LØSNINGS FORSLAG EKSAMEN I EMNE SIF4005 FYSIKK Mandag 6. desember 1999 kl. kl for r R/2 ) for R/2 r R for r >R

Transkript

1 Sie v 9 NOGES TEKNSK- NATUVTENSKAPELGE UNVESTET NSTTUTT FO FYSKK NOEGS TEKNSK- NATUVTENSKAPELEGE UNVESTET NSTTUTT FO FYSKK Oppgve. Lningsfoelingen e gitt ve: ) Totllningen e: ρ( ) V LØSNNGS FOSLAG EKSAMEN EMNE SF5 FYSKK Mng 6. eseme 999 l. l ρ () β fo / ρ ( ) β ( ( ) fo / ρ ( ) fo > Sien et e sfæis smmeti, e et hensitsmessig å ue uleoointe. Volumet V e gitt som et ulesll me telse : V π Nå sl egnes ut, må vi ue smsvene ut fo ρ() og gensene ve integsjonen: vs., / ρ( )π β π / β β 5π Numeis vei: π ( ) β β π πβ πβ πβ πβ πβ πβ β 5π /.5 9 (. m) β ( 6 )π C/m 5π Anel v llning fo </ e: β 5 π ( ) πβ C 5 ) et eletise feltet finnes ve u v Guss lov. Fo lle te omåe v velges en sfæis Gussflte onsentis me lingsfoelingen. På gunn v smmetien i polemstillingen e et eletise feltet ielt ettet: e E E e hvo e enhetsveto i iell etning. E e un vhengig v vstnen,. Flusinteglet ove en luee, vlgte Gussflte (men vilålig ) li : E A E A E A π E He e et også ut t nomlvetoen til flten e gitt ve:, A A e, sli t pipoutet mellom e to enhetsvetoene (i smme etning) li. Tenge å egne ut lningen som e innesluttet v Gussflten fo ulie vlg v. 5 5 Fo < /: ε β, innstt i Guss lov: E π ε 5πε inne πβ πβ

2 Sie v 9 Fo / <<: inne πβ ( β / )π πβ 6 πβ / ( ) ( ) πβ πβ 6 et eletise feltet: inne E πε 5πε πβ πε β ( ) ( ) ( ) ( ) ε 5πε 96 6πε Fo >: inne, og et eletise feltet e: E, vs på smme fom som fo puntlning i. πε Kontinuitet: Gense ve /: nnsetting i E fo >/ gi: E ( / ) 5πε 5πε og smme gense f utet fo /<<: E ( / ) 5πε 6πε 5πε vs., E e ontinuelig fo /. ( ) Gense fo : nnsetting i uttet fo / < < : E ( ) 5πε 6πε ( ) som e et smme som en få ve innsetting i uttet fo >. E e ontinuelig fo. πε c) En-imensjonl moell v NCl stll. N og Cl - ionene e vist me og tegn x x en poteniselle enegien til et N-ion me lning q e i et eletis potensil e: U qv ette tilfellet e et eletise potenislet stt opp v lle e ne ionene, (puntlningene) og en få f ulie ione i stllmoellen: Potensiell enegi til sentlt N som sles e to næmeste Cl - ionene, hve me vstn f et sentl N ionet: e e e U e πε πε πε Potensiell enegi til sentlt N som sles e to N ionene hve me vstn f et sentl N ionet: U e e e e πε πε πε

3 Potensiell enegi til sentlt N som sles e to nest næmeste Cl - ionene, hve me vstn f et sentl N ionet: e e e U e πε πε πε og så viee. Totl potensiell enegi li summen v lle isse igene: U U U U e e e e e πε πε πε πε πε e πε i i ( )... i i U e ln πε i Sie v 9 z z z (Ve en siste ovegngen e et ut: ln( z) z... me z.) en le potensielle engegien til loiionet e et smme som fo N-ionet. ettningen vvie f en fo N ve t vi ette en e lning i potensilet stt opp v en ee puntlninge, e som e næmest (vstn ) h motstt lning, e som e nest næmest () h smme lning, osv. ette gi smme pot.enegi OPPGAVE ) På gunn v en enelige utsteningen, e ie Ampee s lov glig i ette tilfellet. Vi må ue iot-svt s lov: l e π Veto l e i smme etning som stømmen, og e e enhetsveto f l til puntet P. ette gi t etningen på mgnetfeltet i puntet P e inn ppiplnet: e θ (,-) hvo eθ e enhetsveto i θ etning i slineoointe. Sien vi nå h estemt etningen på mgnetfeltet, nøe vi oss me å egne på soluttveien i et følgene. oppgven e l, og gensene fo integsjon e f - til. Avstnen vhnenge v x, som ngitt på figuen, og sspoutet gi opphv til sinus til en mellomliggene vinel, sin(φ). en e gitt ve: sin( φ) sin( π φ) x / nnstt i iot-svts lov, gi ette: x sin( φ) / π π π ( x ) nteglet løses f.es. ve å ue mtemtis tell (ottmn): x x ; X x x c X / c X u v ette uttet gitt i ottmn (N: ottmn ue x som viel, i oppgven ues ):, og c x gi: (,) l φ x x (x,) P x / / / π x ( x ) π x( x ) π x( x )

4 Gens nå li: lim π lim / x( x ) π lim / x( ( x ) ) πx u v Ampees lov: Velge siel me sentum i leeen og ius x. og Sie v 9 l (N: ette e en nnen l en en som le ut i iot-svt s lov ove) e pllelle lngs hele integsjonsstien, og vi få: l π og løst me hensn på få en:. πx ette e et smme som genseveien i uttet ove. ) Kften pe lengeenhet F/l mellom to uenelige lnge pllelle, stømføene leee, me støm og og e gitt ve: F l π hvo e vstnen mellom leene. (enne n utlees f e oppgitte fomle og følgene: Lee me støm sette opp et mgnetfelt gitt ve Ampees lov: πx Kften på en stømføene lee me støm i lie sto vstn x gitt ve: F l Sien leene e pllelle, e mgnetfeltet onstnt, og vi få: F l l π som e et smme som uttet ove.) etningen på F e tilteene esom etningene på og e en smme, og fstøtene esom e e motstt ettet. oppgven he e e to stømmene lie stoe, og vi h to vstne, og f en sentle leeen til e ne. nnføe støelsen f som gunnlg fo vetosummeing: F f l π f e eme ft pe lengenhet fo pllelle leee me vstn, og f tilsvene vstn. Ve å egne positiv etning fo eftene som vie på en sentle leeen mot høe i figu ove, få en følgene lft på ngementene i).. iv): i) f f f f f netto f f f 6 f f f f f f f f f ii) f netto f iii) f netto f iv) f netto f nget ette minene nettoft (støst nettoft føst): ii), iv), iii) og i). Altentivt n en finne fm til enne ngeing ve å se på vetosummen v mgnetfeltene stt opp ve en sentle leeen, og så vlee ften f ette. ette gi smme ngeing.

5 Sie 5 v 9 c) Sl vise t en inusete eletomotoise spenningen ( emsen ) i stømsløf på gunn v stømmen (t) i høspenningsleningen e gitt ve: c ε f ln cos(πft) c en inusete eletomotoise spenningen e gitt ve F s lov: ε hvo Φ e mgnetis flus. Nå e Φ A Φ t hvo mgnetfeltet settes opp v veselstømmen i høspentleeen. enne finnes ve å sette inn uttet fo (t) i uttet fo mgnetfeltet unt en uenelig lng lee sli et le estemt ove ve hjelp v Ampee s lov: ( t) eθ sin ( πft) eθ π π Sien mgnetfeltet vhenge v vstnen, må vi integee. Nå e A n hvo n e enhetsnomlvetoen til flten. Gensene fo integsjon v e f c til c. en mgnetise flusen li : Φ A π sin c c ( πft) sin ( πft) ln sin ( πft) ln c nnstt i F s lov, oppnås: Φ c sin ( πft) c ε ln f ln cos( π ft), q.e.. t π c t c π c π c c Amplituen til en inusete emsen ve følgene tllveie: 5A, f 5. Hz,. m,.m, og c.5m: c 7.5 ε f ln π Hm.m 5s 5A ln. V. ( ) ( ) mv mx c.5 ) På gunn v t stømmen i høspentleeen viee me tien, li et stt opp et tis-vieene -felt som gi opphv til en inusete emsen i stømsløf. etningen på en inusete stømmen i ulie fse v (t) e som følge: i) ii) iii) iv) (t) in (t) in (t) (t) in in (t) øe, etning oppove, (πft <π/): in sette opp et mgnetfelt me motstt etning v et stt opp v (t) (, på fig) (t) mine, etning oppove, (π/< πft<π): in sette opp et mgnetfelt me smme etning som et stt opp v (t) (t) øe, etning neove, (π<πft <π/): in sette opp et mgnetfelt me motstt etning v et stt opp v (t) (, på fig) (t) mine, etning neove, (π/<πft <π): in sette opp et mgnetfelt me smme etning v et stt opp v (t) (, på fig)

6 Sie 6 v 9 etningen på en inusete stømmen e vist i figuen ove. Velge å stte nlsen ve situsjonen vist i Fig. i). Keftene på høspentleingen: Keftene på e elene v stømsløf som stå nomlt på høspenteleeen, F n og F n e lie stoe og motstt ettet, og vil eme ie gi noe ig til nettoften. Keftene på e elene v stømsløf som e pllelt me høspentleeen, F p og F p e også motstt ettet, men ften F p e F n støe enn F p foi en elen v stømsløf ligge næmee høspentleeen. Keftene F p og F p e gitt ve: (t) in F p F p F n F l men sien leene ligge lie lngt f høspenningsleene e mgnetfeltet onstnt lngs integsjonsveien. Få : Fp in ( c) oppgve c) le emsen og egnet ut sli t vi få: f c f c F p ln cos c πc πc c På tilsvene måte finnes F p : f c F p ln cos π( c ) c Nettoften li F netto ( πft) sin ( πft) ln cos( πft) sin ( πft) ( πft) sin ( πft) f c Fp Fp ln sin π c c( c) ( πft) hvo sin(u)cos(u).5sin(u) e litt ut. ette vise t nettoften viee mellom å væe fstøtene og tilteene me en fevens f, vs. en ole v fevensen til stømmen. ette sles t in som viee me smme fevens som (t), e fsefosøvet π/ i fohol til (t). esultntften F netto i situsjonene ove, e eme: i) fstøtene, ii) tilteene, iii) fstøtene og iv) tilteene. (F netto e null nå enten (t) elle in e null). OPPGAVE ) Ve en fosvning x f lievet, vie fjæen me en ft F x på stolen me elle uten stonut. Mssen til legemet som evege seg, m, e vhengig v om stonuten e me elle ie: m M m me stonut og m m, uten stonut, hvo e M e oppsmssen til stonuten og m e mssen til stolen. u v Newtons. lov gi: x x x m m, som gi evegelseligningen: x t t m enne h løsning v fomen: x( t) x cos( t ϕ) hvo x og ϕ estemmes f sttetingelsene. He sl e elsjonen mellom og m og ues. Fo t en gitte x(t) sl væe en løsning, må x x x cos( t ϕ) x cos( t ϕ) cos( ) x t ϕ t m m m Sien x tilsve t stolen e i o, og fo t ligningen sl væe oppflt fo ll t, e et / m som sl oppflles. ette gi: m. (et e tilsteelig å stte me enne løsningen fo ).

7 Sie 7 v 9 Nå e smmenhengen mellom vinelfevens og peioe T gitt ve πf π / T. nnstt i uttet fo π T m Løst mhp. m og innstt me uttet fo m Mm, oppnås: få vi: ( ) M π T m q.e.. Fo 'Sl Mission Two', v 65.6, og T stol.55s, og T stolstonut.s. Mssen til stolen e gitt ve: 65.6N/m m m (.55s) 5.9 g T stol π π og mssen til stonuten: 65.6N/m M T m.s 5.9 g 9.9g g ( ) 59.6g stol stonut π π Mssen til stonuten e 59.6 g estemt ut f e espeimentelt estemte svingepeioene nå vi nt t fisjon e neglisje. ) Keftene som vie på stolen e nå fjæft, smt fisjonsft, F - v. u v Newtons. lov gi nå: x x x v x m m t t x x ette gi evegelseligning: x t m t m m Løsningen e på fomen: x( t) xe cos( t ϕ) hvo x og ϕ estemmes f sttveiene. Vinelfevensen e gitt ve: m m He sl vi estemme m f osevet T. Løse efo m f : m m m m / Løsning v enne. gs lign gi: t m ± He e et ut t et un e fotegnet som gi en fsis oete løsningen. ette ses v gensen som sl gi en smme løsning som i oppgve. en osevete peioen T e i ette tilfellet gitt ve π T, sli t m n uttes ve,, og T: / T π m π T Me e osevete T, og g/s e mssen til stolen eegnet til:

8 Sie v 9 m m π T stol 65.6N/m π π T (.55s) og lmssen til stol me stonut: m m M T stol sto π 65.6N/m π (.s) stol π T π ( g/ s) ( 65.6N / m.55s) stol st π ( g/ s) ( 65.6N / m.s).6g 6.5 g Mssen til stonuten e M6. g estemt ut f e espeimentelt estemte svingepeioene nå vi også t hensn til fisjon i nlsen. OPPGAVE. Ojet i) f Sjem ) Situsjonen e som følge (et e ie v til figu ve esvelse, men et e illusteene): To posisjonene fo en onvegeene linse som gi eelle ile på osevsjons-sjemen e vist i figuen til venste. Me ojetvstn u og ilevstn v, gjele fo vilningen: u v f På gunn v t summen v ojet og ilevstn e gitt ve : u v få vi en lign. me ujent (he n et velges u elle v): u u f Omeiet: ( ) ( ) u f u u u ii) som gi. gslining i u: u u f enne h løsningen: u ± f. vs., vi h to ojetvstne: u f og u f. Avstnen mellom linsen fo isse to plsseingene v lins e: u u ( f ) ( f ) ( f ) q.e.. Fostøelsen, e gitt ve:

9 Sie 9 v 9 ile v ojet u Foholet mellom støelsene på ilene ve e to plsseingene v lins e gitt ve: ile, ile, / ojet v u ile, ile, / ojet u v Ojetvstnene e gitt ove, og e espetive ilevstnene finnes ve: v u f og v u f Foholet mellom støelsene på ilene li : ile, ile, v u u v f f f f ) nnføe vinelen θ mellom optis se og etningen til et osevsjonspunt på sjemen: nnfllene ls Gitte θ l.m Optis se Osevsjons sjem fo posisjone til intefeensms (lsstipe) på osevsjonssjemen: etingelsen fo hovems i gitteet e t gngveifosjellen f ls som omme f to nosplte e et helt ntll ølgelenge: sin θ nλ hvo e spltevstnen, λ e ølgelengen til lset, og n e oen (n, ±, ±, ) Posisjonen vhenge v θ: L tnθ hvo L. m e vstn mellom gitteet og osevsjonssjem. u v intefeensetingelsen gi følgene utt nλ L tnθ L tncsin 6 nnstt me tllveie ( m/. m ) oppnås følgene posisjone fo intefeensms: Posisjone (i mete) fo intefeensms fo ulie λ og oen n: n λ 655nm (øt) λ 6 nm (lått) λ nm (fiolett).. (utenfo).9 (utenfo).6 (utenfo) nnen omået f.5m til m på osevsjonssjemen osevees følgene linjemønste: Fiolett (.595m, n) lått (.69m, n) Fiolett (.7m, n) øt (.55m, n) lått (.979m, n) Fiolett (.m, n) lått (.6m, n) øt (.6m, n) Fiolett (.755m, n5)