EKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME

Transkript

1 Norges teknisknaturitenskapelige uniersitet Institutt for elektronikk og telekommunikasjon ide 1 a 7 Faglærer: Johannes kaar EKAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETIME Fredag 15. august 2014 Oppgae 1 a Anta at en total ladning Q er jent fordelt utoer en kule med radius a. Permittiiteten oeralt er ɛ 0. Finn det elektriske feltet oeralt. b Kula fra forrige oppgae plasseres inne i et kuleskall med radius b, der b > a. Kula og kuleskallet har sammenfallende sentrum. En ladning Q er jent fordelt utoer kuleskallet. Du kan anta at kuleskallet har tilnærmet null tykkelse. Finn det elektriske feltet utenfor kuleskallet. c Kula forskyes litt slik at kula og kuleskallet ikke lenger har sammenfallende sentrum. Kula er fortsatt helt inne i kuleskallet. Anta at ladningsfordelingen i kula og kuleskallet er som før. Blir det elektriske feltet utenfor kuleskallet null? Begrunn saret. d Kuleskallet byttes ut med et kuleskall laget a en ideell leder, men kuleskallets netto ladning er som før = Q. Posisjonen til kula og kuleskallet, samt ladningsfordelingen i kula, er som i forrige deloppgae. Blir det elektriske feltet utenfor kuleskallet null? Horfor/horfor ikke? Forklar både intuitit og matematisk. e Vi ser nå på akkurat samme situasjon som i forrige deloppgae, men i lar det ledende kulleskallet ha null netto ladning. Blir det elektriske feltet utenfor kuleskallet null? Grunngi saret. kisser hordan ladningen er fordelt på kuleskallet du kan anta at det har en endelig tykkelse. Oppgae 2 Et kjent eksperiment går ut på å slippe en magnet igjennom et ledende, ikkemagnetisk rør. Det iser seg at magneten bremses opp og går mye saktere igjennom røret enn et tilsarende, ikke magnetisk legeme ille ha gjort. I denne oppgaen skal i se nærmere på denne eekten.

2 ide 2 a 7 a 2πa l J s l J s Figur 1: Venstre: Et sylindrisk, ikke magnetisk, ledende rør. Høyre: Røret er klippet opp slik at det blir til et rektangel med høyde l og lengde 2πa. a om en forberedelse ser i først på en annen situasjon enn den som ns i gur 1, nemlig en tettiklet solenoide med radius a og høyde l. olenoiden har N iklinger og fører strømmen I. Finn den magnetiske ukstettheten B i solenoiden. olenoiden er lang og tynn og du kan se bort ifra kanteekter og feltet utenfor solenoiden. Anta µ = µ 0 oeralt. b Vi ser nå på lederrøret i gur 1, med radius a og høyde l. I oppgae b, c og d ser i på røret separat, ds. uten at en magnet faller igjennom det. Anta at det går en uniform atestrømtetthet J s på oeraten a røret, normalt på sylinderens akse. Anta at permeabiliteten er µ 0 oeralt. Vis at selinduktansen til røret, sett på som én ikling, er L = µ 0πa 2. 1 l c Det går fortsatt en uniform atestrømtetthet J s rundt røret. Ha blir resistansen R som strømmen I = J s l oppleer på en rundtur? Du kan her tenke deg at røret klippes opp og brettes ut til et rektangel med høyde l og lengde 2πa, og du måler resistansen oer lengden 2πa se g. 1 til høyre. Anta at rektangelet har tykkelse d normalt på papirplanet, og at atestrømmen J s egentlig er en olum-strømtetthet J som er fordelt oer tykkelsen d. Ds. I = J s l = Jld. d His det ed t = 0 går en strøm I 0 = J s l rundt røret, is at strømmen som funksjon a t for t > 0 blir It = I 0 exp t/τ, 2 der τ = L/R. Finn tallsar for tidskonstanten τ når σ = Ω 1 m 1 kobber, a = 1 cm, and d = 1 mm. e I denne deloppgaen regner i grot på situasjonen der magneten faller ned mot og igjennom røret langs rørets akse. Vi antar for enkelhets skyld at den magnetiske uksen Φ er den samme hele eien igjennom røret.

3 ide 3 a 7 iden τ er så liten, il strømmen som induseres a en liten beegelse a magneten, fort forsinne. Vi kan derfor neglisjere lagret energi i form a strøm rundt røret. Videre, siden magneten beeger seg ekstremt lite i løpet a tiden τ, il i kunne se bort fra selinduktansen L når i skal regne ut strømmen som induseres a magnetens beegelse. Anta at magneten faller ned et lite stykke dz mot røret og dermed endrer uksen med dφ. Ha blir strømmen I under denne beegelsen? Hor fort kommer magneten til å falle nedoer? Du kan uttrykke sarene ed dφ/dz. f For å få mest mulig oppbremsing, bør man elge kobber slik i har gjort her eller et materiale med dårligere ledningsene? Ha skjer his i hadde algt en superleder? e for deg at magneten detter nedoer mot røret langs rørets akse. Oppgae 3 Til hert a spørsmålene som er stilt nedenfor, er det foreslått 4 sar. Oppgi hilket sar du mener er best dekkende for hert spørsmål. arene, som ikke skal begrunnes, agis i skjemaet på siste side. Denne siden ries fra og leeres inn som del a besarelsen. Det gis 3 poeng for hert riktig sar, 1 poeng for hert galt sar og 0 poeng for ubesart. Helgardering mer enn ett kryss gir 0 poeng. a To kondensatorer, henholdsis med kapasitans 1 og 2, er koblet sammen i parallell. Parallellkoblingen kan sees på som en kondensator med kapasitans, der = Dette gjelder bare under forutsetning a at i kondensatorene ikke har for stor kapasitans. ii kondensatorene ikke har for liten kapasitans. iii det ikke går feltlinjer fra den ene kondensatoren til den andre. i Ingen a alternatiene oenfor er korrekte. b Hilket/hilke a følgende medier er isotropt/isotrope? i Vann. ii Luft. iii Glass. i Alle mediene ann, luft og glass er isotrope. c Hilke to a Maxwells ligninger blir automatisk tilfredsstilt a denisjonen a Lorentz-potensialene B = A og E = V A t? i B = 0 og AmpereMaxwells lo. ii B = 0 og Gauss' lo. iii B = 0 og Faradays lo. i Alle Maxwells ligninger blir automatisk tilfredsstilt a disse denisjonene.

4 ide 4 a 7 d n ledninger er koblet sammen på en liten lederkule. Vi kaller strømmene i her a ledningene ut fra kula for I i. Da gjelder n i=1 I i = 0 under forutsetning a at i alle potensialene er null. ii det ikke netto akkumuleres eller forsinner ladning i/fra koblingspunktet. iii alle ledningene er ideelle. i Det trengs ingen forutsetninger for dette. e På en orienteringsløp ed Baklidammen i Bymarka er siste post plassert ed en grop. Du legger merke til at kompasset iser helt motsatt a det det skal nordpila peker mot sør. Ha kan årsaken ære? i Det er magnetiske mineraler/stoer i grunnen. ii Det er en høyspentlinje/strømledning i nærheten. iii Kompasset ditt er blitt statisk elektrisk og blir tiltrukket a trøya di. i Du har bomma du er egentlig ed Geitfjellet og har funnet en post som tilhører et annet arrangement.

5 ide 5 a 7 Formler i elektromagnetisme: ref F = Qq 4πɛR ˆR, 2 E = F/q, V P = E dl, V = Q P 4πɛR, E = V, D d = Q fri i, D = ρ, D = ɛ 0 E + P, P = ɛ 0 χ e E, D = ɛe, ɛ = ɛ χ e, = Q/V, = ɛ/d, W e = 1 2 V 2, w e = 1 2 D E, p = Qd, J = NQ, J = σe, P J = J Ed, db = µ 0 Idl ˆR 4π R 2, df = Idl B, F = QE + B, T = m B, m = I, H = B M, M = χ m H, B = µh, µ = µ χ m, µ 0 B = 0, H dl = J d, w m = 1 2 B H, L 12 = Φ 12 I 1 = L 21 = Φ 21 I 2, L = Φ I, W m = 1 2 n I k Φ k = 1 2 k=1 n j=1 k=1 n L jk I j I k, F = W m uten kilder eller tap, F = + W m I=konst, J + ρ t = 0. Maxwells likninger: E = B t, E dl = H dl = H = J + D t, D = ρ, D d = Q fri i, B = 0, B d = 0. B t d, J + D t e = dφ dt, d, Potensialer i elektrodynamikken: B = A, E = V A t, 2 V ɛµ 2 V t 2 = ρ ɛ, 2 A ɛµ 2 A t 2 = µj, V r, t = 1 ρr, t R/cd, Ar, t = µ Jr, t R/cd. 4πɛ R 4π R Grensebetingelser: E 1t = E 2t, D 1n D 2n = ρ sˆn, H 1t H 2t = J s ˆn, B 1n = B 2n. Konstanter: µ 0 = 4π 10 7 H/m ɛ 0 = 1/µ 0 c F/m Lyshastighet i akuum: c 0 = 1/ µ 0 ɛ 0 = m/s m/s Lyshastighet i et medium: c = 1/ µɛ Elementærladningen: e = Elektronets hilemasse: m e = kg tandard tyngdeakselerasjon: g = m/s 2 Graitasjonskonstant: γ = N m 2 /kg 2.

6 ide 6 a 7 Dierensielle ektoridentiteter: ˆx V = V x ilkårlig akse x V + W = V + W V W = V W + W V fv = f V V A B = A B + B A + A B + B A A + B = A + B V A = V A + A V A B = B A A B A + B = A + B V A = V A + V A A = 0 V = 2 V V = 0 A = A 2 A ylindrisk koordinatsystem: V = V ˆr + 1 V r φ ˆφ + V ẑ A = 1 r A = ˆr + ˆφ ra r 1 A z r Ar A z 2 V = 1 r + 1 r A φ φ + A z φ A φ + ẑ raφ r A r φ r V V r 2 φ V 2 færisk koordinatsystem: V = V ˆr + 1 V r θ ˆθ + 1 V r sin θ φ ˆφ Integralidentiteter: V d = V d Ad = A d Diergensteoremet Ad = d A A d = A dl tokes' teorem Kartesisk koordinatsystem: V = V V ˆx + x y ŷ + V ẑ A = A x x + A y y + A z Az A = ˆx + ŷ Ax y A y + ẑ A z x Ay x A x y A = 1 r 2 A r r sin θa θ r sin θ θ + 1 A φ r sin θ φ A = ˆr sin θaφ A θ r sin θ θ φ + ˆθ 1 A r r sin θ φ ra φ + ˆφ raθ A r r θ 2 V = 1 r r 2 sin θ r 2 V θ 1 2 V r 2 sin 2 θ φ 2 sin θ V θ 2 V = 2 V x V y V 2 2 A = 2 A x ˆx + 2 A y ŷ + 2 A z ẑ

7 ide 7 a 7 EMNE TFE4120 ELEKTROMAGNETIME KANDIDATNR.:... arkupong Merk med kryss i de aktuelle rutene. Kun ett kryss for hert spørsmål. pørsmål Alt. i Alt. ii Alt. iii Alt. i a b c d e