EKSAMEN I FAG SIF 4008 FYSIKK Mandag 7. mai 2001 kl Bokmål. K. Rottmann: Matematisk formelsamling

Transkript

1 Side 1 av 1 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt unde eksamen: Føsteamanuensis Knut Ane Stand Telefon: EKSAMEN I FAG SIF 48 FYSIKK Mandag 7. mai 1 kl Bokmål Hjelpemidle: B K. Rottmann: Matematisk fomelsamling O. Øgim og B. E. Lian: Støelse og enhete i fysikk og teknikk Typegodkjent kalkulato, med tomt minne, i henhold til liste utabeidet av NTNU Sensuen kan ventes i uke

2 Side av 1 Oppgave 1 a) Coulombs lov fo det elektiske feltet E () punktladning q lyde: i vakuum i en avstand fa en q E = 4πε ˆ e (1) de ε e pemittiviteten i vakuum og eˆ /. Vis at Gauss lov fo vakuum følge fa (1) fo det spesialtilfellet at den lukkede flaten e en kuleflate og at den innelukkede ladningen kun e én punktladning plasset i sentum fo kuleflaten! I de neste to punktene betakte vi en massiv kule med adius 1 laget av et ledende mateiale. Utenfo kulen e det luft (pemittiviteten fo luft skal egnes lik pemittiviteten ε fo vakuum). Avstanden fa kulas sentum kalles. Kula ha nettoladning Q. b) Hva e det elektiske feltet inne i kula? Begunn svaet! c) Finn E () (uttykt ved Q, og ε ) også utenfo kula og lag en skisse av E () fo alle vedie av! I de to siste punktene betakte vi en massiv kule av ledende mateiale fotsatt med adius 1 og nettoladning Q, men nå også omgitt av et konsentisk skall av ledende mateiale med inde adius og yte adius 3. Skallet ha null nettoladning. Rommet mellom den massive kula og kuleskallet e fylt av et dielektisk mateiale med elativ pemittivitet ε = 5,. Avstanden fa sentum av kula kalles fotsatt. Et snitt e vist nedenfo. 1 3 d) Finn E () (uttykt ved Q, og ε ) og lag en skisse av E () fo alle vedie av!

3 Side 3 av 1 e) Finn potensialet V () (uttykt ved Q, og ε ) og lag en skisse av V () fo alle vedie av! (Define V ( ) = fo =!) Oppgitt Fo en vilkålig lukket flate (i vakuum) som omhylle en samling ladninge, gjelde Gauss lov: E da = Q ε encl de E e elektisk felt gjennom flaten og Q encl e algebaisk sum av ladning innenfo den lukkede flaten. ε e pemittivitet i vakuum. Fo en vilkålig lukket flate i et dielektikum med pemittivitet ε = ε ε de ε e elativ pemittivitet, modifisees Gauss lov til: E da = Q encl, fi ε de Q encl, fi e algebaisk sum av fie ladninge innenfo den lukkede flaten. Fo sentalsymmetisk tilfelle e sammenhengen mellom elektisk felt E () elektisk potensial V () gitt ved: og E( ) = V ( ) ˆ e de eˆ /.

4 Side 4 av 1 Oppgave I de to føste punktene betakte vi en kets som vist på figuen nedenfo. ε + A B R L Ketsen bestå av en likespenningskilde (som vi egne ideell, dvs uten inde motstand) med elektomotoisk spenning ε, en en esistans med motstand R og en spole med induktans L. A og B e to bytee. Med byteen B åpen og byteen A lukket e Kichhoffs ande lov fo ketsen: di ε = ir + L (1) dt di de t e tiden, i e stømmen, L og ir e spenningsfallene henholdsvis ove spolen med dt induktans L og esistansen R. a) Vi tenke oss føst følgende situasjon: Begge bytene ha væt åpne, men ved tiden t = lukkes byteen A mens B fotsatt fobli åpen. Vis at stømmen fo t > da e gitt ved: de i = R τ L / R. ε /τ t ( 1 e ) () b) Vi tenke oss så at byteen A ha væt lukket og B åpen så lenge at stømmen i ketsen e blitt ε / R. Ved tiden t = åpnes byteen A samtidig som byteen B lukkes. Finn stømmen i ketsen fo t >!

5 Side 5 av 1 c) Vi betakte så en tilsvaende kets som den ovenfo, men med en påtykt vekselelektomotoisk spenning V = V cosω t (de ω e vinkelfekvens) i stedet fo likespenning og uten bytene A og B. R V = V cosω t L Kichhoffs ande lov fo denne ketsen på eell fom e: di L dt + Ri = V cosω t (3) Skiv opp den komplekse epesentasjonen av denne ligningen og bestem i (uttykt ved ω, R, L og V ) i den komplekse epesentasjonen: i = i e jωt (4) av den stasjonæe løsningen fo stømmen i ketsen! d) Finn også den stasjonæe løsningen fo stømmen i fo ketsen i punkt c på eell fom (uttykt ved ω, R, L og V )!

6 Side 6 av 1 Oppgave 3 Vi skal i de te føste punktene i denne oppgaven betakte oveflatebølge som foplante seg på genseflaten vann/luft. Vi anta fo alle de te føste punktene at bølgelengde λ og vanndybde begge e stoe nok til at vi fo fasehastighet V f med god tilnæmelse ha: Vf = g T π de T e peiodetid til aktuell cosinusbølge elle fouiekomponent og g = 9,8 m/s. (1) a) Finn ut fa ligning (1) sammenhengen mellom bølgelengden λ og peiodetiden T fo en cosinusbølge elle fouiekomponent! Finn også tilsvaende sammenheng mellom vinkelfekvensen ω og angulæt bølgetall k = π / λ! b) Vis at vi i det tilfellet vi he betakte ha: 1 V g = V f fo enhve cosinusbølge elle fouiekomponent! () c) Et bølgetog med utsving U ( x, som vist på figuen, e geneet på en vann/luftgenseflate av en bølgegeneato i en bølgeenne (dvs det foplante seg i én dimensjon). Bølgetoget ha fouiekomponente (fekvenskomponente) ω sentet om fekvensen ω = gk med k = π / λ de λ =,5 m. Vi anta som en bukba tilnæmelse at vi kan egne ω = konstant k fo de fouiekomponentene som bølgetoget bestå av, dvs vi neglisjee at omhyllingskuven til bølgetoget foande fom nå bølgetoget foplante seg botove bølgeenna. Det e en definisjonssak akkuat hvo langt bølgetoget e. Vi definee det til å ha lengde 6λ = 6,5 m = 3, m. Nå bølgetoget gå botove oveflaten se det ut som nye bølge med λ λ =,5 m oppstå i bakkant av bølgetoget og få økende amplitude mens de foplante seg famove i bølgetoget inntil de ha nådd sentum. Deette minke de til amplituden igjen bli null i famkant av bølgetoget. U ( x, t 1 ) x Finn tiden t fa en slik bølge oppstå i bakkant av bølgetoget til den dø (dvs amplituden minke til null) i famkant av bølgetoget!

7 Side 7 av 1 Vi skal i de to siste punktene i denne oppgaven betakte tansvesale utsving D ( x, som foplante seg som bølge på en steng som e stekt i x-etning. Stengen ha masse p lengdeenhet µ =,1 kg/m og stamming F = 5 T N. Vi anta at utsvingene D ( x, e så små og at foholdene fo øvig e slik at bølgeligningen: D( x, µ x = F T D( x, t (3) gjelde fo de tilfelle vi betakte. d) Vis at bølgefunksjonene: D( x, = A cos( kx ω t + ϕ) (4) oppfylle bølgeligningen (3) fo alle eelle vedie av konstantene A og ϕ og alle eelle vedie av ω og k som e slik at ω = (5 m/s) k. e) Vi betakte så et bølgetog geneet på stengen som ha utsving gitt ved K U( x,. Vi anta at U ( x, fo et gitt tidspunkt e det utsving som vi fo et gitt tidspunkt hadde fo bølgetoget i punkt c. K e en konstant vesentlig minde enn 1. (Denne antagelsen bety at dette bølgetoget bestå av de samme bølgelengdekomponente som det i punkt c, sentet om bølgelengden til å væe λ λ =,5m 6λ = 6,5 m = 3, m langt.). Dette bølgetoget definees også KU( x, t ) x F T Vil det nå dette bølgetoget foplante seg botove stengen, se ut som nye bølge med λ λ =,5 m oppstå i bakkant og dø i famkant av bølgetoget? (Vi kan tenke oss at bølgepakkens foplantning bli tatt opp på film som kan kjøes med langsom hastighet fo obsevasjon.) Hvis nei, begunn svaet utfølig! Hvis ja, finn tiden tsteng som gå fa en slik komponent se ut til å oppstå i bakkant til den dø i famkant av bølgetoget!

8 Side 8 av 1 Oppgitt Fasehastighet V f e definet ved: Vf ω k Guppehastighet V g e definet ved: Vg dω dk dω Mek at nå vi ha dispesjon, må tas fo aktuell k-vedi. dk Oppgave 4 Vi skal i denne oppgaven betakte en planbølge med lys (som e lineæpolaise som komme nomalt inn mot en skjem A med to spalte S 1 og S. Intefeensmønsteet dannet av lyset som passee S 1 og S bli egistet på en skjem B plasset en avstand L fa A, som vist på figuen nedenfo. Innkommende planbølge P S 1 + d θ S y x A B L

9 Side 9 av 1 Vi anta at spaltene S 1 og S e like og så smale at hve av dem (i samsva med Huygens pinsipp) e utgangspunktet fo en bølge med en halvsikel som tvesnitt. Det vil si, vi anta at bølgene fa de to spaltene e sylindebølge og at spaltene e så lange at vi ikke ha poblem med ende-effekte de vi obsevee lysfodelingen på obsevasjonsskjemen. I hele oppgaven skal vi altså bae egne på det som skje i det tvesnitt som papiplanet epesentee, de bølgene fa S 1 og S ha halvsikle som bølgefonte. Vi anta fo hele oppgaven at L > d slik at lysstålen fa S 1 til et punkt P på obsevasjonsskjemen kan betaktes å væe paallell med lysstålen fa S til P (uavhengig av P s plasseing). Vi anta videe fo hele oppgaven at: Det innkommende lyset e fullstendig koheent, og fo punkt a og b: De elektiske feltene henholdsvis fa spalt S 1 og fa spalt S, kan i et punkt P på obsevasjonsskjemen (dvs at lyset e bøyd vinkelen θ ) uttykkes ved: E 1 [ k ω ϕ] = E cos t 1 [ k( + ω ϕ] E = E cos ) t de k = π / λ, λ e bølgelengden, ω e vinkelfekvensen, ϕ e en fasekonstant (som vi ikke ha bestem, e avstanden fa S 1 til P og + e avstanden fa S til P. E 1 og E e avhengige av henholdsvis og +. Men siden vi betakte L > d kan vi med god tilnæmelse sette: E 1 E E = (uavhengig av P s plasseing på skjemen) a) Vis at det totale feltet på obsevasjonsskjemen som funksjon av vinkelen θ e gitt ved: E θ kd sinθ 1 = E cos cos[ k( + d sinθ) ω t ϕ ] b) Finn ut fa E θ gitt i punkt a, lysets intensitetsfodeling på obsevasjonsskjemen som funksjon av vinkelen θ! Finn også de vinkle θ som gi maksimum lysintensitet (uttykt ved d og λ)! Vi betakte i fotsettelsen så små bøyningsvinkle θ at sin θ tanθ θ, dvs at vetikalavstande på obsevasjonsskjemen B målt ut fa midtnomalen til spalteåpningene i skjem A, kan uttykkes ved y = θ L. Vi anta videe at spalteavstanden d e 5, µm og at obsevasjonsskjemen B e plasset i en avstand L = 5, cm.

10 Side 1 av 1 c) Vi la nå S 1 væe tildekket av en glassplate (glassplaten plassees foan S 1, dvs på den siden av skjemen A som vende mot lyskilden) mens S ikke e tildekket. Vi anta at sideflatene til glassplaten e paallelle med hveande og fullstendig plane. Vi neglisjee efleksjon fa glassplaten og se elles bot fa diffaksjon pga. kanten av glassplaten mellom S 1 og S. Med glassplaten på plass obsevees det at intefeensmønsteet på obsevasjonsskjemen bli flyttet slik at mønsteets nullteodens maksimum nå ha samme posisjon som mønsteets øve føste-odens maksimum hadde fø glassplaten ble lagt på. Finn den tykkelse glassplaten må ha fo at dette skal væe tilfelle desom det innkommende lyset ha bølgelengde λ = 5, 1 nm og bytningsindeksen fo glassplaten (kystallglass med bly) e 1,98! d) Vi anta så at hele oppsettet fa punkt c senkes ned i en gjennomsiktig væske med ukjent bytningsindeks. Det obsevees da at nullte odens maksimum i intefeensmønsteet foflyttes halvveis tilbake til posisjonen det hadde fø glassplaten ble lagt på og oppsettet ble senket ned i den ukjente væsken. Hva e da avstanden mellom to nabo-intefeensmaksima? (Vi anta at lyskilden ha samme fekvens som i punkt c, dvs tilsvaende at bølgelengden i luft e 5, 1 nm ) Oppgitt cosa + cos a + b a b b = cos cos Intensiteten fo en peiodisk elektomagnetisk bølge i vakuum e gitt ved: I = ε ce de E e det elektiske feltet til bølgen, E e E midlet ove en peiode, ε e pemittiviteten i vakuum og c e lyshastigheten i vakuum. Desom E = E cos( ω t + ϕ ) de ϕ ' e en konstant (dvs uavhengig av ha vi: ' E = 1 E Nå lyshastigheten i vakuum (elle luf kalles c, så e lyshastigheten (dvs fasehastigheten fo lys) c s i et stoff med bytningsindeks n gitt ved c = s c / n, og desom vakuumbølgelengden e λ, så e bølgelengden λ s i stoffet gitt ved λ s = λ/ n.