TFE4120 Elektromagnetisme

Transkript

1 NTNU IET, IME-fakultetet, Norge teknisk-naturitenskapelige uniersitet TFE412 Elektromagnetisme Løsningsforslag repetisjonsøing Oppgae 1 a) i) Her er alternati 1) riktig. His massetettheten er F, il et linjestykke med lengde dl ha masse F dl. Den totale massen er summen a massene til hert linjestykke, altså lik F dl. ii) Her er alternati 4) riktig, F dl. Alternatit kan alternati 1) godkjennes, dersom F er hele tiden parallell med med kuren. b) Dersom F og F er konstanter kan de tas utenfor integraltegnet. Integralet a et ektorielt linjeelement rundt en lukket kure er alltid null. Dette kan forstås ed å tenke på integralet som en sum a små forflytninger dl. ummen a alle disse er den totale forflytningen fra startpunktet, og siden kuren ender opp i samme punkt som den startet er den totale forflytningen, og derfor integralet, lik null. Derfor il alternatiene 2) og 4) ære lik null for den lukkede kuren 1. For den åpne kuren 2 il alle integralene 1)-4) ære forskjellige fra null. dl dl dl dl 1 2 c) Også her er alternatiene 2) og 4) riktige for den lukkede flaten, og begge kan beises ed hjelp a diergensteoremet: s F d = ( F)d. At alternati 4) er lik null er enkelt å beise, i dette tilfellet er F en konstant så integranden F, og dera integralet, er lik null. 1

2 For å beise 2) antar i at F er en konstant ektor F = F â. Her er F absolutterdien til F mens â er retningen (begge er konstanter). Ved hjelp a diergensteoremet kan i skrie â F d = ( F)d = siden integranden F = (F er en konstant). Det følger dera at integralet 2) F d = når F er en konstant. Integralene 1) og 3) blir hh. F og F. d) For en lukket flate er det alltid to normaler i hert punkt på flaten, en innoerpekende og en utoerpekende. Med mindre annet er spesifisert er det den utoerpekende flatenormalen som benyttes. e) Oerflatenormalen til flaten innenfor en kure er definert a positit definert omdreiningsretning rundt kuren. Her brukes standard høyrehåndsregel: La fingrene peke langs omdreiningsretningen, flaten peker da i tommelens retning. For kuren 1 står flatenormalen ut a arket. Oppgae 2 a) i) Fluksen a et ektorfelt gjennom en flate er definert som Fluks = F d, (1) og beskrier hor mye a F som strømmer gjennom. For eksempel, his F beskrier strømningen a ann, beskrier fluksen den totale annmengden som strømmer gjennom per tidsenhet. ii) Diergensen er definert som di F = lim F d (2) hor olumet er et infinitesimalt lite olum, og er flaten til. Fra definisjonen ser i at diergensen er fluksen ut/inn a olumet delt på olumet. I kartesiske koordinater har diergensen et enkelt uttrykk: di F = F = F x x + F y y + F z z, (3) 2

3 ( hor er definert som = ). x, y, z Diergensen angir kildeegenskapene til F, altså i hor stor grad F sprer seg ekk fra eller imot et punkt. En kilde har positi diergens mens et sluk har negati diergens. MERK : Det er kun i kartesiske koordinater at gradienten og diergensen kan uttrykkes som henholdsis F og F med definert som oenfor. Dette skyldes at kartesiske koordinatsystemer er globalt ortogonale. For eksempel, i kulekoordinater, som bare er lokalt ortogonale 1 er gradienten til F gitt a F = F r ˆr + 1 F r sin θ ϕ ˆϕ + 1 F r θ ˆθ, (4) og det er dermed lett å tro at definisjonen = rˆr + 1 r sin θ følgende diergens F: ϕ ˆϕ + 1 r θ ˆθ leder til F r r + 1 F ϕ r sin θ ϕ + 1 F θ r θ. (5) Dette er ikke et riktig resultat. Den faktiske diergensen kan utledes ed å sette opp en generell koordinattransformasjon mellom kartesiske koordinater og kulekoordinater (i skal ikke gjøre dette), og en finner da di F = 1 r 2 (r 2 F r ) r + 1 F ϕ r sin θ ϕ + 1 r sin θ (sin θf θ ), (6) θ som jo er ulikt det første uttrykket. Det er iktig å ære klar oer dette punket. I øings- og eksamenssammenheng anbefaler i derfor at dere henter uttrykket for gradient, diergens og curl i sylinder- og kulekoordinater fra formelsamlingen. iii) x-komponenten a curlen til F er definert som (curl F) x = lim F dl, (7) der er et flateelement som er normalt på x-aksen og er den lukkede kuren som omslutter dette flateelementet. Tilsarende definisjoner gjelder også for y- og z-komponentene, hor defineres som flateelementer normalt på henholdsis y- og z-aksen. urlen til et ektorfelt beskrier i hilken grad feltet sirkulerer rundt et punkt. Dette står i kontrast til diergensen, som beskrier hor mye feltet strømmer ut fra et punkt. I kartesiske koordinater har curlen et enkelt uttrykk: curl F = F (8) url i sylinder og kulekoordinater har en mer komplisert form og finnes i formelsamlingen. 1 Det er enkelt å forestille seg dette: To personer på jordkloden, en på nordpolen og en på sydpolen, som peker opp mot himmelen peker faktisk i motsatt retning! 3

4 i) For konseratie felt er kureintegralet F dl lik null for hilken som helst kure. Ved hjelp a tokes teorem kan en ise at F =. Fra fundamentalteoremet (et. Helmholtz teorem) i kalkulus følger det da også at F kan skries ed hjelp a en enkelt skalar størrelse f slik at F = f. b) i) Diergensteoremet sier ( F)d = F d, (9) hor er den lukkede flaten som omslutter olumet. Altså sier diergensteoremet at den totale fluksen ut a olumet er lik summen a alle kilder og sluk inne i olumet. ii) tokes teorem sier ( F) d = F dl, (1) hor er flaten som er omsluttet a kuren. tokes teorem sier at sirkulasjonen rundt kuren, F dl, er lik summen a alle irlinger oer flaten. Et mentalt bilde a tokes teorem kan dannes ed å forestille seg mange malstrømmer (irlinger) på haet (definert a flaten ): Den totale sirkulasjon rundt kysten er da summen a irlingene til alle malstrømmene! Oppgae 3 a) Ved å benytte oss a definisjonen a diergens i kartesiske eller kulekoordinater finner i F = 3. Et infinitesimalt olum i kulekoordinater er d = r 2 sin θdrdθdϕ slik at R 2π π ( F)d = 3r 2 sin θdϕdθdr = 3 R = 4πR 3. r 2 dr π 2π sin θdθ dϕ Her kan man innse ha saret blir uten å regne ut integralet. iden diergensen er konstant lik 3 oer hele olumet, må nødendigis saret bli 3 ganger olumet til kulen, som blir 4πR 3 : ( F)d = 3 d = 4πR 3. (12) b) Oerflate-elementet til et kuleskall med radius R er d = R 2 sin θdθdϕˆr. Dera finner man ( F)d = F d = 2π π = R 3 2π = 4πR 3. 4 (Rˆr) (R 2 sin θdθdϕˆr) π dϕ sin θdθ (11) (13)

5 aret er åpenbart også her, siden F er konstant oer flaten lik F = Rˆr. Ettersom F og d peker i samme retning må saret bli R ganger oerflaten til kulen, og igjen finner i saret 4πR 3 : F d = R d = 4πR 3. (14) 5

6 Oppgae 4 a) i) Her il linjeintegralet langs det første linjestykket (, ) (a, ) ære lik null fordi integranden er lik null (y =, samt at ŷ-komponenten a F er ortogonal på linjestykket). Derfor holder det å integrere fra (a, ) til (a, b) slik at I = F dl = b (a 2 y + 2a)dy = 1 2 a2 b 2 + 2ab. (15) ii) Her er det rette linjestykket fra (x, y) til (x + dx, y + dy) beskreet a ektoren dl = dxˆx + dyŷ. Dera finner i F dl = F x dx + F y dy = (xy 2 + 2y)dx + (x 2 y + 2x)dy. (16) For å integrere dette må i ite sammenhengen mellom x og y, som er y = bx a, slik at I = F dl [ a ( ) bx 2 ( ) ] bx b [ (ay ) 2 ( ay ) ] = x + 2 dx + y + 2 dy (17) a a b b = 1 2 a2 b 2 + 2ab. y (a, b) (, ) (a, ) x iii) Disse integralene har like erdier fordi F er et konseratit felt: ( Fy F = x F ) x ẑ y = (2xy 2xy) ẑ =. (18) For et konseratit felt er det bare start- og sluttpunktet på integrasjonen som spiller noen rolle for kureintegralet. Dette er et generelt resultat: Vi kan tenke oss 6

7 en lukket kure som består a to kurer 1 og 2. Når i reerserer retningen på den ene kuren (slik det er gjort i figuren) finner i F dl = 1 F dl 2 F dl = slik at F dl = 1 F dl. 2 (19) b) Kurene i)-iii) er ist i figuren under 5 c2 4 t=ln 2 3 y 2 c3 1 t= -1 t=-pi/3 t=pi/3 l(t) x i) Her er lengden til det parametriserte linjestykket dl gitt a dl = dx 2 + dy 2 (dx ) 2 = + dt = 2 2 e 2t dt. ( ) dy 2 dt dt (2) etter i dette inn sammen med funksjonen f[x(t), y(t)] = x(t) + y(t) = 1 + 2e 2t finner i ln 2 fdl = (1 + 2e 2t )2 2 e 2t dt = 2 ( e 4t + e 2t) ln 2 = (21) ii) Lengden a linjestykket er dl = dx 2 + dy 2 = 1 + (dy/dx) 2 dx. Med y = 1 2 x2 får i dl = 1 + x 2 dx. Ealuerer i f = 2y x 1 + x 2 langs linjen y = 1 2 x2 får i 7

8 f = x 1 + x 2 slik at fdl = x(1 + x 2 ). Integrasjon gir f(x, y)dl = 2 x(1 + x 2 )dx ( ) x 2 = 2 + x4 2 4 = 6. (22) iii) Her er lengden a linjestykket gitt a dl = dl dt dt = ( ˆx cos 2 t + ŷ sin t)dt Vi finner derfor at F dl = (1 + 2 sin 2 t)dt og I = F(t) dl(t) = π/3 π/3 (1 + 2 sin 2 t)dt = (2t sin t cos t) π/3 π/3 = 4π (23) (24) 8