Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag

Transkript

1 Fultet fo teologi, ust og desig Teologise fg Esme i: Diset mtemti Målfom: omål Dto: 8005 Tid: 5 time / l 9-4 tll side il foside: 0 tll ogve: 0 Tilltte hjelemidle: Fohådsgodjet odo Hådholdt lulto som ie ommuisee tådløst og som ie ege symols Med: Kdidte må selv otollee t ogvesettet e fullstedig Ved evetuelle ulhete i ogveteste sl du edegjøe fo de foutsetige du legge til gu fo løsige esvelse sl mees med didtumme, ie v u lå elle sot ulee å iføigset Fglig veilede: Ulf Uttesud Uteidet v fglæe: Ulf Uttesud Kotollet v e v disse: e læe Seso Istituttlede/ Pogmoodito Istituttledes/ Pogmooditos udesift: Emeode: DPE300 ITPE300

2 lle de 0 ogvee telle lit I ogve med udeute vil evede og me omfttede udeute ue telle me e lette og ele udeute Det e ie sli t lette ogve omme føst og vselige til slutt u defo ie fo mye tid å e ogve du ie få til Pøv istede e y ogve lle sv sl egues! Det fo esemel sje ved t du t med mellomegige elle gi de fome fo gumetsjo Ku et sv ute oe eguelse e omlt vediløst Ogve 3 oeg L væe utsget: Jeg gjø lle øvigsogvee og utsget: Jeg få til esme Sett o flg utsg ved hjel v, og logise oetoe: i Jeg gjø lle øvigsogvee og jeg få til esme ii Jeg få ie til esme elle jeg gjø ie lle øvigsogvee iii Hvis jeg gjø lle øvigsogvee, så få jeg til esme iv Jeg få til esme e hvis jeg gjø lle øvigsogvee 4 oeg L, og væe utsg vgjø shetsveditell elle å e måte om utsgee og e logis evivlete c 3 oeg Nedefo stå det e shetsveditell med utsgee og Esttt søsmålsteget i telle med et smmestt utsg i og som sse med shetsvediee i oloe Ogve 3 oeg L {,, c, d}, {, c, f, g} og {, d, e, f } Sett o megdee,, og å listefom, dvs å fome { } 3 oeg L, og væe vilålige megde, Teg Ve-digm og své megdee og c 4 oeg L, og væe vilålige megde, Siv å e så eel fom som mulig

3 Ogve 3 L væe heltllee f til 35, dvs {,, 3,, 33, 34, 35} og l væe heltllee f 0 til 8, dvs { 0,,, 3,, 7, 8} Defie fusjoe f : ved t fo hve sl f væe odutet v føste og de siffe i Det ety fo esemel t f og f oeg Fi og, dvs fi tll elemete i og i Siv o de tosifede tllee i som e imtll oeg Hv li f 0, f 9 og f 35? c oeg Fi vedimegde til f? d oeg Vi sie t li tuffet v e il hvis det fies e sli t f Hvile li tuffet v flest ile? e oeg E f e-til-e? E f å? Ogve Gitt tllmtisee, 0 og oeg Hvile dimesjoe h, og? oeg Hvile v følgede mtiseodute e defiet:,,,,,? Ogi dimesjoe til de odutee som e defiet c 3 oeg Reg ut odutet d 3 oeg Reg ut odutet Ogve 5 oeg Sett o iæode til tllee 9, 0, og oeg Heltllet 360 e gitt å desiml fom Fi det å iæ fom og å hesdesiml fom c oeg vgjø om tllet 360 e et imtll d oeg Heltllet 6 e gitt å hesdesiml fom Fi det å otl fom og å desiml fom e oeg Fi summe

4 Ogve 6 I dee ogve sl vi se å itsevese med legde 0 oeg Hvo mge fosjellige e det? oeg Hvo mge fosjellige e det som h øytig to -ite c oeg Hvo mge fosjellige e det som h øytig to -ite de - itee ie stå ved side v hvede d 4 oeg Hvo mge fosjellige e det som ie h to -ite ved side v hvede Fo esemel h og 000 to -ite ved side v hvede, me det h ie og Ogve 7 Tllee f og med 00 til og med 999 lles tesifede tll L væe megde v tesifede tll med 5 som føste siffe, megde v tesifede tll med 5 som de siffe og megde v tesifede tll med 5 som siste siffe Symolet stå fo dilitete til megde, dvs, tllet fosjellige elemete oeg Fi, og oeg Fi,, og c oeg u det du ft i og til å fie d oeg Fi å e diete måte tllet tesifede tll som ie h 5 som siffe u så det til å fie e oeg Hvo mge tesifede tll h som tvesum? Tllee 489 og 588 e esemle å slie tll Ogve 8 Gitt diffeesligige 8,,, oeg Fi og oeg Fi e fomel fo Vis t fomele di stemme ved å sette i = og 3 D sl du få de smme esulttee som i ut c oeg Fi 7 ved å sette i i fomele du ft i elle ved å ege ut 4, 5, 6 og så 7 ved hjel v diffeesligige 8 4

5 Ogve 9 L {,, c, d} og l R væe elsjoe å gitt ved flg elsjosgf: oeg Sett o elsjoe R som e megde v e delmegde v oeg Sett o mtise M R til R c oeg R e ie eflesiv Hvofo ie? Hvile i tillegg til de du h stt o ude ut må mist væe med fo t R sl li eflesiv? d oeg R e ie symmetis Hvofo ie? Hvile i tillegg til de du h stt o ude ut må mist væe med fo t R sl li symmetis? e oeg R e ie tsitiv Hvofo ie? Hvile i tillegg til de du h stt o ude ut må mist væe med fo t R sl li tsitiv? Ogve 0 Tegige ove vise to elve som møtes og ee videe som é elv I elveløet e det to øye og åtte oe som ide omådee smme E o e met med to llelle stee Pilee vise hvile vei vet ee 3 oeg L hvet v øyee/ldomådee,,, D og E væe ute i e gf de oee e te mellom utee Teg gfe oeg Sett o gde til hvet v de fem utee i gfe c oeg E det mulig å gjeomføe e ssetu de hve o ssees øytig é gg? Hvis j, hvo d e sli tu stte og slutte? d 3 oeg E y o ove elve til veste edefo øy e ude yggig De vil foide omådee D og E Vil det, å de e fedig, væe mulig å gjeomføe e ssetu de hve o ssees øytig é gg? Hvis j, hvo d e sli tu stte og slutte? 5

6 6 Defiisjoe og fomle Logise oetoe: ie, og, elle, eslusiv elle, imlisjo Noe evivlese f utsgslogi: x P x x xp x P x x xp Noe megdeidetitete: Kdilitet tllet elemete i e megde: Symolet X stå fo dilitete til megde X, dvs tllet fosjellige elemete i X Fusjoe: I fusjoe f : ety defiisjosmegde og vediomåde E fusjo f : e e-til-e hvis, og, medføe t f f E fusjo f : e å hvis sli t f Mtise De tsoete til e mtise eteges med T og e de mtise vi få å dee og oloee i yttes om Føste d i li føste oloe i T, de d i li de oloe i T, osv Det ety sesielt t hvis e e m mtise, så li T e m mtise

7 Heltllsdivisjo divisjoslgoitme, div og mod: L væe et heltll og d et ositivt heltll D fies etydige heltll og med 0 d sli t d Oesjoee div og mod defiees ved t div d og mod d Støste felles diviso Støste felles diviso getest commo diviso gcd fo to hele tll som ie egge e 0, e det støste heltllet som gå o i egge tllee Miste felles multilum Miste felles multilum lest commo multile lcm fo to ositive heltll e det miste ositive heltllet som egge gå o i Fomel gcd, og lcm,: Hvis gcd, e støste felles diviso fo og og lcm, e miste felles multilum fo og, så e gcd, lcm, Moduloegig: L m væe et ositivt heltll To heltll og lles oguete modulo m hvis m gå o i og det eteges med mod m mod m hvis og e hvis mod m = mod m mod m og c d mod m, så e c d mod m og c d mod m Tvesum L væe et ositivt heltll Tvesumme til e oguet med modulo 9 Summe v ee: Geometis ee:, 0 itmetis ee: L væe føste ledd, siste ledd og d diffeese mellom to og to ledd tll ledd e gitt ved og summe e li d iomiloeffisiete:!!!!, 0,,,, 7

8 8 iomilteoemet: tll fosjellige utvlg å stye f e smlig å stye: Odet ute tileleggig: Uodet ute tileleggig: Odet med tileleggig: Uodet med tileleggig: Det geeelle «igeohole»-isiet: Hvis N ojete sl lssees i ose, må mist é os ieholde mist N ojete Diffeesligige: De geeelle lieæe homogee diffeesligige v ode med ostte oeffisiete e å fome c c de c og c e ostte Ligiges teistise olyom e gitt ved: c c Hvis det teistise olyomet h to fosjellige eelle løsige og, li geeell løsig li de og e vilålige ostte Hvis sttetigelsee 0 og e gitt, fie e og ved å løse et ligigssystem Hvis det teistise olyomet h u é løsig 0, li geeell løsig li 0 0 de og e vilålige ostte Hvis sttetigelsee 0 og e gitt, fie e og ved å løse et ligigssystem

9 Relsjoe: E elsjo R å e megde e e delmegde v odutmegde L R væe e elsjo å e megde R e eflesiv hvis, R fo lle R e symmetis hvis fo lle, sli t, R, så e, R R e tisymmetis hvis fo lle, sli t og, R, så e, R R e tsitiv hvis fo lle,, c sli t, R og, c R, så e, c R E tisjo E smlig delmegde,, 3,, v e megde utgjø e tisjo v hvis 3 og i j Ø fo lle i j Evivleselsjoe E elsjo R å e megde e e evivleselsjo hvis de e eflesiv, symmetis og tsitiv Evivleslsse Hvis R e e evivleselsjo å e megde og, så e evivleslsse [] til defiet ved [ ] {, R} Elle med od: [] e li megde v de som e eltet til Evivleslssee til e elsjo utgjø e tisjo v Delvis- elle tiell odig E elsjo R å e megde e e delvis odig hvis de e eflesiv, tisymmetis og tsitiv Hvis dette e ofylt, sie vi t e e delvis odet megde med hesy å R Et elemet e et msimlt elemet hvis det ie fies oe sli t, R Det ety t det e ie oe elemet som omme «ette» i odige Tilsvede e et elemet et miimlt elemet hvis det ie fies oe sli t, R Gfteoi: Gde til et ut L væe et ut eg: vetex i e uettet gf Gde gd til e tllet te yttet til utet 9

10 Gd-t-setige: L G væe e uettet gf med edelig mge te D vil summe v gdee til utee i G væe doelt så sto som tllet te Eule-veie: E luet Eule-vei e Eule-syel i e uettet gf e e vei som stte og slutte i smme ut og som ssee hve t e og e e gg E åe Eule-vei i e uettet gf e e vei som stte og slutte i to fosjellige ute og som ssee hve t e og e e gg Eules setig: E smmehegede uettet gf med mist to ute h e luet Eule-vei e Eule-syel hvis og e hvis lle utee i gfe h tllsgd E smmehegede uettet gf med mist to ute h e åe ie-luet Eule-vei hvis og e hvis øytig to ute i gfe h oddetllsgd 0