R2 2010/11 - Kapittel 3: 26. oktober 24. november 2011

Transkript

1 R / - Kapittel :. oktobe. novembe Plan fo koleået /: Kapittel : / /. Kapittel : / /. Kapittel : / /. Kapittel : / /. Pøve på elle koletime ette hvet kapittel. Én heildagpøve i hve temin. En del pøve vil væe uten hjelpemidle. Repetijon, pøve, muntlig, økte, divee abeid: Påke juni. Tommy & Tigen bind ide 9n Tigonometike funkjone: Dette e et GeoGeba-kapittel: Vi kal i utgangpunktet vende tilbake til tigonometi, dv. til inu, coinu og tangen. Vi begynte med å definee de te begepene i ettvinkla tekante, og fo vinkle mellom og 9. Sinu til en vinkel i en ettvinkla tekant va foholdet mellom mottående katet og hypotenu. Coinu va foholdet mellom holiggende katet og hypotenu. Og tangen va foholdet mellom mottående katet og holiggende katet. I. klae utvida vi begepene lik at vi kunne finne inu, coinu og tangen til alle vinkle, og vinklene kunne væe negative og poitive, og ha opp mot uendelig høg tallvedi! Vi nakka om flee ikelomdeininge om vinkle, ikke ulikt -gade vending i divee idette. En gad e en enhet fo måling av en vinkel i planet. Gade ymboliee med. En vinkel på én gad tilvae av en full ikel. Én full ikel e. Tallet ble antagelig valgt fodi det e delelig med fokjellige poitive heltall, inkludet alle heltall fa til unntatt. Dette gjode det enkelt å dele inn ikelen i minde vinkle og egne på die ved hjelp av hodeegning. (Fo at antallet gade i en ikel kulle væt delelig med alle heltall fa til måtte det væt gade i én ikel, noe om e et mye minde bekvemt antall.) Nå gade buke fo å måle vinkle, buke ofte ogå minutte, hvo ett minutt epeentee av én gad og ymboliee med, og ekunde, hvo ett ekund e av ett minutt elle av én gad og ymboliee med. Fo ekempel,, peentee ofte om elle gade minutte og ekunde (elle om, elle gade, minutte). Det e vanlig å buke die minde enhetene (minutte og ekunde) nå man angi bedde og lengde til et ted på joden (e ogå deimalgade). (/-) I dette kapitlet kal vi blant annet læe om et nytt vinkelmål: Inndelinga av ikelen i gade e et kuntig og mennekekapt påfunn. Vi kal i tedet innføe et åkalt natulig vinkelmål. Deuten kal vi egne med likninge de de tigonometike uttykka dukke opp, og vi kal buke peielt inu til å bekive hendele om gjenta eg og gjenta eg, om fo ekempel ola gang ove himmelen og tidevannet vingninge. Vi kal deuten tudee funkjonene i detalj, noe om ogå innebæe at vi deivee! Idéen at det kal væe i en ikel e kuntig og noe tilfeldig, og me knyttet til tallteoi enn geometi. Defo foetekke matematikee å buke adian om enhet fo vinkelmål, etteom antall adiane i en vinkel tilvae antall adie om e lik buelengden til vinkelen. Fodi det e π adie i omketen av én ikel følge det at e lik π adiane, å = π ad = π ad. ad, og ad = π = π.9. Vinkelmålet Radian e en avledet SI-enhet definet om buelengde delt på adiu. Det kalle ogå «abolutt vinkelmål». Radiane e en ubenevnt tøele, men av paktike gunne buke ofte ymbolet ad. tilvae π adiane. Så enhve omegning fa adiane til gade elle motatt kan egne ut ifa dette foholdet. (/-)

2 He e dee to oveakende egenkape ved inu og coinu: in!! co!!...,,!...,,! Det blei ogå gjot et foøk på å innføe gadtall om en del av titallytemet: En gadian, ogå kalt en nygad fokote gon, e en enhet fo måling av en vinkel i planet, og tilvae av én full ikel og demed av én ett vinkel. Én gon e lik 9 av én gad elle π av én adian. Symbolet fo gon e g, å én full ikel e g. Én gon dele videe inn i deigon, centigon, milligon, mikogon ov. Enheten ha itt opphav i Fankike om en del av det metike ytemet. På gunn av ammenblanding med den ekiteende enheten gade peielt i Nod-Euopa ble navnet gon innføt. Selv om det ble gjot foøk på en geneell innføing av enheten, va det bae noen land om begynte å buke den og da innenfo peialiete omåde om landmåling (og oienteing). Én av fodelene ved å buke gadiane, e at en fokjell i bedde på én centigon ( gon) tilvae omtent én kilomete (,9 m (WGS ) i gjennomnitt; 99, m (WGS ) ved ekvato,, m (WGS ) ved polene [] ). (Dette ville gjot at nautik mil ble oveflødig.) Den me kjente enheten gad, av én ikel, elle den matematik me bekvemme enheten adian, π av én ikel (om buke i SI-ytemet), buke nomalt femfo gon. (/-) Kladd Innhold Dato Huk innføinga. og. /.,.,.,.. Radiane: Det e tilfeldig å dele inn en ikel i, elle nygade om ogå ha blitt gjot. Men det e logik å knytte et vinkelmål til en ikel. Vi kunne i tedet buke en kvat ikel i tedet fo 9, en jettedel ikel fo ov. Det ville væe en logik elle natulig måte å måle vinkle på. Et natulig vinkelmål ta utgangpunkt i denne tankegangen og at en ikel omket e π. I tedet fo å nakke om en ikel om en hel unde undt elle, buke vi betegnelen π i tedet fo. Dette vinkelmålet kalle natulig vinkelmål elle adiane, RAD på kalkulatoen. Nå vi innføe dette målet, kan vi ette opp denne tabellen: v i gade inv cov tanv v i adiane nygade g / g g / g 9 g / g / - g / g - g Et me logik ytem fo inndeling av vinkel bli altå: b v Vinkelmålet e buen den penne ove delt på adien ut til buen. Benevnelen e adiane <RAD> på kalkulatoen. Buen til en hel ikel, et omløp, e ikelen omket: Radien e. Og vinkelen til ett omløp e demed b,, uten benevning. Mek dee de ekakte vediene av in, co og tan til die utvalgte vinklene, amt tilvaende abolutte vinkelmål i bøke av i tabellen ovafo!

3 Kladd Innhold Dato.,.,.. Tigonometike likninge: Metoden e nøyaktig om tidligee, nomalt fin det to.(u) løninge i hvet omløp, men vaa kal nå oppgi i adiane, altå med deimaltall elle helt, nå det gå, om bøke med π. Vi legge altå til fo inu- og coinuuttykk og fo / tangenuttykk..9,.,..(u).,.,..(u) Pøve i kapittel! /. Gafene til inu og coinu: Peiode e hvo langt vi gå på -aken fo å komme fa ett punkt til et tilvaende punkt på gafen, fo ekempel fa et toppunkt til det nete. Nullpunkt e kjæing med -aken. Topp- og bunnpunkt ligge midt mellom to nullpunkt. Tegn gafene fo inu og coinu i GeoGeba og kontolle at dette temme og hvo die peielle vediene finne. Funkjonen ha topp- og bunnvedie i og peioden e. En funkjon om e fokjøvet med vinkelen a mot vente deom a e poitiv og tilvaende mot høye deom a e negativ. Helt tilvaende e det fo coinu-funkjone om e identik med inufunkjonen men ligge mot vente. GeoGeba Dee e vant til å kive inn funkjonuttykket diekte. Huk på at vaiablen må kive i paente, in(), co(), tan(-), t(+) ov. Hvi dee bae vil ha funkjonen i et begena intevall, ikke om en uendelig kuve, kan dee definee den lik: Funkjon[in(),,pi]. Dette gi dee gafen BARE i definijonmengden dee ha valgt. Det e ikke uvanlig å nøye eg med [, π>, lik om i ekempelet.. Hamonik vingning: Geneelt uttykk fo hamonike vingninge e og tilvaende fo coinu de det om tå ovafo gjelde, lik: Amplitude A. Likevektlinje d. Peiode. Faefokyvning. Kot tet uten hjelpemidle. 9/.,.,.9. Omkivning til inu: Alle uttykk med inu og/elle coinu til amme uttykk e egentlig en peiodik funkjon om kan kive om til et enkelt inu- (elle coinu-)uttykk. Vi buke inu, og fomelen fo omkiving e lik ut: de 9/ og φ e gitt ved at og φ ligge i amme kvadant om punktet. Det ite e viktig fo å betemme hvilken vinkel vi kal buke i fomelen..,..(u).,..(u). Løning av likninga : Dee kan løe like likninge nå d = ved å dele på co og få likninga til å bli ei likning med tangen. Dette gå ikke nå vi ikke ha null på høye ide. I tedet omfome vi uttykket ette fomelen fa de to foegående idene: de og φ e gitt ved at og φ ligge i amme kvadant om punktet. Dette uttykket kan dee løe ved å dele på A og finne ov.. Modelleing av peiodike funkjone: Vi kal finne et funkjonuttykk og finne de fie kontantene lik: Likevektlinja d ligge midt mellom et topp- og et bunnpunkt. Amplituden, tøte utlag A, e halvpaten av avtanden mellom et toppog et bunnpunkt. Peioden. Og faefokyvninga e hvo langt til høye fo y-aken den føte kjæinga med likevektlinja de gafen tige, befinne eg..,.. Deivajon av inu: Vi kal læe et pa nye fomle:. I tillegg e det et inteeant fenomen med funkjonen elle uttykket : Det vie eg at nå vi la minke mot null, vil denne bøken gå mot! Det bety at i næheten av null oppføe in og eg likt. Tegn / opp funkjonen, e dee at det e iktig ut. Kot tet uten hjelpemidle. /.,.9,..9 Deivajon av coinu og tangen: Et pa nye og enkle fomle, nå kan dee faktik deivee det mete! og. /.,.,.. Døfting av ammenatte tigonometike: Å døfte en funkjon vil i å finne ut hva om e inteeant med den. I matematikken e natuligvi gafen inteeant, altå ei tegning, men deuten peielle punkte: Nullpunkt, toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt. Og deuten hvo gafen e ove og unde -aken, hvo den tige og ynke og hvo hulninga, åpninga e nedove / og oppove. Av og til e kjæing med y-aken inteeant, kjæing med ande gafe og tangente, peielt vendetangente. Deuten vil noen aeale væe inteeant, og det kal vi ta i nete kapittel: Integajon. Kot tet uten hjelpemidle. /.,.. Modelleing på lommeegneen: Dee ha tidligee læt egejon, altå å kontuee et funkjonuttykk på gunnlag av en del oppgitte punkte. Dette kal vi gjøe med flee type funkjone i dette kapitlet. Føt og femt med ekponentialfunkjonen, EXP. Mek dee at det flinkete hjelpemidlet til egejon, e Ecel, egneaket våt elle ande egneak. Og fa Ecel / / / / /

4 få dee deuten utkifte. En ak liten bukanvining: Åpne Ecel og gjø kla fo en tabell, buk gjene ovekifte i kolonnene: Skiv -vediene i føte kolonne og tilvaende y-vedie i kolonnen ett til høye. Mek denne tabellen. Sett inn Punkt Punktdiagam Høyeklikk på ett punkt Fomate tendlinje Velg Lineæ Mek av Vi fomel i diagammet Mek av Vi R-kvadet vedi i diagammet Lukk Kladd Innhold Dato Fot. Dette va ekempel på lineæ egejon. Legg meke til at dee ogå kan lage ekponentiell, / logaitmik, polynom og poten. Devee ta ikke Ecel inu, men det kan Caio og tengt tatt kal dee kunne klae det jøl utfa dette kapitlet Skal dee buke uttykket videe, må dee tegne den på papi, i GeoGeba elle om Gaph på kalkulatoen! Dee få nå en kuve om e en tilnæma egejonkuve til punktene, dee få fomelen fo funkjonen og i tillegg få dee et talluttykk fo, om hvi det e næ vie at vi ha ei god tilnæming..,.. Sammenatt ekempel: He møte dee - om i foige kapittel - ei tøe oppgave om ta fo / eg mange av teknikkene dee ha læt i kapitlet. Det e viktig å e ammenhenge nå dee læe noe, kankje peielt i matematikk de alt bygge på noe dee ha læt tidligee! Pøv dee på oppgavene! Sammendag av kapitlet - ide (Bok R): Dette e toff om pae på en hukelapp fo kapittel. Tet deg elv - ide (Bok R): Utfø teten på egen hand en tille ettemiddag. Deette ette du utfa løningene på ide. Klae du halvpaten, ha du å vidt klat en e! En tedel gi deg tåkaakte og fie femdele e en e! Øvingoppgavene til kapitlet - ide - 9 (Bok R): Fait ide -. Innføing til kapitlet:.bc,.9,.9,. / Pøve i kapitlet: Og å folate vi "penum": Å leke eg med inu, coinu og tangen kan væe moomt. He e litt toff om ikke ha med funkjone å gjøe, men om ogå utvide kunnkapen om de tigonometike uttykkene. I tidligee tide matematikkpenum fante fo ekempel die fomlene i tillegg: u v u v in u in v in co u v u v in u in v in co u v u v co u co v co co u v u v co u co v in in I den egulæe femkanten og den egulæe tikanten kan vi finne idene og vinklene med ekakte uttykk. Deved e det mulig å finne inu, coinu og tangen med ekakte uttykk til en del ande vinkle: vinkel inu coinu tangen abolutt vinkelmål Og hvi man buke fomle fo de halve vinklene e ovafo kan man finne ekakte uttykk til en del ande vinkle ogå. Devee kan man ikke finne ekakt uttykk fo, og deved e det en god del vinkle om ikke ha ekakte uttykk. Ved buk av fomle de ovafo fo ekempel kan man finne ekakte vedie til in in : og

5 Dette e ikke noen pene uttykk, men et ekempel på hvodan man kan finne ekakte uttykk ved hjelp av fomelappaatet fo tigonometike funkjone. Vi ta med ei ekkeutvikling fo tangen ogå: He e B n Benoulli-tall n. n lå opp, fo ekempel på plan fo kapittel nå idene våe e oppe igjen. Det tille kav til vinklene he, og vi må buke et annet vinkelmål enn gade e kapittel. Vi kal vende tilbake til de tigonometike funkjonene i kapittel : Peiodike funkjone. De kal vi peielt tudee hvodan die funkjonene gjenta eg nå vi gå mot høye elle vente på -aken. Og vi kal møte begepe om peiode, amplitude og fekven. Deuten kal vi læe et nytt vinkelmål om ikke baee eg på gadtall! Ekakte inu-, coinu- og tangenvedie: Utgangpunktet fo å finne de ekakte vediene om kan finne, e egulæe mangekante innkevet i en ikel. Høyden fa oigo og ned på ei ide kalle fo tekanten, fo fikanten ov. Tilvaende kalle ida til tekanten ov. fo de ande figuene. Vinkelen fa oigo om penne ove ei ide, vil ha vedien i n-kanten og og vil tå vinkelett på hveande. Radien kalle vi i alle figuene, men kal vi finne in, co og tan, kan vi etatte adien med. Tekanten: Hvi vi nå glemme at, kan vi i tedet buke fomlikhet og få: og Pytagoa: Og lått ammen: Vi må natuligvi buke den poitive vedien ia dette e linjetykke. co in in co co co in in co co ) co( co... )! ( ) (... tan n B n n n n, B OAB ) ( OD AD AD CD OD AD 9 ) (

6 Vi må ogå he buke poitiv vedi. I ADO finne vi de tigonometike vediene diekte: in D in cod co OD AD co OD tan D tan AD AD tan DOA tan OD in Fikanten, dv. kvadatet: OAB, B 9 Hvi vi nå glemme at, kan vi i tedet buke etningen om likebeinte tekante, få vi: B E AE OE AE Vi må natuligvi buke den poitive vedien ia dette e linjetykke. OE AEO I finne vi de tigonometike vediene diekte: in AEO in coaeo co tan AEO tan OE AE OE AE

7 Åttekanten: Åttekanten gi o ikke nye opplyninge om tigonometike vedie i fohold til kvadatet. Men fomlene he e kjekke: AB OI Sekkanten: OAB, B Vi læe ikke noe nytt fa ekkanten i fohold til fa tekanten nå det gjelde vinkle og tigonometike vedie. Men det kan væe kjekt å ta med eg: AB OG in OG Tolvkanten: Vi læe helle ikke noe nytt av tolvkanten i fohold til te- og ekkanten, men et pa fomle kan vi jo ta med: Men Akimede utvida -kanten til en 9-kant fo å finne en god vedi fo π: Han laga en ikel og en innkevet og en omkevet 9-kant. Ved å beegne omketen av de to tolvkantene, fant han at omketen til ikelen, π, lå mellom die to vediene, og deved fant han π lik: / < π < /, altå at,...< π <,... Pøv jøl! Tikanten: OAB Nå begynne ting å bli både vankelig og pennende! Vi møte nemlig både nye vinkle (,, og gade!), og vi få e en definijon av det gylne nitt. Tekke vi linja AL lik at AL=AB=, vil vi få to fomlike tekante,, B ABL ~ OBA, om gi o

8 BL AB AB BO OL AB Foholdet mellom og e omtent, og det e definijonen på deling ette det gylne nitt. Av Pytagoa i AK KO Vedie fo de tigonometike uttykka fo vinklene bli: AK in co Femkanten: AB OAB, B Sammenhengen med tikanten e åpenba. Og ved hjelp av tikanten få vi fomlikhet: in tan tan OK in co in co GD AGD ~ AGF AG AG FG co AKO få vi: Og Pytagoa gi o: AF FO Og vi få nye tigonometike uttykk:

9 in co tan tan in co in co OF AF co in Sjukant? Nikant? Elvekant (ellevekant)? Tettenkant? Hadde vi kunnet behandle dem og funnet ekakte vedie fo ide og høyde, hadde vi kunnet finne ekakte vedie fo tigonometike funkjone til alle heltallige vinkle. Sælig bude væt inteeant. -kanten kan vi benytte, men den gi o lite nytt utove - og -kanten. Nikanten kunne gitt o mange va: Vi kunne funnet in. Og fodi in kan gi o in ved halveing. Og in =in( ). Den kan vi halvee fo å finne in. Men kan vi finne 9 og 9? En annen tanke e at vi kan lage fomle fo in v,co v,tan v og deette ta utgangpunkt i fo å finne. Det fin en lik ammenheng: v v in in in v Pøv å løe denne tedjegadlikninga med henyn på in v. Men det e ikke helt lett Syttenkant? Hundeogfemtijukant? Knapt 9 å gammel fant Cal Fiedich Gau ut hvilke egulæe mangekante om kan kontuee med bae linjal og pae (-kant, -kant etc). Det va det føte famkittet på dette omådet iden antikken. Og et eultat av die kontukjonene e at det gå an å finne ekakte vedie fo vinklene i die mangekantene men de e ikke å veldig inteeante Det ite pømålet en kan tille eg i vå kalkulatotid: Tenge vi i det hele tatt ekakte vedie til de tigonometike uttykka fo vinkle? Elle e dette bae inteeant fo tallteoetikee? 9

10 Tommy og Tigen (Calvin and Hobbe): Oppdatet ondag,. novembe. Han Idahl Bind ide n