Matematikk 3MX AA6524 / AA6526 Elever / privatister Oktober 2002

Transkript

1 E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX AA6524 / AA6526 Eleve / pivatiste Bokmål Eksempeloppgave ette læeplan godkjent juli 2000 Videegående kus II Studieetning fo allmenne, økonomiske og administative fag Oktobe 2002 Les opplysningene på neste side.

2 Eksamenstid: 5 time (Hjelpemidle: Se undskiv LS ) Antall side: Oppgavesettet ha 9 side medegnet fosiden. Antall vedlegg: Ingen Vedlegg som skal levees inn sammen med besvaelsen: Ingen Ande opplysninge: På føste side av svaaket skal du skive navn og type på den lommeegneen du ha bukt på eksamen. 2

3 Famgangsmåte: og foklaing: De oppgaveteksten ikke sie noe annet, kan du fitt velge famgangsmåte og hjelpemidle. Desom oppgaven keve en bestemt løsningsmetode, vil også en altenativ metode kunne gi noe uttelling. Fø inn nødvendig mellomegning. Skiv foklaing de dette e påkevd fo å foklae hva du ha gjot. Ved åpne oppgavefomuleinge bø du begunne hvofo du ha valgt din tolkning av oppgaven og ditt valg av løsningsstategi. Gafe og buk av gafisk lommeegne: Oppgi de lommeegnefunksjonene du ha bukt. Det e ikke nødvendig å oppgi alle tastetykkene. Husk å skive målestokk og enhete på aksene nå du tegne gafe i besvaelsen. Du tenge ikke føe inn tabell ove utegnede funksjonsvedie desom det ikke e sput spesielt ette det i oppgaven. Ved gafisk løsning på lommeegne e det tilstekkelig at du skissee kuvens fom i besvaelsen. På skissen skal svaet makees tydelig. Vudeing: Kaakteen fastsettes ette en helhetlig vudeing. Det bety at senso vudee i hvilken gad du vise gunnleggende fedighete kan buke hjelpemidle gjennomføe logiske esonnemente se sammenhenge i faget og e oppfinnsom, og kan anvende fagkunnskap i nye situasjone vudee om sva e imelige foklae famgangsmåte og begunne sva skive ovesiktlig og e nøyaktig med utegninge, benevninge, tabelle og gafiske famstillinge 3

4 OPPGAVE 1 a) Deive funksjonene gitt ved 1) 2) f( x) = 5cosx 2 gx ( ) = x sin2x b) Finn integalene ved egning 1) 2sin3x dx 2) 2 0 x e x dx 1 ln x dx x 3) ( ) 2 c) Løs likningene ved egning o o 1) sin 2x = 0,6 x 0, 360 2) 5sin x+ 2cosx = 1 x [ 0, 2π d) En stabel med 270 ø ligge delvis skjult bak en muvegg. På tegningen se vi toppen av stabelen. I den øveste aden e det fie ø. 1) Hvo mange ø ligge i den n-te aden egnet ovenfa? 2) Hvo mange ade med ø bestå stabelen av? 4

5 OPPGAVE 2 Figuen vise gafen til funksjonen f som e gitt ved f( x) = asinx+ b de a og b e konstante. a) Fokla ut fa figuen at a = 2 og b = 0,5. I esten av oppgaven e x [0, 2π b) Finn koodinatene til topp- og bunnpunktene på gafen til f ved egning. c) Løs likningen f(x) = 1,5 gafisk. d) Løs likningen 1 3 2sin x + = 2 2 ved egning. Gi løsningene på eksakt fom. 5

6 OPPGAVE 3 En patikkel følge en bane gitt ved posisjonsvektoen s, de 2 st () = [ xt (), yt ()] = 1 + t, t 4 t [-3, 3] a) Lag en tabell ove samhøende vedie fo t, x(t) og y(t). Tegn gafen til posisjonsvektoen s. b) Finn et uttykk vt () fo fatsvektoen v. Regn ut vt () fo t= 2, t= 0 og t= 2. Tegn disse fatsvektoene inn på figuen i a). Kommente fatsvektoenes etning i fohold til gafen. En annen patikkel følge en bane gitt ved posisjonsvektoen, de t () = [ 3cos t, 3sint] t 0,2π Tiden t e målt sekunde og enhetene på aksene e 1 m. c) Skisse gafen til posisjonsvektoen. d) Finn et uttykk ut () fo fatsvektoen u. Vis at u stå vinkelett på fo alle vedie av t. e) Finn et uttykk at () fo akseleasjonsvektoen a. Kommente akseleasjonsvektoens etning i fohold til. f) Hvo langt ha denne ande patikkelen beveget seg de to føste sekundene? 6

7 OPPGAVE 4 Ved Stotingsvalget i 2001 fikk Abeidepatiet (Ap) en oppslutning på 24,3 %. I en meningsmåling på et senee tidspunkt svate 235 av 1000 spute pesone at de ville ha stemt på Ap hvis det va stotingsvalg nå. a) Finn et estimat fo den posentvise oppslutningen til Ap. b) Fokla at vi kan buke nomalfodelingen nå vi skal finne et konfidensintevall fo den posentvise oppslutningen til Ap. c) Lag et 90 % konfidensintevall til estimatet fo den posentvise oppslutningen til Ap. Kan du tekke noen konklusjon om oppslutningen til Ap ette valget? Et annet meningsmålingsinstitutt fant også en oppslutning på 23,5 %. De hevde at oppslutningen til Ap antagelig ha gått ned ette valget. d) Hvo mange pesone må de minst ha sput fo å tekke en slik konklusjon med et 90 % konfidensintevall? 7

8 OPPGAVE 5 Du skal besvae enten altenativ I elle altenativ II. De to altenativene e likevedige ved vudeingen. (Desom besvaelsen inneholde dele av begge, vil bae det du ha skevet på altenativ I, bli vudet.) Altenativ I En glødende metallstang bli avkjølt fa 1000 ºC til omtempeatu på 22 ºC. Tempeatuen T i ºC til stanga x minutte ette at avkjølingen statet, e gitt ved Tx () = e 0,1x a) Hva e tempeatuen til stanga ette 60 minutte? b) Skisse gafen til funksjonen T. c) Hvo mange gade synke tempeatuen pe minutt ette 1) 10 min 2) 40 min d) Regn ut gjennomsnittet av stattempeatuen og tempeatuen ette 60 minutte. Gjennomsnittsvedien fo en kontinuelig funksjon f ove et intevall [ a, b ] e definet ved integalet b 1 b a a f ( x)dx e) Finn gjennomsnittsvedien til T(x) de føste 60 minuttene ved egning? f) Fokla hvofo det bli foskjellig sva i d) og e). 8

9 Altenativ II Kuven til = a + a sin θ kalles en kadioide på gunn av hjetefomen. Vi skal studee kuven gitt ved = sin θ θ [0, 2π a) Tegn kuven i et koodinatsystem. b) Les av skjæingspunktene mellom kuven og koodinataksene. Finn også de samme punktene ved egning. c) Bestem aealet avgenset av kuven. Nå skal vi studee en ny kuve laget av det siste leddet i kadioiden: = 4 sin θ θ [0, π d) Tegn denne kuven i et koodinatsystem. e) Beskiv med od den type kuve du ha fått. Vis ved egning at = 4 sin θ gi en slik kuve. 9