Løysingsforslag for TMA4120, Øving 6

Transkript

1 Løysingsforslg for TMA42, Øving 6 October, Set inn i likning: 2 u t 2 = c2 2 u x 2 2 (cos 4t sin 2x t 2 = c 2 2 (cos 4t sin 2x x 2 6 cos 4t sin 2x = 4c 2 cos 4t sin 2x. u er med ndre ord ei løysing v likning med c 2 = Set inn: (e π2t cos 25x t u er ei løysing for c 2 = π 2 /25 2. u t = c2 2 u x 2 = c 2 2 (e π2t cos 25x x 2 π 2 e π2t cos 25x = 25 2 c 2 e π2t cos 25x Vi hr t u(x, y = ln(x 2 + y 2 + b. u xx + u yy = ( x x 2 + y 2 2x + + ( y x 2 + y 2 2y + ( (x 2 + y 2 x 2x = 2 (x 2 + y (x2 + y 2 y 2y (x 2 + y 2 2 ( 2x 2 + 2y 2 2x 2 2y 2 = 2 (x 2 + y 2 2 =. Altså løyser u(x, y Lplce-likning. For x 2 + y 2 = hr vi ln + b = = b =

2 For x 2 + y 2 = får vi då Dermed hr vi ln + = = = ln u(x, y = ln ln(x2 + y Frekvensen til fundmentlmodusen er c/2l, der L er lengd på strengen og c 2 = T/ρ, der T er spenning og ρ er mss per lengdeeining. Frekvensen blir lågre når lengd på strengen eller mss per lengdeeining ukr. Om vi doblr spenning, blir frekvensen gng med 2. Ein kontrbss er strengt ttt større enn ein fiolin fordi vi hr bestemt oss for å bygge dei slik, men størrelsesforholdet gjer t kontrbssen lgr lydr med lågre frekvens, ltså djupre tonr Vi skl finne u(x, t for ein streng v lengde L = med c 2 = når initiell hstigheit er null og initielt utslg med liten k (si,. er kx( x. Løysing er gitt ved likning (2 i Kreyszig vsnitt 2.3. (Merk t sjølv om oppgåv løysst ved referering til ei likning i bok, er metod for å kome frm til likning, seprsjon v vriblr, viktig å kunne, så pss på t du meistrr den metod. Siden den initielle hstigheit er null, så er Bn =. Integrlet for B n løyser vi ved hjelp v Rottmnns formelsmling/delvis integrsjon. B n = 2 så kx( x sin nπx dx [ x = 2k n 2 sin nπx cos nπx 2x π2 nπ n 2 π 2 sin nπx 2 n2 π 2 x 2 n 3 π 3 ( = 2k nπ cos nπ 2 n2 π 2 n 3 π 3 cos nπ + 2 n 3 π { 3 for n like = 4k n 3 ( cos nπ = π3 u(x, t = 8k n 3 π 3 B n cos(nπt sin(nπx = 8k π 3 for n odde ] cos nπx ( cos πt sin πx + cos 3πt sin 3πx + cos 5πt sin 5πx

3 2.3.5 u tt = c 2 u xxxx u(x, t = F (xg(t F G = c 2 F (4 G F (4 (x F (x F G = c 2 G (t G(t Sidn høgresid er ein funksjon kun v x og venstresid er ein funksjon kun v t, må dei vere konstnte, sei β 4. Løysing v (2: Det krkteristiske polynomet er ( F (4 (x = β 4 F (x (2 G (t = c 2 β 4 G(t r 2 = c 2 β 4 = r = ±icβ 2 Komplekse røter gir trigonometrisk løysing G(t = A cos(cβ 2 t + B sin(cβ 2 t Løysing v (: Sjekk t den oppgitte funksjonen er ei løysing eller b Løys ( ved å nt F = e irx : Dermed er fire uvhengige løysingr. Sidn F (4 = β 4 F (ir 4 F = β 4 F F = r 4 = β 4 r 2 = ±β 2 r = ±iβ, r = ±β e iβx, e iβx, e βx, e βx e ±iβx = cos βx ± i sin βx sinh βx = 2 (eβx e βx cosh βx = 2 (eβx + e βx 3

4 og likning er lineær, er også sin βx, cos βx, sinh βx, cosh βx 4 uvhengige løysingr. Den generelle løysing er F (x = C cos βx + D sin βx + E cosh βx + F sinh βx I fnn vi ut t F og G må vere på formene F (x = A cos βx + B sin βx + C cosh βx + D sinh βx G(t = cos(cβ 2 t + b sin(cβ 2 t. Vi ser t β = gir t u er konstnt, men på grunn v rndkrv er u = einste konstnte løysing, så frå no v ntek vi β. Viss ikkje F, må b =, sidn u t (x, = og dermed G ( =. Rndkrv gir følgnde: A + C = A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = β 2 A + β 2 C = β 2 ( A cos βl B sin βl + C cosh βl + D sinh βl =. Første og tredje linje gir A = C =. Vi forenklr og får B sin βl + D sinh βl = B sin βl + D sinh βl =, som mellom nn gir D sinh βl =. Vi ntek β, så då må D =. Vi hr også B sin βl =. Her hr vi løysingr β = nπ/l, n =, 2, 3,.... Dermed får vi løysingr u n = F n (xg n (t = n sin nπx L for n =, 2, 3,..., der n er vlfrie konstntr. cos c(nπ2 t L Vi skl finne løysing v (2 som tilfredsstiller u(x, = f(x = x(l x. Vi ser etter ei løysing på form u(x, t = F n (xg n (t, der F n og G n er funksjonne vi fnn i Vi hr f(x = u(x, = n sin nπx L 4

5 Dette er Fourierrekk til f(x viss vi utvidr f til ein odde funksjon over ( L, L. Vi kn dermed finne koeffisientne n (ver obs på t n her svrr til b n når ein finn Fourierkoeffisientne i bok: L n = 2 L ( x(l x sin nπx L dx = 2 L ( [ = 2 (L 2x L nπ nπ = 4L n 2 π 2 [x(l x(... ] L + L nπ [ L nπx cos nπ L = 4L2 n 3 π 3 ( ( n = { 8L 2 n 3 π, 3 Løysing er dermed u(x, t = n odde, n like. = n= n= n sin nπx L nπx sin L ] L L ] L cos c(nπ2 t L 2 (L 2x cos nπx L dx + L nπ L 2 sin nπx L dx 8L 2 (2n + πx (2n + 3 sin cos c(2n + 2 π 2 t π3 L L Rndkrv: u(, t = u(, t = for lle t. Initlkrv: u(x, = f(x = sin(.πx. f(x er si eig fourierrekke med B = og B n = n N\{} ( π = u(x, t = sin = sin x ( π x e.75π2 t c π e ( 2 t der c 2 = κ ρσ Oppgitte krv: med κ =.4, ρ =.6 og σ =.56. u(, y = u(, y = u(x, =, og u(x, = 25, med = 24 5

6 Stedy-stte tempertur vil seie t temperturen ikkje lenger endrr seg med tid: u t =. Vrmeleiingslikning i to dimensjonr blir dermed 2 u = u xx + u yy =, ( som er Lplces likning. Bruker sepersjon v vriblr: Innsett i (: d 2 F dx 2 G + F d2 G dy 2 = d 2 F F dx 2 u(x, y = F (xg(y = G Vi hr dermed to ordinære differensillikningr: Med k = µ 2 > : d 2 G = k (en konstnt dy2 F kf =, G + kg = F (x = C e µx + C 2 e µx Initilkrv u(, y = u(, y = gir C = C 2 =. Med k = : F (x = C 3 x + C 4 Initilkrv u(, y = u(, y = gir C 3 = C 4 =. Med k = µ 2 < : Initilkrv u(, y = gir: Initilkrv u(, y = gir: F (x = C 5 cos(µx + C 6 sin(µx C 6 sin(µ = C 5 cos + C 6 sin = µ = nπ C 5 = µ = nπ n =, ±, ±2,... F (x = C 6 sin 6

7 Med k = µ 2 blir likning for G(y: Med løysing Initilkrvet u(x, = gir C 8 = C 7 : G µ 2 G = G(y = C 7 e µy + C 8 e µy G(y = C 7 ( e µy e µy = 2C 7 sinh(µy ( nπy = 2C 7 sinh For kvr einste n får vi dermed ei løysing: u n (x, y = C 9 sin sinh ( nπy No er frmleis n =, ±, ±2, men sidn u n er odde mtp n (som betyr t u n er proporsjonl med u n held det å summere u(x, y for berre positive n. Løysing for n = er u =, som ikkje er særleg interessnt. Generell løysing: u(x, y = Bruker siste krv u(x, = 25: B n sin 25 = sinh ( nπy B n sin sinh(nπ som gir løysing u(x, y = B n sinh(nπ = 2 B n sinh(nπ 5 = 25 sin dx [ ] nπ cos B n sinh(nπ = 5 nπ ( ( n 5 B n = nπ sinh(nπ ( ( n 5 nπ sinh(nπ ( ( n sinh ( nπy sin

8 N e 2z+3i = e 2z e 3i = (e z 2 e 3i = e z 2 = 25 og O Ved innsetting ser vi t ( ( t (u ± u 2 2 x 2 (u u ± u 2 = t 2 u u2 x 2 ± t 2 u 2 x 2 =, (u + u 2 (, t = 2, (u u 2 (, t =, (u + u 2 (, t = 2b, (u u 2 (, t =. Altså løyser u + u 2 rndverdiproblemet u t 2 u x =, for t >, x (,, 2 u(, t = 2 for t >, u(, t = 2b for t > og u u 2 løyser (**. Superposisjonsprinsippet held for (* dersom Au (x, t + Bu 2 (x, t også løyser (* for lle reelle tl A og B: ( ( t (Au + Bu 2 2 x 2 (Au u + Bu 2 = A t 2 u u2 x 2 + B t 2 u 2 x 2 =, og (Au + Bu 2 (, t = (A + B og (Au + Bu 2 (, t = (A + Bb, dvs. Au (x, t + Bu 2 (x, t løyser (* berre når = b =. Dermed held superposisjonsprinsippet ikkje for (* når eller b er ulik null. Men det held for (** sidn (** svrr til (* med = b =. b Legg merke til t v t = u t, v xx = u xx, v(, t = u(, t og v(, t = u(, t b. Sidn u oppfyller (*, ser vi t v må oppfylle (**. Rndverdiproblemet (** er løyst i Kreyszig side , sjå der for detljr i utrekning. Innsetting v v(x, y = F (xg(t i (** gir G (t = kg(t for t >, F (x = kf (x for < x <, F ( = F ( =, 8

9 der k er ein konstnt. Likningne for F hr berre løysing ulik når k = n 2 π for n N, og då er F n (x = K n sin nπx og G n (t = C n e n2 π 2t, for vilkårlege konstntr K n, C n. Alle løysingr på form v(x, y = F (xg(t er då gitt ved v n (x, t = F n (xg n (t = A n e n2 π 2t sin nπx, der n N, og A n = K n C n er ein vilkårleg konstnt. c Hugs t = og b =, slik t u(x, t = v(x, t [ + 2x]. Vi ser då t v løyser rndverdiproblemet (** med initilkrv v(x, = u(x, + [ + 2x] = sin πx + [ + 2x]. ( Frå b og superposisjon hr vi følgnde kndidt til løysing v (** og (: Ved å sette t = får vi v(x, t = A n e n2 π 2t sin nπx. A n sin nπx = v(x, = sin πx + [ + 2x]. (2 No finn vi Fourier-sin-rekk til + 2x for x : + 2x = b n sin nπx for < x < og b n = 2 ( + 2x sin nπxdx. Delvis integrsjon gir t b n = 2 nπ ( + ( n for n N, og frå (2 ser vi dermed t vi må velje Dvs. løysing v (** og ( er A = b + og A n = b n for n >. v(x, t = e π2t sin πx + 4 π m= 2 2m e 4m π 2t sin 2mπx. Her hr vi brukt t b n = for odde n og b n = 4/nπ for n(= 2m like. Løysing u v (* og (*** er då u(x, t = v(x, t [ + 2x]. 9