Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler Oppgave 1 En funksjon f er gitt ved f ( x) ( x 2) e x.

Transkript

1 UNIVERSITETET I BERGEN De maemaisk-nauvienskapelige fakule Eksamen i emne MAT Bukekus i maemaikk Fedag 8 febua, kl 9-4 BOKMÅL Tillae hjelpemidle: Læebok og kalkulao i samsva med fakulee sine egle Oppgave En funksjon f e gi ved f ( ) ( ) e a) Finn f ( ) Avgjø hvo funksjonen e sigende og hvo funksjonen e avagende Besem: lim f( ) f ( ) ( ) e e ( ) ( e ) ( ) e f ( ) ( ) e X f ( ) ( ) e f( ) Funksjonen sige Funksjonen synke Sigende: Avagende: ( ) lim f ( ) lim ( ) e lim (eksponenialuykk i nevneen gå e askee mo undelig enn poensuykk i elleen) b) Besem Funksjonens vendepunk og avgjø fo hvilke gafen il f e henholdsvis konveks (kumme oppove) og konkav (kumme nedove) f ( ) ( ( ) e ) ( e ( )( e )) e og f ( ) e Vendepunke e (, f() ), og demed: f( ) nå (kumme nedove) elles kumme oppove ( ) Oppgave Gi punkene i koodinasyseme: A (,, ) B ( a,,) og C (,, ) a) a) Besem AB AC Kan vi si a vinkelen A e allid minde enn 9 o fo alle a vedie? Begunn svae Besem a slik a vinkelen A e 6 o AB AC [ a,, ] [,,] AB AC A 9 o cos6 AB AC AB AC ( a ) ( a a ) 4 ( a a ) a a a a a a og demed: Ak /7

2 b) En veko e gi ved: n [, b,] Besem a og b slik a n så nomal på både AB og AC AB n [ a,, ] [, b,] a b AC n [,,][, b,] b b b a b a a c) Fo disse vediene av a og b, se opp ligningen il e plan som gå gjennom punkene A, B og C Vis a dee plane e lodde på plane gi ved y z 7 n [,,] ( ) ( y ) ( z ) y z 4 y z 7 de n [,, ] n n [,,][,, ] ( ) Oppgave Besem gensevediene: sin cos a) lim lim ln( ) 7 7 b) lim lim 7 7 c) Finn Taylo-polynome F ( ) av ande gad il funksjonen ( ) sin( ) f () F ( ) f () f ()( ) ( )! d) f ( ) sin( ) f () e) f ( ) cos f () f ( ) 4sin( ) f () f ( ) 8cos( ) f () 8 F ( ) ( ) ( ) (ingen andegadsledd) Man kan skive Taylo polynome av gad slik (men de va ikke spu i oppgaven) 8 4 F ( ) ( ) ( )! Ak /7

3 d) Funksjonen: g cos sin kan skives på fomen g C cos Besem C og g cos sin acos bsin C cos ( ) de C a b og an( ) b a C ( ) () 6 an( ) (an ( ) ) ( ), Oppgave 4 Løs inegalene: cos cos a) d du du ln u C ln( sin ) C sin u cos u b) ( )cos( ) d ( )sin( ) sin( ) d ( )sin cos( ) 6 c) En vedi y e fodoble i løpe av månede Se opp en funksjon fo vedien y () ved iden (egne i måned) Hvo lenge a de fø vedien edoble? De va ikke pesise a dee skulle væe eksponenial funksjon En poens funksjon elle lineæfunksjon kan også sees opp (kandidaene kunne see opp en av disse) : ) Eksponenialfunksjon y( ) y () (eksponenialfunksjon) y y () ln () ln ln 7,9 (ca 8 månede) ln ) Poensfunksjon y C( ) y (, y ) y C() y C y y y ( ) y y y ( ) y y y ( ) ( ) y y( ) y (poensfunksjon: kan velges) Ak /7

4 Fo eksempel : / : 6, (GRAFEN TIL /4 4 :,9 y ( ) ER TEGNET HER) ) Lineæ funksjon (poensfunksjon: ) y a b (, y ) y y a y a y y y y y y y månede y Disse e gafene e egne he: y ( ) (), y ( ) og y Alle funksjone gå gjennom (, ) men e de ikke samme fo (, ) Ak 4/7

5 Oppgave He skal vi lage en modell fo empeauen i vanne i e badeka Badekae e fyl med vann som il å begynne med ha empeauen 4 o C Romempeauen e konsanlik 9 o C La () væe vannempeauen i gade celsius ee ime a) Fokla ko hvofo () e negaiv i denne oppgaven ( ) (omgivelsene ha lavee empeau, så vannempeauen synke ) Vi ana a empeauendingen pe ime e poposjonal med diffeansen mellom vannempeauen () og omempeauen Poposjonalieskonsanen e Diffeensiallikningen som beskive denne poblemsillingen kan skives ved: d (9 ( )) de d b) Fokla ko a () 4 Løs diffeensiallikningen ved egning uyk ved Vannempeauen e 4 gade ved = d a b Type II: a b () Ce d a d (9 ( )) ( ) 9 a b d 9 T( ) Ce Ce 9 Gi () 4 y() C 9 4 C ( ) e 9 c) Ee ime e vannempeauen 6 o C Buk dee il å besemme ln () e 9 6 e ln ln,8 d) Besem lim ( ) Kommene svae lim ( ) 9 De vil si; nå iden gå, sabilisee vannempeauen seg il omgivelsenes empeau e) En annen modell de vi ana a den elaive empeauendingen pe ime e poposjonal med diffeansen mellom vannempeauen () og omempeauen d () d (9 ( )) de Ak /7

6 i) Løs diffeensialligningen og finn () uyk ved gi () 4 Besem lim ( ) d B A Type III) a( A)( B) ( ) A a( BA) d Ce d (9 ) ( )( 9) d d 9 9 ( )( 9) ( ) d Ce Ce (9) C 4 9 C C 4 9 ii) lim ( ) lim 9 9 Ce demed: () 9 9 e 4 Oppgave 6 Gi funksjonen: f (, y) y 8 y 9 a) Besem de paielle deivee av og oden ( f, f y, f, f yy og f y ) b) Funksjonen ha e sasjonæ punk Besem dee punke og avgjø om de e e lokal minimum, lokal maksimum elle ingen av delene c) Finn likningen fo angenplane i punke de (, y, z ) = (,, f (, ) ) a) f fy 4 8 f 4 f y f f yy b) Lokaliseing: f 4 8, f y y Kaakeiseing: f f ( f ) 4 8 f 4 (, ) e lokal min yy y c) Ligningen il Tangenplan: z z f f y y y P P y y z f, 4 z 4 ( ) 4 y z 4y Oppgave 7 a) Tegn omåde i plane avgense av ulikheene: 4y,, y b) Besem alle hjøne i dee omåde Besem søse vedien il P 4 y i dee omåde y Ak 6/7

7 Hjøne : (,), (,) og (,) c) P(,) 4 P(,) 4 8 P(,) 4 7 Søse vedi e 8 Oppgave 7 Figuen vise en skisse av ei sikulæ, e kjegle som e innskeve i en kule med adien Ana a høgden e og adien a) Vis a adien og volume il kjegle kan skives henholdsvis: 9 ( ) og V (6 ) Hin:: Volume il en e kjegle med adien og høgden h e gi ved V h b) Besem dimensjonene på kjeglen nå volume skal væe søs mulig Hvo mye e volume da? a) b) ( ) 9 ( ) V h 9 ( ) (6 ) (6 ) V og ` ( ) (4 ) 4 9 (4 ) 8 V ( 8) 4 Lykke il! Gunna Fløysad Ami M Hashemi Ak 7/7