Øving 1. Institutt for fysikk, NTNU Fag SIF 4012 Elektromagnetisme og MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Høst 2002

Transkript

1 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Øving Veiledning: Tosdg 9. ugust Innleveingsfist: Tisdg. septembe kl. Oppgve En ldning q e plsset i (,y)(,) og en ldning q i (,y)(-,). Beegn den elektiske feltstyken E ved (,y)(,). Bestem tllvedi fo E nå qe og Å. [Vnlig notsjon: vektoe med fete type.] Oppgve ) Beegn hvo sto elektisk feltstyke det må væe ved jodoveflten fo t den elektiske kften på et kloidion, Cl -, kkut skl blnsee gvitsjonskften. Peke E oppove elle nedove? b) Hvis dette elektiske feltet hdde sin oppinnelse i et nnet kloidion plsset nedenfo det føste, hv ville d vstnden mellom ionene h væt? Vi nt den vnligste isotopen v klo, med mol msse 5 g/mol. Oppgve En sikelfomet skive med dius h en (positiv) oveflteldningstetthet σ. ) Finn den elektiske feltstyken E i et punkt P på symmetiksen i en vstnd f skiv. (Tips: Finn feltet i P f en ing med dius og bedde d, og intege så f til.) b) Hv e vedien v E nå «og nå»? Fokl hv disse spesiltilfellene bety i pksis. Oppgve 4 To fste punktldninge 4q og q e plsset på -ksen i hhv. og. ) Vis t mulige likevektsposisjone fo en tedje ldning q må ligge på -ksen, og bestem -koodint fo en eventuell likevektsposisjon. (Knskje det kn væe flee?) b) Hvis du finne en likevektsposisjon (elle flee), kn du på en enkel måte (uten egning) begunne om likevekten e stbil elle ustbil mhp. en liten foskyvning i -etning? (*) (*) Nå ptikkelen flyttes ut f en likevektsposisjon, vil ptikkelen påvikes v en kft. Desom denne kften vike i smme etning som, e likevekten ustbil, i motstt fll stbil.

2 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Oppgve Løsning øving Det elektiske feltet f hve ldning e: E q q 4π π d ( ) 5 Av symmetigunne e det klt t y-komponenten E y til det esulteende feltet fosvinne (E y ). De to ldningene bid med like stoe -komponente: E E sin α E 5 E 5 Demed: q E E ˆ ˆ 5π Med q e.6-9 C og Å - m bli tllvedien på det elektiske feltet E 4π 5 q ( ) N/C Side v 5

3 Oppgve ) Kloidionet h ldning e og msse 5m p, de e.6-9 C e elementældningen og m p.67-7 kg e potonmssen (som e omtent like sto som nøytonmssen). Tyngdekften e lik den elektiske kften nå mg ee Det gi den elektiske feltstyken E mg e kg 9.8m/s 6.6 Ν/ C 9.6 C Til smmenligning e vnlige elektiske felt ved jodoveflt v støelsesoden N/C. b) Mn oppnå et tilsvende stot elektisk felt f et kloidion, e E 4π nå vstnden e: 9 9 e πE.6 m.m cm Oppgve ) Vi dele skiv opp i inge med bedde d. Alle punkte på ingen ligge i smme vstnd f punktet på -ksen (se figu neste side). Dimetlt motstte punkte (evt ele da) føe til t - og y- komponentene til feltet fosvinne. -komponenten bli dq de 4π cos D e konstnt undt hele ingen, kn en l dq gjelde fo hele ingen slik t Demed bli feltet f hele skiv: dq σ da σd π dϕ πσd. de E πσd σ σ de 4π ( ) ( ) ( ) / / / Side v 5

4 e bukt. En kunne også h stt og fått dobbeltinteglet cos dq σ da σdϕd π ( L) dϕ σd. Altentivt kunne vinkelen h blitt benyttet som integsjonsvibel: d d tn d(tn ) ; cos cos d cos cos d tn cos cos sin d cos Side v 5

5 Side 4 v 5 b) Nå», bety det t plt e sto i fohold til vstnden f plt til punktet som betktes. Det siste leddet kn d neglisjees (/ ), og vi finne σ E Vi skl i foelesningene snt se t dette nettopp e feltet utenfo et uendelig stot unifomt ldet pln. Nå», vil plt bli som et punkt lngt bote. D vil og vi må defo ekkeutvikle fo å få et ikke-fosvinnende bidg til E. Med finne en, med utvikling i Tyloekke: L eventuelt L L L ; slik t feltet bli: 4 4 Q E π σ σ σ L som e feltet f en punktldning QσA, de Aπ e elet v sikelskiven.

6 Oppgve 4 Punktldningen e i likevekt (dvs kn ligge i o) desom kften på den e lik null. De to keftene, hhv f ldningen 4q i og f ldningen q i, kn be knsellee desom de h ekskt motstt etning. Det kn de ikke h desom den tedje ldningen q e plsset utenfo -ksen, f.eks. som øvest på figuen. (Enkeltkomponente v kften med stiplete pile, totlkften med heltukken pil.) Altså må ldningen q ligge på -ksen fo å kunne væe i likevekt. Videe, ettesom tiltekningskften mellom to ldninge 4q og q e stekee enn fstøtningen mellom q og q fo en bestemt vstnd mellom ldningene, e det klt t ldningen q må ligge et sted til høye fo fo å væe i likevekt. I tillegg kn selvsgt ptikkelen bindes i det singulæe punktet. Null kft på -ksen i punktet medføe demed (nå en også t hensyn til kftens etning): 4 4( ) 8 ( 4 ) q 4π ( 4 ± 4 4 ) ( 4 ± ) Vi h he foutstt t >, slik t / ikke e en ktuell løsning. Vi se d også v figuen t begge kftkomponentene vike mot venste på en ldning q plsset he. Posisjonen e stbil mhp en foflytning lngs -ksen, d den fstøtende kften f q i vil vt skee enn den tiltekkende kften f 4q i fo en positiv foflytning, og øke skest fo en negtiv foflytning. (En kn sjekke dette mtemtisk ved å deivee uttykket fo nettokften mhp.) Ved en foflytning i y-etningen, deimot, vil denne likevekten væe ustbil. (Vis dette ved å beegne y- komponenten v de to keftene som vike på den tedje ldningen nå den e plsset i (,y) (, y)!) Side 5 v 5

7 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Veiledning: Tosdg 5. septembe Innleveingsfist: Tisdg. septembe kl. Øving Oppgve En stv med lengde L h en unifom ldning λ p lengdeenhet. ) Skisse de elektiske feltlinjene i et pln nomlt på stven gjennom dens midtpunkt. b) Skisse de elektiske feltlinjene i et pln som inneholde stven. Vis skissene både i sto og i liten målestokk, slik t de gi et kvlittivt bilde v feltet både næt og lngt unn stven. (L fo eksempel stvens lengde på ppiet væe henholdsvis 4 mm og mm.) Oppgve En sikelfomet skive med dius h en unifom oveflteldningstetthet σ. ) Skisse de elektiske feltlinjene i et pln som inneholde skiv. b) Skisse de elektiske feltlinjene i et pln nomlt på skiv gjennom sentum. Vis skissene både i sto og liten målestokk, som i oppgve. Oppgve ) Te punktldninge e plsset i hjønene v et kvdt med sideknte som vist i figuen. Hvo stot beid må utføes fo å binge en fjede ldning q f uendelig lngt bote og inn til det ledige hjønet v kvdtet? Hvo stot e det totle beidet som må utføes fo å sette smmen en slik konfigusjon v fie punktldninge? b) Desom vi istedetfo kvdtet h et ektngel med sideknte (mellom p v like ldninge) og b (mellom p v ulike ldninge), hvo stot må foholdet b/ d væe fo t det skl et positivt beid til fo å sette smmen de fie punktldningene i hvet sitt hjøne? [Svet bli, med to desimles nøyktighet, ett v følgende: b/ >.47, b/ >.88 elle b/ >.]

8 Oppgve 4 En tynn stv med lengde L h en unifom ldning λ p lengdeenhet. ) Vis t det elektiske feltet i et punkt P i en vstnd f stven e gitt ved 4π E y (sin sin ) λ/ 4π E (cos cos ) λ/ de og e vinklene som dnnes mellom linjene f P til stvens endepunkt og nomlen til stven gjennom P, som vist i figuen. Fotegnet til vinklene e som indiket i figuen (dvs e negtiv). (Tips: Buk som integsjonsvibel.) b) Finn feltet nå punktet P e like lngt f begge ende. c) Finn uttykk fo E og E y nå punktet P ligge på -ksen i en vstnd f høye ende v stven. (Tips: Dette kn løses ved diekte integsjon fo dette spesielle tilfellet. Altentivt kn en buke esulttet som e funnet unde ) fo geneelle vedie v, og, og t det ktuelle gensetilfellet.)

9 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Løsning øving Oppgve ) Næt: Lngt unn: b) Næt: Lngt unn: Side v 6

10 Oppgve ) Næt: Lngt unn: b) Næt: Lngt unn: Legg meke til t både stven og skiv kn tilnæmet betktes som punktldninge nå vi e tilstekkelig lngt unn. Side v 6

11 Oppgve q ) Det elektiske potensilet f en punktldning e: V ( ) (med vlget V( ) ). D 4π elektisk potensil e potensiell enegi p ldningsenhet, bli potensiell enegi mellom p v q punktldninge i innbydes vstnd lik U ±, med positivt fotegn fo to like ldninge og 4π negtivt fotegn fo to ulike ldninge. Den totle potensielle enegien finne vi ved å summee ove smtlige p v punktldninge. Abeidet som må utføes fo å putte en fjede ldning, q, i det ledige hjønet v kvdtet bestemmes ved å beegne den tilsvende endingen i systemets potensielle enegi. I utgngspunktet h vi ldninge, ltså må det summees ove p v punktldninge: U q q q q fø 4π 4 π Med ldning numme 4 på plss få vi bidg f i lt 6 p v punktldninge: q q q q U ette 4π 4π Utføt beid på systemet v punktldninge bli demed: q W Uette U fø π 4 W < bety et negtivt beid utføt på ldningene, hvilket bety t ldningene h utføt et positivt beid på omgivelsene. Det totle beidet som må til fo å sette smmen denne konfigusjonen v 4 punktldninge bli ett og slett lik U ette, d U fø fo 4 punktldninge uendelig lngt f hvende. Altså: q Wtot U ette π b) Med de smme ldningene i hvet sitt hjøne v et ektngel med sideknte og b bli totl potensiell enegi, og demed totlt beid påkevd fo å sette smmen ldningene på denne måten lik: q q q W (med b/) 4π b b 4π b b 4π Å løse W() e, såvidt jeg kn se, ikke mulig å gjøe ekskt, men vi innse umiddelbt t jo støe e, jo støe bli W(). Med få vi W tot f oppgve ), ltså negtiv W. L oss pøve :.5 >. Altså skifte W() fotegn like unde, slik t iktig sv må væe b/ > Side v 6

12 Oppgve 4 ) Elektisk felt f lengdeelement d: d E d A ˆ de Aλ/4π. Det gi komponentene de de y de sin de cos med fotegnsvlg som i oppgven, dvs < nå >. Vi h følgende smmenhenge: cos sin d d cos d d d d elle cos tn d ( konst.) Integsjon gi demed: E E y de de y A A A sin d A cos d ( cos ) ( cos cos ) A A ( sin ) ( sin sin ) (de ltså < og > ). Side 4 v 6

13 Side 5 v 6 b) Lngs midtnomlen h en: cos cos cos sin sin sin L Følgelig finnes lngs midtnomlen: 4 L L L A E E y π λ c) I stvens folengelse i vstnd finne en L cos og tilsvende L cos L slik t ( ) ( ) cos cos lim L AL L A A E

14 Side 6 v 6 Videe e så, ved ekkeutvikling ( (/ ) ): L L sin sin L L slik t lim L L L A E y esulttet E y e vel lett å innse ved diekte betktning. Videe, og som nevnt i oppgveteksten, kn E enkelt bestemmes ved diekte integsjon: ( ) ( ) L AL L A A d A E L L (nå oigo legges i høye ende v stven).

15 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Veiledning: Tosdg. septembe Innleveingsfist: Tisdg 7. septembe kl. Øving Oppgve : Elektisk dipol En elektisk dipol e plsset lngs -ksen som vist i figuen. Det elektiske dipolmomentet e definet som p q, de vektoen f q til q. I denne konfigusjonen e det hensiktsmessig å velge kulekoodinte (,,ϕ), slik t potensilet V og feltet E ngis som funksjone v vstnden f oigo og vinkelen mellom og ksen gjennom dipolen (se figuen). V og E e begge uvhengig v ϕ pg symmeti omking -ksen. ) Vis t i sto vstnd f dipolen (» ) e potensilet gitt ved V(,) p cos/4π p /4π b) Finn det elektiske feltet E(,) E e E e i sto vstnd f dipolen uttykt i kulekoodinte. Gdienten i kulekoodinte e gitt ved V e (ØV/Ø) e (/)(ØV/Ø) e ϕ (/sin)(øv/øϕ) (e, e og e ϕ e enhetsvektoe fo, og ϕ) E esulttet imelig fo og fo π/? Enn fo? c) Finn det elektiske feltet E(,) uttykt i ktesiske koodinte fo». Tips: T utgngspunkt i uttykkene fo E og E i punkt b). Ved hjelp v en figu kn du finne smmenhengen mellom (,) og (,), smt E og E uttykt ved E, E og. d) Finn også E(,) uttykt i ktesiske koodinte ved å skive om potensilet V uttykt ved ktesiske koodinte, V V(,), og deette buke gdientopetoen i ktesiske koodinte.

16 Oppgve Et kuleskll med inde dius og yte dius b h en (om-)ldningstetthet ρ() k/ i omådet < < b (ρ elles). Buk Guss lov til å bestemme det elektiske feltet i de te omådene (i) <, (ii) < < b, (iii) > b. Skisse E som funksjon v nå b. Oppgve. Diffeensielt element i kulekoodinte. (Læeik mtemtikkøvelse!?) I ktesiske koodinte e et infinitesimlt (diffeensielt) linjeelement gitt ved ds d i dy j d k, et infinitesimlt elelement da henholdsvis dy d i, d d j og dy d k (dvs med etning nomlt på flten) og et infinitesimlt volumelement dτ d dy d. ) Vis t i kulekoodinte (,,ϕ) e de tilsvende støelse ds d e d e sin dϕ e ϕ da sin d dϕ e, da d sin dϕ e, da ϕ d d e ϕ dτ d sin d dϕ Tips: Tegn opp et infinitesimlt volumelement som vgenses v fltene og d, og d, ϕ og ϕdϕ, og smmenlign med det tilsvende fo ktesiske koodinte. (i, j og k e enhetsvektoe i hhv -, y- og -etning mens e, e og e ϕ e tilsvende fo, og ϕ) b) Vis på gunnlg v fomlene ove t ei kule med dius h volum (4/) π og oveflteel 4π.

17 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Oppgve ) Løsning øving Potensilet f de to ldningene e gitt ved: V 4π q 4 π ( q ) Til ledende oden, nå», finne en så: cos cos (Dette e knskje det spingende punkt i denne oppgven? Koeksjone til dette uttykket vil væe v høyee oden i litenhetspmeteen /.) Med q cos p cos pe p / gi dette p cos V (, ) 4π 4 π p

18 b) Det elektiske feltet bli: ( ) π π e e e e e e sin cos 4 sin cos 4 p p p V V V E Fo : p E e 4 π som e imelig; diekte beegning v E-feltet lngt ute på den positive -ksen gi: ( )( ) q q q q E e e e π π π de vi h bukt -, og. Fo π/: π ˆ 4 p E som e imelig; diekte beegning v E-feltet lngt ute på den positive -ksen gi: ( ) ) ( 4 ) ( / / 4 q q q E e e π π de symmetibetktning gi t -komponenten v feltet må bli lik null, mens bidget til - komponenten f hve ldning fås ved å gnge med sinus til vinkelen mellom -ksen og hhv og. Fo : E Dette e ikke iktig! Gunnen e t» ikke lenge e oppfylt. Det iktige svet e: ( ) ( ) q q q E e e ) ( / / 4 π π c) E -komponenten e smmenstt v -komponentene f E og E : sin cos E E E Tilsvende fo -komponenten: cos sin E E E

19 (En kontoll på t disse smmenhengene e iktige e f.eks. å egne ut E E E og sjekke t svet bli E E.) Dette gi: 4π E p sin cos p cos sin p sin cos p ( ) 5/ 4π E p sin p cos p ( ) 5/ E(, ) 4π p ( ) 5 / ( e ( ) e ) He h vi bukt sin /, cos /, ( ) /. Dessuten se vi hele tiden på et punkt i -plnet, slik t y og E y. d) I ktesiske koodinte bli potensilet V 4π pcos 4 ( / ) π 4 p π p ( ) / Med E V få vi demed: E V 4π p ( ) 5/ E V 4π p p ( ) / ( ) 5/ 4π p( ) ( ) 5/ som funnet unde punkt c).

20 Oppgve Guss lov: q in da E de q in e netto ldning innenfo den lukkede flten som vi integee ove (Gussflten). He h vi kulesymmetisk ldningsfodeling, slik t det elektiske feltet kun bli vhengig v vstnden f kuleskllets sentum: E E ˆ ) (. Vi velge d ntuligvis en kuleflte som Gussflte, slik t Guss lov bli / ) ( 4 ) ( π q E, med d dv q ' ' 4 ') ( ) ( π ρ ρ netto ldning innenfo kuleskll med dius. Med den oppgitte omldningstettheten h vi: > < < < b b k d k b k d k q b ) ( 4 ' 4 ) ( 4 ' 4 ) ( π π π π Demed bli det elektiske feltet > < < < b b k b k E ) ( ) ( ) ( Og med b: ) ( ) ( k k E Skisse: (En se umiddelbt t E() e kontinuelig. Ved å deivee uttykket fo E() i omådet << to gnge finne en t helningen e positiv (men endelig) i og lik null i, og t kumningen e negtiv i hele omådet <<. )

21 Oppgve ) Lengden v linjeelementet som gå digonlt i volumet dv e: ϕ ϕ d d d s d sin ˆ ˆ ˆ Aelelementet på de ulike sidefltene til dv e: ϕ ϕ ϕ ϕ ˆ ˆ sin ˆ sin d d A d d d A d d d A d Volumelementet bli: ϕ ϕ d d d d d d dv sin sin b) Ael v kuleflte: d d d A A π π π π ϕ 4 sin ˆ ) ( Kulevolum: < d d A d dv V 4 4 ˆ ) ( π π

22 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Øving 4 Veiledning: Tosdg 9. septembe Innleveingsfist: Tisdg 4. septembe kl. Oppgve. Elektisk felt f uendelig lng stv Buk Guss lov til å vise t det elektiske feltet i vstnd f en uendelig lng (tynn) stv med ldning λ p lengdeenhet e E() λ/π. (Stikkod: sylindesymmeti.) Smmenlign dette med feltet f en stv med endelig lengde (Øving, oppgve 4) og kontolle t svet bli det smme nå vi l stvens lengde bli sto i fohold til vstnden. Oppgve. Oveflteldningstetthet på ldet metlloveflte. Det støste elektiske feltet som kn oppettholdes i luft e c MV/m. Høyee vedie gi coonutldning (oveslg). Vi h vist i foelesningene t ei metllkule vil h ll nettoldning smlet på oveflten, og t det elektiske feltet ved oveflten e E σ/, de σ e oveflteldningstettheten. ) Hv e den støste oveflteldningstetthet ei metlloveflte kn holde? b) Hv e den minste dius ei metllkule kn h fo å holde på en ldning C? (ett sv e enten.4 mm,. cm elle 54 m) c) Et typisk metll bestå v tome med vstnd. nm mellom nbotome. Hv e midlee ntll tome p m? (nm nnomete -9 m) d) Oveflteldningen i ) befinne seg på metllet definet i c). Ant t ldningen e fodelt kun i det ytteste tomlget på oveflt. Hvo sto ndel v tomene i dette lget må d h fått ett ekst elekton? (ett sv e enten.5-5, elle..)

23 Oppgve. Figuen vise et snitt gjennom ei elektisk ledende kule med et hulom inni. I hulommet e det plsset en punktldning q. Kul e nøytl, slik t systemets nettoldning e q. Hvodn vil (fi) ldning i ledeen væe fodelt desom systemet e i elektosttisk likevekt? Skisse feltlinje fo det elektosttiske feltet E. Hv bli E utenfo kul? Oppgve 4. I figuen e vist ei Gussflte (lukket flte) S fomet som en kube med sideknte. Flt e plsset i et omåde hvo det e en elektisk feltstyke E. Du skl i hvet tilfelle i) iv) bestemme totl elektisk fluks Φ E gjennom flt S og totl ldning Q innenfo S. (C e en konstnt) i. E C i ii. E C i iii. E C i iv. E C (y i j) (i og j e enhetsvektoe i hhv - og y-etning) Fo tilfellet iii) skl du så bestemme ldningstettheten ρ(,y,) innenfo S. Gjø dette på to måte og kontolle t svet bli det smme: Føst ved å betkte et infinitesimlt volumelement d (dvs: ved å buke Guss lov på flten som omslutte det infinitesimle volumelementet d); deette ved å buke Guss lov på diffeensilfom.

24 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Løsning øving 4 Oppgve Symmetien i poblemet tilsie t det elektiske feltet ovelt må stå vinkelett på stven, og dessuten t feltstyken må væe like sto ovelt på oveflten v en sylinde lgt konsentisk om stven, som vist i figuen: Det e d ntulig å velge nettopp en slik sylinde som Gussflte. På bunn - og toppflten til sylindeen stå E vinkelett på fltenomlen da, slik t vi få null elektisk fluks gjennom disse fltene. På sylindeoveflten e E pllell med da, og som sgt med konstnt bsoluttvedi E, slik t flteinteglet v E ove den vlgte Gussflten edusee seg til E da E πl Q /, de A πl e elet v sylindeoveflten (dius, lengde L). Netto ldning inne i sylindeen e Q λl, slik t det elektiske feltet bli λ E( ), som skulle vises. π I oppgve 4, Øving viste vi t feltet i vstnd f en ldet stv med endelig lengde hdde komponente E (sin sin )λ/4π nomlt på stven og E (cos cos )λ/4π pllelt med stven. Linjene f obsevsjonspunktet til endene v stven dnnet vinklene (negtiv) og (positiv) med nomllinjen f obsevsjonspunktet og ned på stven. L vi stvens lengde gå mot uendelig, sve det til t vi l vinklene og gå mot hhv -π/ og π/, slik t E og E λ/π ; ltså smme sv som funnet med Guss lov. Oppgve. ) σ σ mks E mks C/m. b) σ mks Q/4π min min (Q/4πσ mks ) / (/4π 7-6 ) / m 54m. c) Ael p tom: A (. nm) 9 - m. Midlee ntll tome p m : n A /A 8 m -. d) Antll elektone p m : n e σ mks /e 7 m -. Andel v tomene i ovefltelget med et ekst elekton: n e /n A 7 / Dvs, be ett v c 65 tome h oveskudd (elle undeskudd) v ett elekton. Følgelig h ytteste tomlg me enn nok kpsitet til å t opp ldning på en metlloveflte.

25 Oppgve. Vi gumentete i foelesningene fo t E ovelt inne i en elektisk lede nå vi h elektosttisk likevekt. Desom vi nå velge ei Gussflte som omslutte hulommet, og som ligge i sin helhet inne i ledeen, gi Guss lov t totl nettoldning innenfo denne flten må væe lik null. Vi kn legge Gussflten vilkålig næ hulommets oveflte. Demed må vi h en induset ldning q på hulommets oveflte, fo d bli netto ldning innenfo Gussflten q q. Denne indusete ldningen vil fodele seg på hulommets oveflte på en slik måte t det elektiske feltet fosvinne ovelt inne i ledeen, dvs t bidget til feltet inne i ledeen f punktldningen q kkut knselees v bidget f den indusete ldningen q. D e det vel opplgt t vi må få støst induset ldning på den delen v hulommets oveflte som ligge næmest punktldningen og minst induset ldning på den delen v hulommets oveflte som ligge lengst unn punktldningen. Ledeen v nttt å væe elektisk nøytl. Det bety t vi må h fått induset en ldning q på ledeens yte oveflte, slik t totl ldning på ledeen bli q q. (Velg en Gussflte inne i ledeen men vilkålig næ den yte oveflten. Med E på Gussflten må netto ldning innenfo væe lik null, ltså må den indusete ldningen q ligge på den yte oveflten.) Denne ldningen vil fodele seg jevnt utove den yte oveflten, fodi symmetien som skyldes punktldningen inne i hulommet pesis knselees v den indusete ldningen q på hulommets oveflte. F utsiden se vi ltså ett og slett en kulesymmetisk oveflteldning, slik t det elektiske feltet utenfo kul bli q E ˆ 4π de e vstnden f kuls sentum. Inne i hulommet bli de elektiske feltlinjene kvlittivt som skisset i figuen nedenfo. Vi h vlgt å tegne 8 feltlinje ut f punktldningen q. Alle disse ende opp på hulommets oveflte, og slik t de stå vinkelett på oveflten. (OK, litt unøyktig figu...!) Inne i ledeen e E, så he h vi ingen feltlinje. På yte oveflte h vi ldningen q jevnt fodelt utove, så he få vi igjen 8 feltlinje, dielt ettet utove. Komment: At vi he få induset ldninge q og q på ledeens inde og yte flte e ikke gjenstnd fo diskusjon: Det følge v Guss lov og v t E inne i ledeen. Men e det nå så opplgt t disse indusete ldningene fodele seg pesis slik som påstått ovenfo? Vi må

26 selvsgt oppfylle E inne i ledeen, men det e vel ikke umiddelbt opplgt t punktldningen og den indusete ldningen q skl søge fo dette lene? E det ikke tenkbt t begge de indusete ldningene, q og q, må bid fo å knsellee feltbidget f punktldningen? Svet e nei, og i hvet fll i ett tilfelle kn vi vel ovebevise oss om t det må væe slik: L hulommet med punktldningen ligge dypt inne i en kjempesto ledende kule. Nå e ll ldning på den yte oveflten så lngt unn hulommet t fo å oppnå E inne i ledeen i næheten v hulommet, e ldningen på hulommets oveflte simpelthen nødt til å knsellee feltet f punktldningen lene! Konklusjonen bli demed t det e i hvet fll mulig å fodele ldningen q på hulommets oveflte slik t E ovelt inne i ledeen. Men e dette den eneste muligheten, både fo stoe og små kule? J! En h nemlig såklte entydighetsteoem i elektosttikken som gntee t en slik mulig ldningsfodeling e den eneste mulige. (Dette e ikke pensum, men den som e inteesset kn f.eks. se i D. J. Giffiths, Intoduction to electodynmics, kpittel.) Oppgve 4. i) E E i C i medføe t vi kun h elektisk fluks gjennom sidefltene som stå nomlt på -ksen. D E C e konstnt, h vi smme fluks inn gjennom flten ved som vi h ut gjennom flten ved, Φ inn Φ ut C. Demed bli Φ tot, og ifølge Guss lov også Q. ii) E C i gi også fluks kun gjennom sidefltene nomlt på -ksen. Nå e imidletid Φ ut () C og Φ inn (), slik t Φ tot C, og demed Q Φ tot C. iii) E C i gi femdeles kun fluks gjennom de smme to sidefltene: Φ ut () C 4 og Φ inn (), slik t Φ tot C 4, og demed Q Φ tot C 4. iv) E Cy i C j. Nå få vi fluks gjennom i lt fie sideflte, de to som stå nomlt på - ksen og de to som stå nomlt på y-ksen. Men vi se t E ikke e vhengig v og t E y ikke e vhengig v y. Demed må vi h like sto fluks inn gjennom flten ved som ut gjennom flten ved, og tilsvende like sto fluks inn gjennom flten ved y som ut gjennom flten ved y. Totl fluks gjennom den lukkede flten bli demed Φ tot, og ltså Q.

27 Ldningstettheten ρ som gi opphv til feltet i tilfelle iii) skl bestemmes på to måte. Vi t føst utgngspunkt i følgende lille volumelement: Dvs en boks med infinitesiml tykkelse d lokliset mellom og d, og med bedde og lengde. Med nde od en liten slice v volumet omsluttet v Gussflten S ovenfo. Det elektiske feltet peke i -etning og e E() C. På flten ved d e feltet E(d) C(d) C Cd. (Leddet C(d) kn vi neglisjee i gensen d.) Fluks ut gjennom flten ved d: Φ ut (C Cd) C C d. Fluks inn gjennom flten ved : Φ inn C. Totl fluks ut gjennom den lille Gussflten: Φ tot C d. Ldning inne i volumelementet: dq ρ dv ρ d. Demed, med Guss lov: C d ρ d/ ρ C Atskillig enklee bli det med buk v Guss lov på diffeensilfom: E ρ/ ρ Smme sv! E C

28 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Øving 5 Veiledning: Tosdg 6. septembe Innleveingsfist: Tisdg. oktobe kl. Oppgve. Et elektisk nøytlt dielektikum med pemittivitet fylle et kuleskll med inde dius og yte dius b. I sentum v hulommet inni kuleskllet e det plsset en punktldning q. ommet foøvig bestå v luft (vkuum). ) Bestem den elektiske feltstyken E (i hele ommet). Skisse E() som funksjon v vstnden f punktldningen. b) Hv bli tettheten v induset flteldning på innsiden, σ(), og på utsiden, σ(b), v dielektikumet? Oppgve. Gensefltebetingelse En genseflte med ldningstetthet σ dele ommet i omådene ( ove ) og ( unde ): Vi nt t mteilene i og ikke e elektiske ledee, slik t E kn væe foskjellig f null både i omåde og.

29 ) Smmenhengen mellom E like ove genseflten og E like unde genseflten e d gitt ved E σ E nˆ (*) de nˆ e en enhetsvekto som stå nomlt på genseflten. Vis dette! q Hint: Buk de to Mwell- ligningene E dl og E da til å utlede (*) fo komponentene v E henholdsvis tngentielt (E t ) og nomlt (E n ) genseflten. Fonuftig integsjonskuve og flte ( Gussboks ) vil væe henholdsvis og de du l L væe liten (dvs: så liten t feltstyken kn nts konstnt ove hele lengden L, evt flten L L) mens h. b) Buk Guss lov fo den elektiske foskyvningen D til å vise t nomlkomponenten v D bli diskontinuelig i genseflten desom denne inneholde netto fi ldning (med tetthet σ f ). Oppgve. En plte bestående v et nøytlt dielektikum med pemittivitet e plsset på tves i et homogent elektisk felt E. Vi nt t plt h en endelig tykkelse i etning lngs E, og t den e uendelig sto på tves v E. Bestem foskyvningen D utenfo plt (de vi h tilnæmet vkuum), smt D, E og P inne i plt. P Hv bli E, D og P desom plt deies 9 gde slik t den stå pllelt med E (dvs på lngs i det yte feltet)?

30 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Løsning øving 5 Oppgve ) På gunn v punktldningen i sentum vil dielektikumet polisees. Med q > bli esulttet en negtiv induset ldning på innsiden, dvs ved, og en positiv induset ldning på utsiden, dvs ved b. På gunn v symmetien i poblemet må dessuten disse indusete ldningene væe jevnt fodelt, slik t det elektiske feltet kun bli vhengig v vstnden f sentum. I omådene < og > b kn vi selvsgt buke Guss lov fo E-feltet diekte, ettesom vi i begge tilfelle vet hv totl nettoldning innenfo en kulefomet Gussflte e, nemlig q. I omådet < < b kjenne vi imidletid i utgngspunktet ikke totl nettoldning innenfo Gussflten, ettesom vi ikke vet hvo sto den indusete oveflteldningen ved e. Det vi deimot vet, fo lle vedie v, e hvo mye fi nettoldning vi h innenfo Gussflten. L oss defo buke Guss lov fo den elektiske foskyvningen D D()e, og til slutt bestemme E() f smmenhengen D() ()E(), de () fo < og > b, og () fo < < b. D da D( ) 4π q D( ) 4π q 4π E( ) q 8π q <, < < b > b På gunn v poliseingen inne i dielektikumet edusees ltså det elektiske feltet de til hlvpten v hv det ville h væt uten mediet til stede. b) Guss lov fo E-feltet nvendt på ei Gusskule inne i dielektikumet gi nå t E() 4π q q, de q e induset ldning på innsiden, ved. Sette vi inn det vi fnt fo E() unde punkt ), finne vi q -q/, slik t σ() q /4π -q/8π. Videe må induset ldning på utsiden, ved b, bli q b -q q/ (ettesom dielektikumet e nøytlt), slik t σ(b) q b /4πb q/8πb.

31 Oppgve. ) Vi se føst på komponenten v E tngentielt med genseflten. Den ene v Mwells ligninge sie t kuveinteglet v E undt en lukket kuve skl væe lik null. He e vi kun inteesset i hv E e like ove og like unde genseflten som skille omådene og. Vi kn ltså l høyden h gå mot null, men d få vi også null bidg til kuveinteglet f de to vetikle bitene v det stiplede ektngelet. Bidget f den hoisontle biten i omåde bli E t L, ettesom E t peke smme vei som veielementet dl. Bidget f den hoisontle biten i omåde bli E t L, ettesom E t he peke motstt vei v veielementet dl. Det totle bidget skl ifølge Mwell fosvinne, slik t E t L E t L, og ltså: E t E t Med nde od: Tngentilkomponenten v E e kontinuelig nå vi kysse en genseflte. Deette se vi på komponenten v E nomlt på genseflten. Den nde Mwell-ligningen (dvs Guss lov) sie t flteinteglet v E ove en lukket flte skl væe lik netto ldning innenfo den lukkede flten dividet med vkuumpemittiviteten. Igjen e vi inteesset i foholdene like ove og like unde genseflten og l nok en gng h gå mot null. Det bety t elet v de fie vetikle sidekntene v den vlgte Gussboksen gå mot null, så de eneste bidgene til elektisk fluks gjennom Gussflten må bli gjennom topplokket i omåde og bunnen i omåde. Føstnevnte bidg bli E n A, ettesom E n peke smme vei som fltenomlen da. Sistnevnte bidg bli E n A, ettesom E n peke motstt vei v fltenomlen da. Med en ldningstetthet σ i genseflten, bli totl nettoldning innenfo Gussflten σa. Guss lov gi demed: E n A E n A σa/, og ltså: E n E n σ/ Med nde od: Nomlkomponenten v E e diskontinuelig nå vi kysse en genseflte med nettoldning foskjellig f null. De to betingelsene kn slås smmen til den oppgitte smmenhengen (*): E E n σ/

32 b) Fomen på Guss lov fo D e kkut den smme som fo E, botsett f t høye side e estttet v q f, netto fi ldning innenfo den vlgte Gussflten. Utledningen fo nomlkomponenten til D bli defo helt tilsvende den vi bukte fo nomlkomponenten v E, og det følge umiddelbt t D n D n σ f med σ f tetthet v fi ldning i genseflten mellom og. Ettesom totl ldning i genseflten e summen v fi ldning og bundet ldning (σ p ) knyttet til en eventuell poliseing desom vi h dielektik tilstede, dvs σ σ f σ p, følge det d diekte f definisjonen v elektisk foskyvning, D E P, t nomlkomponenten v P bli diskontinuelig desom genseflten inneholde netto bundet ldning: P n P n D n D n (E n E n ) σ f (σ/ ) σ p Hv med tngentilkomponenten v D og P? Kn vi ikke finne gensefltebetingelse fo dem også, på smme måte som vi gjode fo tngentilkomponenten v E? Svet e nei, og åsken e t vektofeltene D og P hve fo seg ikke epesentee konsevtive felt som kn vledes v et sklt potensil. Demed h vi helle ikke noen Mwell-ligning som sie t integlet v D elle P undt en lukket kuve skl fosvinne (eventuelt t cul til D elle cul til P skl fosvinne hve fo seg), slik som vi h fo E. Det eneste vi kn si e t tngentilkomponentene til D og P må h smme diskontinuitet nå en genseflte kysses: D t D t P t P t Oppgve. Fo det føste kn vi fstslå t lle involvete vektoe he må peke i smme etning som E på gunn v symmetien i poblemet: Det e simpelthen ingenting som skille høye f venste he! Denest h vi umiddelbt t D E fo den elektiske foskyvningen utenfo plt. Plt e elektisk nøytl, dvs vi h ingen fi ldning til stede. Demed h vi også diekte t den elektiske foskyvningen inne i plt bli D D E (jf oppgve ). Det elektiske feltet E inne i plt bestemmes deette ved t D E, dvs E E /. Poliseingen inne i plt bli P D E E ( / ). Vi se v uttykkene t jo støe vedi på plts pemittivitet, jo støe bli poliseingen P, og jo mee eduset bli det elektiske feltet E inne i plt. Desom plt plssees på lngs i det yte feltet, må vi femdeles v symmetigunne h både E, D og P pekende i smme etning som E. Nå kn vi benytte t tngentilkomponenten v E skl væe kontinuelig nå vi kysse en genseflte. Det gi E E. Elektisk foskyvning inne i plt bli demed D E E. Med nde od, det elektiske feltet bli nå like stot inne i plt som utenfo, mens den elektiske foskyvningen bli støe inne i plt enn utenfo. Poliseingen inne i plt bli P D E ( / ) E. Altså støe poliseing i dette tilfellet enn med plt på tves. Det t E-feltet bli det smme inni som utenfo med plt på lngs kn vel fostås: Siden plt e uendelig sto, ligge hele den indusete oveflteldningen uendelig lngt unn de vi e. Demed mekes helle ikke feltbidget f den indusete ldningen, og E-feltet bli uendet. Med plt på tves, deimot, indusees en oveflteldning på de to uendelig stoe ovefltene som nå ligge i endelig vstnd f de vi e. Demed settes det opp et induset elektisk felt inne i mediet som e motstt ettet det yte feltet, og som h smme bsoluttvedi ove hele

33 plts tykkelse. esulttet bli t E-feltet inne i plt bli minde enn det yte feltet (men konstnt ovelt). Poliseingen P e diekte poposjonl med det elektiske feltet E inne i plt. Defo bli poliseingen støst med plt oientet på lngs i fohold til det yte feltet. Det kn knskje væe til hjelp å tenke på følgende måte: L oss stte med plt på tves. Det yte feltet E (som peke oppove ) føe til en innetting v mediets dipole, og demed en induset oveflteldning. Plt bli en elektisk dipol, med en tilhøende poliseing P () (oppove). Den indusete oveflteldningen sette opp et elektisk felt E () inne i mediet, motstt ettet det yte feltet, ltså nedove. E () vil i sin tu påvike mediet, slik t vi få en tilhøende poliseing P (), minde enn P () i bsoluttvedi, og pekende nedove. Til P () kn vi i neste omgng ssosiee en oveflteldning som sette opp et elektisk felt E () i mediet, denne gng pekende oppove. Som igjen påvike mediet og gi en poliseing P () pekende oppove, som igjen føe til et elektisk felt E () pekende nedove, som igjen... Enden på denne vis e ltså t det elektiske feltet inne i plt bli E E /, de / e plts eltive pemittivitet, og poliseingen i plt bli P ( ) E /. Smme tnkegng kn også bukes med plt på lngs, men d stoppe det hele opp ved P (), ettesom den indusete oveflteldningen ssosiet med P () bli liggende uendelig lngt bote! Demed bli det indusete motfeltet E (), slik t enden på denne vis e ett og slett t E E, og demed P ( ) E.

34 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Øving 6 Veiledning: Tosdg. oktobe Innleveingsfist: Tisdg 8. oktobe kl. Oppgve. En kulekondensto bestå v to elektisk ledende konsentiske kuleskll med dius hhv og b. Volumet mellom de to ledene e fylt med et dielektikum med pemittivitet. ) Bestem kpsitnsen C til en slik kondensto. (Tips: Bestem potensilfoskjellen mellom ledene nå vi h ldninge Q på den inneste ledeen og Q på den ytteste ledeen.) Kontolle svet ved å vise t kpsitnsen bli som fo en pllellpltekondensto nå det dielektiske sjiktet mellom ledene bli veldig tynt, dvs d b ^. b) Hv bli kpsitnsen til en enkelt ledende kule, desom vi betkte denne som kulekondenstoen i ) i gensen b (og nå kul e omgitt v vkuum/luft)? Oppgve. Tips fo denne oppgven: V Ed konstnt mellom pltene. Feltlinje fo D gå mellom fie ldninge mens feltlinje fo E gå mellom totlldninge. Betkt systemet som to pllellkoblede kpsitnse. Betkt pltenes el som tilnæmet uendelig stot og se bot f ndeffekte.

35 En pllellpltekondensto e stt smmen v to ledeplte i vstnd d.mm og med el A.cm. ommet mellom pltene e smmenstt v luft og et dielektikum med eltiv pemittivitet 4.9. Ledepltene e koblet til en spenningskilde slik t den elektiske potensilfoskjellen mellom pltene e V (med høyeste potensil på øve plte). ) Finn det elektiske feltet E og E i hhv luft og i dielektikumet mellom pltene. Skisse de elektiske feltlinjene i kondenstoen. b) Finn tilsvende den elektiske foskyvningen D og D og skisse feltlinje fo D. c) Finn også den elektiske poliseingen P og P i de to mediene og skisse feltlinje fo P. d) Finn flteldningstettheten v fi ldninge (σ f ) og bundne ldninge (σ b ) ved lle genseflte. (Sv:.44,., og.7 C/m ) e) Finn den totle kpsitnsen til kondenstoen. (Sv:. pf) Oppgve. En spenningskilde V.5 V e koblet til en motstnd med esistns Ω ved hjelp v to cm lnge luminiumsledninge med tvesnitt mm. ) Hvo stot bli spenningsfllet ove hhv Al-tådene og motstnden? b) Bestem stømstyken og utviklet effekt. c) Hv bli de fie elektonenes midlee diftshstighet gjennom Al-tådene? Ant ett fitt elekton f hvet luminiumtom. Smmenlign med midlee temiske hstighet fo et elekton ved omtempetu. (Sv: 5.6 m/s og 5 m/s) (Oppgitt: Tetthet fo Al: 7 kg/m. Mol msse fo Al: 6.98 g/mol. Elektisk ledningsevne fo Al (ved omtempetu):.54 7 Ω - m -.) Oppgve 4: Elektonisk blit Elektoniske blite inneholde en kondensto fo lging v enegi til lysblinket. Nå bliten tigges, ldes denne enegien fot ut til elektisk oveslg i et gssfylt ø. Ant t vi h en blit de blinket ve i.5 s med en gjennomsnittlig lyseffekt på 7W. ) Hvis effektiviteten e 9% ved omfoming f elektisk enegi til lysenegi (esten gå ove til vme), hvo mye enegi må d lges i kondenstoen fo et blink? b) Hvis kondenstoen h en kpsitns.8 mf, hv e d spenningen som må påføes pltene fo å lge denne enegien? (Sv: 98.6V)

36 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Løsning øving 6 Oppgve ) Med kulesymmetisk ldningsfodeling må det elektiske feltet ovelt væe dielt ettet, og kun vhengig v vstnden f kuleskllenes sentum. Med dielektikum til stede bestemmes føst den elektiske foskyvningen D() i omådet < < b ved hjelp v Guss lov. (Kuleskll med dius som Gussflte, totl fi ldning innenfo dette kuleskllet e Q) D() 4π Q Det elektiske feltet i sjiktet mellom ledene e demed E() D()/ Q/4π, hvoette potensilfoskjellen mellom ledene bli ( ) Q Q b V V Vb E( ) d 4π b 4πb b Kpsitnsen e defo Q 4πb C V b ( ) Desom det dielektiske sjiktet e veldig tynt, h vi b, og tilnæmet smme el A 4πb 4π 4πb på de to ledene. Demed, med d b vstnden mellom ledene, få vi A C d dvs som fo en pllellpltekondensto. b) Betkte vi en enkelt ledende kule som gensetilfellet b i punkt ), og dessuten l, h vi C 4π fo kpsitnsen til en kule med dius. Oppgve ) Som tidligee funnet må den elektiske feltstyken mellom pltene væe konstnt. (Vi se bot f ndeffekte, dvs vi nt uendelig stoe plte.) I og med t spenningsfoskjellen V og vstnden d e konstnt, vil feltstyken E væe uvhengig v dielektikumet mellom pltene. Altså (med positiv -etning oppove): E V V V ˆ V ˆ d V ˆ mm ˆ 5ˆ kv/m

37 b) m C. 4.9 m C.44 m V 5 Vm C 8.85 D E D E D E D c) F P E D finne en: ( ) ( ) ( ) m C D E P E P E E D P

38 d) Buk v Guss lov, med Gussflte som ngitt i figuen, gi: D da D A, fi Q in A σ f Demed bli fi flteldningstetthet: σ f D Fo vkuum gjelde: E da E A, tot Q in A σ Demed bli totl (netto) flteldningstetthet: σ t E t De fi ldningene bli: σ σ f f D D D D Totl ldning bli: C.44 m C. m σ t σ t E D

39 Bundne ldninge bli demed (ettesom σ t σ f - σ b, de lle σ-støelse e definet som positive, dvs bsoluttvedie): σ σ b b σ f σ t D D C ( ) D.7 m e) Dette systemet kn betktes som en pllellkobling v to kpsitnse, den ene med luft mellom kondenstopltene og den nde med dielektikumet mellom pltene, og hve v dem med el A/. H d: C C A / d A/ d som gi (mek t h dimensjon [C d / A] F m / m F/m): C C C 4 A 4.9 pf m 8.85 d m m.pf Det e knskje vedt å utdype et p ting i fobindelse med denne oppgven: Det elektiske potensilet V på de to ledepltene e bestemt v den yte spenningskilden. Det bety t unsett hv slgs kombinsjone v dielektiske medie vi putte inn mellom de to pltene, vil de fie ldningene i ledepltene søge fo å plssee seg slik t potensilet bli det smme på lle stede i en bestemt plte. L oss tenke oss t vi sttet med be luft mellom pltene. D ville vi h en homogen tetthet v fie ldninge på pltene. Nå vi så fylle hlve ommet mellom pltene med en poliseb isolto, vil det indusees hhv en negtiv og positiv ldning i øve og nede genseflte v isoltoen, på gunn v innetting v isoltoens elektiske dipole i det elektiske feltet mellom pltene. Hvis nå ingenting skjedde med de fie ldningene i pltene, ville vi få et eduset elektisk felt gjennom dielektikumet, og følgelig en eduset potensilfoskjell mellom pltene i høye hlvdel. Fo å oppettholde smme potensil ovelt på en gitt plte, må spenningskilden defo søge fo å tilføe ekst ldning til pltenes høye hlvdel, og i en slik mengde t summen v fi ldning og induset ldning på høye side bli lik den fie ldningen på venste side (hvo vi ikke h noen induset ldning). esulttet bli demed t det elektiske feltet E fobli konstnt mellom pltene, mens den elektiske foskyvningen D bli støe i det dielektiske mediet, på gunn v

40 poliseingen P. En må fovente t spenningskilden ikke vil tilføe denne ekst ldningsmengden ldeles gtis, og det stemme: Med be luft mellom pltene ville totl enegi lget i kondenstoen h væt (se foelesningene, 5.) U (/)C V C V. -9 J, mens vi nå h U (/)C V (/)C V J. [Altentivt kn enegien beegnes ved å t utgngspunkt i enegitettheten u E (/)E, som gi U (/)Ad(/) E (/)Ad(/) E (/4)Ad E ( ).5-4 m - m (C/Vm) (5 ) (V /m ) (4.9) VC J.] Oppgve ) Motstnd i de to Al-tådene tilsmmen: L/σA.6 m/(.54 7 Ω - m - -6 m ).7 Ω. Totl motstnd i Al-tåde og esisto:.7 Ω. Spenningsfll ove Al-tådene (tilsmmen): V Al-tåd.5V (.7 /.7).5mV Spenningsfll ove esistoen: V.5V (/.7).497 V b) Stømstyke: I V / tot.5v /.7Ω.497 A.5 A. Utviklet effekt: P V I.5V.5A.5 W. W. c) Stømtetthet: j I / A.5A/ -6 m 5 A/m. Antllstetthet v elektone: n n Al (7 kg/m / g/mol) 6. mol m -. Midlee diftshstighet: j nev v j/ne.56-5 m/s. Midlee temiske hstighet bestemt v E kin mv / k B T/ v ( k B T/m) / 5 m/s. Oppgve 4 ) Enegi som må lges: 7W.5s U.89J.9 b) Enegi på kondenstoen: U ½ CV som bety t spenningen må væe: U.89J V 98.6V C.8 F (Enhete: J/F (VC)/(C/V) V )

41 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Veiledning: Tosdg. oktobe Innleveingsfist: Tisdg 5. oktobe kl. Øving 7 Oppgve. Likestømsketse. Kichhoffs love. Buk Kichhoffs støm- og spenningslove til å bestemme de ulike stømstykene som e ngitt på hve figu. I oppgve b) h spenningskildene inde motstnde i etc. (Tllsv: ) I.8A, I.9A, I -.6A b)i A, I A, I 5A) ) E 5V E 5V E 5V Ω 6Ω Ω 4 4Ω b) E V i Ω E 5V i Ω E 5V i 4Ω Ω 9Ω

42 Oppgve Pllellpltekondenstoen i figuen ove e stt smmen v to ledeplte i vstnd d. mm og med el A. cm. Ledepltene e koblet til en spenningskilde slik t den elektiske potensilfoskjellen mellom pltene e V (med høyeste potensil på øve plte). ommet mellom pltene e smmenstt v to ulike dielektik med pemittivitet henholdsvis 5.6 og., som vist i figuen. Elles e foholdene ltså som i oppgve i Øving 6. Gjø tilsvende beegninge som du gjode i oppgve i Øving 6! Dvs: Bestem D, E og P i omådet mellom ledepltene og skisse feltlinje fo E og D. Bestem også flteldningstettheten v fie ldninge σ f på ledepltene, smt bundne ldninge σ b og σ b ved gensefltene i hhv øve og nede dielektikum. Finn til slutt den totle kpsitnsen C til denne kondenstoen. Tips: Det kn væe lut å beegne de ulike støelsene i denne ekkefølgen: σ f, D, D, E, E, P, P, σ b, σ b og C. Betkt systemet som en seiekobling v to kpsitnse. Også he kn vi betkte pltenes el som uendelig stot og se bot f ndeffekte. (Noen tllsv: σ f.5c/m, E -7kV/m, σ b.c/m, C.4pF) Oppgve Hvis vi kombinee kondenstoen i oppgve med den vi hdde i oppgve i Øving 6, få vi en kondensto som vist i figuen ( 4.9 ). Beegn føst kpsitnsen til denne kondenstoen, idet du se bot f evt. ndeffekte. (Sv:.8pF) Med en slik smmensetning bli imidletid ikke ndeffekte uten betydning ved den vetikle genseflten (f B til B ) midt i kondenstoen. Anskueliggjø dette ved å bestemme hvo (dvs. ved hvilken -vedi) potensilet e eduset med hhv 5, 5 og 75 V i fohold til øve plte, både lngt til venste og lngt til høye fo genseflten BB. Skisse (kvlittivt) de tilhøende ekvipotensilfltene. Spnde noen tnke på gensefltebetingelsene fo E nå genseflten BB kysses. (Husk: E V og stå nomlt på ekvipotensilfltene.) Diskute evt. med de nde i gupp. (Noe skiftlig sv keves ikke he.)

43 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Løsning øving 7 Oppgve ) Stømloven nvendt på knutepunktet de stømmen I komme inn: I I I () (fotegnskonvensjon: positiv stømetning ut v et knutepunkt) Det nde knutepunktet, de I gå ut, gi smme ligning med motstt fotegn, dvs ikke en ligning som e lineæt uvhengig v (). Vi må defo buke spenningsloven fo å stble på ben ytteligee to ligninge. Spenningsfll med uviseen undt sløyf som gå gjennom motstndene, og, og kildene E og E (vi kn f.eks. stte til venste fo ): E I I E I () Spenningsfll med uviseen undt sløyf som gå gjennom motstndene, 4 og, og kildene E og E (vi kn f.eks. stte til venste fo ): I 4 E I E I () Nå h vi uvhengige ligninge, og det e tilstekkelig fo å bestemme de ukjente stømmene I, I og I. Vi kunne i tillegg h bukt spenningsloven på sløyf som gå gjennom motstndene og 4 og kildene E og E, men det ville ikke h gitt oss noen ny infomsjon, men en ligning som e en lineæ kombinsjon v () og (). Imidletid kunne denne ligningen h væt bukt istedetfo () elle (). Ligning () gi nå f.eks. I uttykt ved I : I 4 mens ligning () gi I uttykt ved I : I ( E E ) (4) 4 I I ( E E ) (5) Disse uttykkene kn vi nå sette inn i ligning () og bestemme I : I I I I I 4 ( E E ) ( E E ) 4 som gi: I 4 ( ( )E 4 E E ) (6) 4 Innsetting v tllvedie:

44 I ( 6/4 6/) - (5/ 5/ 5/4) A 45/8 A.8 A Til slutt kn vi sette inn fo I i (5) og (4) og bestemme I og I : I (6/)(45/8) / 5/8 A.9 A I (6/4)(45/8) /4 /8 A.6 A Dette bety t positiv stømetning bli slik som vi h vlgt i figuen fo I og I, men motstt fo I. En sjekk på t vi h egnet iktig e t stømvediene oppfylle stømloven, ligning (). b) Også he h vi te ukjente stømstyke, og på smme måte som i ) kn vi buke Kichhoffs stømlov på f.eks. knutepunktet øvest på midten og spenningsloven på to v de te mulige lukkede sløyfene i ketsen, og slik få te uvhengige ligninge som gjø oss i stnd til å løse ut fo stømmene I, I og I. Altentivt kn en ved å betkte figuen se t ketsen i denne oppgven e identisk med den i oppgve ) be vi foet følgende esttninge i de ulike ligningene: i I I E E 4 i I I E E i I I E E Demed h vi fo stømstykene: i i I i i ( ( i i )E i E i E ) I i I i i ( E E ) I i I i ( E E ) i Med oppgitte tllvedie få en: I A I A I 5A He ble positiv stømetning som vlgt i figuen fo lle te stømstykene. Mek t og i lle uttykk oppte i kombinsjonen ( ) i oppgve ). Det e nettopp hv vi h vist i foelesningene fo seiekoblede motstnde. Vi h helt tilsvende kombinsjonene i og i i oppgve b). Mek også t med lle spenningsvedie i V og motstndsvedie i Ω vil lle ledd i stømuttykkene få dimensjon A.

45 Oppgve Det e umiddelbt klt t D D σ f ( fi flteldningstetthet på metllpltene). Vi kn finne en smmenheng mellom potensilfoskjellen V og σ f : σ d d D D d E d E V f Dette gi fo σ f : m C.5 σ d V f D e det lett å egne ut foskyvningen D og det elektiske feltet E i de to mediene: m kv 7 m kv 7 m C.5 σ f D E D E D D Poliseingen P finne vi deette f smmenhengen D E P:

46 ( ) ( ) m C.7 m C. E P E P Bunden flteldningstetthet σ b få vi f σ b σ f - σ t D - E P (igjen med lle σ-støelse definet som positive, som vi gjode i oppgve i Øving 6): m C.7 m C. σ σ b b P P [Med positiv (fi) ldning på øve plte og negtiv ldning på nede plte, e det åpenbt t vi få induset en negtiv bunden ldning -σ b i øve genseflte v medium, en positiv bunden ldning σ b i nede genseflte v medium, og demed positiv ldning σ b i nede genseflte v medium og negtiv ldning -σ b i øve genseflte v medium. Husk t mediene mellom pltene e nøytle, så induset ldning i den ene oveflten må gjenfinnes med motstt fotegn i den nde oveflten v et gitt medium. Videe h vi t gden v poliseing e uttykt gjennom vedien på den eltive pemittiviteten. Det e defo imelig t P bli støe enn P. Demed bli det elektiske feltet tilsvende stekee i medium enn i medium.] Totl kpsitns C bli som fo to kondenstoe i seie:.4pf : Demed / og / med d A C C C C C d A C d A C C C C

47 Oppgve Totl kpsitns bli som fo følgende oppkobling: Altså, C pllellkoblet med en seiekobling v C / og C / (med fktoe ½ pg hlvt el i fohold til oppgve ): CC C C.8pF C C Altentivt kunne vi h bukt σ f og σ f f hhv oppgve i Øving 6 og oppgve i denne øvingen, og beegnet totl fi ldning: Q ½ A σ f ½ A σ f 5-5 m (.5.) -6 C/m 78pC, som gi kpsitnsen C Q/V 78pC/V.8 pf. Hvis vi føst egne ut potensilet midt mellom øve og nede plte, både et stykke til venste og til høye fo midtlinjen BB, finne vi (med VV på øve plte og VV på nede plte) V v (d/) E d/ 5 kv/m.m 5V til venste, og V h (d/) E d/ 7 kv/m.m 7V til høye. Det e d f.eks. klt t ekvipotensilflten fo 5V må ligge et stykke nedenfo midten i høye del v kondenstoen. Følgelig må ekvipotensilfltene fo 5, 5 og 75V bli seende omtent slik ut:

48 Til venste h vi et potensil på 5, 5 og 75V (i fohold til nede plte) i vstnd hhv.5,. og.5 mm f nede plte. Til høye bli -posisjonen til potensilnivåene 5 og 5 V bestemt v V E, dvs: (5V) 5V/(7kV/m).4 mm (5V) 5V/(7kV/m).68 mm (begge målt f nede plte) mens 75V-nivået bli liggende like ove genseflten mellom medium og, så målt i vstnd f øve plte: (75V) (V-75V)/(7kV/m).9 mm. Demed, målt i vstnd f nede plte: (75V).7 mm Av fomen på de skissete ekvipotensilfltene se vi t det elektiske feltet må h en hoisontl komponent nå vi e i næheten v midtlinjen BB, ettesom E - V stå nomlt på ekvipotensilfltene. Dette e d også helt imelig, hvis vi tenke på betingelsen (jf Øving 5, oppgve ) t nå en genseflte kysses, skl tngentilkomponenten v det elektiske feltet, E t, væe kontinuelig. Hvis E-feltet ikke hdde htt en hoisontl komponent, dvs en komponent nomlt på delelinjen BB, hdde vi til venste fo BB htt tngentilkomponenten E t E, og til høye fo BB enten E t E (øveste hlvdel) elle E t E (nedeste hlvdel). Men det ville stide mot kontinuelig E t, ettesom E e foskjellig f både E og E! Det e ntgelig (?) ikke mulig å finne en enkel nlytisk løsning fo hele dette poblemet, dvs enkle mtemtiske uttykk som også beskive ovegngssonen i næheten v BB. I lle tilfelle ville løsningen væe bestemt v: div D (ingen fie ldninge noe sted i omådet mellom metllpltene!), D E, E V, smt de ulike gensebetingelsene fo potensilet V.

49 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Veiledning: Tosdg 7. oktobe Innleveingsfist: Tisdg. oktobe kl. Øving 8 Oppgve Hstighetsfilte. Ldde ptikle bli skutt inn i et omåde med kysset elektisk og mgnetisk felt. Innfllshstigheten til ptiklene e noml til plnet til de to feltene, og feltene e nomle til hvende. Styken på mgnetfeltet e B. T. Det elektiske feltet e geneet mellom et p v motstt ldde pllelle plte med vstnd mm. Nå potensilfoskjellen mellom pltene e V, e det ingen vbøyning v ptiklene. Hv e ptikkelften? (Sv:.5 5 m/s.) Oppgve. Mgnetisk mssesepsjon. Figuen vise et mssespektomete. I e en ionekilde, åpningene S og S tjene som kollimtoe fo ionestålen. Mellom S og S e det et kseleeende spenningsfll lik V. Stålen bøyes 8 v et B-felt som peke opp v ppiplnet. Kollektoen P kn væe en fotogfisk plte elle en måle som egistee ionene. Mn ønske å sepee isotopene C og C. Ionekilden sende ut isotopene i fom v enkelt ldede ione (qe). Ant t tommssene e henholdsvis og. ) Ved utgngen v mgnetfeltet (dvs ved kollektoen P) ønskes ionene sepet med en vstnd. mm. Bestem bnediene og fo de to ioneslgene og nødvendig vedi v B nå V.5 kv. (Sv: mm, 7 mm,.58 T.) b) I pksis vil ionene lltid h en viss enegispedning W om middelenegien. Skiv enegispedningen på fomen W q V, og vis t spedningen i teffpunktet fo ione med bnedius bli tilnæmet V/V. (Tips: Finn hvilken følge V h på ved å deivee (V). Du kn nt V «V.)