UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 Side av 5 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-natuvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK Eksamensdag: Mandag 9. juni 28 Tid fo eksamen: Kl. 9-2 Oppgavesettet e på 5 side inkludet fomelaket. Tillatte hjelpemidle: Øgim og Lian: Støelse og enhete i fsikk og teknikk elle Angell, Lian, Øgim: Fsiske støelse og enhete: Navn og smbole Rottmann: Matematisk fomelsamling Elektonisk kalkulato av godkjent tpe. Kontollé at oppgavesettet e komplett fø du begnne å besvae spøsmålene. Ved sensu vil alle deloppgave bli tillagt like sto vekt med minde annet e oppgitt i oppgaven. Vi fobeholde oss etten til justeinge. Oppgave a) Atwoods fallmaskin bestå av en talje med masse M som henge i en sno fa taket. I en masseløs sno om taljen henge to masse m > m2 > M. Tegn et filegemediagam fo taljen og navngi keftene. Range absoluttvedien av keftene på snoene. b) Du slippe en ball i gulvet fa en høde h. I støtet med gulvet edusees hastigheten til ballen med en fakto slik at hastigheten v ette støtet e elatet til hastigheten v fø støtet ved: v = v. Hvo høt spette ballen ette støtet? Se bot fa luftmotstand. c) Du kaste en ball hoisontalt fa en høde h slik at den teffe gulvet med hastigheten v ˆ ˆ = v, xi + v, j. I støtet med gulvet edusees hastigheten til ballen med en fakto slik at hastigheten v ette støtet e v ˆ ˆ = v, xi v, j. Hvo høt spette ballen ette støtet? Se bot fa luftmotstand. d) En planet befinne seg i posisjonen i et koodinatsstem hvo solen e i oigo. Fo hvilke hastighete v vil planetens bevegelse væe en sikel? e) Kai kjøe i et omskip som holde hastigheten.5c i fohold til Ole. Kai måle omskipet til å væe m langt i fatsetningen. Fokla hvodan Ole og Kai måle lengden av omskipet. Hvilken lengde finne Ole at omskipet ha?

2 Side 2 av 5 Oppgave 2 I denne oppgaven skal vi studee en vogn med massen m som skli langs en bane. Du kan se bot fa fiksjon og luftmotstand. Tngdens akseleasjon e g. Vognen state i o i punktet A i høden h ove punktet B, som illustet i figuen. Vognen skli ned til punktet B i bunnen av kuven og deette opp mot punktet C på bakketoppen. I punktet C e kumningsadiusen R. Punktet C ligge en høde 2R ove punktet B. a) Finn hastigheten til vognen i punktet C. Hvo sto må h væe fo at vognen skal nå punktet C? b) Hva e betingelsen fo at vognen skal beholde bakkekontakten i punktet C? Fo hvilke høde h vil vognen miste bakkekontakten i punktet C? Oppgave 3 Vi skal i denne oppgaven se på en kollisjon mellom to lange, tnne stave som bli hengende sammen. Dette kan fo eksempel væe en modell fo hvodan to lange, lineæe molekle kollidee. De to stavene e identiske. Hve stav ha masse M og lengde L. Fo hve stav e 2 teghetsmomentet om dens massesente I = ML /2. Stavene gli på en hoisontal, fiksjonsfi flate som illustet i figuen. Fø kollisjonen e stavene paallelle. En stav ligge i o, mens den ande staven ha hastigheten v. Ette kollisjonen bli de hengende sammen som en stav, som illustet i figuen. Statposisjonen kaakteisees ved foskvningen d som illustet i figuen. Du kan se bot fa bedden og høden av staven. a) Vis at teghetsmomentet om massesenteet fo det samlede legemet e: 2 M 2 L I = d + 2 3

3 Anta føst at d =. b) Finn hastigheten v til massesenteet til det samlede legemet ette støtet. Side 3 av 5 La oss nå se på det geneelle tilfellet, hvo d L. c) Finn hastigheten v til massesenteet til det samlede legemet ette støtet. d) Finn vinkelhastigheten ω til det samlede legemet om massesenteet ette støtet. e) Hva e tapet i enegi i støtet? Fo hvilken d bli tapet minst? Kommente esultatet. f) Beskiv bevegelsen ette støtet. Oppgave 4 I denne oppgaven skal vi studee en peson som hoppe stikk. Stikken oppføe seg som en ideell fjæ med fjæstivhet k nå den bli stukket, men den ha ingen stke nå den bli dttet sammen. Stikkens likevektslengde e d. Det e også en viss demping i stikken som vi modellee som en kaft som e avhengig av hastigheten stikken defomees med. Nå stikken e stukket til en lengde x, og stikken stekkes med den momentane hastigheten v, e kaften fa stikken gitt som: kx ( d) cv v x> d F( x, v) =, x d He e c v en konstant som beskive dempingen i tauet, og k e fjæstivheten. Vi legge nullpunktet fo høden de stikken e festet og egne positiv etning nedove. En peson med masse m feste stikken om livet og hoppe fa punktet hvo stikken e festet. Han state med null hastighet. Du kan se bot fa luftmotstanden og du kan anta at stikken e masseløs. Bevegelsen e kun vetikal. Tngens akseleasjon e g. a) Tegn et filegemediagam fo pesonen nå stikken e stam. Navngi alle keftene. b) I hvilken høde bli pesonen hengende nå bevegelsen ha stanset? c) Skisse en numeisk algoitme som finne posisjonen og hastigheten til pesonen ved tiden t+δ t gitt posisjonen og hastigheten ved tiden t, hvo Δ t e et lite tidsintevall. Du kan gjøe dette i Pthon, matlab elle pseudo-kode. Med pseudo-kode mene vi he at du skissee algoitmestegene på et vis som gjø metoden tdelig. d) Figu nedenfo vise esultatet av en simuleing av et stikkhopp med denne modellen fo en stikk med lengden d = 2 m og en peson med masse m = 8 kg. Fokla esultatet. Gi et estimat fo fjækonstanten k bukt i simuleingen vist i figu. e) E sstemet konsevativt gjennom hele bevegelsen, i dele av bevegelsen, elle ikke i det hele tatt? Begunn svaet.

4 Side 4 av 5 Figu : Resultat av simuleing av stikkhopp. *** Dette e siste ak i oppgavesettet. Lkke til med oppgavene!

5 Fomelak Fs-mek våen 28 F = m a = d p d d v, hvo p = m v = m, og a = = d2. 2 Konstant a: v = v + at, = + v t + 2 at2, v 2 v 2 = 2 a ( ). Konstant α: ω = ω + αt, θ = θ + ω t + 2 αt2, ω 2 ω 2 = 2α (θ θ ). Baneakseleasjon: a = dv ût + v2 ρ ûn. Rotasjon: v = ω, a = α + ω ( ω ). Galilei-tans.: = R +, v = V + v. Fjækaft: F (x) = k (x x ). Luftmotstand: F v = k v elle F v = Dv v. Fiksjon: F s µ s N elle F d = µ d N. Abeid: W AB = B A F d = K B K A, Kinetisk enegi: K = 2 mv2. Potensiell enegi: U( ). Tngdekaft: U = mg. Fjækaft: U = 2 k(x x ) 2. Konsevativ kaft: F = U( ). Impuls: J = t t F = p = p(t ) p(t ). Rakett-likningen: F ext dm + v el = m a. Massesente: R = M i m i i = M M dm, M = i m i = M dm. Kaftmoment: τ = F. Spinn: L = p. Spinnsats: τ = d L. Stive legeme: L z = I z ω z, τ z = I z α z. Kinetisk enegi: K = 2 Iω2, I = i m iρ 2 i = M ρ2 dm. Paallellakseteoemet: I = I cm + Md 2. Rullebetingelse: V = ωr. Fiktive kefte: m a = F ext m A m d ω 2m ω v m ω ( ω ). Gavitasjon: F ( ) = G mm2 û 2, U() = G mm2. Spenning og tøning: σ xx = Fx A x = E x x = Eɛ xx, x = ν x. Loentz-tans.: x = γ (x ut), =, z = z, t = γ ( t u c x ), γ = 2 q. u2 c 2 Relativistisk: m = γm, p = m v, E = mc 2.