Betraktninger rundt det klassiske elektronet.

Transkript

1 Betaktninge undt det klassiske elektonet. Kistian Beland Matteus Häge - 1 -

2 - -

3 Innholdsfotegnelse: 1. Sammendag Innledning Innledende betaktninge Vå elektonmodell Enegi i feltene undt elektonet Enegi i elektisk felt fa ladet kule Magnetfelt fa oteende kule Enegi i magnetfelt fa oteende kule Total enegi i feltene undt et spinnende elekton Den kinetiske enegi Avsluttende betaktninge Konklusjon Bibliogafi

4 - 4 -

5 Sammendag: Posjektet handle om elektonet. Det vise seg askt at den klassiske teoien fo et elekton ikke stemme. Den målte adien til elektonet gjø at enegien i det elektiske feltet gi en støe masse enn den målte elektonmassen. Vi glemme så det ekspeimentelle esultatet og lage en elektonmodell de vi gjø flee antagelse blant annet at elektonet ha en homogen ladningsfodeling og se hva vi komme fam til. Vi beegne en teoetisk adius ved å se på enegien i det elektiske feltet geneet av ladningen og det magnetiske feltet geneet av elektonspinnet. I tillegg se vi på enegien som lages i det magnetiske feltet nå elektonet ha fat. Dette sammenligne vi med kinetisk enegi. Vi se at med vå elektonmodell kan ikke all massen væe i det elektomagnetiske feltet, da det bli foskjellig adius i de to beegningene. Vi finne da ut hvo sto andel av den totale massen som e elektomagnetisk i vå beegning. Konklusjonen bli at vi ha laget en fungeende modell som ikke stemme med ekspeimentene. Vi e også oveasket ove hvo lite oppmeksomhet poblemet få i dag

6 Innledning: Elektonet e kanskje den patikkelen som e mest bukt i egneoppgave i fysikk. Dette e ikke så at, da dens egenskape e vitale i svæt mange av posessene i natuen. Det e defo imelig å anta at elektonet kanskje e den patikkelen vi fostå best. Dette vise seg å ikke stemme. Et elekton e ofte tenkt på å væe en punktpatikkel, poblemet med dette e at den da ville ha uendelig enegi i sitt elektiske felt, og demed ha uendelig masse. La oss si at vi beskive elektonet som en endelig patikkel med en elle annen ladningsfodeling og anta at hele elle dele av dens enegi ligge i feltet. adien vi da få i en slik modell e støe enn den ekspeimentelle adien. Det e i mange sammenhenge nevnt at klassisk fysikk e en selvkonsistent teoi. Det e ekspeimentene som ødelegge. Denne påstanden e det kanskje ikke helt belegg fo, noe man oppdage ved å se på elektonet slik vi ha gjot. Poblemet som vi ta opp e visstnok helle ikke løst ved kvantemekaniske betaktninge. Det e defo, ifølge Feynmann 1, mange som føst ha pøvd å løse paadokset klassisk fo så å oveføe løsningen til en kvantemekanisk beskivelse. Det vi gjø e å lage en enkel klassisk modell av elektonet. Vi velge i føste omgang å glemme den målte maksadien ( = 1-18 ) til et elekton. Vi ha ingen ambisjone om å pøve å beskive elektonet kvantemekanisk, men vil likevel ha noen vedie og betaktninge defa. Oppgaven e i hovedsak analytisk. 1 Feynmann Lectues of Physics, Chap 8 Electomagnetic Mass Målt ved spedningsfosøk. Man måle hvo næt elektonet coloumb-potensialet fotsatt gå som 1/

7 Innledende betaktninge. Elektonet ha en masse, en ladning, og et spinn. Patikkelen e dessuten fyktelig liten. Det e defo næliggende å anta at all masse beskives av elektonets felt. Noe som undebygge dette e at vi ikke finne det som svæt sannsynlig at elektonet ha en inde stuktu. I utgangspunktet skulle en todd at det va mye plass inni elektonet. Plancklengden 1-4 m (den minste mulige lengde) e veldig mye minde enn elektonadien. Gitt at elektonet kan beskives som et endelig objekt. Hvis elektonet ha inde patikle bø de helt å holdent væe innenfo elektonets volum hvis ikke e de jo ikke inde patikle. La oss si at disse patiklene beskives av en elle annen ψ som e ved elektonets gense. Vi beskive elektonet som en kule. Vi ønske he et nede bånd fo den inde patikkelens enegi. Geneelt sett e det slik at jo støe usikkehet en patikkel få ha dess minde e dens enegi. Hvis vi da sette opp potensialet til denne patikkelen som en uendelig kulebønn uten inde potensial vil patikkelen ha svæt sto usikkehet. Gunntilstanden til ψ i et slikt potensial vil defo gi et estimat om hva slags enegi en slik patikkel kan ha. Denne utegningen e et kjent standadeksempel 4, med enegi i gunntilstanden: E π h = m (1) Vi få da et nede bånd fo utstekningen til elektonet. mc π h 1 π h 1 π h f 9,*1 m () m mc mc e 1 = = = Dette e mye støe enn den ekspeimentelle adien og også støe enn den adien vi finne med våe modelle. Denne antagelsen e kanskje ikke så god. Da elektonet vanligvis ikke e sælig lokaliset, vil jo helle ikke patikkelen inni væe sælig lokaliset. Om det e mulig å lokalisee elektonet så godt i det hele tatt vet vi ikke. 4 Se f.eks Giffiths Intoduction to Quantum Mechanics, -dimesional quantum mechanics

8 Vå elektonmodell: Vi lage en elektonmodell med følgende antagelse: en pefekt kule unifom ladningstetthet unifom massefodeling Elektonet ote ikke i klassisk fostand, men geneee magnetfelt som om det otee med spinn h /. Det e elektisk og magnetisk felt inne i kulen. Det elektiske og magnetiske feltet påvike ikke ladningsfodelingen inne i elektonet (det vil si at det enten finnes kefte som holde ladningsfodelingen på plass, elle så påvike ikke elektonet seg selv)

9 Enegi i feltene undt elektonet: Desom vi anta at elektonets masse e inneholdt i feltene undt patikkelen, så få vi følgende beegninge fo enegien i det elektiske og magnetiske feltet. Enegi i elektisk felt fa ladet kule: I et elektisk felt e enegien gitt ved: Uel 1 = ε Ε dv () Fo en elektisk ladet kule gi Gauss lov det elektiske feltet: q, 4πε Ε= q, 4πε (4) Enegien e da: 1 1 q q q Uel = Uel + U i el = ε y Ε indedv + Ε ytedv = ε + = πε 4πε πε Fo et elekton med ladning e og adius e da den elektiske enegien gitt ved: U el = e πε (5) Desom vi tenke oss at all enegi i elektonet e laget i det elektiske feltet, finne vi følgende uttykk fo elektonadien: e e U = U = mc = 1,71 m (6) 15 el tot e α πε πεmc e Desom vi se på elektonet som en kulesymmetisk ladningsfodeling, må vi også ta hensyn til elektonets spinn. Se vi på dette som en klassisk oteende elektisk ladet kule finne vi at det dannes et magnetfelt av kula, hvo enegi e laget i magnetfeltet

10 Magnetfelt fa oteende kule: Fo å analytisk behandle magnetfeltet fa en oteende kule e det bekvemmelig å gå veien om magnetisk vektopotensial, definet som: B = A (7) A ( ) µ J ( ') = dv 4 π (8) ' Fo et oteende kuleskall med oveflateladningstetthet s og adius som otee med vinkelhastighet ω kan det vises 5 at vektopotensialet e gitt ved: A ( ) µ ' σ ( ω ), ' = 4 µ ' σ ( ω ), ' (9) Desom ω legges langs z-aksen få vi fo kulekoodinate: A (, θφ, ) µ ' ωσ sin θ φˆ, ' = 4 µ ' ωσ sinθ ˆ, φ ' Fo magnetfeltet fa et slikt skall få vi da: ( θ ˆ θ θ) µ ' ωσ ˆ cos sin, ' B= A= 4 µ ' ωσ cosθ sinθ ˆ ˆ +, ' θ (1) En solid kule med ladningsfodeling q ρ =, de q e kulens ladning og V = 4 π e V volumet, kan deles inn i kuleskall, hvet med adius og oveflateladning σ = ρ d. Desom kulen otee med vinkelhastighet ω dannes et magnetfelt db fa hvet kuleskall. Fo et punkt utenfo kulen få vi da: µωρ cosθ sinθ 4 (,, ) ˆ ˆ Byte φθ = db = θ ' d ' + 5 Se fo eksempel Giffiths: Intoduction to electodynamics s

11 B yte 5 1 µωρ cosθ sinθ ˆ ˆ = + θ 5 (11) Fo et punkt inne i kulen, en avstand fa sentum, få magnetfeltet et bidag fa delene av kulen som ligge både innenfo og utenfo punktet. Bidag fa kuleskallene innenfo punktet: 5 µωρ cosθ sinθ ˆ 4 µωρ cosθ sinθ ˆ ' ' ˆ ˆ Bi = 1 db= d + θ θ = + 5 µωρ cos sin = θ ˆ + θ θˆ Bidag fa kuleskallene utenfo punktet: µωρ ˆ B ˆ i = db d = = µωρ µωρ ( cosθ ˆ sin θ θ) ' ' ( cosθ ˆ sinθ θ) ( ) ( ) cosθ ˆ ( ) θ θˆ = sin Ved summasjon få vi fo det magnetiske feltet inne i kulen: µωρ 6 cos ˆ B sin ˆ inde = Bi + B 1 i = θ θ θ 5 5 (1)

12 Enegi i magnetfelt fa oteende kule: Enegien i det magnetiske feltet e gitt ved: Umag 1 µ = BdV (1) Fo en oteende kule få enegien et bidag fa magnetfeltet både inne i og utenfo kulen. Enegi i feltet utenfo kulen: B yte 5 1 µωρ 4cos θ sin θ = µωρ 1 Umag = ( 4 1 ) y I + I d 6 µ µωρ 1 8π µ = 5 Umag y 1 1 µωρ 8 = π µ 5 7 (14) Enegi i feltet inne i kulen: µωρ 6 Binde = cos θ + sin θ µωρ 6 Umag = I i 1 I d µ I 1 = cos θ dω= Alle vinkle 4π, (15a) I = sin θ dω= Alle vinkle 8π, (15b) 1 µωρ 4π 6 Umag = d i µ

13 Umag i 1 µωρ 4π 46 = µ (16) q e Fo et elekton, med masse m e, adius, ladningstetthet ρ = =, og spinn 4 V π 5 L, elekton = h h L kule = Iω = m ω ω 5 e =, få vi følgende uttykk fo total enegi i 4m e e det magnetiske feltet fa elektonet: 7 e h π me 1 µωρ µ 1 Umag = Umag + U y mag = i µ + = π (17) Total enegi i feltene undt et spinnende elekton: e e U = felt U + el U = µ mag + h o 1 πε πme (18) Desom vi anta at all elektonets enegi e laget i feltene, finne vi fo elektonets adius: µ e h U U U U mc e 1 5 o 1 felt = el + mag = tot + = e πε 4 πme e 5 µ e h mc e = πε 4 πm e β 14 5,41, (19) m - 1 -

14 Den kinetiske enegi I vå modell av elektonet ønske vi å foklae massen til elektonet som enegien i dets felt. Da e det nettopp dette feltet som også må skape motstanden mot bevegelse, det vil si dens kinetiske enegi. Vi ønske altså å finne enegien i feltet som e foåsaket av en unifomt ladet kule i bevegelse. Vi ønske kun å se på effekten ved lav fat, da e det nok å se på enegien i det magnetiske feltet foåsaket av bevegelsen. Fo å beegne dette se på en kule med unifom stømtetthet og beegne enegien fa det magnetiske feltet til den. I denne utegningen få vi da ingen tidsavhengighet, kun et statisk felt. Men vent! Elektonet bevege seg jo, og om vi flytte oss i et koodinatsystem som følge det så e elektonet i o og genee ikke magnetfelt. Vi to allikevel denne måten å beegne det på e iktig. Sett at vi (i våt koodinatsystem) se på en annen ladning som bevege seg med samme fat så vil vi helt klat kunne beegne effekten elektonet ha på den ande ladningen på denne måten, så vi anta at det gjelde i alle tilfelle. Fo å finne det magnetiske feltet B gå vi veien om vektopotensialet A som e gitt ved. J e stømtettheten. He e e vaiabelen i A. µ J A= dv 4π (8) Vi velge langs z aksen og tilpasse J ette det. = + cosθ µ J sinθ + A= d dθ cos µ J ' ( ' ' A= d ') θ Gunnet integandens fom må vi dele det i to. He beegnes A innenfo, det vil si befinne seg innenfo kulen. µ J Ainde = ( ' ' ' ' d + d 1 1 Ainde = µ J 6 ( ), ()

15 etningen av A avhenge kun av J. Vi e he inteesset kun i styken på B og velge defo J i x-etning. d ˆ d B ˆ 1 ˆ 1 ˆ inde = A= Aj Ak = µ Jzj+ µ Jyk (1) dz dy Ønske også å finne B utenfo: Velge he J i z etning (vi e som kjent kun inteesset i støelsesoden) µ J ' µ J µ J A ' ' (cos ˆ sin ˆ yte = d ) = = θ θθ () µ J 1 6 B sin ˆ yte = A= θϕ () Nå vi skal finne B otee vi aksen slik at vi få. B 1 1 µ J ( x + y ) = µ J sin θ 9 9 = µ sin θ J 9 Enegitetthet i det magnetiske felt e gitt ved: um 1 µ = B (4) Vi ha da T = T + T ut inn sin θdω= 8 π (15b) J v = ρv= (5) 4π µ Tinn = J d = ( ) v µ 9 4π 15 π 4 e µ 6 Dette tilsvae magnetfeltet fa en ladning i bevegelse hos Alonso og Finn Physics s. Vå antagelse va altså tolig iktig

16 1 µ J 1 1 µ Tut = d = v µ 9 4π 6 e ( ) T 1 µ 4e ( ) v 4π 5 = (6) Vi se he at enegien fa det magnetiske feltet gå som kvadatet av fata. Dette vise at antagelsen om at den kinetiske enegien ligge i feltet kan ha noe fo seg. m e µ e = 5π (7) γ µ e 5π m 15 =,5 1 m (8) e

17 Diskusjon: I dette posjektet ha vi pimæt med buk av vå modell beegnet adie til elektonet. Disse e ikke i oveensstemmelse med ekspeimente. Åsaken til denne feilen e lite tolig at vi ha valgt feil ladningsfodeling. adien vi finne med utegningene e alle så mye fo stoe at å to en annen inde ladningsfodeling vil gi iktige esultat e lite nyttig. Vi velge nå å fotsette å se bot fa de ekspeimentelle esultatene. Vi anta videe at vå ladningsfodeling e koekt. Hva kan da modellen fotelle oss? Det føste vi må kaste ove bod e antagelsen om at all massen ligge i det elektomagnetiske feltet, hvis det va tilfelle ville vi fått samme adius med de to foskjellige beegningene våe. Elektonmassen må defo bestå av to ledd me = mmekanisk + melektomagnetisk (9) Dette e ikke uimelig. Noe må jo holde ladningsfodelingen på plass. Det e et kjent teoem i elektomagnetismen at kun elektostatiske kefte ikke kan holde en ladning i likevekt. Med antagelsen om unifom ladningsfodeling kan vi finne ut hvo stoe disse leddene e. Den elektomagnetiske hvilemassen og den elektomagnetiske tege massen må væe like. Vi finne også en adius med dette: µ ec e 5 µ e h 5 4 = + π πε πme 1 h δ = 4 mc e 1,61 m () Innsatt i (7) gi dette en elektomagnetisk masse m elektomagnetisk 91 kg (1) Som vi se e dette ca en hundedel av elektonets totale masse. Det vise seg altså at antagelsen om at hele elektonmassen ligge i feltene undt patikkelen ikke holde mål. Med dette vil vi påstå at vi ha laget en fungeende teoi fo elektonet, men den stemme tydeligvis ikke med ekspeimente. Hadde vi på en elle annen måte visst foholdet mellom den elektomagnetiske massen og elektonmassen, kunne vi ha gått en annen vei og pøvd å finnet ladningsfodelingen og teghetsmomentet til elektonet. Vi vil ikke gjøe dette i posjektet, men vi mene utegningen bli av samme at som i posjektet. Om vi hadde satt en datamaskin til å beegne dette, kunne vi ved hjelp av en iteasjonsposess kommet fem til en ladningsfodeling. Ifølge Feynmann 7 e det noen som ha funnet den. Det kan i denne sammenheng nevnes at fø Einsteins spesielle elativitetsteoi slo gjennom pøvde enkelte fysikee å finne ut dette. Loentzfaktoen kom fø Einsteins teoi; ved hjelp av 7 I Feynmann Lectues of Physics, chap 8 Electomagnetic Mass

18 Maxwells ligninge va den funnet å gjelde fo nettopp elektomagnetisk masse. Ved å gi en patikkel sto kinetisk enegi kunne man finne ut hvo sto del av massen som va elektomagnetisk. Men fø man akk å gjøe dette viste det seg at Loentzfaktoen gjelde fo all type masse. Konklusjon: Vi mene at vi i dette fosøket ha laget en selvkonsistent modell fo elektonet. Den stemme deimot ikke med ekspeimente. At alle våe antagelse e gyldige se vi ikke på som sannsynlig, men jeg håpe ikke leseen la seg folede av dette og to at det e de poblemet ligge. Vi håpe leseen også dele den følelsen vi ha om at lignende antagelse vil gi det samme poblemet. Allikevel valgte vi å egne gundig på vå modell fo å ha noe håndfast å foholde seg til. Dette gjø det enkelt å bytte ut visse antagelse og imelig askt komme til nye lignende esultate. Om tidsammen va støe kunne vi ha gjot dette, men vi to ikke dette hadde væt fuktbat. Poblemet e nok av fundamental at. Hva e det så som e feil? Vi vet ikke. Vi ha ikke den tilstekkelige kunnskapen til å lage en fullstendig kvantemekanisk beskivelse av elektonet og dets felt. Poblemet skal visstnok væe løst ved å innføe uendelighete av divese slag. Dette skal visstnok væe å feie poblemet unde teppet. 8 Da vi skulle gjøe dette posjektet va det veldig vanskelig å finne atikle elle bøke som kunne væe til hjelp. Dette vise tydelig at poblemet få veldig lite oppmeksomhet. Vi finne dette ganske beklagelig. At poblemet kanskje e vanskelig løse e vel foståelig, men at svæt få læebøke belyse poblemet i det hele tatt e veldig at. At fysikk ikke ha foklat alt ennå bø vel gjøe faget me, og ikke minde inteessant. 8 Ifølge Waldenstøm

19 Bibliogafi: Malcolm H. MacGego: The enigmatic electon. Denne boka ta opp flee av de poblemstillingene vi ha belyst i posjektet, men vise ikke utegninge. Boka utdype også poblemstillingene, blant annet ved diskusjon av esultatene fa spedningsfosøk. ichad P. Feynman, obet B. Leighton, Matthew Sands: The Feynman lectues on physics, volume II. Boka ta fo seg poblemet på en enklee måte, og ta også fo seg mulige inde stuktue fo elektonet