0 g = B, R M ,, R M , , q q jgj = jet(g )j = 2 sin 2 sin 2 C A Ette at vi ha iviet Klein{Goon-ligningen me p jgj se en ut som f

Transkript

1 Eksamen i klassisk feltteoi, fag 7 50, 5. eseme 997 Lsninge a) Enhve evaingslov q = konstant, fo en elle annen fysisk stelse q (la oss kalle en \laning"), e en gloal evaingslov. En lokal evaingslov ha fom av en kontinuitetsligning + j =0; t e = (;t) e laningstettheten pa steet ve tien t, ogj = j(;t)e stmtettheten. Kontinuitetsligningen ety at laningen innenfo et vilkalig volum ae kan foanes ve at et stmme laning inn og ut gjennom oveaten til volumet. En evaingslov e elativistisk invaiant, vs. at en e en evaingslov fo enhve osevat som evege seg me konstant hastighet i fohol til et inetialsystem, ae esom en e lokal. Gunnen e at samtiighet e et elativt egep. To egivenhete som skje me en enelig avstan imellom, f.eks. at en viss posjon laning fosvinne ett ste og ukke opp et annet ste, se ikke samtiige ut fo alle osevate. ) Anta at massetettheten e konstant. Massen innenfo et volum som ha kulefom og aius R, e M = R I hvet fall hvis vi se ot fa kumningen av et teimensjonale ommet. Sette vi aien R lik Schwazschil-aien, fa vi at R = 2GM c 2 = 8GR c 2 ; s R = c 8G Vi sette inn tettheten av vann, =0 kg=m,ogfa s R =; 00 8 m/s 86; 70, m kg, s,2 0 kg m =;, 00 m Til sammenligning avstanen til sola e ; 50 m, altsa knapt halvpaten. Den kitiske tettheten c =H 2 =(8G) gi at R = c H 00 lysa = 9; m c) Vi ha at 0 g = B, R M ,, 0 0 R M 0 0, 2 C 0 A 0 0 0, 2 sin 2

2 0 g = B, R M ,, R M , , q q jgj = jet(g )j = 2 sin 2 sin 2 C A Ette at vi ha iviet Klein{Goon-ligningen me p jgj se en ut som flge c 2 (, R M ), 2 sin 2 t, 2 2 sin, (, R M ) 2 sin 2 2 ' = 0 Vi kan sette inn (t; ;;')=T (t) R()()(') og sepaee ligningen i e oine ieensialligninge, 2 (, R M ) R sin + sin c 2 (, R M ), T t 2 = T ; 2 ' 2 = ; + sin 2 = ; R = 0 ; e, og e konstante. Men et komme ogsa an pa anetingelsene (som vi ikke ha sagt noe om!) hvovit e sepaete ligningene la seg lse, og hvilke veie konstantene, og kan ha. 2a) At A e et kovaiant vektofelt ety at et tansfomees slik ea = x ex A une en kooinattansfomasjon x 7! ex. De patielleivete av A tansfomees slik ea ; = ex x ex A = 2 x ex ex A + x ex x ex A ; Det gi at ef = e A ;, e A ; = x ex x ex A ;, x ex x ex A ; = x ex x ex F Som vise at F e et tensofelt. Vi ha at A ; = 0, foi e antisymmetisk og A ; symmetisk i ineksene og. Defo e F ; = A ;, A ; =0 2

3 2) Fo a nne Eule{Lagange-ligningene uke vi at og at Det gi ligningene L A, F, p gj, x x L A ; =0; F A ; =, ; F A ; = g g, g g Som kan skives om viee til en oppgitte fomen.,a p gf + 2 A =0 2c) Ja. Betingelsen fo at en elektiske laningen e evat, e kontinuitetsligningen x (p gj )=0 Den gjele som en konsekvens av feltligningene. 2) Ja. Feltligningene e invaiante une en gauge-tansfomasjon A 7! A e = A + ;, foi e ae innehole en gauge-invaiante felttensoen F. Altenativt kan vi se pa foaningen i Lagange-tettheten L = ; F, p g ; j = x F, p gj ; e vi ha omfomet ve a uke at F ; =0,ogat(=x )( p gj )=0. Foi L e en asolutt ivegens, foane en ikke feltligningen. 2e) Ja, me flgene unntak. Na 6= 0, gjele en etingelsen fo invaians at kooinattansfomasjonen evae oienteingen av kooinatsystemet, vs. at eivasjonsmatisen ha positiv eteminant ex et > 0 x Det kan vi se f.eks. ve a sepa vikningsintegalet S = x L =, a x p gf F + x A F, x p ga j Av e te integalene e et fste og et teje invaiant une alle kooinattansfomasjone, ogsa e som foane oienteingen. Det ane integalet e invaiant, otsett fa at et skifte fotegn une en kooinattansfomasjon x 7! ex som foane oienteingen. Vi ha nemlig at ex A e e F = x ex et x x x x ex ex ex A F

4 Sien og sien x x x x ex ex ex = et ; ex ex x et et x ex = ; me + elle, avhengig av om eteminantene e positive elle negative, se vi at ex A e e F = x A F Feltligningene e invaiante une tansfomasjone som la vikningsintegalet invaiant, og ogsa une tansfomasjone som foane fotegnet til hele vikningsintegalet. Men na en el av vikningsintegalet, og ikke hele, foane fotegn, e feltligningene ikke invaiante. 2f) Dette flge ve iekte innsetting i ligningen F ; = 0, og i Eule{Lagangeligningene une ). 2g) Vi anta, om nvenig, at feltet e tisuavhengig, ettesom kilen e et. Na = 0, sie feltligningene a at a B E = ; c2 x = B y =0 Den magnetiske ukstettheten B e altsa konstant, og selv om ligningene i og fo seg tillate en hvilken som helst vei, e et en vei som peke seg ut som \natulig", nemlig B =0. Den gjenvene ligningen, som estemme et elektiske feltet E, kan vi f.eks. integee ove en sikel S om oigo me aius. Vi anta at feltet e otasjonssymmetisk, me aialkomponent E. Da e, i flge Gauss's setning, x y E =2E Og en integete feltligningen gi at Fo R gi et at Og fo R gi et at S E = c2 2a S E = c2 o 2a E = c2 0 R 2 2a Na a =0og 6= 0, gi feltligningene iekte at x y(x; y) B =, c ; E x = E y =0

5 Desom ae a 6= 0og 6= 0, gi to av feltligningene at E x = ac B x ; E y = ac B y Som innsatt i en gjenvene feltligningen gi at 2 B, 2 a 2 B = c a 2 Dette e Klein{Goon-ligningen, me kilele, i to omimensjone. Koesienten 2 =a 2 epesentee fotonmassen. Me pesist i flge enne teoien ha fotonet en masse som e M = h jj c jaj 5