KJM Radiokjemidelen

Transkript

1 Patikke i boks - en dimensjon KJM Radiokjemideen Foeesning : Skamodeen d ψ m + E ψ 0 dx h n π h En V0 + m ψ n nπ( x + ) sin n 45 de n 1,,,... Sannsynigheten fo å finne patikkeen meom x og x+dx e: p( x) dx ψ dx -/ 0 / n1 46 Patikke i boks - te dimensjone Patikke i boks - -etningen! Vikeige systeme ha te dimensjone!! Bøgefunksjonen må da væe en bøge i ae te dimensjone.! Siden vi abeide med sfæiske systeme, e det mest paktisk å buke sfæiske koodinate (, og N). Bøgen i -etningen må bestå av et hetaig anta bøgeengde pe omdeining: π h λθ mv θ h de e et heta og T d/dt (vinkehastigheten). θ Husk at 8 h / p h / mv v Anguæmoment Patikke i boks - -etningen Vi ha da: π h Uttykket fo (kassisk) anguæmoment e gitt ved:! Også i -etningen må bøgefunksjonen væe en bøge.! En me hensiktsmessig funksjonen en R e R < u() ha egenskapen at p()d, sannsynighetet fo å finne patikkeen i omådet meom og +d e gitt ved: mv h π! Vi se at kavet om at bøgefunksjonen ska væe kvantiset i -etningen føe ti at anguæmomentet også må væe kvantiset.! En me nøyaktig behanding gi at ( + 1) h h 49 p() d ψ sinθd dθd u d θ, < Dette e anaogt med sannsynighetsfunksjonen fo den en-dimensjonae patikkeen.! Hvis patikkeen e i en potensiabønn V(), vi u()-funksjonens bøgeengde væe gitt av 8 h / mv. 50

2 Sentifugapotensiaet! Vi må ta hensyn ti at bevegesen i -etningen gi opphav ti en kaft i -etningen: Sentifugakaften F mt! Da vi F m! Sentifugapotensiaet bi da ( + 1)h m Husk: Schödinge igningen fo u() h d ψ + Vψ Eψ m dx Potensiaet V e nå ik V() + V, da må h d + 1 h + + m d u () V () ( ) u () m Eu V F d ( + 1) h m Vi se at dette e samme ikning som fo den en-dimensjonae boksen, men at vi få et sett øsninge fo hvet -kvanteta V (1) V () V () Patikke i tedimensjona boks - konsekvense V 0 R E 4s E s E s E 1s E 4p E p E p E 1p E d E d E 1d E f E f E 1f V 0 E 4s E s E s E1s V (1) E 4p E p E p E 1p V () E d E d E 1d V () E f E f E 1f 1s 1p 1d 1f s s p p d d f f! Nå øke, bi potensiaet gunnee og smaee. < Det medføe at eneginivåene skyves oppove, men avstanden meom dem fobi den samme. < Denne effekten e den samme uansett hva sags potensiabønn man ta utgangspunkt i. 0 (s) 1 (p) (d) (f) 5 54 Patikke i tedimensjona boks - H-atomet Patikke i boks - N-etningen V 0 E 4s E s E s E1s V (1) E p E p E 1p V () E d E 1d V () E 1f! Som fo -etningen må bevegesen i N-etningen også væe en bøge som ikke intefee med seg sev.! Radien ti denne sikebevegesen da må! Fo 1/ potensiaet man ofte buke fo H-atomet bi obitaenegiene dyttet så angt opp at: π sinθ m λ mv sinθ E n E (n+1)(-1)... E (n+)0! Det e defo viktig å meke seg at kvantetaet n ofte benyttet fo atome tisvae n+ i vå notasjon!! Kjenepotensiaene e me ike fikantbokspotensiaene og foskyvningen av E n som funksjon av e mye minde. 55 de m e et heta og T N e N- komponenten av anguæmomentet. 56

3 Patikke i boks - N-etningen Kvantetaet m Fa kassisk mekanikk ha vi at -komponenten av baneanguæmomentet e π Kombinee vi den med m sin θω π sinθ m λ mv få vi at π sinθ 57! Vi se at anguæmomentet i N-etningen,, e kvantiset.! Siden <, så må også m <.! m kan defo ha +1 foskjeige vedie (-, -+1,..., 0, -1, ).! Det e ingen gunn ti at enegien ska væe avhengig av hviken etning anguæmomentet peke, defo vi enegien væe uavhengig av m. < Fo hve E n vi det defo væe en degeneasjon på +1 tistande. 58 Eneginivåe fo bokspotensia Hamonisk osciato Obita Degeneasjon Nukeone p i 6 1 f s 9 1h 90 d g p f 14 4 s 0 1d p 6 8 1s! Vi fikk ikke de koekte magiske taene ut av bokspotensiaet - det e fo fikantet!! Det e imeig å to at potensiaet ikke e vedig foskjeig fa tettheten i atomkjenen < Vi tenge et potensia som igne på tetthetsfunksjonen: ρ() ρ 1 + e V () V R a! En matematisk enkee beskivese e potensiaet fo en hamonisk osciato: V0 R Hamonisk osciato - øsninge Hamonisk osciato - sfæiske koodinate øsningen av Schödinge-igningen fo hamonsik osciato gi Igjen e det bede å benytte sfæiske kooidnate, kvantiseingen i -etningen e da gitt ved kvantetaet n. E ( n + n + n + ) hω ( N + ) hω x y 0 0 Sammenhengen meom N og n e gitt ved: Enegien e da gitt ved: N ( n ) + 1 de N n x + n y +n og V mr 0 ω 0 [ ] E ( n 1) + hω0 + hω0 Anguæmomentet e som fø: ( + 1) h de n 1,,,... de N, N-,..., 1 ee Vi huske at E n E (n+1)(-1)... E (n+)0 (det vi si at ae obitae de n+ e samme ta e degenete) 6

4 Hamonisk osciato eneginivåe Oppsummeing N s 1p s 1d 4 p 1f 5 s d 1g 6 p f 1h 7 4s d g 1i 8 4p f h 1j Taene i den stoe uten e n-kvantetaet fo sfæiske koodinate. 6 De me eaistiske esutatene (i midten) e baset på Wood-Saxon potensiaet (baset på tetthetsfunksjonen). 64 Hvo e de magiske taene??? Spinn-bane kobing, 8, 0, 8, 50, 8, 16! Både patikke i boks og hamonisk osciato potensiaene ga de te føste magiske taene (, 8 og 0).! Høyee opp stemme det ikke - det e en effekt vi ha ovesett: < Nukeonene ha egenspinn, s ½. Egenspinnet kan peke opp ee ned (m s ±½). < Egenspinnet ti eektone i atomobitae e svæt øst kobet ti banespinnet og kan defo sees bot i fa i føste omgang. < Men dette e ikke tifee fo nukeonene! j-kvantetaet Ska-mode nivåskjema! Det vise seg at egenspinn og baneanguæmomentet e kobet så stekt sammen i atomkjenen at s og kvantetaene ikke enge e "gode kvanteta". < Det bety at nukeonets egenspinn vv stekt med nukeonets banespinn.! Vi må defo egge sammen s og anguæmomentene: j + s! Kvantetaet j e assosiet ti j på samme måte som e assosiet ti baneanguæmomentet.! Sik som fo ha vi pojeksjonen m j av j på -aksen med tihøende kvanteta m j.! Effekten av denne sammenkobingen e at tistande som fø va degeneete spittes opp -foskjeige j- kvanteta gi foskjeige enegie.! Ved å vege kobingskonstanten meom s og koekt få vi guppet obitaene i samsva med hva som e foventet!! Mek notasjonen på obitaene: n j de vi buke bokstave fo -kvantetaet

5 Ska-mode nivåskjema YES! Buk av skamodenivåskjemaet! Skamodeen sik som pesentet he ha vist seg å foutsi en ang ekke av egenskapene ti atomkjenene.! Fo eksempe foutsie den atomkjenenes spinn koekt fo en ang ekke kjene. < Fo å foutsi spinn må man ta hensyn ti at nukeone, i motsettning ti eektone, pae seg to og to: Dvs. at vi ha en stek vv meom nukeone av samme type soa samme n, og j kvanteta, men motsatt m j. < Siden spinnet ti paede nukeone e motsatt ettet, vi totaspinnet bi nu. 69 Spinnet ti ae atomkjene soa et ike-ta anta nøytone og potone e nu! 70 Føst noen ettese og kagjøinge... Oppsummeing så angt! Fo -etningen e det fodesmessig å benytte bøgefunksjonen (ef. ysbide n. 50) < p()d. u d (sannsynighet fo å finne patikkeen meom og +d). < R() få vi fa øsningen av Schödinge igningen.! Fo anguæmomentkvantetaet 0 medføe ikke patikkeens bevegese noe anguæmoment. < Det e he viktig å fostå at patikkeen femdees bevege seg, men ikke sik at det settes opp noe anguæmoment. 71! Atomkjenen e bygget opp av potone og nøytone (feesnavn nukeone).! Det vike steke kefte meom nukeonene, men de ha meget kot ekkevidde - kun ca. en nukeondiamete.! Paui's ekskusjonspinsipp hinde nukeonene i å veksevike vedig ofte, vi kan defo appoksimee vv meom ae nukeonene med et feespotensia.! Fo at feespotensiaet ska væe bindene må det væe fomet som en bønn. < Det mest eaistiske potensiaet e baset på den måte tetthetsfodeingen av nukeone i kjenen - det såkate Wood-Saxon potensiaet. < Det e enkee å øse Schödinge igningen hvis vi buke et fikantboks-potensia (fo skapt i kantene) ee hamonisk-osciatto potensia (fo undt i kantene).! Ingen av disse te potensiaene gi koekte øsninge med hensyn ti de magiske taene (, 8, 0, 8, 50, 8, 16).! Føst nå vi ta hensyn ti at banespinn og egenspinn e stekt kobet sammen i atomkjenen få vi de foventede taene. Vi må defo innføe totaanguæmomentvektoen j, med det tihøende kvantetaet j. 7 Det sammenkobede spinnet Anta nukeone i hvet j-nivå j + s j j( j + 1) h og j Anta nukeone i hvet av de oppspittede nivåene e j+1! de m -j, -j+1,..., j-1, j; Tisammen j + 1 vedie. + j + s 1 1 Eksempe: 1d / ha pass 4 nukeone. Fo eksempe vi nukeone i d-obitae () ha j 5/ ee /. Vi angi obitaene sik: d 5/ espektive d /. Om ønskeig kan vi angi hovedkvantetaet n også: 1d 5/. 7 Ett ti: 1h 9/ ha pass 10 nukeone. 74

6 Nukeonpaing! Nukeone med samme n, og j kvanteta, men med motsatt fotegn på m kvantetaet vi veksevike spesiet stekt. < Den høye fekvensen av vv gjø at patikene bi eksta godt bundet sammen. < Defo vi også den totae bindingsenegien bi høyee fo atomkjenen som hehet. 75 Spinnet ti odde-tas kjene! Vi fye atid opp nivåskjemaene (ett fo nøytone og ett fo potone) fa bunnen av og så angt vi ha nukeone. < Vi vi da få gunntistandskonfiguasjonen fo nukiden.! Det upaede nukeonet i en odde-tas kjene vi bestemme kjenens spinn. Eksempe: 1 C 1C ha 6 potone og 7 nøytone. Det upaede nøytonet gå inn i 1p ½. Måt spinn e som foventet ik ½. 76