Eksamen i MA-104 Geometri Løsningsforslag

Transkript

1 Eksamen i M-04 Geometi Løsningsfoslag Oppgave Et kvadat ha side lik s, som du velge selv. E e midtpunktet på og F e midtpunktet på. iagonalen skjæe F i H. E skjæe F i G. I oppgaven skal du buke eksakte vedie og ikke estatte øtte med tilnæmingsvedie. e ulike lengdene skal uttykkes ved s. a. Tegn kvadatet. Regn ut F. b. Hvofo e tekantene EG og F fomlike? Regn ut lengden av G, GF og G. c. Hvo stoe e vinklene og? Regn ut H og HF. d. Hvofo vil E gå gjennom H? Løsningsfoslag a. Pythagoas setning på F gi s ( ) F = s + = s b. F og E e åpenbat konguente, og F e bildet av E otet 90 om I, som e skjæingspunktet mellom diagonalene. a må E, F =, = 90, så ( ) ( ) GE = 90. Siden dessuten F e felles fo EG og F, så må disse tekantene ha de samme vinklene og defo væe fomlike. H ltenativt: E F, fodi sidene e G pavis like. E = EG = F. essuten e F felles fo EG og F, og disse må defo væe fomlike. E G s a må = = = s og heav G = E = s = s E F s og GF = F G = = s. Videe e s s 0 s ( ) s 0 s GE = E G = = s og G = E GE = s = s. I 0 F c. og e begge 4, fodi e diagonalen i kvadatet.. iagonalen halvee vinkelen, setningen om delingsfoholdet fo halveingslinja fo H en vinkel i en tekant gi fo vinkelen i tekanten F: = =. a må HF F s s H = F = = s og HF = F = = s 6 d. I e I og F mediane som skjæe hveande i H. E e den siste medianen, og denne må da også gå gjennom H, siden medianene skjæe hveande i ett punkt. et bety at, H og E må ligge på linje. Eksamen i M-04 Geometi Side av 7

2 Oppgave Gitt en sikel med adius og sentum i S.: I denne sikelen skal det innskives en fikant, de disse kavene skal væe oppfylt: skjæe av en bue på 90. iagonalen e diamete i sikelen. iagonalen skjæe diagonalen i E, slik at E : E = :. I alle utegninge nedenfo skal du buke eksakte vedie, ikke tilnæmingsvedie, alle uttykt ved. a. Konstue sikelen og fikanten. b. Hvofo e halveingslinje fo? Regn ut lengden av sidene i fikanten. c. Hva bli sidene i SE? d. Regn ut E. La høyden fa på skjæe i T, og høyden fa på skjæe (folenget) i R. e. Hvofo vil RT gå gjennom S? Løsningsfoslag a. Se figuen til høye. b. Siden e diamete i sikelen, e = 90, og siden buene og begge e 90, e peifeivinklene og begge 4. efo e halveingslinje fo vinkelen. Sidelengdene: = = + = ( ) ( ) + = + = = 4 gi =, = T S E R SE = E S = = og c. ( ) E = + = og S= 0 d. Vi uttykke E s potens mhp. sikelen på to måte: E E E E E 4 8 = 0 = = = 9 og heav: E = = 0 e. R, S og T e fotpunktene fo nomalene fa på sidene i tekanten. Siden ligge på omsikelen til, følge av setning.. (s. 78 i NG) at R, S og T e kollineæe. 0 Eksamen i M-04 Geometi Side av 7

3 Oppgave u skal tegne et fikantet pisme P i pespektiv. u få oppgitt: To vannette kante og som ligge i hoisontalplanet En loddett kant Hoisonten På svaak skal du gjøe følgende: a. Fullfø konstuksjonen av pismet P. b. ette pismet skal utvides med et tinn, et nytt pisme til høye fo og bak P, like bedt og dypt som P, men halvpaten så høyt. Tegn figuen på svaak. hoisont På svaak e det gitt de samme opplysningene som på svaak, men i tillegg e det gitt en punktfomet lyskilde L, som stå på en loddett stang KL, de K ligge i hoisontalplanet. På svaak skal du gjøe følgende: c. Fullfø pespektivtegningen av pismet, som i oppgave a. Tegn og skave skyggen av pismet i hoisontalplanet. Vink: Pojeksjonen i hoisontalplanet av en lysståle LP gjennom et punkt P som ha pojeksjon Q i hoisontalplanet, e linja KQ. Fo eksempel e pojeksjonen av L lik K. Eksamen i M-04 Geometi Side av 7

4 L ho is on K Eksamen i M-04 Geometi Side 4 av 7

5 Oppgave 4 a. På svaak e det gitt figue. Skiv ned symmetiguppen fo hve av figuene på svaaket. Skiv kote begunnelse fo svaene. Make på svaaket eventuelle otasjonssente og speilsymmetiakse. Løsningsfoslag S= S=Z S= S4=Z 4 S=Z S6=Z 6 S7=Z S8= S9={I} S= S=Z S0= Eksamen i M-04 Geometi Side av 7

6 På figuen nedenfo e det gitt en tekant T =, de hjønene e (0,0), (4,0) og (4,). essuten e det gitt seks tekante T, T, K, T6 som alle e konguente med T, og som defo e bilde av T ved seks isometie I, I, K, I6. I avbilde T på T osv. 0 T 4 T T T 6 T T - T b. Klassifise de seks isometiene I, I, K, I6. Opplys om eventuelle otasjonssente, otasjonsvinkel, speilingslinje og tanslasjonsvekto (paallellfoskyvningsvekto). c. Finn et enklee uttykk fo isometien II 4 (de I anvendes føst). d. Klassifise isometien II. 6 Løsningsfoslag b. i. I e diekte isometi med (0,) som fikspunkt. et e defo en otasjon om punktet (0,), og vi se at otasjonsvinkelen e 90.. I homogene koodinate e matisen Kontoll: = Eksamen i M-04 Geometi Side 6 av 7

7 ii. I e glideefleksjon om x-aksen med tanslasjonsvekto (,0). I homogene koodinate e matisen 0 0. Kontoll: = iii. I bli speiling om linja y=x. en ha matisen 0 elle i homogene koodinate:. Kontoll: 0 0 iv. I 4 e I ettefulgt av tanslasjonen med tanslasjonsvekto (-4,4). ltenativt e det 0 4 speiling om linja y = x+ 4. Matisen bli i homogene koodinate 0 4 elle 0 0 du kan beegne den som = = v. I e tanslasjon med tanslasjonsvektoen (-4,4). I homogene koodinate e matisen vi. I 6 e speiling om y-aksen. en ha matisen 0 elle i homogene koodinate. 0 0 c. I e altså speiling om linja y=x, og I 4 e speiling om linja y=x+4, som e paallell med y=x slik at vektoen (-,) e nomalvekto fa den føste til den ande linja. a e, = 4,4. Vi kan også sammensetningen en tanslasjon med tanslasjonsvekto ( ) ( ) se på matisepoduktet =, som e matisen til en tanslasjon vektoen (-4,4). Vi ha altså II 4 = I. d. I e speiling om linja y=x. I 6 e speiling om y-aksen. Vinkelen mellom de to speilaksene e 4. Sammensetningen e da en otasjon vinkelen 90 om. Vi kan også se på cos90 sin90 matisepoduktet 0 0 = = 0 sin90 cos90, som e matisen til otasjon 90 om oigo. Eksamen i M-04 Geometi Side 7 av 7