TFE4120 Elektromagnetisme

Transkript

1 NTNU IET, IME-fkultetet, Noge teknisk-ntuvitenskpelige univesitet TFE4120 Elektomgnetisme Løsningsfoslg øving 5 Oppgve 1 ) Pg. symmeti h vi E = E()ˆ gjennom hele oppgven. i) Vi l Gussflten S væe oveflten til en sylinde med dius og lengde l. Ldningen pe lengdeenhet på inneledeen e Q. Buk v Guss lov på integlfom gi d ɛe ds = 2πlɛE() = Q innenfo S = Q l. (1) Dette gi E() = 2πɛˆ. Q (2) Vi finne Q ved buk v definisjonen v potensil (efensepunktet settes på ytteledeen). Det elektiske feltet kn d skives som V () V (b) = V 0 0 = = Q 2πɛ E()d d = Q 2πɛ ln b. (3) E = V 0 1 ln b ˆ. (4) 1

2 Siden C lengdeenhet e Q V () V (b) finne vi f uttykket fo V () V (b) t kpsitnsen pe C = 2πɛ ln b. (5) ii) Siden det ikke finnes noen fie ldninge i det dielektiske mediet h vi Divegensen i sylindekoodinte e D = (ɛe) = 0, fo b. (6) D = 1 [D()] de vi h bukt D = D()ˆ. Løsningene fo D() og E() e d D() = ɛc 1, E() = C 1, = 0, (7) de C 1 e en konstnt som må tilfedstille gensevilkåene på inne- og ytteledeen. C 1 bestemmes ved å beegne potensilfoskjellen kkut som i foige deloppgve: Altså h vi og V () V (b) = V 0 = C 1 = V 0 ln b C 1 d = C 1 ln b. (8) (9) E = V 0 1 ln b ˆ. (10) Siden C = Q V 0 tenge vi et uttykk fo Q. Siden ll ldning på inneledeen befinne seg på oveflten kn vi buke gensebetingelsen Dn dielektikum Dn innelede = ρ s, de ρ s e oveflteldningstettheten. Siden det ikke e noe felt i inneledeen e Dn innelede = 0. F Dn dielektikum = D() = ɛe() finne vi Q = 2πρ s = 2πɛV 0 ln b, (11) som gi C = Q = 2πɛ. (12) V 0 ln b iii) Ettesom ɛ e en konstnt og det ikke finnes noen fie ldninge i det dielektiske mediet kn vi buke Lplce s ligning: 2 V = 0. (13) (Bevis: Vi h D = (ɛe) = ρ. Unde sttiske fohold e E = V som gi ( ɛ V ) = ρ. Siden det e ingen fie ldninge i mediet, og ɛ e en konstnt, edusees Guss lov til ( ɛ V ) = 2 V = 0.) 2

3 Siden symmeti tilsie E = E()ˆ h vi også V = V (). Ved å buke uttykket fo 2 i sylindekoodinte få vi 2 V = 1 ( ) V () = 0. (14) Integee vi én gng få vi V () de C 2 e en konstnt. Integsjon gi så = C 2, (15) V () = C 2 ln + C 3, (16) de C 3 også e en konstnt. Både C 2 og C 3 må tilfedsstille gensevilkåene fo V. Buk v betingelsen V (b) = 0 gi V (b) = 0 = C 2 ln b + C 3, (17) slik t C 3 = C 2 ln b. Gensebetingelsen på = e V () = V 0 som gi Altså h vi C 2 = V 0 / ln b og V () = V 0 = C 2 ln C 2 ln b = C 2 ln b. (18) V () = V 0 ln b ln b. (19) Det elektiske feltet finne vi ved å buke E = V i sylindekoodinte, slik t E = V = V () ˆ = V 0 1 ln b ˆ. (20) Kpsitnsen kn nå finnes ved smme fmgngsmåte som i foige deloppgve. b) Nå ɛ = 3 og b = 7 få vi C = 2πɛ ɛ 0 ln b = 6π ln 7 ɛ 0 = 85.8 pf m. (21) c) i) Den lgede elektosttiske enegien pe lengdeenhet, W e, v kbelen e gitt ved W e = 1 2 C V 2. (22) Ved å sette inn uttykket fo C som ble funnet i ), og buke t V = V 0 få vi W e = πɛ ln b V0 2. (23) 3

4 ii) Enegitettheten w e i et elektisk felt e gitt ved w e = 1 2 ɛe2. (24) Den totle enegien pe lengdeenhet v kondenstoen finnes ved å integee opp uttykket fo enegitettheten ove tvesnittet mellom de to ledene: W e = w e ()da = 1 2 ɛe2 2πd = πɛ Ved å buke uttykket fo E som ble funnet i ) finne vi E 2 d. (25) W e = πɛ V 0 2 πɛ ln 2 b d = 2 ln b V0 2. (26) d) Pg. symmeti vil den totle kften som vike på ytteledeen f inneledeen væe lik 0. Oppgve 2 ) Vi stte med å bestemme det elektiske feltet inne i kondenstoen. Vi plssee en fi ldning Q på inneledeen og en ldning Q på ytteledeen og buke Guss lov S D ds = Q inne i S. Gussflten som vi velge oss e et kuleskll med dius. Gunnet symmeti h vi D = D()ˆ. Guss lov gi d D ds = 4π 2 D() = Q. (27) Buk v D() = ɛe() gi E() = Q 4πɛ 2. (28) Vi velge ytteledeen som efensepunkt fo potensilet slik t V () V (b) = V 0 = Kpsitnsen til kondenstoen e gitt v C = Q V 0 : Vi se t nå b = d kn vi skive E()d = Q d 4πɛ 2 = Q ( 1 4πɛ 1 ). (29) b C = 4πɛb b. (30) C ɛ A d, (31) de A = 4πb e oveflten til kondenstoen og d e vstnden mellom pltene. Dette uttykket e likt det fo en pllellpltekondensto. 4

5 b) Betke vi en enkelt ledende kule som gensetilfellet b i punkt ), og dessuten l ɛ ɛ 0, h vi C = 4πɛ 0, (32) fo kpsitnsen til en kule med dius. Oppgve 3 ) Enegien som må lges: W e = 700W 0.005s 0.90 = 3.89J. (33) b) Enegien på kondenstoen e W e = 1 2 CV 2 som gi t spenningen må væe V = 2We J C = F = 98.6V. (34) (Enhete: J/F = VC C V = V 2 ) 5