Magnetostatikk Elektrodynamikk:

Transkript

1 Magnetisme Magnetostatikk (ingen tidsvariasjon): Kap 27. Magnetiske krefter Kap 28: Magnetiske kilder Elektrodynamikk: Kap 29-32: Tidsvariasjon: Induksjon mm.

2 Kap 28: Magnetiske kilder Elektrostatikk: Ladning q påvirkes av kraft qe Definisjon E-felt E-feltet skapes fra ladninger Magnetostatikk: (Coulombs lov) (Coulombs lov) Ladning q i bevegelse påvirkes av kraft qv x B Definisjon B-felt (Lorentzkrafta) B-feltet skapes fra ladninger i bevegelse (Biot-Savarts lov) Hjelpelover: Elektrostatikk: Gauss lov Magnetostatikk: Amperes lov Magnetiske materialer Ferromagnetisk materiale. Magnetisering. M-vektor og H-vektor.

3 Kap 28: Magnetiske kilder 28.1 B-felt fra enkeltladninger i bevegelse 28.2 B-felt fra strøm i ledning

4 Bevegelse av ladninger gir magnetfelt B Strøm i leder: (Biot-Savarts lov) 0 qvr B 2 4 r 0 qvr 3 4 r 0 Idsr db 2 4 r 0 Idsr 3 4 r Enkeltladning Enhetsvektor i bevegelse: (28.2) : Vitenskapelig arbeid: Hans Christian Ørsted, André Ampere, Jean-Baptist Biot, Felix Savart, Michael Faraday, Joseph Henry Enhetsvektor (28.6)

5 Bevegelse av ladninger gir magnetfelt B qvr 4 r Enkeltladning: 0 B (28.2) 2 0 I dsr db 2 4 r Strømelement: (28.6) Strøm i leder: 0 (28.7) (Biot-Savarts lov) I dsr db 2 4 r ledning

6 Elmag og relativitetsteori i Notat 3 Einsteins utledning av spesiell relativitetsteori var drevet av dette problemet i elektromagnetismen: Elektriske og magnetiske krefter er to sider av samme sak, avhengig av referansesystemet det hele observeres i.

7 Bevegelse av ladninger gir magnetfelt B qvr 4 r Enkeltladning: 0 B (28.2) 2 0 I dsr db 2 4 r Strømelement: (28.6) Strøm i leder: 0 (28.7) (Biot-Savarts lov) I dsr db 2 4 r ledning

8 Magnetiske feltlinjer (Fig 27.11) Eks. 1

9 Eks. 1 (Y&F Kap. 28.3): B-felt på midtnormal til rett leder, lengde 2a z Forelesning: y z x ρ ρ z ρ Biot-Savart: ρ 0 Idsr db 3 4 r Y&F Figure 28.5

10 Rottmann integraltabell (s. 137) X = z 2 + ρ 2, dvs: x = z a = 1 b = 0 c = ρ 2

11 Rett leder lengde 2a: B 0 2a 1 I 4 a 2 2 (28.8) Y&F Figure 28.5 Nærme rett leder (a >>ρ): B 0 I 2 (28.9) Y&F Fig 28.6

12 Felt rundt uendelig lang, rett leder: B I 2 0, Eksempler: Tm/A 1) Under én kraftledning: I = 1 ka, ρ = 100 m 2) Nær f. eks. hårføner: I = 3 A, ρ = 5 cm => B = 2 μt => B = 12 μt Jordmagnetismen: (statisk felt) B = 0,5 G = 50 μt 1) og 2) gjelder for enkeltledere: For to ledere med motsatt strøm blir B-feltet betydelig lavere.

13 Gjelder vekselfelt 50 Hz: Grenseverdien er 200 μt for befolkningen Ved nybygg eller nye anlegg hvor årsgjennomsnittet overskrider 0,4 μt, skal tiltak vurderes. Fra:

14 Magnetfelt fra to parallelle ledere (Ex i Y&F) Svakere B enn enkeltleder Sterkere B enn enkeltleder 2d For r >> d: B-felt avtar med 1/r 2, dvs. betydelig raskere enn for enkeltleder. (Fig 28.7)

15 Utafor koaksialkabel er B-feltet null! Ytterisolasjon Ytterleder Innerisolasjon Innerleder Mer seinere, bl.a. oppgave i regneøving. Y&F Fig 28.8

16 B-felt rundt uendelig lang, rett leder: B I r Retning: asimutalt (φ-retning) r = avstand fra lederen Sammenlikn med: E-felt rundt uendelig lang, ladd rett leder: E r Retning: radielt (r-retning) r = avstand fra lederen Linjeladn. λ

17 Elektrostatikk: Magnetostatikk: Enkeltladning: 0 (28.2) Strøm i leder: Eks. 1: Rett leder 28.4: Definisjon 1 ampere Eks. 2: Sirkulær sløyfe Amperes lov Kap 28: Magnetiske kilder 1 qr E r qvr B 2 4 r 0I dsr B = db 2 4 r ledn. (Coulombs lov) ledn. (28.7) (Biot-Savart) : Vitenskapelig arbeid: Hans Christian Ørsted, André Ampere, Jean-Baptist Biot, Felix Savart, Michael Faraday, Joseph Henry

18 28.4 Kraft mellom to parallelle ledere F = I 1 I 2 μ 0 /(2πr) Definisjon 1 A: N/m = 1 A 1 A μ 0 /(2π 1 m).. er i praksis definisjon av μ 0: μ 0 = 2π N/A 2 = 4π 10-7 Tm/A Figure 28.9

19 Definisjon av 1 ampere (grunnenhet i SI-systemet) En ampere er den konstante elektriske strømmen som frambringer en gjensidig lineær kraft på newton per meter leder når strømmen går gjennom hver av to rettlinjete, parallelle, uendelige lange ledere med sirkulært og neglisjerbart lite tverrsnitt, og lederne er anbrakt i én meters innbyrdes avstand i tomt rom. ampere er en av sju SI-grunnenheter: meter kilogram sekund ampere kelvin mol candela - lengde - masse - tid - strømstyrke - temperatur - stoffmengde - lysstyrke Alle andre enheter er avledet fra disse, for eksempel N = kg m s -2 V = J/C = kg m 2 s -3 A -1 (se formelarket)

20 Eks. 2: B-feltet på aksen i en sirkulær strømsløyfe: (kap 28.5) Langs aksen går feltet parallelt med aksen (Fig 28.12) (Fig 28.15) 0I Bmax B( x 0) 2a (Fig 28.14) 2 0Ia B( x) i (28.15) 2 2 3/ 2 2( x a )

21 Kap. 28: Eks. 1: B-feltet på midtnormal til rett leder, lengde 2a 0 2a 1 B I 0 I B( a) a 2 Eks. 2: B-feltet på aksen i en sirkulær strømsløyfe, radius a Ia B( x) 2( x a ) /2 i 0I B( x 0) 2a i Ia 2 0 B( x a) i 3 2x Eks. 3: B-feltet i sentrum av kvadratisk strømsløyfe (Øving 10, opg. 4: B-feltet på hele midtnormalen) 0I 4 B( x 0) i 2a 2 Bsirkulær ( x 0) Bsirkulær x 4 2 ( 0) 0,900

22 Eks. 2: Feltet på aksen i en sirkulær strømsløyfe 2 0Ia B( x) i (28.15) 2 2 3/ 2 2( x a ) Langt unna x >> a: sløyfas dipolmoment μ = Iπa 2 Ia B( x) 2x 2 x i 3 3 μ a (Fig 28.15) Analogi: Langt unna elektrisk dipol: (Øv. 6, opg. 2d) E( x) p 3 x 0 p x

23 Kap 28: Magnetiske kilder Elektrostatikk: Coulombs lov hjelpelov: Gauss lov (når symmetri) Magnetostatikk: Biot-Savarts lov hjelpelov: Amperes lov (når symmetri)

24 Gauss lov for B-felt: Feltlinjer er lukka kurver => Nettofluks = 0 ut fra lukka flate Lukka flate div B = 0

25 Kap. 23: Sirkulasjonsloven for E-felt (konservativt felt): Integrasjon over lukka kurve = 0 Lukka kurve E ds 0

26 Sirkulasjonsloven for B-felt: Feltlinjer er lukka kurver => Integrasjon over lukka kurve 0 = μ 0 I Lukka kurve strømmen bestemmer integrasjonsresultatet strøm påkrevd for å få B-feltlinjer B ds 0I

27 Amperes lov B ds = μ 0 I over lukka kurve, der I er totalstrøm innenfor kurva (Fig 28.20) (Fig 28.17) Gjelder alle integrasjonsveger, men er nyttig kun i (sylinder)symmetriske konfigurasjoner. F. eks. rundt leder: B = μ 0 I/2πr

28 Eks. 4. Solenoide (Ex ) Én sløyfe (Fig 28.15) Sju sløyfer (Fig 28.22) B sterkt inni B svakt utafor Mange sløyfer: Antar B konst. inni, B = 0 utafor

29 Eks. 4: Solenoide (mange sirkulære strømsløyfer) Eks: N=400 L=0,10m I=5,0A => B = 25 mt Større strøm gir oppvarming. Reell B(x) (beregnet i tekst til Lab 2 Tilnærmet B(x) Ser bort fra randeffekter: Inni: B = μ 0 I N/l Utafor: B=0 (Fig 28.24)

30 E i parallellplatekondensator B i solenoide d E=0 utafor B=0 utafor E Idealisert 2a l B OK når d << A OK når 2a << L Reelt (Fig 28.22) ( Fig 22.21a)

31 B inni og utafor en sylinderleder med analog til uniform strøm I B er asimutal E inni og utafor en sylinder med uniform ladning λ E er radiell (Ex. 28.8) E ( Ex ) 2 R 0 E( r) 2 0 r R 2 E( r) 2 r 0

32 Feltet i toroid solenoide: (Ex ) Mer Amperes lov i Øv. 11 og 12 (Fig 28.25) Path 1: I incl = 0 => B = 0 Path 2: I incl = NI => B μ 0 NI/2πr Path 3: I incl = NI + N(-I) = 0 => B = 0

33 Øving 9, flervalg: Elek. fluks = fluks til D-feltet Φ = D A Young & Freedman, kap. 22.2: bruker Elek. fluks = fluks til E-feltet Φ E = E A

34 Øving 9, oppgave 3. Massespektrometer L i =2r i Aksel. ½ m i v i2 = q i V (1) r i F c = F B (2) a) Likn. (1) for protonet b) Likn (2) for protonet m i v i2 /r i = q i v i B (2) c) Søk etter masseforholdet m 1 /m p med likn (1) og (2) for i=1 (masse 1) og i=p (protonet). Tilsvarende for m 2 /m p.

35 Amperes lov, rekap. B ds = μ 0 I (Amp) over lukka kurve, der I er totalstrøm innenfor kurva curl B = μ 0 J (Amp-diff)

36 Maxwells likninger (så langt, statikk) Integralform E d A Q / Gauss lov E Differensialform E / B da 0 B ds 0I Gauss lov B Amperes lov B 0 curlb B J 0 E ds 0 curle E 0

37 curl -- kan i vannstrøm demonstreres med et (infinitesimalt) skovlhjul: Γ

38 Curl Eks. forrige time: B( x, y, z) y, x, 0 yi xj B( r,, z) r (konstanter utelatt, feil enheter for B) Inni sylindrisk leder: 0 B( r,, z) J r 2 curl B J k J 0 0 i j k ( x) y curl B 0i 0 j k 2k x y z x y y x 0 curl B r x B y

39 Eks. 5: Feltet inni og utafor en ledning Ampere: curl B = μ 0 J Inni: μ 0 J = curl B (Fig 28.20) Utafor: μ 0 J = 0 = curl B (Fig 28.21)

40 Maxwells likninger i Notat 4 E = D/ε Integralform H = B/μ defineres straks Statikk Differensialform Gauss lov D Gauss lov B Amperes lov 0 Faradays lov 0

41 Kap 28: Magnetiske kilder Elektrostatikk: Ladning q påvirkes av kraft qe Definisjon E-felt E-feltet skapes fra ladninger (Coulombs lov) (Coulombs lov) Magnetostatikk: Ladning q i bevegelse påvirkes av kraft qv x B Definisjon B-felt (Lorentzkrafta) B-feltet skapes fra ladninger i bevegelse (Biot-Savarts lov) Hjelpelover: Elektrostatikk: Gauss lov Magnetostatikk: Amperes lov Til slutt: Magnetiske materialer Ferromagnetisk materiale. Magnetisering. M-vektor og H-vektor

42 ytre B 0 = 0 Atomære magnetiske moment μ (= dm i ) i ytre magnetisk felt B ytre B 0 0 M Magnetisering M Paramagnetiske og ferromagnetiske: Innretting av magn.moment μ

43 Tre typer magnetisk materiale: Type Diamagnetisk Paramagnetisk Ferromagnetisk Effekt B-felt B-felt B-felt Årsak: Ytre H 0.. induserer magn.mom. μ med μ (-H) innretter permanente μ med μ H innretter permanente μ med μ H Mange

44 Hva vi har lært: Magnetisering, definisjon: M = μ / volum [analogi: P = p / volum ] B 0 M Magnetisk feltstyrke: H = B/μ 0 (i tomrom) [ E = D/ε 0 ] Magnetisering, eksperimentelt: M = χ m H [P = χ e ε 0 E ] Totalt B-felt i magnetisk materiale: B = μ 0 H + μ 0 M = μ 0 μ r H [ D = ε 0 E + P = ε r ε 0 E ] m.m.

45 B = μ0μrh

46 Ferromagnetiske materialer M M Ytre H = 0: Magn.moment μ samordnet innenfor domener (~100 μm) H Middels H-felt: Domener med magn.moment μ i samme retning som H vokser i størrelse H Sterke H-felt: Magnetisk moment innen domener roterer til H => Metning Fig: en.wikipedia.org/wiki/magnetic_domain

47 Ferromagnetisk Diamagnetisk Paramagnetisk

48 Ulike grader av hysterese i ferromagnetisk materiale H H H «Hardt» jern: permanentmagneter av/på-magneter (eks. harddisk) «Bløtt» jern: tranformatorer Y&F Figure 28.29

49 Hva vi har lært: Magnetisk feltstyrke: H = B/μ 0 (i tomrom) Magnetisering, definisjon: M = μ / volum Magnetisering, eksperimentelt: M = χ m H Totalt B-felt i magnetisk materiale: B = μ 0 H + μ 0 M Kraftig forsterkning av B- = μ 0 H + μ 0 χ m H feltet i ferromagn. materiale = μ 0 μ r H, relativ permeabilitet: μ r = χ m +1 Amperes lov på ny, enkel form: B ds = μ 0 I <=> H ds = I curl B = μ 0 J <=> curl H = J H M

50 Eks. 6B. Halvfylt solenoide μ 0 B 0 = B 1 μ 1 B 0 = μ 0 H 0 B 1 = μ 1 H B 1 = μ 1 H 0 H 0 = ni B 0 = μ 0 H 0

51 Eks. 6B. Halvfylt solenoide. Reelle feltlinjer μ 0 μ 1 B 1 B B 1 = μ 1 H 0 B 0 = μ 0 H 0

52 Kontinuitetskrav over grenseflater (skille i μ r ): 1) B kontinuerlig 2) H diskontinuerlig (faktor μ r ) 3) H kontinuerlig 4) B diskontinuerlig (faktor μ r ) Eks. 6C. Langsfylt solenoide. = Øving 12, opg 1 og Eks opg. 5.

53 Eks. 7 Luftgap i magnet = øving 12, opg 2. Lite gap: B luft B jern Stort gap: B luft mindre B-feltlinjer følger jernet

54 Magnetgap til bruk for å skrive på harddisk, videotape og lignende

55 Kap. 28: Oppsummering: Bevegelse av ladninger er kilde for magnetfelt B Enkeltladning i bevegelse: 0 qv 0 Idsr Strøm i leder: db (Biot-Savarts lov) 2 4 r Magnetfelt B kan finnes ved integrasjon over leder fra Biot-Savarts lov -- eller ved bruk av: Amperes lov: B ds = μ 0 I Kilde til magnetisk felt B 4 r H ds = I der I er strøm innenfor den lukkede integrasjonsvegen. Differensialform: curl B = μ 0 J curl H = J Viktige anvendelser: Rett leder, solenoide, m.m. 2 r

56 Kap. 28: Oppsummering: Magnetiske materialer [mer i Notat 2] Materialer kan magnetiseres: M = χ m H Diamagnetiske: χ m liten, negativ Paramagnetiske: χ m liten, positiv Ferromagnetiske: χ m stor positiv Strømmer skaper magnetisk feltstyrke H og flukstetthet: B = μ 0 H + μ 0 M = μ 0 H + μ 0 χ m H = μ 0 μ r H.. altså avhengig av relativ permeabilitet μ r og dermed av materialet. I alle tidligere formler kan vi erstatte μ 0 med μ = μ 0 μ r Kontinuitetskrav over grenseflater (skille i μ r ): [Mer i Notat 6] B kontinuerlig B diskontinuerlig H diskontinuerlig H kontinuerlig