MEK 4520 BRUDDMEKANIKK Løsningsforslag til obligatorisk øving 1.

Transkript

1 - - ME 45 RDDMEAN Løsningsfoslg til obligtoisk øving. Oppgve () Vis t spekkbeiet ( enegy elese te ) fo et lineæ-elstisk mteile e knyttet til ening i komplinsen. Definisjon v : A, F hvo e lget tøyningsenegi i legemet og F e bei utføt v yte kefte. Lstkontoll ( holes konstnt ve spekkvekst): Nå kften e konstnt bli beiet lik kft gnge vei: F Ening i bei fo en infinitesiml økning v spekklengen bli : F Ve en gitt spekkstøelse kn en lgee tøyningsenegien bli tilføt ve en lineæ pålstning slik t enegien tilsve tingelet une lst-foskyvning-skuven: som gi eningen i tøyningsenegien ve en infinitesiml økning v spekkstøelsen som (Legg meke til t eningen i kftens bei gi et positivt bilg til foi øke mens ening i lget tøyningsenegi gi et negtivt big til som e hlvpten så stot. Vi kn si t nå spekken vokse vil kftens bei figjøe enegi hvov hlvpten megå til å øke tøyningsenegien mens en ne hlvpten bli tilgjengelig fo nne ny spekkflte. Om enne enegien e sto nok til å gi spekkvekst h vi ennå ikke ttt stilling til.) D få vi: F Vi innføe komplinsen, : Mek t suffiks e fjenet f (/) komplinsen e uvhengig v om en enes une lst- lle foskyvningskontoll. nnføt i siste uttykk fo få vi:

2 - - Foskyvningskontoll ( holes konstnt ve spekkvekst): Nå foskyvningen e konstnt gjø lsten intet bei. Deme bli ening i bei fo en infinitesiml økning v spekklengen: F Tøyningsenegien e som fø: som gi eningen i tøyningsenegien ve en infinitesiml økning v spekkstøelsen som (Legg nå meke til t eningen i kftens bei gi null bilg til mens ening i lget tøyningsenegi gi et positivet big til foi synke. Nå e et ltså f tøyningene vi få enegi figjot f, og lt e tilgjengelig fo å nne ny spekkflte.) D få vi: F Vi innføe komplinsen, : gjen e suffiks e fjenet f (/) komplinsen e uvhengig v om en enes une lst- lle foskyvningskontoll. nnføt i siste uttykk fo få vi: som e ientisk me uttykkekt fo lstkontoll. Følgelig gi efinisjonen v smme esultt om en betkte infinitesiml spekkvekst une lstkontoll elle foskyvningskontoll.

3 Oppgve (Supeposisjon,, ) ) En sto plte me sentespekk e belstet me en homogen én-kset spenningen som vist i figuen une til venste. Hv e uttykket fo spenningsintensitets-fktoen fo enne geometien? π b) Figuen ove til høye e v smme geometi, men spenningen e pålgt spekkfltene iekte. Anven supeposisjonspinsippet til å vise t e lik fo begge konfigusjone. A D () (D) A: ngen spekk. Defo ingen spenningsintensitet ve en tenkte spekkspissen. (Spenningen lngs en tenkte spekken e lik en yte spenningen.) : Spekken e innføt, men spenningen ve en tenkte spekken ve A (tombiningene) e estttet v nøyktig like stoe pålgte spenninge. Defo åpne spekken seg ikke og spenningsintensitetsfktoen e foststt lik null. : Som fo men kun me en yte spenningen. D: Som fo men kun me spenningene pålgt spekken. Viee e spenningsfeltet snu og efo også fotegnet enet til minus. Av ette følge: () (D) - () (D) - 3 -

4 c) Du få opplyst t plten e foholsvis tynn, v stål (E. 5 N/mm ) og h buseighet c 5 N/mm. Spekklengen e 8mm. eegn kitisk spenningen ve bu? Ve pln spenning (tynn plte) h vi: E og spenningsintensiteten fo enne geometien e gitt i eloppgve ). Vi få π E Ve bu h vi c og kn betegne en kitiske spenningen c som bli: c E c π 5. 5 π N/mm - 4 -

5 Oppgve 3 (lstisk sone) ) tbeelsen v en plstiske sonen ve spekkspissen ble nslått v win ve å betkte spenningsfoelingen fon spekkspissen une tilnæmet lineæ-elstiske fohol. Vis hvilke esonnemente win gjoe. yy Lineæ-elstisk Elstisk-plstisk y p win esonete t spenningen yy fon spekkspissen ikke kunne ovestige mteilets flytegense. Defo måtte også spenningsfoelingen utleet ve LEFM tunkees ve flytegensen. Men fo å oppetthole likevekten tenkte hn seg t spenningsfoelingen une velle bli foskjøvet slik t flytesonen y utvies til p. Likevekt oppettholes nå et skvete elet ove (spenningene som ts bot ) e like stot som et ne skvete elet (spenningene som legges til). (Oppgven e me ette besvt, men utleningen viee e som følge:) Fo LEFM h vi: yy π Aelet som ts bot bli eme elet une hele LEFM-kuven ut til p minus ektngelet une : A y y π π y Dette kn foenkles ve å innføe betingelsen t yy fo y fo en lineæelstiske kuven slik t som gi y πy A y π y - 5 -

6 Aelet som legges til e i eliteten et ektngel foi et utgjøes v to kuve som e pllellfoskjøvet: A ( ) p y Liket mellom e to elene gi som et inteessnt mellomesultt: ( ) y p y p y Hvis vi løse betingelsen ove m.h.t. y få vi: y π p π b) Vis hvon wins esultt kn benyttes til å koigee fo effekt v en plstiske sonen. Hvo sto spekk kn toleees fo situsjonen i Oppgve c) nå mteilets flytegense e 69 N/mm? Vi tenke oss en effektiv spekk me spekkspissen ve y p /. Denne spekken vil ligne et lineæelstisk tilfellet i og me t en h en spenningsfoeling fon seg som fo LEFM nå vi se bot f en plstiske sonen umielbt fon spekkspissen. Vi efinee efo en effektive spekklengen som p eff + og eff Y ( eff / W ) πeff Ve bu e eff c. eff c Ec Me Y h vi også t: N eff eff πeff eff 4. mm (ltså lik i oppg. c) π π 5.7 føste itesjon nt vi t eff og få: mm p. mm π π 69 p. eff mm ne itesjon opptee vi me folige nslg på og beegne ny : -3/ π 5.7 * π N mm -3/ - 6 -

7 53.4 p.55 mm π π 69 p. eff mm Flee itesjone gi 3.5, 3.7, 3.7, 3.7 konvegee mot 3.7 mm. 6.3 mm c) Hvis hvon utbeelsen v en plstiske sonen utlees i følge Dugle-moellen ( stipyiel -moellen). Dugle tenkte seg t et i Mous vil be seg en flytesone f spekkspissen som et bån ( stip ) i smme pln som spekken, og t lengen ρ v enne sonen øke me belstningen inntil en h bet seg gjennom hele legemet. Lengen v enne flytesonen bestemte hn ve å benytte supeposisjon v kjente løsninge fo. Hn tenkte seg t en fysiske spekken pluss flytesonen utgjø en tenkt spekk. Hn betktet mteilet i flytesonen som noe som tkk på spekkens flte me en spenning lik flytegensen. Altså kunne hn esttte flytesonen me et tenkt pålgt spenningsfelt som vist une. Som viee vist h hn en spekk me to ulike pålstninge som i følge supeposisjonspinsippet kn eles opp i to septe tilfelle me kjente uttykk fo.; opening og closue. Ve spissen v en tenkte spekken h vi ingen singulitet (TOD), og spenningsintensiteten e efo null. Altså h vi: opening + closue som me kjente løsninge fo opening og closue kn løses fo ρ

8 (Dette gi sv på oppgven som emonstee foståelsen v moellen. Viee utlening v uttykket fo ρ kn væe en go øvelse, men vil væe i oveknt å fovente ve eksmen.) opening e gitt v en velkjente løsningen π hvo estttes v +ρ som gi π + ρ opening ( ) closue kn finnes ve å integee løsningen fo en spekk me enkelt lst på spekkflten: x x x ( + ), ( ) π x π + x hvo estttes v +ρ og estttes v - x. Symmeti gi : + ρ + ρ + + ρ x x x + ρ x opening + ( ) + π + ρ ρ x π ( + ρ ) + ρ + x som løses til + ρ opening ccos π + ρ Ve å sette summen v opening og closue li null få vi: π cos + ρ Denne kn foenkles ve å nvene ekkeutvikling til en Tylo-seie fo cosinus-funsjone: π π + + ρ! 4! 6! og behole e to føste leene. Løst fo ρ få vi : π ρ 8 4 He kjenne vi igjen pmetene som inngå i uttykket fo fo en fysiske spekken. ttykket omfomes eme til: π 8 ρ π