen, få vi som fø: skliing ΣFdt dvcm m dt m dvcm dt mv ( t v 0 ) He e v t hastigheten en tid t ette et og v 0 e hastigheten like ette et. Men nå kjenne vi i detalj summen av kefte slik at vi også kan gjennomføe integasjonen i det føste leddet: skliing ΣFdt mgμdt mgμt He ha vi bukt minustegn fodi fiksjonskaften vike i motsatt etning som hastigheten vi opeee med ovenfo. Mek foøvig at vi he ha valgt å si at tiden e null like ette et e ove slik at tiden t angi tid som skliingen ha pågått. Sammenholde vi disse to uttykkene, kan vi fokote bot massen til sylindeen, og vi få (siden vi 0): v t v 0 gμt (Gjelde bae så lenge det e igjen litt skliing i bevegelsen) Vi ta så fo oss spinnsatsen anvendt om sylindeaksen (symmetiakse, alt i oden). Siden kaften stå vinkelett på posisjonsvektoen vinkelett ut fa aksen mot angepspunktet fo kaften, få vi (teghetsmomentet fo en sylinde om aksen e 1/2 m 2 ): Στ f mgμ Iα 1 --m 2 α 2 f x α 2gμ (konstant i tid, så lenge vi ha skliing) Da kan vi integee opp spinnsatsen (elle buke bevegelsesligningen fo konstant vinkelaskseleasjon) og få: 2gμ ω t ω 0 ω t t (Gjelde bae så lenge det e igjen skliing i bevegelsen) Vi ha nå to ligninge som sie mye om bevegelsen mens skliingen foegå. Akkuat i det øyeblikket skliingen e ove kan vi (såvidt) fotsatt buke ligningene, men da komme den geometiske føingen inn som gjø at vi kan koble de to ligningene til hveande. Ved ulling e nemlig v ω. Følgelig: v t v 0 gμt ω t 2gμ t v 0 2gμt + gμt

5 Side 5 t v gμ Denne elasjon se imelig ut, siden tiden e poposjonal med stathastighet og omvendt poposjonal med fiksjonskaften. Vi kan nå sette inn fo denne tiden i fomelen vi fant fo hastigheten ovenfo, og finne: v v t v 0 gμμ gμ 2 v t --v 3 0 Vi få selvfølgelig en litt annen bøk desom det va en kule som skled i stedet fo en sylinde. Ren ulling Ligningen ovenfo ga hastigheten akkuat idet skliingen opphøte og vi fikk en ulling. Men hva skje ettepå? Skli-fiksjonen mgμ fosvinne da, og hadde vi ikke hatt litt ulle-fiksjon, ville sylindeen fotsatt med konstant fat og konstant vinkelfat videe. På gunn av ullefiksjon vil imidletid den ene ullingen smått om senn gå saktee, men det skje vanligvis i en langt lavee takt enn hastighetseduksjonen mens skli-fiksjonen va til stede. Enegibetaktning Like ette et hadde sylindeen en ent tanslatoisk kinetisk enegi: 1 2 E 0 --mv 2 0 Ette at vi ha fått en ulling, e den kinetiske enegien en sum av tanslatoisk og otasjonsenegi: E ulling --mv 2 t + --Iω 2 t v t mv 2 t --I Sette vi inn fo vt og fo teghetsmomentet fo en sylinde, og odne leddene, få vi: 1 2 E ulling --mv 3 0 Vi se at vi ha hatt et enegitap mens skliingen foegikk som e: E tap E 0 E ulling --mv mv mv 6 0

6 Side 6 Dette enegitapet kan vi fosøke å egne ut ved å ta utgangspunkt i fiksjonskaftens abeid. Vi kan fosøke å beegne dette abeidet slik: W f d s f s sklipeioden hvo s e stekningen skliingen ha viket ove. Men i denne peioden va stathastigheten v 0 og slutthastigheten 2/3 v 0, og det va konstant akseleasjon (etadasjon). Middelhastigheten i sklipeioden må defo ha væt: 1 v middel -- 2 v v v 6 0 Vi kjenne også til at skliingen foegikk en tid lik t v Da må veilengden væe: 3gμ s v middel t 5 v 0 --v gμ og det beegnede abeidet bli: 5v 0 2 W f s mgμ gμ mv 18 0 Vi fant imidletid ovenfo at enegitapet va på: E tap --mv mv 18 0 Vi se altså at beegnet enegitap e vesentlig støe enn vikelig enegitap! Hva kan feilen væe? Feilen skyldes at sylindeen bevege seg famove både ved skliing og ulling i den peioden skliingen foegå. Det e defo ikke iktig å buke uttykket fo s som vi fant ovenfo, siden denne s-en ha bidag både fa skliing og den stadig voksende otasjonen ette som sylindeen skli botove. Hadde vi tukket fa ulle-bidaget til s, ville vi fått samsva mellom abeid som fiksjonskaften ha utføt på sylindeen og det enegitapet sylindeen hadde i sklipeioden. Me komplisete tilfelle Vi ha hittil sett på de mest basale effektene knyttet til skliing/ulling-poblematikken, men det e et vell av vaiasjonsmulighete. De fleste av disse kan løses på lignende måte som ovenfo. Vi skal kot skissee hvodan vi kan gå fam desom man e til sylindeen i en annen høyde enn den vi bukte ovenfo.

7 Side 7 Figuen vise te ulike høyde vi kan teffe sylindeen i unde selve et. Bae kaften F e inntegnet, siden det e den som dominee i fasen. F h 0 x h > 0 Ligningsettene vi ha tilgjengelig e i pinsippet som fø, men teffe et ove elle unde midtpunktet, vil selve et nå gi en otasjonsimpuls som vil føe til at sylindeen ha både en tanslatoisk og otasjons-hastighet F h < 0 like ette et. Deette vil ligningsettet bli som ovenfo (men koiget fo initialbetingelsene som eksistee like ette et). La oss se på fasen på ny. Siden massesentesatsen ikke ta hensyn til hvo på legemet en kaft bli anvendt, bli denne ligningen identisk med den vi hadde ovenfo: ΣFdt macm mv 0 v i ( ) Oppintegeing av spinnsatsen gi også som tidligee: Στ d t Idω I( ω 0 ω i ) men nå kan vi gjøe litt ut av venstesiden. Kaftmomentet som vike på kula i posessen vil nå nemlig bestå av samme kaften F som ovenfo, men nå med effektiv am lik h (avstand mellom vikelinjen og aksen). Følgelig kan vi skive: Στdt ΣFh d t h ΣFdt Det siste integalet kjenne vi igjen fa oppintegeingen av massesentesatsen, og vi kan defo kombinee alle de te siste ligningene fo å få én ligning: hm( v 0 v i ) I( ω 0 ω i ) Denne ligningen gi oss en fobindelse mellom ending i tanslatoisk hastighet og ending i otasjonshastighet ved et. Igjen så stå i-indeksen fo vediene like fø et, og 0-indeksen fo tilstanden like ette et. Vi meke oss bl.a. at desom sylindeen lå i o fø et, vil sylindeen like ette et otee i motsatt etning fo h>0 sammenlignet med h<0. Siden sylindeen vil få en positiv otasjonshastighet like ette et hvo h>0, kan vi unde oss på om det e mulig å få koekt fohold mellom tanslatoisk og otasjonshastighet fo en ulling, helt fa like ette et e ove. I så fall må ω 0 v 0. Desom sylindeen lå i o fø et, vil det medføe at: hmv 0 Iω 0 I v

8 Side 8 Sette vi inn fo teghetsmomentet fo sylindeen, få vi: 1 hmv 0 --m 2 v h -- 2 Dette e høyst mulig å oppnå! Det bety at desom vi gi et i h/2 vil sylindeen ulle helt fa et e ove. Teffe man ove denne høyden, vil sylindeen ulle fo fot i fohold til den tanslatoiske bevegelsen. Da vil den tanslatoiske faten øke og otasjonshastigheten avta inntil en ulling kan oppnås. I det tilfellet vil fiksjonskaften peke famove i stedet fo bakove som vi ha ansett iktig hittil. Sluttkommenta Vi ha hittil baset oss på å løse otasjonsdynamiske oppgave ved hjelp av massesentesatsen og spinnsatsen sammen med geometiske føinge. Desom dee lese løsningsfoslag fa tidligee å, vil dee se at man de ofte buke et tiks ved å betakte spinnet om kontaktpunktet mellom sylinde (elle kule) og undelaget. Vi ha ikke i FYS-MEK/F-sammenheng vist at man kan gjøe dette. Vi ha defo helle ikke vist i hvilke sammenhenge vi faktisk kan buke et slikt bevegelig, akseleet punkt som utgangspunkt fo spinnsatsen. Da e det skummelt å anvende en slik løsningsmetode, siden man da lett kan komme ut fo tilfelle de dette tikset ikke e gyldig lenge. Nå man ha en (tenkt) akse som ligge fast, e det imidletig ikke noe poblem med å buke spinnsatsen omking dette punktet. Jeg vil også nevne at man i enkelte oppgave må til med enegibetaktninge i stedet fo spinnsats og massesentesats. Det e som med den vanlige dynamikken, at av og til lønne det seg state med Newtons 2. lov og ande gange lønne det seg å state med enegibevaing. Ofte e det slik at enegibetaktninge kan ha et fotinn desom man ikke spø om tidsavhengighet, men det må man fosøke å danne seg et bilde av ut fa oppgavefomuleingene som e gitt. Lykke til! PS: Dette skivet e ikke koektulest, og ha defo sikket mange feil og litt håpløse setninge. Jeg håpe du akseptee det så lenge notatet bae e skevet som en mulig eksta hjelp fo å fostå hvodan man kan essonee ved oppgave i otasjonsdynamikk. Legg spesielt meke til at jeg foetekke å state med basisligningene, og ikke lete vilt ette en elle annen fomel som kanskje kan bukes. Mange e vant til å gå på fomel-jakt fa videegående skole, men hos oss e essonementene og gunnfoståelsen så viktig at man bø fokusee på dette. Som nevnt fø få man ikke full uttelling desom man bae kan finne en fomel og sette koekt inn, selv om svaet e koekt. Men iktig sva e selvfølgelig bede enn galt sva, - og få man til begunnelsene i tillegg, e det stålende!