EKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME

Transkript

1 Norges teknisk naturitenskapelige uniersitet Institutt for elektronikk og telekommunikasjon ide 1 a 8 Faglærer: Johannes kaar EKAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETIME Fredag 27. mai 2016 Oppgae 1 En koaksialkabel består a en innerleder med radius a og en ytterleder med indre radius b, se fig. 1. Anta at lederne er ideelle og at kabelen er netto uladet. Kabelens lengde er mye større enn b, og i ser bort fra effekter nær endene. a) Potensialet på innerlederen holdes konstant lik V 0, mens potensialet på ytterlederen er V = 0. Mellom lederne befinner det seg luft med permittiitet ɛ 0. Finn det elektriske feltet E oeralt. b) Finn potensialet oeralt. c) Finn kapasitansen per lengdeenhet. d) ett opp uttrykket for lagret elektrostatisk energi per olumenhet, og bruk det til å finne den lagrede elektrostatiske energien per lengdeenhet a kabelen. Kan du kontrollere saret ed å regne det ut på en annen måte? r a b Figur 1: Koaksialkabel.

2 ide 2 a 8 e) Vi kobler nå kabelen fra spenningskilden, så det ikke kan gå noen strøm til eller fra inner- og ytterlederen. Mellom lederne settes det inn et rent dielektrisk medium der permittiiteten ɛ er en funksjon a r, ds. ɛ = ɛ(r). Ha blir det elektriske feltet nå, uttrykt med denne funksjonen? f) Vi kobler kabelen til spenningskilden igjen, slik at innerlederens potensial er V 0 og ytterlederens er V = 0. Vi lar { ɛ 0, for a < r a + d ɛ(r) = 10ɛ 0, for a + d < r < b Vis at det elektriske feltet mellom lederne blir 10V 0 a+d)ˆr, for a < r a + d r(10 ln E = a+d a +ln b V 0 for a + d < r < b. r(10 ln a+d a a+d)ˆr, +ln b Ha kan skje dersom det er et lite luftgap i isolatoren til en kabel som er tilkoblet høy spenning? Grunngi saret. Oppgae 2 I ˆφ a Figur 2: En tettiklet toroide med N jent fordelte iklinger. Toroiden er tynn og har terrsnittsareal. a) Gitt en toroide med N iklinger som fører strømmen I, se fig. 2. Viklingene er tett og jent fordelt rundt toroiden. Toroiden kan i hele oppgaen antas å ære tynn, slik at feltet er uniformt oer terrsnittsarealet. Finn H i toroiden. b) Dersom materialet i kjernen er lineært, isotropt og homogent, ha blir selinduktansen? aret skal uttrykkes ed en parameter som karateriserer mediet (og som kan finnes i tabeller oer materialer).

3 ide 3 a 8 c) Dersom materialet i kjernen nå i stedet har en konstant, permanent magnetisering M = M ˆφ (uahengig a feltet), finn B i toroiden. Finn også selinduktansen dersom den defineres som L = dφ/di, der Φ er den totale fluksen. d) Vi bytter tilbake til et lineært, isotropt og homogent medium i kjernen. Videre ikles det en spole til rundt toroiden (spole 2), men bare en ikling, se fig. 3. pole 2 kobles til et oltmeter med uendelig resistans. Den første spolen (spole 1) kobles til en spenningskilde slik at den får strømmen I 1 = I 0 cos(ωt). Finn den induserte elektromotoriske spenningen i spole 2. e) I forrige deloppgae, his i antar at spole 1 har null resistans, ha må spenningen til kilden ære? penningskilde V 1 + ~ I 1 V 2 + Voltmeter Figur 3: Det ikles en spole til rundt toroiden, med en enkelt ikling. Oppgae 3 Til hert a spørsmålene som er stilt nedenfor, er det foreslått 4 sar. Oppgi hilket sar du mener er best dekkende for hert spørsmål. arene, som ikke skal begrunnes, agis i skjemaet på siste side. Denne siden ries fra og leeres inn som del a besarelsen. Det gis 3 poeng for hert riktig sar, 1 poeng for hert galt sar og 0 poeng for ubesart. Helgardering (mer enn ett kryss) gir 0 poeng. a) To like punktladninger befinner seg en astand fra herandre. Det finnes ingen andre kilder til elektriske felter. Vi ser på det elektriske feltet E, og potensialet V med uendelig som referanse, i et obserasjonspunkt som er midt mellom ladningene. Ha er da rett? i) E = 0 og V = 0. ii) E 0 og V = 0.

4 ide 4 a 8 iii) E = 0 og V 0. i) E 0 og V 0. b) En a loene i elektromagnetisme er H = J + D. Ha kan du si om t denne loen? i) Den heter Ampere-Maxwells lo. ii) Den inneholder et ledd som kalles forskyingsstrømtetthet. iii) Den kan brukes til å finne det magnetiske feltet utenfor en høyspentlinje. i) Alle alternatiene oenfor. c) En kule med et ukjent materiale gir oppha til magnetiske felter, se fig. 4. De to figurene iser den samme situasjonen, bare to ulike felter. I alternatiene nedenfor er A ektorpotensialet. Ha er rett? i) Den enstre iser A og den høyre B. ii) Den enstre iser B og den høyre A. iii) Den enstre iser B og den høyre H. i) Den enstre iser H og den høyre B. d) I forrige deloppgae, ha kan du si om kula? Anta at det er akuum oeralt rundt kula. i) Materialet har høy permeabilitet µ. ii) Materialet har la permeabilitet µ. iii) Materialet har permanent magnetisering mot høyre. i) Materialet har permanent magnetisering mot enstre. Figur 4: To skisser a felter.

5 ide 5 a 8 e) På Internett finner du en oppgae i elektrostatikk, laget a en professor ed det nye Uniersitetet i nåsa. Oppgaen lyder som følger: En ideell lederdisk med radius a har konstant flateladningstetthet ρ s. Finn det elektriske feltet på aksen til disken. Ha burde du fortelle professoren? i) En disk med konstant flateladningstetthet kan ikke ha konstant potensial, slik en leder må ha. ii) Oppgaen er uløselig fordi det mangler nødendig informasjon. iii) Dette er en standard oppgae i elektrostatikk, som kan løses f.eks. ed å bruke symmetri og Coulombs lo. i) Oppgaen er grei nok, men eldig kjedelig. takkars studenter.

6 ide 6 a 8 Formler i elektromagnetisme: ref F = Qq 4πɛR ˆR, 2 E = F/q, V P = E dl, V = Q P 4πɛR, E = V, D d = Q fri i, D = ρ, D = ɛ 0 E + P, P = ɛ 0 χ e E, D = ɛe, ɛ = ɛ 0 (1 + χ e ), C = Q/V, C = ɛ/d, W e = 1 2 CV 2, w e = 1 2 D E, p = Qd, J = NQ, J = σe, P J = J Ed, db = µ 0 Idl ˆR 4π R 2, df = Idl B, F = Q(E + B), T = m B, m = I, H = B M, M = χ m H, B = µh, µ = µ 0 (1 + χ m ), µ 0 B = 0, H dl = J d, w m = 1 2 B H, C L 12 = Φ 12 I 1 = L 21 = Φ 21 I 2, L = Φ I, W m = 1 2 n I k Φ k = 1 2 k=1 n j=1 k=1 n L jk I j I k, F = ( W m ) uten kilder eller tap, F = +( W m ) I=konst, J + ρ t = 0. Maxwells likninger: E = B t, C E dl = H dl = H = J + D t, C D = ρ, D d = Q fri i, B = 0, B d = 0. B t d, ( J + D t e = dφ dt, ) d, Potensialer i elektrodynamikken: B = A, E = V A t, 2 V ɛµ 2 V t 2 = ρ ɛ, 2 A ɛµ 2 A t 2 = µj, V (r, t) = 1 ρ(r, t R/c)d, A(r, t) = µ J(r, t R/c)d. 4πɛ R 4π R Grensebetingelser: E 1t = E 2t, D 1n D 2n = ρ sˆn, H 1t H 2t = J s ˆn, B 1n = B 2n. Konstanter: µ 0 = 4π 10 7 H/m ɛ 0 = 1/(µ 0 c 2 0) F/m Lyshastighet i akuum: c 0 = 1/ µ 0 ɛ 0 = m/s m/s Lyshastighet i et medium: c = 1/ µɛ Elementærladningen: e = C Elektronets hilemasse: m e = kg tandard tyngdeakselerasjon: g = m/s 2 Graitasjonskonstant: γ = N m 2 /kg 2.

7 ide 7 a 8 Differensielle ektoridentiteter: ˆx V = V (x ilkårlig akse) x (V + W ) = V + W (V W ) = V W + W V f(v ) = f (V ) V (A B) = (A )B + (B )A + A ( B) + B ( A) (A + B) = A + B (V A) = V A + A V (A B) = B A A B (A + B) = A + B (V A) = ( V ) A + V A ( A) = 0 ( V ) = 2 V ( V ) = 0 ( A) = ( A) 2 A ylindrisk koordinatsystem: V = V ˆr + 1 V r φ ˆφ + V ẑ A = 1 r A = ˆr + ˆφ (ra r ) ( 1 A z r ( Ar A z 2 V = 1 r + 1 r A φ φ + A z φ A ) φ ) + ẑ ( (raφ ) r A ) r φ ( r V ) V r 2 φ V 2 færisk koordinatsystem: V = V ˆr + 1 V r θ ˆθ + 1 V r sin θ φ ˆφ Integralidentiteter: V d = V d Ad = A d (Diergensteoremet) Ad = d A A d = A dl (tokes teorem) Kartesisk koordinatsystem: C V = V V ˆx + x y ŷ + V ẑ A = A x x + A y y + A z ( Az A = ˆx + ŷ ( Ax y A ) y ) + ẑ A z x ( Ay x A ) x y A = 1 (r 2 A r ) r (sin θa θ ) r sin θ θ + 1 A φ r sin θ φ A = ˆr ( (sin θaφ ) A ) θ r sin θ θ φ + ˆθ ( 1 A r r sin θ φ (ra ) φ) + ˆφ ( (raθ ) A ) r r θ 2 V = 1 r ( 1 r 2 sin θ r 2 V ) θ 1 2 V r 2 sin 2 θ φ 2 ( sin θ V θ ) 2 V = 2 V x V y V 2 2 A = ( 2 A x )ˆx + ( 2 A y )ŷ + ( 2 A z )ẑ

8 ide 8 a 8 EMNE TFE4120 ELEKTROMAGNETIME KANDIDATNR.:... arkupong Merk med kryss i de aktuelle rutene. Kun ett kryss for hert spørsmål. pørsmål Alt. i) Alt. ii) Alt. iii) Alt. i) a) b) c) d) e)