Eksempel Funksjonen f (x)=x 3 er strengt voksende. vokser på intervallet [0, ) og avtar på intervallet

Transkript

1 Kpittel Derivsjon I det første kpitlet skl vi friske opp teorien for funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere deres kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. For intervller skl vi bruke notsjonen [,b]={x 2 R pple x pple b} for lukkede intervller, for åpne intervller og for hlvåpne intervller.. Monotoni (,b)={x 2 R < x < b} (,b]={x 2 R < x pple b} [,b)={x 2 R pple x < b} Lokle egenskper til en funksjon er egenskper som observeres i små intervller om punkter i definisjonsområdet til funksjonen. Monotoni-egenskpene til en funksjon, dvs. hvor den vokser og hvor den vtr, er en lokl egenskp, det smme gjelder krumning. Kontinuitet, deriverbrhet og mksimums- og minimumspunkter er også lokle egenskper. Definisjon... En funksjon y = f (x) er (strengt) voksende på et intervll I dersom f (x ) pple f (x 2 ) ( f (x ) < f (x 2 )) for lle x < x 2 i intervllet. Funksjonen er (strengt) vtgende dersom f (x ) f (x 2 ) ( f (x ) > f (x 2 )) for lle x < x 2 i intervllet. Figur.. To monotone grfer, voksende til venstre og vtgende til høyre. Eksempel... Funksjonen f (x)=x 2 er strengt voksende på intervllet [, ), siden x 2 < x2 2 når x < x 2. Tilsvrende er funksjonen strengt vtgende på intervllet (,]. Eksempel..2. Funksjonen f (x)=x 3 er strengt voksende overlt, siden x 3 < x3 2 når x < x 2. Eksempel..3. Eksponensilfunksjonen f (x) =e x, definert på hele tllinj, er strengt voksende overlt. Monotoni kn måles ved den deriverte til funksjonen. Teorem..2. Dersom f (x) > (henholdsvis f (x) < ) på et intervll, så vokser (henholdsvis vtr) f (x) på intervllet. Eksempel..4. Vi ser på funksjonen f (x)=x 2. Den deriverte er gitt ved f (x)=2x, som betyr t funksjonen vokser på intervllet [, ) og vtr på intervllet (,]. Eksempel..5. Betrkt funksjonen f (x) =e x. Den deriverte er gitt ved f (x)=e x >, som betyr t funksjonen vokser overlt. Eksempel..6. Funksjonen f (x) =sin x, hvor x 2 [ p,p] hr derivert f (x) =cosx. På intervllet p [ 2, p 2 ] hr vi cosx og funksjonen vil derfor være voksende på dette intervllet.

2 Oppgve. Avgjør hvor funksjonen f (x) =x 3 + vokser og hvor den (eventuelt) vtr. Oppgve 2. Betrkt funksjonen g(x)=tnx = sinx cosx definert på det åpne intervllet (, p 2 ). Vis t funksjonen er strengt voksende i hele sitt definisjonsområde. Eksempel..7. Betrkt en beholder fylt med gss ved en konstnt tempertur. Boyles gsslov sier t trykket v gssen er omvendt proporsjonl med volumet v gssen. Vi uttrykker dette ved likningen P = C(T ) V der P er trykket, V er volumet og C(T ) er en konstnt som vhenger v temperturen T i gssen. Dersom vi deriverer P med hensyn påv får vi P (V )= C(T ) V 2 som uttrykker t trykket er en vtgende funksjon med hensyn på volumet, ved konstnt tempertur. Jo større volum, jo lvere trykk. f (.9)=.9 (.9) 2 =.9 >. L nå x =.9+h for en liten verdi for h. D hr vi t f (.9 + h)=.9 + h (.9 + h) 2 =.9 + h.8.8h h 2 =.9.8h h 2 Vi ser t dersom h <. så hr vi f (.9 + h) >. Det betyr t i dette tilfellet vil i nærheten v nturlig bety t vstnden til.9 er ekte mindre enn.. Definisjon.2.. Det er to typer lokle ekstremlpunkter: i) Funksjonen y = f (x) hr et loklt minimum i x = c dersom f (c) er mindre enn eller lik f (x) for lle x i et åpent intervll om x = c. ii) Funksjonen y = f (x) hr et loklt mksimum i x = c dersom f (c) er større enn eller lik f (x) for lle x i et åpent intervll om x = c. En fellesbetegnelse på punkter hvor funksjonen hr lokle mks- eller minimumspunkter er lokle ekstremlpunkter..2 Ekstremlpunkter Vi er interessert i å finne punkter der funksjonen ntr sin største/minste verdi. I første omgng leter vi etter lokle mksimums- og minimumspunkter, dvs. punkter der funksjonen er større (mindre) enn eller lik lle ndre punkter i nærheten. Dette trenger ikke å gi oss de største (minste) verdiene for funksjonen, som vi skl se senere. Vi skl bruke begrepet i nærheten v x om punkter som er forskjellig fr x, men hvor vstnden til x er så liten som det er hensiktsmessig i det ktuelle tilfellet. Denne vstnden kn være eller den kn være., eller en end mindre verdi. Det viktigste er t det finnes en fst vstnd slik t påstnden vi kommer med er snn for lle y som ikke er lenger fr punktet x enn denne vstnden. Et eksempel på bruk v begrepet i nærheten v er som følger: L f (x) være en kontinuerlig funksjon, dvs. t lim x! f (x)= f () for lle i definisjonsområdet til f. F.eks. kn vi se på f (x)=x x 2. For x =.9 hr vi Figur.2. Figuren indikerer lokle mksimums- og minimumspunkter. Eksempel.2.. Funksjonen f (x)=x 2 definert på hele R hr et loklt minimumspunkt i x = siden f (x) > f () for lle x 6=. Eksempel.2.2. Funksjonen f (x)=cos x definert på hele R hr et loklt mksimumspunkt i x = siden cosx pple cos = for lle x i nærheten v. Denne funksjonen er periodisk med periode 2p og vi hr derfor også mksimumspunkter for x = 2kp, for lle hele tll k. Tilsvrende hr vi lokle minimumspunkter for x = p + 2kp for lle hele tll k, siden cos(p + 2kp)=cosp = pple cosx for lle verdier v x. 2

3 Eksempel.2.3. Funksjonen f (x)=e x hr ingen lokle ekstremlpunkter siden dens deriverte f (x)=e x > for lle x. Oppgve 3. Vis t funksjonen f (x) = x definert på intervllet (, ) ikke hr noen ekstremlpunkter. og for negtive verdier v h, f ( + h) f () h lim = lim h! h h! h =.3 Kritiske punkter Den deriverte til en funksjon y = f (x) i et punkt x gir oss stigningstllet til tngenten til funksjonen i punktet. I et mksimums- eller minimumspunkt for en deriverbr funksjon (en funksjon er deriverbr i et punkt dersom den hr en derivert i punktet) vil tngenten være horisontl, dvs. tngentlinj hr stigningstll. Det betyr t f (x )=. Slike punkter er så viktige t de hr fått et eget nvn. Definisjon.3.. Et punkt x = c i definisjonsområdet til en funksjon f (x) klles et kritisk punkt for funksjonen dersom f (c)= eller f (c) ikke eksisterer. Figur.4. Grfen til bsoluttverdifunksjonen, f (x)= x med et kritisk punkt i x =. Eksempel.3.2. Alle potensfunksjoner g(x) =x n for n 2 hr kritisk punkt i x = siden f ()=n n =. Merk t vi bruker betegnelsen kritisk punkt både om punkter der den deriverte er, og om punkter der funksjonen ikke hr noen derivert, f.eks. i knekkpunkter på grfen. Dersom funksjonen f (x) er definert på et lukket intervll [,b], inkluderer vi endepunktene x = og x = b blnt funksjonens kritiske punkter. Dette psser med definisjonen siden den deriverte v en funksjon, formelt sett ikke er definert i endepunktene v et lukket definisjonsområde. Figur.5. Grfen til f (x)= x. Figur.3. De mrkerte punktene viser de kritiske punktene (bortsett fr endepunktene). Eksempel.3.. Funksjonen f (x)= x hr et kritisk punkt i x = siden f () ikke er definert i det punktet. Absoluttverdifunksjonen er ikke deriverbr i x = siden grenseverdiene fr høyre og venstre side ikke er like, vi hr for positive verdier v h, f ( + h) f () h lim = lim h! h h! h = Eksempel.3.3. Funksjonen h(x)= x hr ikke et kritisk punkt i x = siden funksjonen ikke er definert i dette punktet. I mnge tilfeller er det smmenfll mellom ekstremlpunkter og kritiske punkter, men det er ikke lltid snt. Imidlertid er det slik t ekstremlpunkter lltid er kritiske punkter, men det er det motstte som ikke nødvendigvis er riktig. Teorem.3.2. Dersom f (x) hr et loklt mksimumseller loklt minimumspunkt i x = c, så er c et kritisk punkt. 3

4 Bevis. Ant t funksjonen er deriverbr i punktet x = c. Hvis ikke er punktet pr. def. et kritisk punkt. Vi hr f (c)=lim h! f (c + h) f (c) h f (x) x f (c) c hvor vi i det siste uttrykket lr x = c + h være i nærheten v c, dvs. t h er liten. Ant t f (x) hr et loklt mksimum i x = c. Dersom f (c) >, så vil f (x) > f (c) for x > c. Dette er ikke mulig siden c er et loklt mksimumspunkt. Dersom f (c) <, så vil f (x) > f (c) for x < c, som på tilsvrende måte er umulig og vi hr en motsetning. Smme slgs rgument gjelder for lokle minimumspunkter. Teorem.3.3. Hvis f (x) hr et kritisk punkt i x = c,så er dette i) et loklt minimum dersom f (x) skifter tegn fr negtiv til positiv i x = c. ii) et loklt mksimum dersom f (x) skifter tegn fr positiv til negtiv i x = c. Bevis. Følger nokså direkte fr definisjonen v den deriverte ved å nlysere fortegnet til uttrykkene som inngår. Eksempel.3.4. Vi ser på funksjonen f (x)=x 2. Den deriverte er gitt ved f (x)=2x, som betyr t funksjonen hr et kritisk punkt i x =. Dette er også et loklt minimumspunkt siden den deriverte til (x) skifter tegn fr negtivt til positivt i x =. Grunnen til t det ikke er en enentydig smmenheng mellom kritiske punkter og ekstremlpunkter, er t det finnes kritiske punkter som ikke er ekstremlpunkter. Det t den deriverte til en funksjon er i et punkt, trenger ikke å bety t punktet er et mksimums- eller minimumspunkt for funksjonen. Det er fullt mulig t den deriverte til funksjonen er i et punkt, smtidig med t funksjonen vokser overlt i nærheten v punktet (se eksemplet under). Figur.6. Grfen til funksjonen f (x)=x 3. Eksempel.3.5. Betrkt funksjonen g(x) =x 3. Den deriverte er gitt ved g (x)=3x 2, som betyr t funksjonen hr et kritisk punkt for x =. Dette er imidlertid ikke noe ekstremlpunkt. Funksjonens deriverte skifter ikke tegn i dette punktet, vi hr g (x) > for lle x 6=. Oppgve 4. Finn de kritiske punktene til funksjonen f (x)=cos 2x. Hvilke v dem er lokle mksimumspunkter og hvilke er lokle minimums-punkter? En typisk problemstilling vi møter på, dreier seg om å nlysere monotoni-egenskpene og å finnne lokle ekstremlpunkter for en funksjon. Det neste eksemplet illustrerer frmgngsmåten, hvor fortegnsskjem er et sentrlt hjelpemiddel. Eksempel.3.6. Vi skl bestemme monotomiegenskper og lokle ekstremlpunkter for funksjonen f (x)=3x 4 4x Vi regner ut den deriverte, fktoriserer og setter den lik ; f (x)=2x 3 2x 2 = 2x 2 (x )= Vi tegner fortegnsskjem for f (x): x < < x < x > 2x x f (x) & & ^ % 4

5 Hver fktor i uttrykket for den deriverte hr sin egen rd og ±-tegnene ngir tegnet til fktoren i det ngitte intervllet. Tegnene multipliseres smmen i rden til f (x) og i nederste rd er konklusjonen gitt, om hvor vidt funksjonen vokser eller vtr. Det betyr t vi hr et loklt minimumspunkt for x =, t funksjonen er vtgende for x pple og t den er voksende for x. Vi hr ikke noe ekstremlpunkt for x =, selv om f (x)=. Den deriverte skifter ikke tegn i dette punktet..4 Globle ekstremlpunkter I motsetning til de lokle egenskpene, som sier noe om funksjonen i en liten omegn om et punkt, vil de globle egenskpene beskrive funksjonen på hele definisjonsområdet sett under ett. Definisjon.4.. (Globle mksimums- og minimumspunkter) i) Funksjonen y = f (x) hr et globlt minimum i x = c dersom f (c) er mindre enn eller lik f (x) for lle x i definisjonsområdet. ii) Funksjonen y = f (x) hr et globlt mksimum i x = c dersom f (c) er større enn eller lik f (x) for lle x i definisjonsområdet. Vi vil omtle funksjonsverdien i de globle minimumsog mksimumspunktene som funksjonens minimumsog mksimumsverdier og smlet som funksjonenes ekstremlverdier. Funksjoner trenger verken å h lokle eller globle ekstremlpunkter. Et eksempel er funksjonen f (x)=x definert på hele tllinj. Den hr ingen ekstremlpunkter fordi for lle punkter x = på tllinj så vil det finnes punkter x i nærheten v slik t f (x) > f () og ndre som oppfyller f (x) < f (). Funksjonen f (x) =x hr heller ingen ekstremlverdier dersom definisjonsområdet er et åpent intervll (,b). På et lukket intervll derimot, hr funksjonen f (x)=x både et globlt mksimumspunkt og et globlt minimumspunkt, nemlig endepunktene i intervllet. Et åpent intervll som (,) inneholder ikke sine endepunkter. Vi kn finne tll i intervllet som er så nær opp til som vi måtte ønske. Men unsett hvilket tll vi velger, vil det lltid finnes tll mellom det vlgte tllet og. Alle tll i det åpne intervllet (,) hr ndre tll på begge sider. Dette er krkteristisk for åpne intervller. I det lukkede intervllet [,] finnes det to tll, og, som kjennetegnes ved t de hr nboer i intervllet kun på sin ene side. En kontinuerlig funksjon vil lltid oppnå sine ekstremlverdier dersom definisjonsområdet er et lukket intervll. Dette er innholdet i ekstremlverdi-teoremet som vi gjengir uten bevis. Teorem.4.2. En funksjon f (x) som er kontinuerlig på et lukket, begrenset inervll [, b], vil oppnå sine mksimums- og minimums-verdier i intervllet. Eksempel.4.. L f (x)= x 2 + 4x 3. Vi skl finne mksimumsverdien til f (x) på intervllet [,]. Vi observerer t f (x)= 2x +4 = når x = 2. Men x = 2 er ikke i intervllet, så dette punktet er vi ikke interessert i. Det betyr t de eneste punktene vi trenger å sjekke er endepunktene: f ( )= 8 og f ()=.Så den største verdien til f (x) på [,] er f ()=. Eksempel.4.2. Vi skl finne ekstremlverdiene til funksjonen f (x)=7 + x 2 på intervllet pple x pple 4. Den deriverte f (x) er ldri. Men den er ikke definert i punktet x = 2,så vi regner ut verdien her, f (2)=7. For endepunktene hr vi f ()=8 og f (4)=9. Det minste v disse tre verdiene er f (2)=7, som derfor er minimumsverdien, mens den største er f (4)=9 som gir oss mksimumsverdien på intervllet [,4]. Eksempel.4.3. Av lle rektngler med rel 25, og sideknter kortere enn, hvilket hr den minste og hvilket hr den største omkretsen? Vi strter med å formulere problemet mer mtemtisk. Vi lr x være lengden på den ene sideknten. D vil den ndre sideknten h lengde 25 x siden relet skl være 25. Omkretsen blir d gitt ved funksjonen f (x)=2x x over intervllet (,]. Denne funksjonen skl vi finne mksimumsverdien til. Vi deriverer og får f (x)=2 5 x 2 Løser vi likningen f (x) = får vi x = ±5. Punktet x = 5 er ikke med i definisjnsområdet, så det forkster vi. Dermed står vi igjen med ett kritisk punkt, x = 5. Funksjonen er ikke definert i punktet x = (rektnglet kollpser) og vi må sjekke de to kritiske punktene x = 5 og x =. Innsetting gir f (5)=2 og f ()=25. Dette gir kndidter for mksimum og minimum. Men vi 5

6 er ikke ferdige end. Siden definisjonsområdet ikke er lukket (men hlvåpent) kn vi ikke bruke ekstremlverdisetningen, og vi må sjekke hv som skjer når x!. Det er opplgt t omkretsen vil vokse over lle grenser når den ene sideknten blir veldig liten, og den ndre blir veldig stor. Derfor vil ikke f ()=25 være noe globlt mksimum, men f (5)=2 er fortstt minimumsverdien. Eksempel.4.4. Vi skl finne det største rektngelet vi kn legge inne grfen til prbelen y = x 2 når y skl være mindre enn en fst verdi. Denne informsjonen bruker vi til å tegne et fortegnsskjem for f (x) (se figur.7) Skjemet viser t funksjonen vtr på intervllene (,) og (2,3) og vokser på intervllet (,2). Den hr lokle mksimumspunkter i x = og i x = 2, og lokle minimumspunkter for x = og for x = 3. For å finne ut hvilke punkter som gir oss de globle ekstremlverdiene regner vi ut funksjonsverdien i de lokle ekstremlpunktene, og i tillegg i endepunktene til det lukkede intervllet. Verdiene står i nederste linje. Av disse ser vi t x = gir den største verdien, ltså et globlt mksimumspunkt og x = gir minste verdi og dermed svrer til et globlt minimumspunkt. Oppgve 5. Finn de kritiske punktene, bestem monotoni-egenskpene og finn de lokle ekstremlpunktene for funksjonene f (x) =x 2 3x + 2, g(x) = (x ) 2 (x + 2) og h(x)=x + x 2..5 Krumning og vendepunkter Neste skritt er å studere funksjonenes krumningsegenskper. Figur.8. Rektngel i en prbel. L A(x) være relet v rektngelet med grunnlinje 2x (begge sider v y-ksen). Høyden i rektngelet vil være x 2. Det gir rel A(x) =2x( x 2 )=2x 2x 3 hvor x ligger i intervllet [, p ]. De kritiske punktene vil være endepunktene og punktene der A (x)=. Den deriverte v A(x) er gitt ved A (x)=2 6x 2 Setter vi denne lik får vi x = ± p 3. Vi forkster den negtive løsningen siden den ikke er i definisjonsområdet. Innsetting gir A()=A( p )= og A( p 3 )= ( 4 9 )p Det gir minimumsrel (selvfølgelig) og mksimumsrel ( 4 9 )p Eksempel.4.5. Vi ser på funksjonen f (x)=x 2 e x pple x pple 3 For å finne ut hvor funksjonen vokser, hvor den vtr og hvor den hr sine ekstremlpunkter, må vi se på dens deriverte. I dette tilfellet får vi f (x)=2xe x x 2 e x = x(2 x)e x Definisjon.5.. En deriverbr funksjon y = f (x) krummer opp (resp. ned) i et intervll (,b) dersom f (x) er voksende (resp. vtgende) i intervllet. Krumning innebærer t stigningstllet til funksjonen endrer seg. Krumning oppover betyr t funksjonen blir brttere, som betyr t stigningstllet øker. Stigningstllet til funksjonen er gitt ved den deriverte, så økende stigningstll betyr t den deriverte v den deriverte er positiv. Den deriverte til den deriverte til en funksjon klles den dobbelt-deriverte og vi skriver f (x). Teorem.5.2. L f (x) være to gnger deriverbr på et intervll I, dvs. t den deriverte f (x) også er deriverbr. i) Dersom f (x) > på I, så krummer grfen oppover. ii) Dersom f (x) < på I, så krummer grfen nedover. Bevis. Bruk Teorem..2 på den deriverte. Definisjon.5.3. Et punkt x = c der funksjonen f (x) skifter krumning fr opp til ned eller motstt, klles et vendepunkt for f. 6

7 På smme måte som t ekstremlpunkter finnes der den deriverte skifter tegn, finner vi vendepunkter den den dobbelt-deriverte skifter tegn. Teorem.5.4. Dersom x = c er et vendepunkt for f (x), og f (c) er veldefinert, så er f (c)=. Bevis. Et vendepunkt er et ekstremlpunkt for den deriverte, og Teorem.3.2 gir t x = c er et kritisk punkt for f (x). Siden den deriverte v f (x) eksisterer i x = c, så følger det t f (c)=. Eksempel.5.. Funksjonen f (x)=x 3 hr et vendepunkt i x = siden f ()= og den dobbeltderiverte f (x)=6x skifter tegn i x =. Merk t vi kn h f (c)= uten t x = c er et vendepunkt, slik som tilfellet er for funksjonen f (x) =x 4 i punktet x =. Den dobbelt-deriverte er gitt ved f (x)= 2x 2. Den hr et nullpunkt for x =, men f (x) > for både positive og negtive verdier for x. Den dobbeltderiverte f (x) skifter derfor ikke tegn i dette punktet, og x = er ikke noe vendepunkt. Eksempel.5.2. Vi skl studere krumningsegenskpene til funksjonen f (x)=3x 4 4x Vi regner ut den deriverte og den dobbelt-deriverte og finner deres nullpunkter. Dette bruker vi til å finne fktoriseringer: f (x)=2x 3 2x 2 = 2x 2 (x ) f (x)=36x 2 24x = 2x(3x 2) For å finne monotoniegenskper tegner vi fortegnsskjem for den deriverte: x < < x < x > 2x x f (x) & & ^ % Vi ser t x = er et kritisk punkt, men ikke noe ekstremlpunkt. For å finne krumningsegenskpene tegner vi fortegnsskjem for den dobbel-deriverte (se figur.9). Konklusjonen står i nederste linje. I mnge nvendelser betrkter vi størrelser som vrierer med tiden. Et eksempel kn våre en bil som kjører på en vei. Vi betegner vstnden bilen hr kjørt fr et strtpunkt ved funksjonen s(t). Ved tiden t = setter vi s()=. Den deriverte til funksjonen s (t) betegner frten til bilen ved tidspunktet t, mens den dobbeltderiverte s (t) gir et uttrykk for kselersjonen til bilen. Dersom s (t)= står bilen stille, mens s (t)= uttrykker t kselersjonen er, eller t bilen beveger seg med konstnt frt. - < x < < x < < x < 3 3 x x e x f (x) _ & ^ % _ & ^ 4 9 f (x) e e 2 e 3 Figur.7. Fortegnsskjem for f (x)=x(2 x)e x. x < < x < x > 2 3 2x x f (x) opp vendepunkt ned vendepunkt opp Figur.9. Fortegnsskjem for f (x)=2x(3x 2). 7

8 Et nnet eksemepl kn være en kjemisk reksjon. Vi lr c(t) betegne konsentrsjonen v sluttproduktet i reksjonen. Så lenge reksjonen pågår hr vi c (t) >. Dersom reksjonen esklerer (går fortere) vil også c (t) >. Ved et vendepunkt c (t)= vil reksjonshstigheten h stbilisert seg, reksjonen pågår fortstt, men den gårsktere. Til slutt hr vi c (t)=, som betyr t reksjonen hr stoppet opp. Eksempel.5.3. Ant t vi skl gå til et punkt A ute i snden og t vi befinner oss ved punktet D på veien illustrert ved linj DC (se figuren). Veien er rett og b gir vstnden fr A til det nærmeste punktet C på veien. Avstnden fr punktet D til punktet C kller vi. Ant t vi kn holde frten v lngs veien og w < v ute i snden. Hvor lngt skl vi gå lngs veien før vi svinger ut i snden for å bruke kortest mulig tid mellom D og A? Dette gir oss det kritiske punktet vi leter etter og (nokså opplgt) minimumspunktet. Vi merker oss t ikke inngår i dette uttrykket, noe som betyr t vi lltid skl gå til det smme punktet, uvhengig v utgngspunkt, men under en forutsetning, t det kritiske punktet ligger inne i intervllet [, ]. Dersom dette ikke er tilfelle hr vi ikke noe kritisk punkt inne i intervllet, og d vil minimumsverdien bli å finne i et v endepunktene. De to verdiene der er gitt ved Nå hr vi f () 2 f ()= v + b p w f ()= 2 + b 2 w f () 2 = 2 v 2 + 2b vw + b2 2 + b 2 w 2 w 2 = 2 v 2 + 2b vw 2 w 2 = 2 ( v 2 w 2 )+2b vw = 2 (w 2 v 2 ) 2bvw v 2 w 2 Vi kller punktet hvor vi svinger ut i snden for B og lr vstnden fr B til C være x. Det betyr t vi beveger oss en vstnd x lngs veien, og ved Pythgors vil vstnden fr B til A være p x 2 + b 2. Tid er gitt ved vstnd delt med frt, og vi får smlet tid gitt ved funksjonen f (x)= x p x b 2 v w Vi skl finne minimum v f (x) når x ligger mellom og. Vi setter f (x)= og får Det gir = f (x)= v + x w p x 2 + b 2 p w x 2 + b 2 = vx Vi kvdrerer begge sider og får w 2 (x 2 + b 2 )=v 2 x 2 som ved litt enkel lgebr gir x = wb p v 2 x 2 Siden w < v vil dette uttrykket lltid være negtivt, noe som betyr t f () > f () og minimum vil være i x =. Oppsummert, vi skl lltid gå lngs veien til et punkt wb som ligger i vstnd fr C, og deretter gjennom snden. Dersom vi strter nærmere C enn denne pv 2 x2 vstnden skl vi gå rett ut gjennom snden. Oppgver Oppgve 6. I de følgende oppgvene, i) finn lle kritiske punkter til f (x), ii) beskriv monotoni-egenskpene til funksjonene ved å se på fortegnet til f (x), iii) finn lokle ekstremlpunkter, iv) bestem de intervllene der funksjonene krummer, henholdsvis opp og ned, v) finn funksjonenes vendepunkter, vi) finn globle mks og min ) f (x)=x 3 4x, x 2 [,2] b) f (x)= (x2 4),x2[,2] (x 2 9) c) f (x)=x sinx, x 2 [,2p] d) f (x)=sin 2 x, x 2 [ p,p] 8

9 Oppgve 7. L funksjonen f være definert for lle relle tll x ved f (x)=e 2 (x )2 hvor er en konstnt. ) Avgjør hvor f vokser og hvor den vtr. Finn eventuelle ekstremlpunkter for f. b) Finn eventuelle vendepunkter for f og undersøk hvor grfen til f krummer opp og hvor den krummer ned. Oppgve 8. Funksjonen f (t) er gitt ved f (t)=t lnt t, 4 pple t pple 3 Avgjør hvor funksjonen f vokser og hvor den vtr og finn ut hvor i definisjonsområdet den ntr sin største/minste verdi. Oppgve 9. Finn dimensjonene til rektngelet med størst rel når omkretsen er gitt lik. Oppgve. Du hr 6 meter gjerde til rådighet og skl bruke det til å gjerde inn et rektngel lngs med en rett fjellside (hvor du ikke trenger å sette opp gjerde). Hv er det største relet du kn gjerde inn? Oppgve. Et budfirm hr følgende begrensning på hvilke rektngulære pkker de kn levere: Summen v lengden og omkretsen må ikke overstige 8cm. Ant t du skl sende en pkke som er kvdrtisk i den ene enden. Hv er det mksimle volumet til en kseptbel (for budfirmet) pkke? Oppgve 2. Et firm produserer små notisblokker med festlige motiv på forsiden. Dersom prisen for hver blokk er kroner vil firmet ikke få solgt noen, men for hver krone de reduserer prisen vil de kunne selge 5 blokker. De fste kostndene ved produksjonen (uvhengig v ntll) er kr. 3, og produksjonsprisen pr. blokk er 2 kroner. Hv bør prisen være for t firmet skl tjene mest mulig på blokkene? Oppgve 3. Vn der Wls gss-likning hr formen (P + V 2 )(V b)=rt hvor P er trykket, V er volumet og T er tempereturen i gssen, og, b og R er konstnter. Vi kn omskrive denne slik t trykket uttrykkes som en funksjon v volumet, P(V )= RT V b V 2 Vis t V = 3b er et kritisk punkt for denne funksjonen når vi setter T = 8 27Rb. 9

10 Kpittel 2 Integrsjon Mtemtiske modeller som beskriver nturvitenskpelige fenomener er i mnge tilfeller ensbetydende med å gi en eller flere differensillikninger. For å løse differensillikninger er utfordringen veldig ofte å finne funksjoner med en gitt derivert, dvs. det vi kller ntiderivsjon. Et eksempel på dette er hstighet og kselersjon. Akselersjon er definert som endring v hstighet, og måles med den deriverte v hstighetsfunksjonen. Akselersjonen til et legeme er styrt v krftlover som vi tenker oss t vi kjenner fullt ut, og oppgven blir å finne en hstighetsfunksjon med en derivert funksjon som psser med den ktuelle krftloven. Dette klles å nti-derivere funksjonen eller ubestemt integrsjon. I dette kpitlet skl vi studere ubestemte og bestemte integrl. Ubestemte integrl er det smme som ntiderivsjon, mens bestemte integrl beregnes ved å evluere ubestemte integrl over et intervll slik t svret blir et tll og ikke en funksjon. Dette tllet kn vi for en positiv funksjon tolke som relet mellom grfen og x-ksen, eller i mer generelle tilfeller som den kkumulerte verdien for en funksjon over et tidsrom, strekning eller nnet vlg v rgumentet x (eller t). Det bestemte integrlet til en funksjon som beskriver et legemes kselersjon som funksjon v tiden, vil gi oss hstighetsendringen til legemet i det ktuelle intervllet. Et svært viktig resulttet er fundmentlteoremet (introdusert v Newton og Leibniz) som knytter smmen derivsjon og integrsjon. Når vi hr gitt en funksjon, kn vi lltid regne ut dens deriverte, men det er ikke nødvendigvis mulig å finne et enkelt uttrykk for den nti-deriverte til funksjonen. Vi skl se på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien v et bestemt integrl når vi ikke kn finne en nti-derivert til den ktuelle funksjonen. Videre skl vi t for oss noen ulike fysiske tolkninger v det bestemte integrl. Det er ikke lltid t definisjonsområdet til en funksjon er et lukket intervll og d må vi gjøre noen modifiksjoner mht. denisjonen v det bestemte integrlet. Det er heller ikke lltid slik t funksjonen vi skl integrere er begrenset, men vi kn likevel regne ut et rel under grfen. Dette vil involvere bruk v grenseverdier. 2. Ubestemt integrsjon Vi strter med å gi en kort innføring i regnereglene for nti-derivsjon. Disse reglene frmkommer i stor grd ved å se på tilsvrende regneregler for derivsjon, og bruke dem bklengs. Dersom F(x) er en funksjon med derivert lik F (x)= f (x), så sier vi t F(x) er en nti-derivert v f (x), og vi skriver f (x)dx = F(x)+C Her er det et pr ting som krever en forklring. For det første så inngår det et uttrykk dx. Dette klles et differensil og hr en viktig betydning. I denne omgng skl vi kun tenke på det som en ngivelse v hvilken vribel vi nti-deriverer med hensyn på. Det ndre er leddet C på høyre side i formelen. Bkgrunnen for dette leddet er som følger: Det er enkelt å vise t den deriverte v en konstnt er, men det motstte er også tilfelle. Lemm 2... Dersom en funksjon f (x) oppfyller f (x)= for lle x i et intervll, så er funksjonen konstnt, f (x)=c i intervllet. Bevis. Ant for en motsigelse t funksjonen f ikke er konstnt, og t 6= b er to punkter slik t f () 6= f (b). Betrkt funksjonen h(x)= f (x)(b ) x( f (b) f ())

11 Vi hr h() =h(b). Dersom h (x) 6= overlt i (,b), så må h h sine ekstremlpunkter i endepunktene. Siden verdien v h(x) er lik i endepunktene, betyr det t funksjonen er konstnt på [,b], noe som betyr t for lle punkter c 2 [,b] så er h (c) =. Det følger t f (c)(b )=c( f (b) f ()). Siden vi kn nt t c 6= og f (b) f () 6= betyr det t f (c) 6=, som gir en motsigelse mot ntgelsen t f ikke er konstnt, og vi hr vist lemmet. Teorem Dersom F (x) og F 2 (x) begge er ntideriverte til smme funksjon på et intervll (,b), så er de like på en konstnt nær, dvs. F (x) F 2 (x)=c. Bevis. Vi vet fr lemmet over t dersom funksjonen f oppfyller f (x) = for lle x, så er funksjonen konstnt. Lr vi f (x)=f (x) F 2 (x) og bruker denne kunnskpen, så følger resulttet. Dette er grunnen til t vi lltid må legge til en konstnt når vi nti-deriverer. Definisjon L f (x) være en funksjon. Fmilien v lle nti-deriverte til f (x) klles det ubestemte integrlet til f (x). L F(x) være en slik nti-derivert. Vi skriver f (x)dx = F(x)+C hvor C er en vilkårlig konstnt, klt integrsjonskonstnten. Det finnes mnge gode regneregler for ubestemt integrsjon, og vi skl presentere de viktigste. I likhet med derivsjon er nti-derivsjon en lineær opersjon. Det innebærer t vi hr de to formelene og ( f (x)+g(x))x = f(x)x = f (x)dx+ f (x)dx g(x)dx for funksjoner f (x) og g(x), og reelle tll 2 R. Dermed kn vi lltid nti-derivere ledd for ledd; Eksempel 2... Vi hr x 2 + 2xdx= x 2 dx+ 2 xdx Videre hr vi en del spesielle integrsjonsregler: Eksempel Det ubestemte integrlet v potensfunksjonen er gitt ved x n dx = n + xn+ +Cn6= Eksempel For det spesielle tilfellet der n = hr vi dx = lnx +C x Eksempel Det ubestemte integrlet v eksponensilfunksjonen er gitt ved e x dx = ex +C Eksempel Det ubestemte integrlet v de trigonometriske funksjonene er gitt ved og sinxdx= cosx +C cosxdx= sinx +C I tillegg til de spesielle integrsjonsreglene hr vi mer generelle integrsjonsregler. Den første bygger på formelen for derivsjon v et produkt v to funksjoner og klles delvis integrsjon. Produktregelen sier t ( f (x)g(x)) = f (x)g(x)+ f (x)g (x) Dersom vi flytter litt rundt på leddene og integrerer begge sider v likhetstegnet, får vi f (x)g(x)dx = ( f (x)g(x)) dx f (x)g (x)dx = f (x)g(x) f (x)g (x)dx siden derivsjon og integrsjon er omvendte opersjoner, dvs. f (x)dx = f (x)+c Dette viser seg å være en nyttig regel, og vi skl se på et eksempel på hvordn vi bruker den: Eksempel Vi skl regne ut det ubestemte integrlet v funksjonen xsinx. Vi lr f (x)=sinx og g(x)=x i formelen over. D får vi t f (x)= cosx (Vi trenger

12 ikke å t med integrsjonskonstnten C ennå). Setter vi dette inn i formelen får vi xsinxdx= xcosx ( cosx )dx = xcosx + cosxdx = xcosx + sinx +C Eksempel Det ubestemte integrlet v funksjonen f (x)=lnx er gitt ved lnxdx= xlnx x +C siden den deriverte v xlnx x +C med hensyn på x ved produktregelen er lnx + x x = lnx. Men vi kn også se dette ved å bruke delvis integrsjon. I så fll setter vi f (x)= og g(x)=lnx. (Dette er et lite triks, siden det på ingen måte er noe opplgt t mn skl betrkte lnx som lnx.) Dette gir lnxdx= lnxdx = xlnx x x dx og g (x)=2x. Dermed følger det t 2x(x 2 + ) 3 dx = h (g(x))g (x)dx = (h(g(x)) dx = h(g(x)) +C = 4 (x2 + ) 4 +C Vi skl snrt komme tilbke til flere eksempler på bruk v disse regnereglene. 2.2 Bestemt integrsjon Vi strter med å definere det bestemte integrlet v en positiv funksjon over et intervll. Definisjon L y = f (x) være en positiv funksjon definert på et intervll [,b]. D er S = f (x)dx definert som relet over intervllet [, b] mellom x- ksen og grfen til f. = xlnx x +C En nnen generell regneregel er substitusjon. Substitusjon bserer seg på bklengs bruk v kjerneregelen. Kjerneregelen sier noe om den deriverte til en smmenstt funksjon: ( f (g(x))) = f (g(x)) g (x) og regelen gir d t f (g(x)) g (x)dx = ( f (g(x))) dx = f (g(x)) +C For å bruke denne regneregelen bklengs må vi identifisere de to leddene på høyre side v formelen med fktorer i den oppgitte integrnden. Eksempel Vi skl integrere funksjonene f (x)= 2x(x 2 + ) 3. Hvis vi setter g(x)=x 2 + og h(x)= 4 x4, så ser vi t h(g(x)) = 4 (x2 + ) 4, h (g(x)) = (x 2 + ) 3 Figur 2.. Bestemt integrl tolket som rel. Mn kn vise t følgende generelle regler gjelder for bestemte integrl: Lineritet: ( f (x)+bg(x))dx= Additivitet v definisjonsområde: c f (x)dx = f (x)dx+ f (x)dx+b g(x)dx c b f (x)dx 2

13 Degenerert rel: f (x)dx = De to siste er nokså opplgte ut i fr definisjonen, mens den første følger fr et tilsvrende resultt for ubestemte integrl. I tillegg til disse tre definerer vi et bestemt integrl beregnet i motstt retning, f (x)dx = b f (x)dx For å beregne det bestemte integrlet til en vilkårlig funksjon (ikke kun positiv), deler vi opp intervllet i delintervller slik t funksjonen enten er positiv eller negtiv på delintervllene. For en negtiv funksjon g(x) < setter vi hvor g(x)dx = ( g(x))dx g(x) nå er en positiv funksjon. Vi vet t sinx = sin(x p). Det betyr t for hver x mellom p og 2p så finnes en u = x p mellom og p hvor funksjonen sinx hr kkurt smme verdi, men med motstt fortegn. Dermed vil relet mellom grfen og x-ksen for de to delene være nøyktig likt, men med motstt fortegn. Til smmen vil derfor integrlet bli nullet ut og vi hr 2p sinxdx= 2.3 Fundmentlteoremet Det er flere måter å definere hv vi skl mene med en integrerbr funksjon. Vi skl ikke gå nærmere inn på det her, men nøye oss med å fstslå t lle kontinuerlige funksjoner er integrerbre. Neste skritt er å finne metoder for å beregne bestemte integrl. Det viktigste hjelpemiddelet vil være det såklte fundmentlteoremet for differensil- og integrlregningen. Dette resulttet setter i system det vi hr sgt så lngt om derivsjon og nti-derivsjon og gir oss linken mellom ubestemt og bestemt integrsjon. Teorem L f (x) være en kontinuerlig funksjon på et intervll [,b], og l F(x) være en nti-derivert til f (x). D hr vi F (x)= d dx x f (t)dt = f (x) og f (x)dx = F(x) b = F(b) F() Figur 2.2. Integrlet er summen v relene med positivt tegn over x-ksen og negtivt tegn under. Eksempel Vi skl beregne det bestemte integrlet 2p sinxdx Siden sinx er positiv på intervllet [,p] og negtiv på intervllet [p,2p],så deler vi opp integrlet i to deler 2p p 2p sinxdx= sinxdx+ sinxdx p Merk: Dette er den mest fundmentle egenskpen ved integrlet og fktisk den egenskpen som er grunnlget for hele differensil- og integrlregningen. Merk t vi også bruker notsjonen [F(x)] b = F(b) F() I tillegg hr vi her introdusert den ofte hensiktsmessige notsjonen d dx g(x)=g (x) Begge deler vil bli brukt i det som følger. 3

14 Figur 2.3. Fundmentlteoremet for differensil- og integrlregningen. Figuren illustrerer fundmentlteoremet. Vi lr A(x) være relet under grfen fr x = og ut til en vilkårlig x. Den reltive tilveksten fr x til x + h er gitt ved (se figur) A(x + h) h A(x) f (x) h h = f (x) hvor uttrykkene blir like når h!. Den deriverte v det bestemte integrlet som relfunksjon er ltså funksjonen selv. En prktisk nytte v fundmentlteoremet er t vi kn beregne rel ved å nti-derivere funksjoner. Ved å kombinere fundmentlteoremet med regnereglene for ubestemte integrl får vi følgende liste over spesielle integrsjonsregler for bestemt integrsjon: x k dx = k + (bk+ k+ ) dx = lnb x ln = ln b e kx dx = k (ekb e k ) sinxdx= cosxdx= sinb cosb + cos sin Eksempel Vi kn bruke dette til å beregne integrlet v sinx over intervllet pple x pple 2p som vi hr sett på tidligere. 2p sinxdx=[ cosx] 2p = cos(2p)+cos == + = I tillegg til de spesielle integrsjonsreglene hr vi de generelle integrsjonsteknikkene, substitusjon og delvis integrsjon. Disse er helt nloge med tilsvrende teknikker for å regne ut ubestemte integrl. Substitusjon: f (g(x))g (x)dx = F(g(b)) F(g()) hvor F(x) er en nti-derivert til f (x), og delvis integrsjon f (x)g (x)dx =[f (x)g(x)] b f (x)g(x)dx Eksempel Vi skl beregne det bestemte integrlet p xcosxdx Vi bruker delvis integrsjon p xcosxdx=[u v] p u = x u = =[xsinx] p p u vdx v = cosx v = sinx p sinxdx =[xsinx + cosx] p = p sinp + cosp cos = 2 Eksempel Vi skl beregne det bestemte integrlet 2 xe x2 dx Vi bruker substitusjon 2 xe x2 dx = 2 2 ex2 2xdx u = x 2 du = 2xdx x = gir u = x = 2 gir u = 4 4 = 2 eu du =[ 2 eu ] 4 = 2 (e4 ) Oppgve. Regn ut det bestemte integrlet v potensfunksjonen f (x)=x n over det lukkede intervllet [,]. Vi kn bruke det bestemte integrlet til å beregne relet mellom to kurver y = f (x) og y = g(x), der f (x) g(x) på hele intervllet [,b]: [ f (x) g(x)]dx =[Arelet mellom f og g] 4

15 Figur 2.4. Arelet mellom grfene til y = x 2 og y = x 3. Eksempel (x 2 x 3 )dx =[ 3 x3 4 x4 ]= 3 Eksempel (x 3 x 2 )dx =[ 3 4 x x 3 2 ]= = = 2 Det er ikke tilfeldig t de to siste eksempene gir smme svr. Hvorfor? I lle integrl-uttrykk inngår et differensil dx eller dt eller tilsvrende. Denne notsjonen ble innført v Gotfried Leibniz og hr flere ulike tolkninger. Den fysiske tolkningen, slik Newton så det, er som en ørliten del v størrelsen x eller t. Differensilet dx hr ingen utstrekning, men er heller ikke. Mn kn tenke på den som en liten størrelse som vi lr gå mot. Vi kommer tilbke til denne tolkningen i vsnittet om Riemnnsummer. En nnen tolkning kommer fr Leibniz selv. Hn betrktet dx som et formelt uttrykk, som ikke skl tillegges noen fysisk størrelse, differensilet lever i en nnen verden enn den fysiske størrelsen x. Opersjonen x 7! dx tilordner til en størrelse x et differensil dx. Den motstte opersjonen klte Leibniz R. Den tilordner en størrelse til et differensil, Altså R dx = x, eller Leibniz sin versjon v fundmentlteoremet. 2.4 Riemnnsummer Vi skl se på en måte å beregne et rel under grfen til en funksjon og som også kn være med på å illustrere fundmentlteoremet. Vi tenker oss t vi deler opp intervllet [,b] i delintervller med delingspunkter (klles ofte en prtisjon v intervllet) = < <...< n = b og t vi velger ut et punkt xi i hvert delintervll, ltså xi 2 [ i, i+ ]. D vil summen (som vi kller en Riemnnsum, etter den tyske mtemtikeren Bernhrd Riemnn) n f (xi )( i+ i ) Â i= være en god pproksimsjon til integrlet R b f (x)dx, og bedre jo flere delingspunkter vi velger. Vi sier t vi pproksimerer funksjonen ved hjelp v trppefunksjoner. Trppefunksjoner er funksjoner som er stykkvis konstnte og derfor ser litt ut som trppetrinn. Fordelen med å bruke trppefunksjoner er t det er enkelt å regne ut relet under grfen. Smtidig kn vi lge dem på en slik måte t når vi gjør en finere og finere oppdeling, dvs. t trinnene blir flere og flere og smlere og smlere, så vil grenseverdien gi oss det relet vi egentlig vil beregne. Vi kn fktisk i mnge tilfeller definere f (x)dx = lim n n! Â i= f (x i )( i+ i ) Vi skl i lle eksempler holde oss til uniforme oppdelinger, dvs. der i+ i = Dx er den smme for lle i. Figur 2.5. Trppefunksjon som pproksimerer en funksjon, med x i som venstre endepunkt i hvert delintervll. Merk t prtiskjonen her er skrevet = x < x < < x 7 = b. I noen tilfeller kn vi bruke trppefunksjoner direkte til å beregne et bestemt integrl, men ofte vil dette involvere veldig mye regning. For en dtmskin er ikke 5

16 mye regning noe problem og gode numeriske tilnærminger til et bestemt integrl kn derfor lett gjennomføres med dtmskiner. I det neste eksempelet skl vi beregne relet v en treknt, med grunnlinje g og høyde h. For enkelthet skyld lr vi treknten være rettvinklet. En vilkårlig treknt kn lltid deles opp i rettvinklede treknter og ved å summere rel kn vi lett generlisere formelen til å gjelde for lle treknter. Eksempel Vi lr treknten ligge med den rette vinkelen inn mot x-ogy-ksen. Grunnlinjen vil d ligge lngs x-ksen fr til g, og høyden opp til hypotenusen fr et punkt x på grunnlinjen vil være gitt ved y = h g (g x). Dette er kkurt likningen til en rett linje som går gjennom punktene (g,) og (,h). Det betyr t vi må beregne det bestemte integrlet g h g (g x)dx Vi deler opp grunnlinjen i n like store deler, med Dx = g n : < g n < 2g n < 3g n Vi skl beregne < < (n )g n n  f (xi )Dx i= < ng n = g med xi som høyre endepunkt i delintervllene, dvs. xi = ig n og med f (x )= h g (g x ). Dette gir oss relet under trppefunksjonen gitt ved h g (g g n ) g n + + h g (g (n )g ) g n n = h g g n ((n )g g ( (n ))) n = gh n (n n(n )) n 2 = gh n ( 2 n 2 ) = gh gh 2 2n! gh når n! 2 dvs. relet er gitt ved gh 2, som forventet. I det neste eksemplet skl vi bruke summeformelen n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Eksempel Vi skl beregne x 2 dx ved hjelp v Riemnnsummer. Prtisjon v enhetsintervllet, med Dx = n : Vi skl beregne < n < 2 n < 3 n < < n n n  f (xi )Dx i= < n n = med x i som høyre endepunkt i delintervllene, dvs. x i = i n og f (x)=x2. Dette gir oss relet under trppefunksjonen gitt ved dvs. ( n )2 n +(2 n )2 n +(3 n )2 n + +(n n )2 n = n 3 ( (n) 2 ) = n 3 (n + )n(2n + ) 6 = 2n3 + 3n 2 + n 6n 3 = 3 + 2n + 6n 2! 3 x 2 dx = 3 når n! 2.5 Archimedes beregning v volumet v en kule Selv om differentil- og integrlregningen er v nyere dto, bre 3-4 år gmmel, vr mn inne på mnge v de smme tnkene i det gmle Hells, for mer enn 2 år siden. Ideen med trppefunksjoner, som ligger til grunn for Riemnnsummene vr ikke ukjent for Archimedes, og hn brukte et tilsvrende prinsipp for å utlede formelen for volumet v en kule. Archimedes stilte opp et prktisk eksperiment: 6

17 i skiv q ( 2 )2 ( 2 x) 2 = p x x 2, dvs. et bidrg til momentet på p(x x 2 )dx. Dette er i blnse siden p 2 xdx= px 2 dx+ p(x x 2 )dx På denne finurlige måten klrte ltså Archimedes for over 2 år siden å regne seg frm til formelen for volumet v en kule. 2.6 Trpesmetoden og Simpsons metode Figur 2.6. Illustrsjon v Archimedes oppsett for utregning v volumet v en kule. Archimedes oppsett er som følger: Alle legemene som inngår hr smme tetthet, stt til. I opphenget henger det en tverrgående, msseløs stng. På høyre side henger en sylinder med rdius i grunnflten og høyde. Sylinderen henger på høyknt. På venstre side, i vstnd henger to legemer, en kule med rdius 2 og en kjegle med høyde og rdius i grunnflten, begge lik. Dersom systemet er i blnse er dette nok til å beregne volumet v kul. Tyngdepunktet til sylinderen hr rmlengde 2, dvs. et moment på p 2 2. Armen på venstre side hr lengde og momentet er (V + 3 p2 ), der V er volumet v kul. Dersom systemet er i blnse gir dette V = 4 3 p( 2 )3, som er volumet v kul slik vi kjenner det. Så det gjenstår å vise t systemet er i blnse. Vi skl smmenlikne tynne skiver på de to figurene, v tykkelse dx. Størrelse dx er en slgs grenseverdi for Dx, når denne blir mindre og mindre. Vi snkker om uendelig tynne skiver. Disse skivene hr ikke noen synlig tykkelse, men når vi legger uendelig mnge v dem oppå hverndre, får vi likevel noe med et ordentlig volum. L pple x pple. På høyre side hr vi en skive i vstnd x, som gir et moment på x p 2 dx. På venstre side er det litt mer regning. Kjeglen måler vi ovenifr, slik t skiv ved dybde x gir et moment på px 2 dx. Kul deler vi også ovenfr, ved Pythgors blir rdius Vi fortsetter med å se på det bestemte integrlet, spesielt på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis kn finne en nti-derivert. Vi skl gi to metoder for å gjøre slike numeriske tilnærminger v et bestemt integrl. Den første er trpesmetoden (tilnærminger med trpeser eller lineær pproksimsjon). Vi deler intervllet I =[,b] i n like store deler D hr vi følgende formel, = < <...< n = b f (x)dx =( f ( ) 2 + f ( )+ f ( 2 ) f ( n )+ f ( n) ) Dx + E T 2 der E T er et restledd som gir vviket i tilnærmingen, dvs. det som mngler for t summen på høyresiden skl være lik integrlet på venstresiden. Teorem Ant t f (x) eksisterer og er kontinuerlig på intervllet [,b] og t f (x) hr mksimumsverdi K på intervllet. D er feilen E T i trpesmetoden begrenset ved E T pple K(b )3 2n 2 Det er et viktig poeng ved dette restleddet. Siden nevneren i uttrykket er proporsjonlt med n 2,så vil en dobling v ntll punkter i tilnærmingen gi en feil som er rundt en fjerdedel. Tredobling v ntll punkter vil gi en feil som er rundt en ni-del osv. Det betyr t jo finere oppdeling vi hr, dvs. jo flere delingspunkter, jo bedre blir pproksimsjonen. 7

18 Trpesmetoder bserer seg på t vi tilnærmer integrnden med stykkvis lineære funksjoner, og så regner ut integrlet v disse funksjonene i stedet for den originle funksjonen. Dersom integrnden er en lineær funksjon i utgngspunktet burde den selv være sin egen beste pproksimsjon, og trpesmetoden burde gi oss et ekskt svr. Eksempel Vi skl bruke trpesmetoden på integrlet R xdx med n delingspunkter. Det gir xdx 2 + n + 2 n + + n n = n ( 2 (n )n n + 2 )= n som er det smme som vi ville fått ved å finne en ntiderivert og så sette inn. Eksempel Vi skl estimere integrlet R 2 p + x 4 dx ved trpesmetoden med fire like store delintervller. Vi hr Dx =.5 og derfor x =, x =.5, x 2 =,x 3 =.5 og x 4 = 2. Det gir 2 p + x 4 dx p p p p p = 2 + p.65 + p 2 + p p Setter vi f (x) = p + x 4 får vi f (x) = p+x 2x3 og 4 f (x) = 6x2 +2x 6. Ved å derivere end en gng er det (+x 4 ) 3 2 reltivt enkelt å se t den dobbelt-deriverte hr sitt mksimum for x = og t vi hr f (x) < 3. Det gir E T < 8 =.25. Det betyr t pple 2 p + x 4 dx pple Eksempel Vi skl estimere integrlet R dx +x ved trpesmetoden med fire like store delintervller. 2 Vi hr Dx = 4 og derfor x =, x = 4, x 2 = 2, x 3 = 3 4 og x 4 =. Det gir 2 + x 2 dx ( + 4 )2 +( 2 )2 + +( ) = I dette tilfellet kn mn vise t f (x) < og vi får E T < Vi kn røpe t den fktiske verdien v integrlet er p ,såvi ser t vi holder oss innenfor feilestimtet pple + x 2 dx = p pple Den ndre metoden vi skl se på klles Simpsons metode. Den benytter seg v kvdrtisk pproksimering, dvs. t vi tilnærmer funksjonen stykkvis med 2. grdspolynom (selv om det ikke er helt enkelt å se t det er det som ligger under). Her må n være et prtll. I Simpsons metode bruker vi tilnærmingen f (x)dx ( f ( )+4 f ( )+2 f ( 2 )+4 f ( 3 ) + 2 f ( 4 )+ + 2 f ( n 2 ) + 4 f ( n )+ f ( n )) Dx 3 hvor feilen vi gjør er gitt ved et restledd E S. Teorem Ant t f (4) (x) eksisterer og er kontinuerlig på intervllet [,b] og t f (4) (x) hr mksverdi K på intervllet. D er feilen E S i Simpsons metode begrenset ved E S pple K(b )5 8n 4 Her inneholder nevneren n opphøyd i fjerde potens. Det betyr t en økning i ntll delingspunkter gir en drmtisk forbedring i pproksimsjonen i forhold til trpesmetoden. Siden Simpsons metode bserer seg på tilnærming med 2. grdspolynomer kn det være interessnt å prøve å beregne integrlet v et 2. grdspolynom. 8

19 Eksempel Vi ser på integrlet R x2 dx med delingspunkter. Det gir x 2 dx + 4 (.) (.2) (.9) = = = 3 3 Dette er det smme vi hdde fått dersom vi hdde ntiderivert og så stt inn. Eksempel Vi skl finne en tilnærmet verdi for R e x2 dx med n delintervller ved Simpsons metode. Først med n = 2: e x2 dx f (x )+4f(x )+ f (x 2 ) Dx 3 = e + 4e 4 + e 6 = Med n = 4: e x2 dx f (x )+4 f (x )+2 f (x 2 )+4 f (x 3 ) + f (x 4 ) Dx 3 = e + 4e 6 + 2e 4 + 4e e 2 = Restleddet sier i dette tilfellet, etter noe regning, og vi får E S pple 24 ( ) = pple e x2 dx pple Eksempel Vi vslutter med å estimere integrlet R dx ved Simpsons metode med fire like store delintervller. Igjen hr vi Dx = 4 og derfor x =, x = 4 +x 2, x 2 = 2,x 3 = 3 4 og x 4 =. Det gir + x ( 4 ) ( )2 +( ) = = I dette tilfellet kn mn vise t f (4) (x) < 24 og vi får E S < , som betyr t pple dx pple x2 Oppgver Oppgve 2. Regn ut de bestemte integrlene. ) R 3 x2 dx b) R 33 x2 dx c) R 2 4x3 dx d) R 22 4x3 dx Oppgve 3. Regn ut de bestemte integrlene. ) R 2 (t + )dt b) R (x + )2 dx c) R x 3 dx d) R p (x + sinx)dx Oppgve 4. Regn ut de bestemte integrlene ) R e 2 e x (lnx)dx b) R 4 x + p xdx c) R 2p sint sin(wt)dt, w 6= ± d) R xe3x2 dx e) R xe2x dx Oppgve 5. Finn relet vgrenset v grfen til f, x- ksen og den rette linj (x = ). 9

20 ) f (x)=5x ogx= b) f (x)=3x 2 og x = c) f (x)=sinx ogx= p 2 Oppgve 6. Finn relet vgrenset v grfen til f, x- ksen og de to rette linjene. ) f (x)= p xogx=,x= 4 b) f (x)=x + x og x =,x= 2 c) f (x)= x 2 og x =,x= 3 Oppgve 7. Regn ut relet mellom de grfene, vgrenset v de to rette linjene. ) f (x)=x 3,g(x)=3x 2 6 og x =,x= 2 b) f (x)=x 4,g(x)=2x 2 og x =,x= c) f (x)=e x,g(x)=e x og x =,x= ln2 d) f (x)=cosx, g(x)=sinx ogx=,x= p 4 Oppgve 2. Følgende dt er kjent for en funksjon f (x). x f(x) Vi skl estimere R 4 f (x)dx ) Ved trpesmetoden b) Ved Simpsons metode Oppgve 3. ) Gi et estimt for integrlet R 4 x4 9x x 2 7xdx ved å bruke trpesmetoden og Simpsons metode med Dx =. b) Beregn integrlet R 4 x4 9x x 2 7xdx ekskt. Oppgve 4. Finn en tilnærmet verdi for integrlet R xdx ved Simpsons metode, først med n = 2, deretter n = 8. e) f (x)=x 2,g(x)=x + 2 og x =,x= 2 Oppgve 8. Regn ut relet mellom grfene til f og g, vgrenset v de to rette linjene. ) f (x)=9 x 2,g(x)=x 2 + og x = 2,x= 2 b) f (x)= p 4 + x, g(x)=2 + 4xogx=,x= 2 c) f (x)= 2 x, g(x)=e x og x =,x= ln2 Oppgve 9. Regn ut relet v området mellom kurvene y = x 2 + x + og y = 2x 2 + 4x + 7 mellom skjæringspunktene for de to kurvene. Oppgve. Estimer integrlet ved å bruke trpesmetoden, med like store delintervller og det oppgitte ntllet delintervller. ) R epx dx, og n = 4 b) R 2 +x 2 dx, og n = 6 c) R p x 2 dx, og n = d) R p dx, og n = 8 +x2 Oppgve. Finn en tilnærmet verdi for integrlet R 2 x dx ved Simpsons metode, først med n = 2, deretter n = 4, også n = 8. Smmenlikn svret med ln2. Hvordn endrer restleddet seg? 2

21 Kpittel 3 Uegentlige integrler Bestemte integrl er definert for kontinuerlige funksjoner over begrensede intervller. Ved ekstremlverditeoremet vet vi t slike funksjoner oppnår sine mksimum og minimum i definisjonsområdet. Det betyr t funksjonene nødvendigvis må være begrenset. Integrlet v en begrenset funksjon over et begrenset område kn ikke bli uendelig stort. Det blir imidlertid litt for snevert om vi må begrense teorien til begrensede funksjoner over begrensede områder. Et eksempel er rdioktiv stråling. I henhold til den universelle loven for rdioktiv stråling vil intensiteten i strålingen fr en rdioktiv kilde vt eksponensielt med tiden. Strålingen vil ldri t slutt, men vil etter hvert bli forsvinnende liten. Rdioktiv stråling er proposjonl med mengden v rdioktivt stoff i kilden. For å beregne den opprinnelige mengden v rdioktivt stoff må vi derfor integrere intensiteten v strålingen fr tiden til. Det betyr t vi hr et ubegrenset definisjonsområde. Likevel vil integrlet være endelig, rett og slett fordi det uttrykker den opprinnelige mengden rdioktivt stoff i kilde, og denne er endelig. Et slikt integrl klles et uegentlig integrl. Det er også en nnen mulighet for å definere et uegentlig integrl. Dersom definisjonsområdet er begrenset, men funksjonen er ubegrenset kn det også h mening å definere et uegentlig integrl. Det er ikke enkelt å gi en fysisk tolkning v en størrelse som innefor et begrenset definisjonsområde går mot uendelig, men mtemtisk sett er det kun en speilvending v det første tilfellet. I begge tilfeller bserer vi definisjonen på grenseverdier v velkjente bestemte integrler. 3. Uegentlige integrler Vi begynner med å minne om definisjonen v en grenseverdi. Definisjon 3... Vi sier t L er grenseverdien v en funksjon f (x) når x! dersom for lle vlg v e >, så kn vi finne en d > slik t hvis x < d, så er f (x) L < e. Vi skriver lim f (x)=l x! Denne definisjonen er veldig formell, og i mnge tilfeller ikke særlig prktisk nvendbr. D er det nyttig å huske på t for en kontinuerlig funksjon hr vi t grenseverdien i et punkt er lik funksjonsverdien i punktet. Litt nnerledes blir dette når = : Definisjon Vi sier t L er grenseverdien v en funksjon f (x) når x! dersom for lle vlg v e >, så kn vi finne en M slik t dersom x > M, så er f (x) L < e. Vi skriver lim f (x)=l x! Slike grenseverdier er ikke lltid så enkele å beregne, men det finnes heldigvis mnge ulike teknikker. Vi skl se på noen v dem senere, vårt nliggende nå er å bruke denne type grenseverdi til å definere et uegentig integrl. Definisjon L f (x) være en kontinuerlig funksjon definert over et ubegrenset område, f.eks. et hlvåpent intervll [, ). Vi definerer det uegentlige integrlet v f over [, ) som en grense v bestemte integrler f (x)dx = lim f (x)dx b! under forutsetning v t grensen eksisterer. I såfll sier vi t det uegentlige integrlet konvergerer. I motstt fll divergerer integrlet. 2