Kap. 3 Krumningsflatemetoden

Transkript

1 SIDE. KRUMNINGSFLTEMETODEN I kpittel. og. hr vi sett t en bjelkes krefter og deformsjon kn beskrives ved fire integrler som henger smmen : Skjærkrft : V d Vinkelendring : φ M d Moment : M V d Forskyvning (nedbøyning) : y φ d I kp.. så vi hvordn vi kunne beregne V og M ved å benytte likevektsbetingelsene. I kp.. benyttet vi integrsjon for å beregne V og M. Eksemplene i kp. viser hvordn vi kn beregne vinkelending og forskyvning ved å integrere momentfunksjonen. På smme måte som vi kn beregne V og M uten integrsjon ved å benytte likevektsbetingelelsene, kn vi beregne φ og y ved likevektsbetingelser. Integrlene ovenfor hr visse likhetstrekk. Dersom vi påfører en konstruksjon M/ som lst vil skjærkrften for denne tenkte lsten representere vinkelendringen φ. Tilsvrende vil momentet i konstruksjonen med M/ som lst representere forskyvningen y. nlogien i integrlene på venstre og høyre side ovenfor viser dette. M/ representerer krumningen v konstruksjonen og derfor klles metoden krumningsfltemetoden. Lsten M/ er kun en tenkt lst som vi påfører konstruksjonen for å kunne beregne φ og y ved å benytte likevektsbetingelse i stedet for integrsjon. I virkeligheten utfører vi egentlig en integrsjon, og vi må psse på t rndbetingelsene for konstruksjonen med lsten M/ er slik t integrsjonskonstntene blir riktige. Rndbetingelser for fritt opplgt bjelke : Ved beregning v V og M er rndbetingelsene M0 for 0 og M0 for L M/ Vi påfører lsten M/ på konstruksjonen for å beregne φ og y. Rndbetingelsene er her t y0 for 0 og y0 for L. Her er rndbetingelsene for M og y like og vi kn benytte det smme sttiske systemet ved begge beregningene Rndbetingelser for utkrget bjelke : Ved bereging v V og M er rndbetingelsene t M0 og V0 for L. M/ Vi påfører lsten M/ på konstruksjonen. Rndbetingelsene ved beregning v φ og y er t φ0 og y0 for 0 Ved beregning med den tenkte lsten M/, representerer skjærkrften, φ og momentet, y. Vi ser t vi er nødt til å innføre et tenkt sttisk system for denne beregningen slik t M0 (φ0) og V0 (y0) for 0. Dette oppnår vi ved å flytte den fste innspenningen til det som i virkeligheten er bjelkens frie ende. Vi må her ltså ikke bre benytte en tenkt lst (M/), men også et tenkt sttisk system for å beregne φ og y. H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

2 SIDE.. STTISK ESTEMTE JELKER Vi kn benytte krumnningsfltemetoden til å beregne deformsjoner v sttisk bestemte bjelker. Vi kn også benytte metoden til å finne kreftene i sttisk ubestemte systemer. Dette behndles i kp.. Ettersom vi skl påføre konstruksjonen en tenkt lst som hr smme form som momentdigrmmet, hr vi behov for rel og tyngdepunkt for noen vnlige former for moment : Treknt Prbelsegment : Prbelsegment (spisst) M M M / L / L 5/8 L /8 L / L / L ML ML ML Prbelsegmentene hr horisontl tngent til høyre som vist. Dersom vi hr prbelsegmenter som ikke hr horisontl tngent, må vi dele flten opp. Vi skl se på dette senere. N! Tngenten til momentkurven er horisontl når V0 EKSEMPEL. : Fritt opplgt bjelke med jevnt fordelt lst konst L M : L 8 Lsten gir moment som er posistivt (strekk i UK). Den tenkte lsten M/ føres derfor på med smme retning som dvs. nedover. Det er prktisk og vnlig å tegne denne lsten på smme side som momentdigrmmet. M/ : ΣM φ L L L L 8 φ L L φ L 8 /6 L -φ ΣM Mksiml nedbøyning finnes midt på bjelken : Vi beregner "momentet" midt på bjelken y midt y midt φ L L ( ) L L 8 L L L 8 L L 6 φ L 5 y midt 8 L L/ H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

3 SIDE. EKSEMPEL. : Utkrget bjelke med punktlst y φ F L M : FL Her må en psse på t det sttiske systemet blir riktig for den tenkte lsten. Rndbetingelsene er : y 0 og φ 0. Dett oppnår vi ved t det tenkte sttiske systemet er fritt i og innspent i. Lsten F gir negtivt moment i bjelken (strekk OK) derfor er retningen på den tenkte lsten motstt F. M/ : / L FL/ Tenkt lst på tenkt sttisk system y0 φ 0 φ FL L φ F L F L y L L y F L φ EKSEMPEL. : Utkrget bjelke med jevnt fordelt lst. M : L / konst L y φ Som i eksempel. må vi flytte innspenningen på det tenkte sttiske systemet for å få rndbetingelsene til å stemme. Retningen på φ nederst på figuren er nlog med fortegnsregelen for positiv skjærkrft. φ L L φ 6 L M/ : L / / L Tenkt lst på tenkt sttisk system L y L L y 8 L y0 φ 0 φ H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

4 SIDE. EKSEMPLEL. : Fritt opplgt bjelke med punktlst. M : M/ : / F C F F/ eregner opplgerkrefter og momentdigrm : F ΣM y F y y F M C y F eregner vinkelendring og nedbøyning : ΣM φ F 5 F φ / / / / - φ φ 9 F ΣM φ / F/ F F 7 ( φ ) φ 5 9 F Nedbøyning i C : Nedbøyningen er ikke nødvendigvis størst midt under lsten. M nedbøyning finnes der φ0 y C φ F y C 9 F F y C 9 F 9. Plot v nedbøyning : [F /] y( ) eregner φ og y i vilkårlig snitt () : φ φ y φ F F φ 9 F 6 F y 9 F 8 F φ F φ 0 : 9 F 6 F.6 y m 9 F (.6) y m.8f 8 F (.6) H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

5 SIDE.5 Dersom momentdigrmmet blir litt mer komplisert enn i eksemplene ovenfor er det nødvendig å dele krumningsflten (den tenkte lsten M/) i flere flter. Et trpes kn deles i to treknter, et prbelsegnment som ikke hr horisontl tngent kn deles i en treknt og et fullstendig prbelsegment. Dersom bjelken hr forskjellig stivhet () lngs lengdeksen er det ofte også nødvendig å foret en finere inndeling v krumningsflten. Figurene nedenfor viser gode metoder. Opprinnelig flte Oppdelt flte : Trpes Positivt og negtivt moment Det er ofte brysomt å regne med de to trekntene som de er. Prbel uten horisontl tngent Prbel uten horisontl tngent L /8 L L /8 H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

6 SIDE.6 EKSEMPEL.5 : Fritt opplgt bjelke med to punktlster P P 8 eregner opplgerkrefter og momentdigrm : ΣM ΣM M P P y8 P6 P P P5 y8 y P y P M P 9 P M/ eregner vinkelendring i og : φ P/ 9P/ 5 0/ - φ ΣM φ P 0 P 8 5 φ 8 8 P 9P 9P ΣF y φ 8 8 P P P 9P 9P Mks nedbøyning finnes der φ0, på tilsvrende måte som i Eks... φ 85 8 P eregner nedbøyning under lstene y og y : 8 y 8 P P 85 y 8 P 9P 75 y P 0 y 8 P H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

7 SIDE.7 EKSEMPEL.6 : jelke med vribel stivhet eregner opplgerkrefter og momentdigrm : ΣM y konst P y 5 y C 5 M C ( ) M C eregner vinkelendring i og, smt nedbøyning i C : M : ΣM φ 5 8 M/ : / / φ 9 ΣM φ /8 / - φ 7 ( 8 φ ) M : /8 M/ : φ / 5/ -/ 5/ /- /8 / φ 8 y C 9 8 y C eregner m nedbøyning (snitt ) : φ Likningen er en tredjegrdslikning og løses best ved å prøve forskjellige verdier for. 9 5 gir m.86 y Mksiml nedbøyning er prktisk tlt lik nedbøyningen i C (y C ). Innstsen med å beregne y m er ikke bryet verdt i dette tilfellet. y 9 m.86 gir y m.50 H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

8 SIDE.8 Ved beregninger med krumningsfltemedtoden er det viktig å huske på t krumningsflten viser hvordn bjelken krummer. Denne krumningen bestemmer deformsjonen, men grensebetingelsene hr også en vgjørende betydning. jelken med utkrger i figuren under er et eksempel på dette. φ P C φ C jelken er belstet med en punktlst, og den stiplete linjen viser hvordn bjelken deformeres. Mellom og bestemmes forskyvningen v krumningsflten, og grensebetingelsene t y0 i og i. Vi kn regne ut vinkelendringen i, φ. M/ : L L jelken krummes også mellom og C. Dette gir en nedbøyning v bjelken, men den største delen v forskyvningen (slik figuren er tegnet) er gitt ved grensebetingelsen t vinkelenrdingen er lik φ i. Forskyvningen i C kn deles i to deler; en som skyldes krumningen, og en del som skyldes vinkelendringen i. Siden vinkelendringene er små kn denne siste regnes som φ *L. - φ φ Når vi benytter krumningsfltemetoden må vi t hensyn til dette ved å velge riktige sttiske systemer for den tenkte lsten (krumningsflten). For blir systemet en fritt opplgt bjelke som tilfredstiller y0 (null "moment") i og For C er betingelsen y0 (null "moment") i og t vinkelendringen er lik φ i. Dette oppnår vi ved å benytte fri ende i med en "punktlst" lik φ og fst innspenning i C (som gir både "moment", y C og "skjærkrft" φ C ) φ φ C H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

9 SIDE.9 EKSEMPEL.7 : Utkrget bjelke med punktlst P C eregner del først : φ P φ P M/ : P/ φ P φ P y midt φ y midt P P y midt P P φ φ Del C : φ C φ P φ C P P φ C 7 6 P φ φ C y C φ P y C P P y C P Verdier for bjelke i betong : b : 00mm h : 700mm :.0m P : 50kN (5 tonn) bh E : 5000MP I : φ P : EI φ (rd) (grder) π Nedbøyning i C : y C : P y C.87 mm EI Nedbøyning i C pg. vinkelendring i : Forskyvning midt på felt : φ.99 mm (67 %) y midt P : y midt 7.87 mm (Oppover) EI H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

10 SIDE.0. STTISK UESTEMTE JELKER : Kreftene i en sttisk ubestemt bjelke kn ikke finnes ved å benytte likevektbetingelsene lene. jelken hr ukjente opplgerreksjoner : M, y, og y. Vi hr likevektsligninger : ΣM0, ΣF y 0 og ΣF 0. jelken er - gng sttisk ubestemt. y y y Dersom vi fjerner opplgeret i står vi igjen med tre ukjente opplgerreksjoner som kn beregnes. jelken får d en nedbøyning i, (y ) på grunn v lsten. Størrelsen på denne nedbøyningen kn vi beregne med krumningsfltemetoden. På det smme systemet kn vi sette på en lst y, som gir en oppbøyning v bjelken (y ). Vi vet t forskyvningen i skl være lik null, og dette kn vi benytte til å beregne størrelsen på y. Riktig verdi på y hr vi når y -y 0. Når y er kjent kn vi beregne de tre ndre opplgerreksjonene ved hjelp v likevektsbetingelsene. φ M φ Vi kunne også h løst problemet ved å ersttte innspenningen i med et fst leddlger. jelken får d en vinkelendring i (φ ) på grunn v lsten. Vi kn beregne størrelsen φ. D erstttet innspenningen med ett leddlger fjernet vi innspenningsmomentet i. Dersom vi setter M på som en lst vil bjelken få en vinkelendring i (φ ). Størrelsen på momentet M er gitt ved t f -f 0. Etter t M er bestemt på denne måten kn vi eregne y, og y ved hjelp v likevektsbetingelsene. Fremgngsmåten er ltså i prinsippet den smme, enten vi innfører et ledd i eller fjerner opplgeret i. I svært mnge tilfeller blir beregningene enklere dersom en velger å innføre ledd fremfor å fjerne opplger. H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

11 SIDE. EKSEMPEL.8 : jelke over to felt med jevnt fordelt lst konst C 6 9 konst M : 6 9/8 M/ : y Ukjente opplgerreksjoner :, y, y og C y. jelken er en gng sttisk ubestemt. Velger å fjerne opplgeret i. eregner nedbøyning i på grunn v lsten : 7 M M 6 Regner med krumningsflten M/ som lst : φ ΣM C φ 5 8 /8 / /8 / /8 / 5 y 8 8 / / 5 y M : M/ : y y /7 y / y / /8 y / C eregner oppbøyning i pg. lsten y : ΣM C M 7 y Regner med krumningsflten M/ som lst : ΣM C φ y y 7 8 φ y y y y 8 y 7 y y 7 y (oppover) y er gitt ved t forskyvningen i er lik null : 5 7 y M 7 y y 7 y 5 y 8.75 H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

12 SIDE. Skjærkrftdigrm : Y Z X 8 y 7 Momentdigrm : 9 8 Når y er kjent kn resten v opplgerreksjonene beregnes : ΣM C y 8.65 ΣM C y7 C y V v 8 9 V v 8.75 Y Z X. V h V h M 8 M Del : V o 8.65 V M m 8 69 M m 8. Del C : V C b o V C M m ( ) M m H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

13 SIDE. I svært mnge tilfeller blir beregningene mye enklere dersom vi innfører ledd i stedet for å fjerne opplgere. Det er mest fornuftig å innføre leddet ved et opplger, som i for bjelken som er vist nedenfor. jelken får d forskjellig vinkelendring på høyre og venstre side v, vi får et gp som er gitt ved summen v de to vinkelendringene (regnet uten fortegn). Den virkelige bjelken hr selvfølgelig ikke et slikt gp, og momentet i (M ) er gitt ved t det gir vinkelendringer i motstt retning som kkurt lukker gpet. Vi kn regne på dette ved å sette på et moment M som en lst på begge bjelkedelene og beregne vinkelendringene som dette momentet gir. etingelsen for beregning v M er t bjelken hr smmme vinkelendring på begge sider v (er kontinuerlig), dvs. S f v Sf h C φ v φ v φ h M φ v φ v φ h Dette innebærer t bjelken er tenkt delt i to deler som begge er sttisk bestemt og som hr felles opplegg i. Etter t M er bestemt kn de øvrige krefter i bjelken beregnes ved å benytte likevektsbetingelsene. Denne beregningsmåten kn også benyttes for bjelker som er mer enn en gng sttisk ubestemt. Ved å innføre flere ledd får en flere ukjente momenter. etingelsen for å bestemme disse momentene er fortstt t bjelken er kontinuerlig over oppleggene, dvs Σφ v Σφ h for lle punkter hvor ledd er innført. Dette vil gi et ligningssytem med n ligninger med n ukjente for et n gnger sttisk ubestemt system. jelken nedenfor er to gnger sttisk ubestemt og vi får to ligninger med to ukjente (M og M C ). P P C D M M C Ligningssystem for å bestemme M og M C : (Σφ v Σφ h ) I : ( ) ( ) ( ) φ v( ) φ v M φ h( ) φ h M φ h M C II : ( ) ( ) ( ) φ Cv( ) φ Cv M φ Cv M C φ Ch( P) φ Ch M C H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

14 SIDE. EKSEMPEL.9 : Smme bjelke som eksempel.8 M/ : M: M/ : /8 / C 6 9 /6 M / M M /9 M / /8 / jelken er en gng sttisk ubestemt. Deler bjelken i to deler som er sttisk bestemt ved å føre inn et ledd i. Vinkelendringer pg. : jelke ΣM jelke C ΣM C Vinkelendringer pg. M : jelke φ M ΣM v 6 jelke C ΣM C φ v 8 φ v 6 φ h 8 φ h 8 φ M v φ M h 9 φ h M 9 eregner størrelsen på M : Σφ v ΣM h 6 M 8 M 9 Resulttet stemmer med eksempel.8, men beregningen er dskillig mer oversiktlig. Momentet M er stt på slik t det gir strekk i overknt v bjelken slik vi tror det virker. Det kn være mer ryddig å sette momentet på etter fortegnsdefinisjonen (dvs. med strekk i underknt). eregningen vil bli den smme, men resulttet for M vil bli negtivt. Det viktigste er å vise på en figur hvordn M virker. M (Strekk i overknt) Moment- og skjærkrftdigrm blir som for eksempel.8 H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

15 SIDE.5 EKSEMPEL.0 : Trefelts bjelke med jevnt fordelt lst. 7. kn/m konst C D jelken er to gnger sttisk ubestemt. Innfører ledd i og C. 6.0 m 7. m 6.0 m Vinkelendringer pg. : φ v L φ 6.8 v φ φ C φ h L 7.7. φ.97 h φ 7.7. Cv φ 6.8 Ch φ Ch φ.97 Cv Vinkelendringer pg. M φ v M φh φ Cv M L M L M L 6 6.0M M φ v.0 7.M φ h. M 7.M M 6 φ Cv. Vinkelendringer pg M C MC φ h φ Cv M C L 6 M C L 7.M C 6 φ h. M C 7.M c M C φ Cv. φ Ch M C L 6.0M C φ Ch.0 M C Likningssystem : Σφ v Σφ h M.97. M. M C M C M H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd

16 SIDE.6 Σφ Cv Σφ Ch.97. M. M C M C innstt for M C gir : M 9.86 støttemomentene blir : 7.M M.56 M C.56 Feltmomenter ytterfelt : V : M m : 7. V 6. M m 8.5 Feltmoment, innerfelt : jelkens momentdigrm : M m : M m Y Z X jelkens skjærkrftdigrm : Y Z X H:\RD\sttikk I\kompendium\Kp ny.mcd