Fugletetraederet. 1 Innledning. 2 Navnsetting. 3 Geometriske begreper. Øistein Gjøvik Høgskolen i Sør-Trøndelag, 2004

Transkript

1 Fugletetaeeet Øistein Gjøvik Høgskolen i Sø-Tønelag, 004 Innlening Nå skal vi lage et omlegeme u kanskje ikke ha sett fø. Det e ikke noe mystisk ve selve figuen, men en høe ikke til lant e mest ukte i unevisningen. Lag figuen fø u lese viee. Betteoppskiften stå som et tillegg akest. Den le oppinnelig funnet på aessen [I], men e neppe å oppive e lenge. Jeg ha efo tatt meg fiheten til å tegne en på nytt ette este evne. Du kan også se en inteaktiv moell av enne på nettaessen [I] esom u ønske å sammenlikne. Nå en e feig skal en se slik ut: Fotogafi av fugletetaeeet Du vil kanskje tenke litt selv på oppgavene vi kan lage me enne figuen. Vi kan lage aktivitete e åe kommuniseing av matematikk, geometi i to og te imensjone og algea komme inn. Se fo eksempel på følgene spøsmål: Oppgave Finn et "matematisk" navn på figuen. (Vi ha ukt etegnelsen fugletetaeeet i oveskiften, men ette e ae et kallenavn. Hva kan foesten ette navnet komme av? Oppgave Finn geometiske stee og egepe som ukke opp une og ette etting av enne figuen. Oppgave 3 Beskiv symmetiene på figuen. Oppgave 4 Finn en fomel fo volumet av figuen nå ugåutfaatsiekantenpåpapietustatetmee s. Hvis u fo eksempel egynte me å lage et kvaat av et A4-ak, vil et eav følgene kvaatiske aket ha en siekant som e like lang som kotsien av et A4-ak. Detealtsåenneukankalles. Navnsetting Ettesom figuen estå av seks sie, se vi at vi kan kalle en et heksaee. Denne figuen kan også kalles tiangulæ ipyamie. Navnet skyles a at figuen estå av to pyamie me tekantet gunnflate. Sett sammen isse to pyamiene gunnflate mot gunnflate, og u få en tiangulæ i-pyamie. Betegnelsen tekantet oelpyamie elle oel tekantpyamie kunne også litt ukt. Vi uke gjene navnet "fugletetaee" sien tiangulæ ipyamie e litt me konglete. Navnet "fugletetaee" ha sannsynligvis kommet av at figuen, nå en holes me gunnflaten i miten vannett, likne på et fuglene, og samtiig av at en tilsynelatene - me litt klemming - ville væt et tetaee (et av e platonske legemene - som kan også kalles fiesiet tekantpyamie). I et ettefølgene uke vi okstavene som e lagt på fotogafiet. På aksien av figuen ha vi også ett hjøne (speililet av D e speilingsflaten e M ABC). Vi komme ikke til å sette noe navn på enne, a vi i eegningene ikke enytte ette hjønet. 3 Geometiske egepe En kjapp opplisting av egepene man kan finne på enne figuen: Rettvinklet tekant, høye i tekant, høye i pyamie, gunnflate, gunnlinje, ette vinkle (halvpaten av ette vinkle), likeeint tekant, kvaat, akefom, likesiet tekant, speilsymmeti, otasjonssymmeti... Pøv og finn isse! Vi få senee også uk fo Pytagoas og fomlike tekante, samt egenskapene til tekante me vinkle

2 på 30,60 og 90 gae. 4 Symmetie Tenke vi fotsatt på figuen som sammensatt av to pyamie kan vi tenke oss en akse som gå gjennom egge spissene i pyamiene. Dette li a en otasjonsakse, hvo vi kan otee figuen 0 gae te gange. Vi få også te otasjonsakse i gunnflaten 4ABC, nemlig gjennom mitnomalene på siene AB, BC og AC. He kan vi otee 80 gae to gange. Vi finne også speilsymmeti. Alle e likeeinte tekantene vi finne e jo speilsymmetiske. Vi kan også snakke om speilsymmeti i ommet; hele en teimensjonale figuen e speilsymmetisk om 4ABC. Hvilkeaneflate kan figuen væe speilet om? 5 Beegning av volumet 5. Beegning av gunnflatens aeal Vi skal nå eegne volumet av et slikt fugletetaee. Vi innse føst at figuen estå av to pyamie me tekantet gunnflate. Vi kan efo nøye oss me å eegne volumet av en slik tekantpyamie, nemlig pyamien ABCD. Minne om at fomel fo volum av pyamie e V = 3 gh, e g e aealet av gunnflaten ABC i pyamien og h e høyen. Teffpunktet til loelinja fa pyamietoppen D på gunnflaten g kalle vi fo E. Høyenig teffe viee gunnflaten AB i punktet F, slik at høyen i g li linjestykket CF. La oss etakte figuen ovenfa slik at gunnflaten G e en likesiet tekant (hvoan vet vi et?), og skive på okstavene vi ha så langt. Vi egne føst ut CF. Vifikk oppgitt at siekanten på et kvaatiske aket vi egynte ettingen me va s. Se vi på en teimensjonale figuen se vi eme at DB = s. Pytagoas gi a AD + BD = AB s + s = AB AB = s = s. Vi kan så finne høyen CF igunnflaten g. Da vil CF ele gunnflaten AB inn i to tekante me vinkle på 30, 60 og 90 gae (hvofo?). En slik tekant ha som kjent egenskapen at koteste sie e halvpaten av en lengste. Pytagoas igjen gi a: AF + CF = AC AB + CF = AB ³ s + CF = s s 4 + CF = s CF = = s s 3 3 s = s. Vi kan a finne gunnflaten i pyamien, g = AB CF = 3 3 s s = s. 5. Beegning av høyen i pyamien En litt støe utfoing e et å finne høyen i pyamien. He få vi uk fo å kunne foestille oss hvo h (= DE) teffe g inni figuen, altså plasseingen til punktet E. Vi kan finne toppvinklen ]AEB. Vi vet at ett helt omløp e 360, og et e he te like toppvinkle som tilsammen li 360. Hve vinkel (og en av em e ]AEB) li eme 0. Ve å halvee enne vinklen, som på figuen ove, få vi en tekant 4EFA me vinkle på 30,60 og 90 gae. Vi kan a finne sien EF

3 i en slik tekant: AF + EF = AE AB + EF = (EF) s + EF = (EF) s + EF = 4EF EF = 6 s = s. 6 Dette e avstanen fa gunnlinjen AB og ut til punktet E e pyamiens høye h e oppeist. Vi tenge også sien DF i 4ABD. Denne tekanten e ettvinklet og likeeint, og må a ha to vinkle på 45 gae. AF + DF = AD AB + DF = s s + DF = s DF = = s. Da kan vi finne høyen h ipyamien s s EF + DE = FD µ µ s s 6 + h = på siste sie. Ane femgangsmåte fins, fo lant annet å ette figuen av ett ak i steet fo te. I oka [TF, s.38] finne vi ane mulighete fo å lage me komplisete figue me fugletetaeee. Man kan gjene utføe ettingen sammen me elevene - et e en imelig lett og ovesiktlig moell me få ettinge. Den e også lett å læe utenatt og gei å emonstee me aket i løse lufta. Man kan uneveis føe kontinuelig samtale me elevene om hvilke geometiegepe som ukke opp uneveis og ettepå. Ønske man at et skal gå askee kan te eleve gå sammen og lage hvet sitt ak, fo så og sette e sammen. Buk gjene te foskjellige fage, a e moellen enklee å måle på og å hole ovesikten ove. Den li også mye penee a! Et foslag kan væe å folange at figuene skal ha te fage, og enest ele ut faget papi slik at elevene må øe seg litt fo å finne to ane me ane fage på papiet. Det ligge fine mulighete fo iffeensieing he; Man kan finne volumet ve symolsk fomel, slik vi gjoe he, elle ve å måle siekantene - egge ele utfoe evnen til å foestille seg figue i ommet. Figuen gi goe mulighete fo å veksle mellom to- og teimensjonale synsvinkle. State man me et kvaatisk ak som e tjue m i iamete vil figuen omme en tejeels lite nå en e feig. Elle man kan gi en oppgave om hva fomelen fo volumet ville litt esom vi hae valgt kotsien av A4-aket til å væe s isteet fo s? Det fins også så små utgave av fugletetaeeet som li ukt som øepynt. Klae elevene å lage så ittesmå figue? Noen læestuente tok utfoingen på stak am, som ilet vise. Elle kanskje man kan uke fugletetaeee som julepynt? h = s s 6 h = s Sammenfatning Tilslutt finnes volumet av figuen: V = gh = 3 3 s 3 s 3 = 3 s3. 6 Kommentae og utvielse av oppgaven Det fins flee måte å ette fugletetaeeet på. Beegningene ovenfo asee seg på ettingen som e tegnet Fonøye læestuente Figuen ha seks sie, hvoan kan vi nummeee siene fo at enne skal kunne ukes som en tening 3

4 (en lane jo ali me ae en sie opp...)? Figuen kan jo minne om teninge ukt i fo eksempel ollespill. Kan vi lage en spill-tening av figuen ve å skive tall på kantene elle siene? Og - litt vanskeligee - klae vi å sette tall på siene på en slik måte at e to siene som vene opp ette et kast tilsammen vil kunne vise tallene fa til 6? 7 Refeanse [I] [I] [TF] Fuse, Tomoko; Unit oigami - multiimensional tansfomations, Japan puliations in. (990) 4

5 a FUGLETETRAEDERET Kile: (Tegmet på nytt på MSVisio) Dette e en foholsvis enkel moell, som u kan finne i flee øke. Den lages av te kvaatiske ak, som alle ettes likt og settes sammen tilslutt. Bett iagonalt, så a møte Benytt gjene te ak me foskjellige fage. Hvis man ønske å samaeie, kan man gå sammen te pesone, og ette en el hve. Bett på miten, så møte, og ett ut igjen. a a Bett kantene inn mot miten, så og møte a og. Bett ut igjen. Gjenta så ettingen så langt me to ak til. a a Sett sammen to ele på enne måten. Legg meke til at e to elene stå motsatt til hveane -et e to spisse som peke opp på ene elen, mens et kun e en spiss på en ane elen. Det e to tagge og på figuen til venste, som skal inn i to lomme på figuen til høye. Føy til slutt til en teje elen på tilsvaene måte som u satte sammen e to føste.