Kap. 3 Krumningsflatemetoden

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Kap. 3 Krumningsflatemetoden"

Transkript

1 SIDE. KRUMNINGSFLTEMETODEN I kpittel. og. hr vi sett t en bjelkes krefter og deformsjon kn beskrives ved fire integrler som henger smmen : Skjærkrft : V d Vinkelendring : φ M d Moment : M V d Forskyvning (nedbøyning) : y φ d I kp.. så vi hvordn vi kunne beregne V og M ved å benytte likevektsbetingelsene. I kp.. benyttet vi integrsjon for å beregne V og M. Eksemplene i kp. viser hvordn vi kn beregne vinkelending og forskyvning ved å integrere momentfunksjonen. På smme måte som vi kn beregne V og M uten integrsjon ved å benytte likevektsbetingelelsene, kn vi beregne φ og y ved likevektsbetingelser. Integrlene ovenfor hr visse likhetstrekk. Dersom vi påfører en konstruksjon M/ som lst vil skjærkrften for denne tenkte lsten representere vinkelendringen φ. Tilsvrende vil momentet i konstruksjonen med M/ som lst representere forskyvningen y. nlogien i integrlene på venstre og høyre side ovenfor viser dette. M/ representerer krumningen v konstruksjonen og derfor klles metoden krumningsfltemetoden. Lsten M/ er kun en tenkt lst som vi påfører konstruksjonen for å kunne beregne φ og y ved å benytte likevektsbetingelse i stedet for integrsjon. I virkeligheten utfører vi egentlig en integrsjon, og vi må psse på t rndbetingelsene for konstruksjonen med lsten M/ er slik t integrsjonskonstntene blir riktige. Rndbetingelser for fritt opplgt bjelke : Ved beregning v V og M er rndbetingelsene M0 for 0 og M0 for L M/ Vi påfører lsten M/ på konstruksjonen for å beregne φ og y. Rndbetingelsene er her t y0 for 0 og y0 for L. Her er rndbetingelsene for M og y like og vi kn benytte det smme sttiske systemet ved begge beregningene Rndbetingelser for utkrget bjelke : Ved bereging v V og M er rndbetingelsene t M0 og V0 for L. M/ Vi påfører lsten M/ på konstruksjonen. Rndbetingelsene ved beregning v φ og y er t φ0 og y0 for 0 Ved beregning med den tenkte lsten M/, representerer skjærkrften, φ og momentet, y. Vi ser t vi er nødt til å innføre et tenkt sttisk system for denne beregningen slik t M0 (φ0) og V0 (y0) for 0. Dette oppnår vi ved å flytte den fste innspenningen til det som i virkeligheten er bjelkens frie ende. Vi må her ltså ikke bre benytte en tenkt lst (M/), men også et tenkt sttisk system for å beregne φ og y. H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

2 SIDE.. STTISK ESTEMTE JELKER Vi kn benytte krumnningsfltemetoden til å beregne deformsjoner v sttisk bestemte bjelker. Vi kn også benytte metoden til å finne kreftene i sttisk ubestemte systemer. Dette behndles i kp.. Ettersom vi skl påføre konstruksjonen en tenkt lst som hr smme form som momentdigrmmet, hr vi behov for rel og tyngdepunkt for noen vnlige former for moment : Treknt Prbelsegment : Prbelsegment (spisst) M M M / L / L 5/8 L /8 L / L / L ML ML ML Prbelsegmentene hr horisontl tngent til høyre som vist. Dersom vi hr prbelsegmenter som ikke hr horisontl tngent, må vi dele flten opp. Vi skl se på dette senere. N! Tngenten til momentkurven er horisontl når V0 EKSEMPEL. : Fritt opplgt bjelke med jevnt fordelt lst konst L M : L 8 Lsten gir moment som er posistivt (strekk i UK). Den tenkte lsten M/ føres derfor på med smme retning som dvs. nedover. Det er prktisk og vnlig å tegne denne lsten på smme side som momentdigrmmet. M/ : ΣM φ L L L L 8 φ L L φ L 8 /6 L -φ ΣM Mksiml nedbøyning finnes midt på bjelken : Vi beregner "momentet" midt på bjelken y midt y midt φ L L ( ) L L 8 L L L 8 L L 6 φ L 5 y midt 8 L L/ H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

3 SIDE. EKSEMPEL. : Utkrget bjelke med punktlst y φ F L M : FL Her må en psse på t det sttiske systemet blir riktig for den tenkte lsten. Rndbetingelsene er : y 0 og φ 0. Dett oppnår vi ved t det tenkte sttiske systemet er fritt i og innspent i. Lsten F gir negtivt moment i bjelken (strekk OK) derfor er retningen på den tenkte lsten motstt F. M/ : / L FL/ Tenkt lst på tenkt sttisk system y0 φ 0 φ FL L φ F L F L y L L y F L φ EKSEMPEL. : Utkrget bjelke med jevnt fordelt lst. M : L / konst L y φ Som i eksempel. må vi flytte innspenningen på det tenkte sttiske systemet for å få rndbetingelsene til å stemme. Retningen på φ nederst på figuren er nlog med fortegnsregelen for positiv skjærkrft. φ L L φ 6 L M/ : L / / L Tenkt lst på tenkt sttisk system L y L L y 8 L y0 φ 0 φ H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

4 SIDE. EKSEMPLEL. : Fritt opplgt bjelke med punktlst. M : M/ : / F C F F/ eregner opplgerkrefter og momentdigrm : F ΣM y F y y F M C y F eregner vinkelendring og nedbøyning : ΣM φ F 5 F φ / / / / - φ φ 9 F ΣM φ / F/ F F 7 ( φ ) φ 5 9 F Nedbøyning i C : Nedbøyningen er ikke nødvendigvis størst midt under lsten. M nedbøyning finnes der φ0 y C φ F y C 9 F F y C 9 F 9. Plot v nedbøyning : [F /] y( ) eregner φ og y i vilkårlig snitt () : φ φ y φ F F φ 9 F 6 F y 9 F 8 F φ F φ 0 : 9 F 6 F.6 y m 9 F (.6) y m.8f 8 F (.6) H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

5 SIDE.5 Dersom momentdigrmmet blir litt mer komplisert enn i eksemplene ovenfor er det nødvendig å dele krumningsflten (den tenkte lsten M/) i flere flter. Et trpes kn deles i to treknter, et prbelsegnment som ikke hr horisontl tngent kn deles i en treknt og et fullstendig prbelsegment. Dersom bjelken hr forskjellig stivhet () lngs lengdeksen er det ofte også nødvendig å foret en finere inndeling v krumningsflten. Figurene nedenfor viser gode metoder. Opprinnelig flte Oppdelt flte : Trpes Positivt og negtivt moment Det er ofte brysomt å regne med de to trekntene som de er. Prbel uten horisontl tngent Prbel uten horisontl tngent L /8 L L /8 H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

6 SIDE.6 EKSEMPEL.5 : Fritt opplgt bjelke med to punktlster P P 8 eregner opplgerkrefter og momentdigrm : ΣM ΣM M P P y8 P6 P P P5 y8 y P y P M P 9 P M/ eregner vinkelendring i og : φ P/ 9P/ 5 0/ - φ ΣM φ P 0 P 8 5 φ 8 8 P 9P 9P ΣF y φ 8 8 P P P 9P 9P Mks nedbøyning finnes der φ0, på tilsvrende måte som i Eks... φ 85 8 P eregner nedbøyning under lstene y og y : 8 y 8 P P 85 y 8 P 9P 75 y P 0 y 8 P H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

7 SIDE.7 EKSEMPEL.6 : jelke med vribel stivhet eregner opplgerkrefter og momentdigrm : ΣM y konst P y 5 y C 5 M C ( ) M C eregner vinkelendring i og, smt nedbøyning i C : M : ΣM φ 5 8 M/ : / / φ 9 ΣM φ /8 / - φ 7 ( 8 φ ) M : /8 M/ : φ / 5/ -/ 5/ /- /8 / φ 8 y C 9 8 y C eregner m nedbøyning (snitt ) : φ Likningen er en tredjegrdslikning og løses best ved å prøve forskjellige verdier for. 9 5 gir m.86 y Mksiml nedbøyning er prktisk tlt lik nedbøyningen i C (y C ). Innstsen med å beregne y m er ikke bryet verdt i dette tilfellet. y 9 m.86 gir y m.50 H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

8 SIDE.8 Ved beregninger med krumningsfltemedtoden er det viktig å huske på t krumningsflten viser hvordn bjelken krummer. Denne krumningen bestemmer deformsjonen, men grensebetingelsene hr også en vgjørende betydning. jelken med utkrger i figuren under er et eksempel på dette. φ P C φ C jelken er belstet med en punktlst, og den stiplete linjen viser hvordn bjelken deformeres. Mellom og bestemmes forskyvningen v krumningsflten, og grensebetingelsene t y0 i og i. Vi kn regne ut vinkelendringen i, φ. M/ : L L jelken krummes også mellom og C. Dette gir en nedbøyning v bjelken, men den største delen v forskyvningen (slik figuren er tegnet) er gitt ved grensebetingelsen t vinkelenrdingen er lik φ i. Forskyvningen i C kn deles i to deler; en som skyldes krumningen, og en del som skyldes vinkelendringen i. Siden vinkelendringene er små kn denne siste regnes som φ *L. - φ φ Når vi benytter krumningsfltemetoden må vi t hensyn til dette ved å velge riktige sttiske systemer for den tenkte lsten (krumningsflten). For blir systemet en fritt opplgt bjelke som tilfredstiller y0 (null "moment") i og For C er betingelsen y0 (null "moment") i og t vinkelendringen er lik φ i. Dette oppnår vi ved å benytte fri ende i med en "punktlst" lik φ og fst innspenning i C (som gir både "moment", y C og "skjærkrft" φ C ) φ φ C H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

9 SIDE.9 EKSEMPEL.7 : Utkrget bjelke med punktlst P C eregner del først : φ P φ P M/ : P/ φ P φ P y midt φ y midt P P y midt P P φ φ Del C : φ C φ P φ C P P φ C 7 6 P φ φ C y C φ P y C P P y C P Verdier for bjelke i betong : b : 00mm h : 700mm :.0m P : 50kN (5 tonn) bh E : 5000MP I : φ P : EI φ (rd) (grder) π Nedbøyning i C : y C : P y C.87 mm EI Nedbøyning i C pg. vinkelendring i : Forskyvning midt på felt : φ.99 mm (67 %) y midt P : y midt 7.87 mm (Oppover) EI H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

10 SIDE.0. STTISK UESTEMTE JELKER : Kreftene i en sttisk ubestemt bjelke kn ikke finnes ved å benytte likevektbetingelsene lene. jelken hr ukjente opplgerreksjoner : M, y, og y. Vi hr likevektsligninger : ΣM0, ΣF y 0 og ΣF 0. jelken er - gng sttisk ubestemt. y y y Dersom vi fjerner opplgeret i står vi igjen med tre ukjente opplgerreksjoner som kn beregnes. jelken får d en nedbøyning i, (y ) på grunn v lsten. Størrelsen på denne nedbøyningen kn vi beregne med krumningsfltemetoden. På det smme systemet kn vi sette på en lst y, som gir en oppbøyning v bjelken (y ). Vi vet t forskyvningen i skl være lik null, og dette kn vi benytte til å beregne størrelsen på y. Riktig verdi på y hr vi når y -y 0. Når y er kjent kn vi beregne de tre ndre opplgerreksjonene ved hjelp v likevektsbetingelsene. φ M φ Vi kunne også h løst problemet ved å ersttte innspenningen i med et fst leddlger. jelken får d en vinkelendring i (φ ) på grunn v lsten. Vi kn beregne størrelsen φ. D erstttet innspenningen med ett leddlger fjernet vi innspenningsmomentet i. Dersom vi setter M på som en lst vil bjelken få en vinkelendring i (φ ). Størrelsen på momentet M er gitt ved t f -f 0. Etter t M er bestemt på denne måten kn vi eregne y, og y ved hjelp v likevektsbetingelsene. Fremgngsmåten er ltså i prinsippet den smme, enten vi innfører et ledd i eller fjerner opplgeret i. I svært mnge tilfeller blir beregningene enklere dersom en velger å innføre ledd fremfor å fjerne opplger. H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

11 SIDE. EKSEMPEL.8 : jelke over to felt med jevnt fordelt lst konst C 6 9 konst M : 6 9/8 M/ : y Ukjente opplgerreksjoner :, y, y og C y. jelken er en gng sttisk ubestemt. Velger å fjerne opplgeret i. eregner nedbøyning i på grunn v lsten : 7 M M 6 Regner med krumningsflten M/ som lst : φ ΣM C φ 5 8 /8 / /8 / /8 / 5 y 8 8 / / 5 y M : M/ : y y /7 y / y / /8 y / C eregner oppbøyning i pg. lsten y : ΣM C M 7 y Regner med krumningsflten M/ som lst : ΣM C φ y y 7 8 φ y y y y 8 y 7 y y 7 y (oppover) y er gitt ved t forskyvningen i er lik null : 5 7 y M 7 y y 7 y 5 y 8.75 H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

12 SIDE. Skjærkrftdigrm : Y Z X 8 y 7 Momentdigrm : 9 8 Når y er kjent kn resten v opplgerreksjonene beregnes : ΣM C y 8.65 ΣM C y7 C y V v 8 9 V v 8.75 Y Z X. V h V h M 8 M Del : V o 8.65 V M m 8 69 M m 8. Del C : V C b o V C M m ( ) M m H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

13 SIDE. I svært mnge tilfeller blir beregningene mye enklere dersom vi innfører ledd i stedet for å fjerne opplgere. Det er mest fornuftig å innføre leddet ved et opplger, som i for bjelken som er vist nedenfor. jelken får d forskjellig vinkelendring på høyre og venstre side v, vi får et gp som er gitt ved summen v de to vinkelendringene (regnet uten fortegn). Den virkelige bjelken hr selvfølgelig ikke et slikt gp, og momentet i (M ) er gitt ved t det gir vinkelendringer i motstt retning som kkurt lukker gpet. Vi kn regne på dette ved å sette på et moment M som en lst på begge bjelkedelene og beregne vinkelendringene som dette momentet gir. etingelsen for beregning v M er t bjelken hr smmme vinkelendring på begge sider v (er kontinuerlig), dvs. S f v Sf h C φ v φ v φ h M φ v φ v φ h Dette innebærer t bjelken er tenkt delt i to deler som begge er sttisk bestemt og som hr felles opplegg i. Etter t M er bestemt kn de øvrige krefter i bjelken beregnes ved å benytte likevektsbetingelsene. Denne beregningsmåten kn også benyttes for bjelker som er mer enn en gng sttisk ubestemt. Ved å innføre flere ledd får en flere ukjente momenter. etingelsen for å bestemme disse momentene er fortstt t bjelken er kontinuerlig over oppleggene, dvs Σφ v Σφ h for lle punkter hvor ledd er innført. Dette vil gi et ligningssytem med n ligninger med n ukjente for et n gnger sttisk ubestemt system. jelken nedenfor er to gnger sttisk ubestemt og vi får to ligninger med to ukjente (M og M C ). P P C D M M C Ligningssystem for å bestemme M og M C : (Σφ v Σφ h ) I : ( ) ( ) ( ) φ v( ) φ v M φ h( ) φ h M φ h M C II : ( ) ( ) ( ) φ Cv( ) φ Cv M φ Cv M C φ Ch( P) φ Ch M C H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

14 SIDE. EKSEMPEL.9 : Smme bjelke som eksempel.8 M/ : M: M/ : /8 / C 6 9 /6 M / M M /9 M / /8 / jelken er en gng sttisk ubestemt. Deler bjelken i to deler som er sttisk bestemt ved å føre inn et ledd i. Vinkelendringer pg. : jelke ΣM jelke C ΣM C Vinkelendringer pg. M : jelke φ M ΣM v 6 jelke C ΣM C φ v 8 φ v 6 φ h 8 φ h 8 φ M v φ M h 9 φ h M 9 eregner størrelsen på M : Σφ v ΣM h 6 M 8 M 9 Resulttet stemmer med eksempel.8, men beregningen er dskillig mer oversiktlig. Momentet M er stt på slik t det gir strekk i overknt v bjelken slik vi tror det virker. Det kn være mer ryddig å sette momentet på etter fortegnsdefinisjonen (dvs. med strekk i underknt). eregningen vil bli den smme, men resulttet for M vil bli negtivt. Det viktigste er å vise på en figur hvordn M virker. M (Strekk i overknt) Moment- og skjærkrftdigrm blir som for eksempel.8 H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

15 SIDE.5 EKSEMPEL.0 : Trefelts bjelke med jevnt fordelt lst. 7. kn/m konst C D jelken er to gnger sttisk ubestemt. Innfører ledd i og C. 6.0 m 7. m 6.0 m Vinkelendringer pg. : φ v L φ 6.8 v φ φ C φ h L 7.7. φ.97 h φ 7.7. Cv φ 6.8 Ch φ Ch φ.97 Cv Vinkelendringer pg. M φ v M φh φ Cv M L M L M L 6 6.0M M φ v.0 7.M φ h. M 7.M M 6 φ Cv. Vinkelendringer pg M C MC φ h φ Cv M C L 6 M C L 7.M C 6 φ h. M C 7.M c M C φ Cv. φ Ch M C L 6.0M C φ Ch.0 M C Likningssystem : Σφ v Σφ h M.97. M. M C M C M H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

16 SIDE.6 Σφ Cv Σφ Ch.97. M. M C M C innstt for M C gir : M 9.86 støttemomentene blir : 7.M M.56 M C.56 Feltmomenter ytterfelt : V : M m : 7. V 6. M m 8.5 Feltmoment, innerfelt : jelkens momentdigrm : M m : M m Y Z X jelkens skjærkrftdigrm : Y Z X H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

Fasthetslære. HIN Teknologisk avd. RA Side 1 av 8

Fasthetslære. HIN Teknologisk avd. RA Side 1 av 8 HIN Teknologisk vd. R 04.0.13 Side 1 v 8 sthetslære Irgens: utdrg fr kp. 11. Hieler: Kp 8+9. Konstruksjonsmteriler Konstruksjonsmteriler er fste stoffer og skl i tillegg skl h god evne til å henge smmen.

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

2.2.1 Grunnleggende betraktninger

2.2.1 Grunnleggende betraktninger 38 C2 BJELKER eksentrisk plssering på lgrene eller skjevt innstøpte løftebøyler. Bjelken vil dermed få en sideutbøyning som kn skpe et stbilitetsproblem. Det er en prinsipiell forskjell på de to tilfellene.

Detaljer

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer

B12 SKIVESYSTEM. Tabell B Bøyestivhet av skiver. (Fasthetsklasse etter NS )

B12 SKIVESYSTEM. Tabell B Bøyestivhet av skiver. (Fasthetsklasse etter NS ) δ B1 SKIVESYSTEM Tell B 1.1. Bøestivhet v skiver. (Fsthetsklsse etter NS 3473 1989) Fsthetsklsse t (m) h (m) A s = A s (mm ) N (kn) (h / R) 1 3 EI 1 15 (Nmm ) EI / EI 1 ε s 1 3 C 35, 4, 491 1 3, 1,3,63,59

Detaljer

1 Mandag 18. januar 2010

1 Mandag 18. januar 2010 Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

Kapittel 1:Introduksjon - Statikk

Kapittel 1:Introduksjon - Statikk 1 - Introduksjon - Statikk Kapittel 1:Introduksjon - Statikk Studér: - Emnebeskrivelse - Emneinformasjon - Undervisningsplan 1.1 Oversikt over temaene Skjærkraft-, Moment- og Normalkraft-diagrammer Grunnleggende

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06 MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Løsningsforslag SIE4010 Elektromagnetisme 5. mai 2003

Løsningsforslag SIE4010 Elektromagnetisme 5. mai 2003 Oppgve 1 Løsningsforslg SIE4010 Elektromgnetisme 5. mi 2003 ) Av symmetrigrunner må det elektriske feltet være rdielt rettet og uvhengig v φ, E = E(r)u r.vilrs være overflten til en sylinder med rdius

Detaljer

Tillegg om integralsatser

Tillegg om integralsatser Kpittel 7 Tillegg om integrlstser 7.1 Integrlstser, fundmentlstser Fr et mtemtiske snspunkt er integrlstser beslektet med b f) d = fb) f) b β dr = βr b ) βr ) der den første klles nlsens fundmentlteorem,

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

Numerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe

Numerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/18 I(f) = f(x)dx. hvor f : R R. Numerisk sett, integrlet I(f) = f(x)dx pproksimeres med en summe Q n (f) = w i f(x i ), n-punkter regel hvor x 1 < x 2

Detaljer

75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag

75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag 75045 Dynmiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslg Oppgve 1 ẋ = 0 gir y = ±x, og dette innstt i ẏ = 0 gir 1 ± x = 0. Vi må velge minustegnet, og får x = y = ±1/. Vi deriverer: [ ] x y ( 1 Df(x, y) = ;

Detaljer

Likevekt STATISK LIKEVEKT. Når et legeme er i ro, sier vi at det er i statisk likevekt.

Likevekt STATISK LIKEVEKT. Når et legeme er i ro, sier vi at det er i statisk likevekt. Likevekt STATISK LIKEVEKT Når et legeme er i ro, sier vi at det er i statisk likevekt. Et legeme beveger seg i den retningen resultanten virker. Vi kan sette opp den første betingelsen for at et legeme

Detaljer

Effektivitet og fordeling

Effektivitet og fordeling Effektivitet og fordeling Vi skl svre på spørsmål som dette: Hv etyr det t noe er smfunnsøkonomisk effektivt? Er det forskjell på smfunnsøkonomisk og edriftsøkonomisk effektivitet? Er det en motsetning

Detaljer

Tabell 2 Spennvidden for bjelkelag med under -gulv av 22 mm sponplater eller 19 mm kryssfinér

Tabell 2 Spennvidden for bjelkelag med under -gulv av 22 mm sponplater eller 19 mm kryssfinér Bjelkelgstbell Bjelkelgstbellen ngir hv de ulike dimensjonene (produktene) tåler v spennvidde innenfor hver styrkeklsse (C18, C24 og C30) Tbell 1 Spennvidden for bjelkelg med gulv (Tll i ) v 21 mm BJELKELAGSTABELLER

Detaljer

Øving 13, løsningsskisse.

Øving 13, løsningsskisse. TFY455/FY3 Elektr & mgnetisme Øving 3, løsningsskisse nduksjon Forskyvningsstrøm Vekselstrømskretser nst for fysikk 5 Oppgve nduktns for koksilkbel ) Med strømmen jmt fordelt over tverrsnittet på lederne

Detaljer

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π Innlevering ELFE KJFE MAFE Mtemtikk HIOA Obligtorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Mndg 6. oktober 5 før forelesningen : Antll oppgver: Løsningsforslg Finn de ubestemte integrlene ) x 4/x dx LF: x 4/x

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen 5. januar 2009

Løsningsforslag for eksamen 5. januar 2009 Løsningsforslag for eksamen 5. januar 2009 Oppgave 1 Figuren til høyre viser en hengebroliknende konstruksjon, med et tau mellom C og E med egen tyngde g = 0,5 kn/m og en punktlast P = 75 kn som angriper

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TKT4116 MEKANIKK 1

EKSAMEN I EMNE TKT4116 MEKANIKK 1 NORGS TKNISK- NTURVITNSKPLIG UNIVRSITT Institutt for konstruksjonsteknikk Faglig kontakt under eksamen: rne alberg 976 42 898 / 73 59 46 24 Jan jarte arseth 73 59 35 68 KSMN I MN TKT4116 MKNIKK 1 Onsdag

Detaljer

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003. Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert mrs 005 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

Løsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 24. mai = 2πrlɛE(r) = Q innenfor S =

Løsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 24. mai = 2πrlɛE(r) = Q innenfor S = Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for elektronikk og telekommuniksjon Side 1 v 5 Løsningsforslg TFE4120 Elektromgnetisme 24. mi 2011 Oppgve 1 ) Av symmetrigrunner må det elektriske

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud Multippel integrsjon. Geir Ellingsrud 2. pril 24 2 NB: Dette er en midlertidig versjon dtert 2. pril 24. Den kommer til å bli utvidet og korrigert fortløpende!!. Dobbelt integrlet over rektngler og iterert

Detaljer

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12). MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense

Detaljer

Øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.

Øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt. Lørdgsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 007. Veiledning: 9. september kl 1:15 15:00. Øving 4: oulombs lov. Elektrisk felt. Mgnetfelt. Oppgve 1 (Flervlgsoppgver) ) Et proton med hstighet

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 En-vribel klkulus I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning

Detaljer

1 Mandag 8. mars 2010

1 Mandag 8. mars 2010 1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs

Detaljer

Løsningsforslag til test nr. 1 Mekanikk våren 2011

Løsningsforslag til test nr. 1 Mekanikk våren 2011 Løsningsforslag til test nr. 1 Mekanikk våren 2011 Spørsmål 1. V11-Resultant (i kn) - 3 laster på rektangel Legemet på figuren er utsatt for 3 krefter. Kraften på 4 kn er skrå, med retning nedover t.h.

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10 FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving LØSNING ØVING Løsning oppgve Spinn. D åde χ + og χ i likhet med lle ndre spinorer er egentilstnder til enhetsmtrisen med egenverdi lik, hr vi Videre finner vi t

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Forord Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9 Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i

Detaljer

Original bruksanvisning 11/2010. Tas vare på for fremtidige behov. Doka smådelstainer. Art.-Nr. 583010000. Forskalingseksperten

Original bruksanvisning 11/2010. Tas vare på for fremtidige behov. Doka smådelstainer. Art.-Nr. 583010000. Forskalingseksperten 11/2010 Originl ruksnvisning 999281418 no Ts vre på for fremtidige ehov ok smådelstiner rt.-nr. 583010000 Forsklingseksperten Originl ruksnvisning ok smådelstiner Produkteskrivelse Produkteskrivelse ok

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Kapittel 3. Potensregning

Kapittel 3. Potensregning Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012 R 00/ - Kpittel 4: 0. noemer 0 6. jnr 0 Pln for skoleåret 0/0: Kpittel 5: 6/ 6/. Kpittel 6: 6/ /. Kpittel 7: / /4. Prøer på eller skoletime etter hert kpittel. Én heildgsprøe i her termin. En del prøer

Detaljer

9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler

9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 169 Figur 915 Bezier-kurve med kontrollpolygon som representerer bokstven S i Postscript-fonten Times-Romn De ulike Bezier-segmentene ser du mellom kontrollpunktene

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer

Integrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon

Integrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon Integrsjon del Deprtment of Mthemticl Sciences, NTNU, Norwy Octoer 5, 4 Integrsjon Sustitusjon for estemte integrler Husk kjærneregel d dt f (g(t)) = f (g(t)) g (t) ved fundmentlteoremet (del ) vi får

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO

MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Eksmen i : MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet INF5110 - Kompiltorteknikk Eksmensdg : Onsdg 6. juni 2012 Tid for eksmen : 14.30-18.30 Oppgvesettet er på : Vedlegg

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8.

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8. Ekskt løsning Newtons metode - Integrsjon Forelesning i Mtemtikk TMA00 Hns Jko Rivertz Institutt for mtemtiske fg 0. septemer 0 Kpittel.7. Newtons metode Den ekskte løsningen v x x = 0er ikke særlig rukelig

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO:. ugust 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og fleing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Fysikk 2 Torsdag 2. desember 2004

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Fysikk 2 Torsdag 2. desember 2004 NTNU Side 1 v 7 Institutt for fysikk Fkultet for nturvitenskp og teknologi Dette løsningsforslget er på 7 sider. Løsningsforslg til eksmen i TFY417 Fysikk Fysikk Torsdg. desember 4 Oppgve 1. Kvntemeknikk

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske

Detaljer

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende

Detaljer

Løsningsforslag, Midtsemesterprøve torsdag 6. mars 2008 kl Oppgavene med kort løsningsskisse

Løsningsforslag, Midtsemesterprøve torsdag 6. mars 2008 kl Oppgavene med kort løsningsskisse Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2008 Løsningsforslg, Midtsemesterprøve torsdg 6. mrs 2008 kl 1000 1200. Fsit side 12. Oppgvene med kort løsningsskisse

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011)

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011) Sensorveiledning Oppgveverksted 4, høst 203 (bsert på eksmen vår 20) Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,2, oppgve 2 vekt 0,4, og oppgve 3 vekt 0,4. For å bestå eksmen, må besvrelsen i hvert fll: gi minst

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA42 og REA42f EKSAMENSDATO:. desember 2 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer Løsninger v oppgvene i ok R kpittel 4 Tredimensjonle vektorer Løsninger v oppgvene i ok 4. Vi tegner punket A i xy-plnet. Vi mrkerer plsseringen v A med linjestykker ut fr punktene (4,0,0) på x-ksen og

Detaljer

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVESITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: FYS1120 Elektromgnetisme Eksmensdg: 5. oktober 2015 Tid for eksmen: 10.00 13.00 Oppgvesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tilltte hjelpemidler:

Detaljer

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016 Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130 Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =.

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert oktoer 003 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

1b) Beregn den elektriske ladningstettheten inni kjernen og finn hvor stor den totale ladningen er.

1b) Beregn den elektriske ladningstettheten inni kjernen og finn hvor stor den totale ladningen er. FYS112 H-211: Løsningsforslg for vsluttende eksmen Oppgve 1 I en modell for en kuleformet tomkjerne med rdius R vrierer det elektriske feltet inne i kjernen som E(r) = Cr(xe x + ye y + ze z ). Her er C

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

Statikk. Kraftmoment. F = 0, forblir ikke stolsetet i ro. Det begynner å rotere. Stive legemer

Statikk. Kraftmoment. F = 0, forblir ikke stolsetet i ro. Det begynner å rotere. Stive legemer Statikk Etter Newtons. lov vil et legeme som er i ro, forbli i ro hvis summen av kreftene på legemet er lik null. Det er i hvert fall tilfellet for et punktformet legeme. Men for et legeme med utstrekning

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

Løsningsforslag Kollokvium 1

Løsningsforslag Kollokvium 1 Løsningsforslg Kollokvium 1 30. jnur 015 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 1. Oppgve 1 Regning med enheter ) Energienheten 1 ev (elektronvolt) er definert som

Detaljer

KAPITTEL 9 Approksimasjon av funksjoner

KAPITTEL 9 Approksimasjon av funksjoner KAPITTEL 9 Approksimsjon v funksjoner En grunnleggende teknikk som ofte brukes i ulike deler v mtemtikk og nvendelser er å tilnærme eller pproksimere et objekt med et nnet. Som regel er objektet som skl

Detaljer

Norsk Fysikklærerforening Norsk Fysisk Selskaps faggruppe for undervisning

Norsk Fysikklærerforening Norsk Fysisk Selskaps faggruppe for undervisning Norsk ysikklærerforening Norsk ysisk Selskps fggruppe for underisning YSIKK-KONKURRANSE 00 003 Andre runde: 6/ 003 Skri øerst: Nn, fødselsdto, hjemmedresse og eentuell e-postdresse, skolens nn og dresse.

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

Løsningsforslag til øving 4

Løsningsforslag til øving 4 1 Oppgve 1 FY1005/TFY4165 Termisk fysikk Institutt for fysikk, NTNU åren 2015 Løsningsforslg til øving 4 For entomig gss hr vi c pm = 5R/2 og c m = 3R/2, slik t γ = C p /C = 5/3 Lngs dibten er det (pr

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TKT4116 MEKANIKK 1

EKSAMEN I EMNE TKT4116 MEKANIKK 1 NORGES TEKNISK- NTURVITENSKPELIGE UNIVERSITET Institutt for konstruksjonsteknikk Faglig kontakt under eksamen: Førsteamanuensis rne alberg 73 59 46 24 EKSMEN I EMNE TKT4116 MEKNIKK 1 Mandag 2. juni 2008

Detaljer

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode Bioberegninger - nott 3: Anvendelser v Newton s metode 20. februr 2004 1 Euler-Lotk ligningen L oss tenke oss en populsjon bestående v individer v ulik lder. L n være mksiml lder. L m i være ntll vkom

Detaljer

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles

Detaljer

Flekkefjord kommune Teknisk forvaltning og Plan 2011 Vedtatt av Flekkefjord bystyre den 16.12.2010

Flekkefjord kommune Teknisk forvaltning og Plan 2011 Vedtatt av Flekkefjord bystyre den 16.12.2010 Flekkefjord kommune Teknisk forvltning og Pln 2011 Vedttt v Flekkefjord bystyre den 16.12.2010 Gebyr for rbeid etter pln- og bygningsloven Betlingsregultiv for byggesker og privte regulerings- og bebyggelsesplner

Detaljer

TKP4100 Strømning og varmetransport Løsningsforslag til øving 10

TKP4100 Strømning og varmetransport Løsningsforslag til øving 10 TKP4 Strømning og vrmetrnsport Løsningsforslg til øving Oppgve ) Entlpi ved utløpet (5 br, ), kj/kg Entlpi ved innløpet (5 br, x,95), 7 kj/kg overført: kj/kg Dvs. 4*/6,7 kw b) I området med overhetet dmp

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer