EKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME

Transkript

1 Norges teknisk naturitenskapelige uniersitet Institutt for elektronikk og telekommunikasjon ide 1 a 7 Faglærer: Johannes kaar EKAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETIME Mandag 3. august 2015 Oppgae 1 a Gitt to ideelt ledende, konsentriske kuleskall med radius henholdsis a og b. Volumet mellom de to lederne grått område på figuren er først fylt med et rent dielektrisk medium med permittiitet ɛ. Finn kapasitansen til en slik kondensator. b a b Kontroller saret i a ed å ise at kapasitansen blir som for en parallellplatekondensator når sjiktet mellom lederne blir eldig tynt. Ha blir kapasitansen til en enkelt ledende kule omgitt a materialet ɛ? Tips: Betrakt denne som kulekondensatoren i a når b er mye større enn a. c Vi bytter nå ut det dielektriske mediet mellom de ledende kuleskallene med et delis ledende medium med konduktiitet σ. Finn resistansen målt mellom de ledende kuleskallene. d En ideell lederkule med radius a graes langt ned i jorda. Ha blir jordingsresistansen målt fra lederkula? En arm sommerdag klager det elektriske anlegget oer at jordingsresistansen ikke er som den burde ære. Ha kan årsaken ære?

2 ide 2 a 7 Oppgae 2 a En lang og tynn, tettiklet solenoide fører strømmen I. olenoiden har N iklinger, radius a og lengde l. Finn den magnetiske flukstettheten B i solenoiden. Du kan ta for gitt at B er rettet langs aksen til solenoiden, og at feltet utenfor solenoiden er neglisjerbart. Anta at permabiliteten er µ 0 oeralt. b Finn selinduktansen L til solenoiden. c olenoiden fra forrige delspørsmål er festet til en turbin slik at den roterer med inkelhastighet ω om en akse normalt på sylinderaksen, se fig. 1. Vannstrømmen som drier turbinen er regulert slik at turbinens inkelhastighet ω er konstant. Vi antar først at solenoiden ikke er koblet til noe, så strømmen i den er null. Det er et homogent og tidsuahengig felt B 0 i området der solenoiden befinner seg. Feltet står normalt på rotasjonsaksen, og i antar at ed t = 0 er solenoidens akse i samme retning som feltet. Finn den induserte emf en e i solenoiden. ωt I B 0 Figur 1: En tettiklet solenoide med N iklinger og radius a roteres i et uniformt B 0 -felt. Rotasjonsaksen kommer ut a papiret, og er markert med en sart prikk i midten a solenoiden. Figuren iser et øyeblikkbilde ed t = 0. Etter en tid t har solenoiden rotert en inkel ωt. d olenoiden er nå koblet til en last med resistans R som roterer med solenoiden. Forklar horfor systemet tilfredsstiller følgende ligning e L di dt der e er emf en du fant i forrige deloppgae. = RI, 1 e Finn I under forutsetning a at L er neglisjerbar. Finn også det mekaniske momentet T som irker på solenoiden pga. strømmen. f Krafterket som i har sett på i denne oppgaen, er eneste kraftforsyning til et isolert samfunn uten elektrisk tilknytning til utenomerden. I en kjent sketsj Norsk sluttstrøm påstås det at det er nødendig å bruke opp den strømmen som blir til oers. Ds. his forbrukerne ikke bruker opp alt som produseres, må de flittige arbeidskarene i Norsk sluttstrøm gjøre det. Ut fra modellen i har sett på i denne oppgaen, forklar horfor sketsjen bare må ære tull.

3 ide 3 a 7 Oppgae 3 Til hert a spørsmålene som er stilt nedenfor, er det foreslått 4 sar. Oppgi hilket sar du mener er best dekkende for hert spørsmål. arene, som ikke skal begrunnes, agis i skjemaet på siste side. Denne siden ries fra og leeres inn som del a besarelsen. Det gis 3 poeng for hert riktig sar, 1 poeng for hert galt sar og 0 poeng for ubesart. Helgardering mer enn ett kryss gir 0 poeng. a e på bildet a en magnet som har trukket til seg jernfilspon. Horfor er det mest spon på hjørnene og kantene til magneten? Figur 2: En magnet har trukket til seg jernfilspon. i Fordi magnetiseringen i permanentmagneter alltid er sterkest ed hjørnene. ii Kraften på en magnetisk dipol i et uniformt B-felt er null. Der feltet endrer seg raskt med posisjon, fås derimot en stor kraft. iii Kraften på en magnetisk dipol er størst der B-feltet er uniformt. i Fordi han som tok bildet har flyttet på jernfilsponet for å få et fint bilde. b Du finner på en nettside at energien i et elektromagnetisk system er gitt a W = 2QV + Ba 2 J, 2 der Q er ladning, V er potensialforskjell, B er B-felt, a er en lengde og J er strømtetthet. En dimensjonsanalyse iser at i Begge leddene er feil. ii Det første leddet har riktig dimensjon mens det andre er feil. iii Det første leddet er feil mens det andre har riktig dimensjon. i Begge leddene har riktig dimensjon.

4 ide 4 a 7 c Vi ønsker å fordoble kapasitansen til en parallellplatekondensator. Dette får i til ed å i fordoble astanden mellom platene og firedoble ɛ til det dielektriske mediet mellom platene. ii halere astanden mellom platene. iii la platene få dobbelt så stort areal. i Alle alternatiene oenfor er korrekte. d En parallellplatekondensator består a to parallelle, kadratiske lederplater, her med areal a 2, og med en astand d mellom seg. Anta at d a. Området mellom platene er fylt a et medium med permanent polarisering P. His i definerer kapasitansen til å ære = dq/dv, ha er riktig? i = ɛ 0 a 2 /d. ii = ɛa 2 /d. iii = ɛ 0 a 2 /d + P a 2 /d. i = ɛ 0 a 2 /d + P. e B. Flusk skal finne B-feltet i sentrum a en ring som fører den konstante strømmen I. Ringen har radius a, og det er akuum oeralt rundt ringen. Han skrier som følger: Bruker Amperes lo og får ha. symmetri at H2πa = I, og derfor B = µ 0 H = µ 0 I/2πa. Ha il du si til Flusk? i Både metoden og saret er riktige men gjør bedre rede for symmetriargumentet! ii Verken metoden eller saret er riktig. Hilken kure har du integrert oer, og hilken ei er H rettet langs denne kuren? iii Ærlig talt, du er en stor idiot! Bruk i stedet loen B-felt som ringer er som fiskens finger. i Glem Amperes lo da. Apropos ringer, il du gifte deg med meg?

5 ide 5 a 7 Formler i elektromagnetisme: ref F = Qq 4πɛR ˆR, 2 E = F/q, V P = E dl, V = Q P 4πɛR, E = V, D d = Q fri i, D = ρ, D = ɛ 0 E + P, P = ɛ 0 χ e E, D = ɛe, ɛ = ɛ χ e, = Q/V, = ɛ/d, W e = 1 2 V 2, w e = 1 2 D E, p = Qd, J = NQ, J = σe, P J = J Ed, db = µ 0 Idl ˆR 4π R 2, df = Idl B, F = QE + B, T = m B, m = I, H = B M, M = χ m H, B = µh, µ = µ χ m, µ 0 B = 0, H dl = J d, w m = 1 2 B H, L 12 = Φ 12 I 1 = L 21 = Φ 21 I 2, L = Φ I, W m = 1 2 n I k Φ k = 1 2 k=1 n j=1 k=1 n L jk I j I k, F = W m uten kilder eller tap, F = + W m I=konst, J + ρ t = 0. Maxwells likninger: E = B t, E dl = H dl = H = J + D t, D = ρ, D d = Q fri i, B = 0, B d = 0. B t d, J + D t e = dφ dt, d, Potensialer i elektrodynamikken: B = A, E = V A t, 2 V ɛµ 2 V t 2 = ρ ɛ, 2 A ɛµ 2 A t 2 = µj, V r, t = 1 ρr, t R/cd, Ar, t = µ Jr, t R/cd. 4πɛ R 4π R Grensebetingelser: E 1t = E 2t, D 1n D 2n = ρ sˆn, H 1t H 2t = J s ˆn, B 1n = B 2n. Konstanter: µ 0 = 4π 10 7 H/m ɛ 0 = 1/µ 0 c F/m Lyshastighet i akuum: c 0 = 1/ µ 0 ɛ 0 = m/s m/s Lyshastighet i et medium: c = 1/ µɛ Elementærladningen: e = Elektronets hilemasse: m e = kg tandard tyngdeakselerasjon: g = m/s 2 Graitasjonskonstant: γ = N m 2 /kg 2.

6 ide 6 a 7 Differensielle ektoridentiteter: ˆx V = V x ilkårlig akse x V + W = V + W V W = V W + W V fv = f V V A B = A B + B A + A B + B A A + B = A + B V A = V A + A V A B = B A A B A + B = A + B V A = V A + V A A = 0 V = 2 V V = 0 A = A 2 A ylindrisk koordinatsystem: V = V ˆr + 1 V r φ ˆφ + V ẑ A = 1 r A = ˆr + ˆφ A r 1 A z r Ar A z 2 V = 1 r + 1 r A φ φ + A z φ A φ + ẑ Aφ r A r φ r V V r 2 φ V 2 færisk koordinatsystem: V = V ˆr + 1 V r θ ˆθ + 1 V r sin θ φ ˆφ Integralidentiteter: V d = V d Ad = A d Diergensteoremet Ad = d A A d = A dl tokes teorem Kartesisk koordinatsystem: V = V V ˆx + x y ŷ + V ẑ A = A x x + A y y + A z Az A = ˆx + ŷ Ax y A y + ẑ A z x Ay x A x y A = 1 2 A r r sin θa θ r sin θ θ + 1 A φ r sin θ φ A = ˆr sin θaφ A θ r sin θ θ φ + ˆθ 1 A r r sin θ φ A φ + ˆφ Aθ A r r θ 2 V = 1 r r 2 sin θ r 2 V θ 1 2 V r 2 sin 2 θ φ 2 sin θ V θ 2 V = 2 V x V y V 2 2 A = 2 A x ˆx + 2 A y ŷ + 2 A z ẑ

7 ide 7 a 7 EMNE TFE4120 ELEKTROMAGNETIME KANDIDATNR.:... arkupong Merk med kryss i de aktuelle rutene. Kun ett kryss for hert spørsmål. pørsmål Alt. i Alt. ii Alt. iii Alt. i a b c d e