Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA eksamensoppgaver.org

Transkript

1 Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA eksamensoppgaver.org

2 eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org. Løsningen er myntet på elever og privatister som vil forbrede seg til eksamen i matematikk. Lærere må gjerne bruke løsningsforslaget i undervisningsøyemed, men virksomheter har ingen rett til å anvende dokumentet. Løsningsforslagene skal utelukkende distribueres fra nettstedet eksamensoppgaver.org, da det er viktig å kunne føye til og rette eventuelle feil i ettertid. På den måten vil alle som ønsker det, til enhver tid nne det siste oppdaterte verket. eksamensoppgaver.org ønsker videre at est mulig skal få vite om eksamensløsningene, slik at det nnes et eget nettsted hvor man kan tilegne seg dette gratis. Dersom du sitter på ressurser du har mulighet til å dele med deg, eller ønsker å bidra på annen måte, håper eksamensoppgaver.org på å høre fra deg.

3 eksamensoppgaver.org 3 Innholdsfortegnelse oppgave a b c d d e e f f oppgave 7 a b c oppgave 3 8 a b c oppgave - alternativ I a b c d oppgave - alternativ II a b c d oppgave 5 a b c d e f

4 eksamensoppgaver.org oppgave a f(x tan(x f (x ( tan(x (x f (x x ( tan (x + b Vi har integralet x ln xdx Bruker delvis integrasjon, der regelen er u v dx u v u v dx følgelig setter vi u x u x v x v ln x og regner ut integralet x ln xdx x ln x x x dx x ln x x x dx x ln x xdx x ln x x x ( ln x + C Merk at jeg ytter totallet og gjør det til en eksponent av x i den naturlige logaritmen.

5 eksamensoppgaver.org 5 c x + x dx Anvender substitusjon, og setter u + x du dx x + x xdx u du ln u Setter tilbake substitusjonen. x + x dx ln + x + C d. f(x x cos x x, π 5 f (x 5 (x (cos x f (x 5 + sin x d. sin x 5 ( x arcsin 5 Det nnes ingen ere løsninger innenfor intervallet x, π x π. 6.8 x π Finner y-koordinatene f(6.8 (6.8 cos( f(3.3 (3.3 cos( Vi har funnet ekstremalpunktene P t (3.3,.65 og P b (6.8,.

6 eksamensoppgaver.org 6 e. Vi vil bestemme sentrum, S, og radius, r, av kula. x 6x + y + y + z z Lager fullstendige kvadrater. (x 3 x 6x + 9 (y + y + y + (z z z + Legger til for de fullstendige kvadratene på høyresiden. (x 3 + (y + + (z (x 3 + (y + + (z 5 Vi kan konkludere at S(3,, og r 5 e. Punktet A(3,, 6 ligger på kuleaten fordi (3 3 + ( + + ( Altså er likningen for kula sann, og vil nå nne likningen for et plan som går gjennom A og som står normalt på AS AS [3 3,, 6] [, 3, ] Vi har altså funnet normalvektoren n AS til planet. Planet går også igjennom punktet, A, og vi får; (x 3 + ( 3(y + ( (z 6 x 3(y (z 6 3y + 6 z + 3y z + 3 f. µ E(X (. + (.3 + (. + (3.. σ SD(X V ar(x 3 (x i µ P (X x i i.8 5 5

7 eksamensoppgaver.org 7 f. µ E(Y 3 E(X σ SD(Y V ar(y V ar(3x V ar(x oppgave a. Det er naturlig at X er binomisk fordelt, for enten så er den passerende bilen rød, eller så er den det ikke.. Dersom en bil er rød, er populasjonen av røde biler som passerer ikke betydelig svekket, og dermed vil vi kunne denere dette som et uavhengig forsøk. b X antall røde biler som passerer. Da elevene registrerer hele 93 røde av biler som passerer, vil estimatet være ˆp X n ˆp % og standardfeilen blir ˆp( ˆp Sˆp n 3 Sˆp % 55 c Et 95% kondensintervall for andelen av røde biler blir ˆp zsˆp Finner at (.95 + Φ(z Φ Φ(.975 tabell.96 Hvilket gir oss:.8,.6 eller i prosent 8.%, 6.%

8 eksamensoppgaver.org 8 oppgave 3 a Vi ser at a 5.5, a 5.5 k a , a k Vi har funnet ei geometrisk rekke med kvotienten, k.5. Vi denerer derfor rekkas sum slik; S n 5.5 (.5n.5 n [, ] S 7 5 kr b Lån: kr. Kalkulasjonsrente: % per år. Tibakebetaling: like store årlige beløp. Første beløp ett år etter låneopptaket. x kr per år. x (... x.. (. x

9 eksamensoppgaver.org 9 c Vi vil vite hvor mange års nedbetalingstiden n blir, når årlige innbetalinger x er maks 6 kroner. 6 (. n.. n 6 (. n. n.. n.n 6. n. n 6. n. n. n 6. n 6. n 3 ln slik at. n 3 n ln(. ln n ln ln 3 ln(. n ln 3 ln(. n ln 3 ln(. n 8 ( 3 Nedbetalingstiden er altså circa 8 år, dersom Kari kun vil betale 6 kroner per år.

10 eksamensoppgaver.org oppgave - alternativ I a r(θ cos(θ θ [ π, π ] Vi vil nne når r(θ skjærer førsteaksen. Vi vet at r( cos( ( r cos π cos(π cos π cos( π cos(π Punktene der r(θ skjærer førsteaksen er P (,, Q (, π og R (, π b c π π [ (r(θ ] dθ π π [ (cos(θ dθ ( sin π [ ( cos(θ ] dθ sin(θ sin( sin ] π sin(θ π

11 eksamensoppgaver.org d Vi har Niels Henrik Abels likning for lemniskaten: (x + y x y ( Med sammengengen x r cos θ y r sin θ ( Vil vi vise at r(θ cos(θ Så setter inn for x og y fra ( i ( ( (r cos θ + (r sin θ (r cos θ (r sin θ ( r (cos θ + sin θ r ( cos θ sin θ ( r r (cos(θ r r cos(θ r cos(θ r cos(θ r

12 eksamensoppgaver.org oppgave - alternativ II a b f(x 3 sin x 3 cos x Vi har φ i 3 kvadrant f(x ( 3 + ( 3 sin x + arctan x [, ( 3 3 φ π + arctan( π + π 5π Dermed har vi funnet: f(x 3 sin x + 5π c Finner ekstremalpunktene. Vi vet at sin x + 5π {, } for topp- og bunnpunktene. f(x 3 Videre og x f(x 3 ( 3 sin x + 5π π 5 π + kπ π 9 + k + ( 5 + k sin x + 5π

13 eksamensoppgaver.org 3 der dermed x π 5 π + kπ π + k + ( 3 + k k Z og x [, k P topp (3, 5 P bunn ( 3, 3 d Temperaturen T (x målt i grader celsius x timer etter midnatt er gitt ved: T (x 5 + f(x T (x 3 sin x 3 cos x + 5 Dette døgnet, var gjennomsnittstemperaturen gitt ved [ 3 [ 36 π ( 3 sin x 3 cos x + 5 dx cos x 3 π π cos x 36 ] sin x + 5x + 5 ] x π sin x [ 3 π cos x 3 π sin x + 5 ] 8 x ( 3 π + 5 F ( F ( ( 3 π + 5 En bedre, og mye mer eektiv metode, ville bare vært å utnytte at når sin x + 5π, så er likevektslinjen yd gjennomsnittstemperaturen. f(x y d

14 eksamensoppgaver.org oppgave 5 a På bildet ovenfor illustreres f(x cos x cos(5x x [, 7] b På bildet ovenfor har vi tegnet inn f(x cos x cos(5x x [, 7] g(x cos x x [, 7] h(x cos x x [, 7] Vi ser at g(x og h(x ligger symmetrisk om førsteaksen, og at de samtidig `omringer` en syklus for f(x. Enda tøere er det at fremstillingen ser det ut som en DNA-spiral. Pent! :

15 eksamensoppgaver.org 5 c Vi har og vil vise at cos(u ± v cos u cos v sin u sin v cos u cos v (cos(u v + cos(u + v Begynner med at cos(u + v + cos(u v (cos u cos v sin u sin v + (cos u cos v + sin u sin v cos(u + v + cos(u v cos u cos v cos u cos v cos(u + v + cos(u v cos u cos v (cos(u + v + cos(u v d Bruker resultatet fra c til å regne ut cos x cos 5xdx Tar for meg integranden og sammenhengen fra c cos x cos 5x (cos(x 5x + cos(x + 5x (cos( x + cos(6x (cos(6x cos(x Så løser jeg det uegentlige integralet cos(6x cos(xdx ( 6 sin(6x sin(x + C

16 eksamensoppgaver.org 6 e Vis at π cos mx cos nxdx for alle naturlige tall m og n, der m n Bruker igjen sammenhengen fra c, og nner at integranden kan skrives Og da får vi (cos(mx nx + cos(mx + nx (cos(x(m n + cos(x(m + n π cos(x(m n + cos(x(m + ndx [ (m n cos(x(m n + cos(x(m + n (m + n F (π F ( ( ( (m n cos(π(m n + cos(π(m + n (m + n (m n + (m + n Vi observerer følgende; ] π cos(π(m ± n cos(π k for alle k N, m n Dette kan vises ved perdioden, da P π c π π Dermed vil integralet, som vi ser, alltid bli null. ( ( (m n + (m + n (m n + (m + n

17 eksamensoppgaver.org 7 f Bestemmer integralet i e når m n. Vi får: I π π π cos mx cos mxdx cos (mxdx cos (mxdx π m N ( + cos(mx dx [ x + m sin(mx ] π m N sin(πm, sin( I π Dersom du er interessert, nner du ere løsningsforslag på eksamensoppgaver.org SLUTT