Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 14 (12).
|
|
- Even Iversen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () For å gi et inntrkk a integrasjonsrekkefølgens betdning er oppgaene fra asnitt løst på begge måtene Vi får forskjellige ttrkk ahengig a integrasjonsrekkefølgen og i kan ende opp med generaliserte integraler sel om den opprinnelige integranden er definert på hele integrasjonsområdet Oppgae 7 (7 ) Vi skal løse integralet dd ) Ved integrasjon i ariabelen er ariabelen konstant Vi løser først integralet d d d ed sbstitsjonsmetoden som gir d ( ) Ne integrasjonsgrenser blir Nedre: og Øre: ette gir ermed er d d d ln ln( ) ln ln( ) dd hor i derierer bort logaritmen Setter U U d og elis integrasjon gir ln( ) d Integralet løses som anlig ed delis integrasjon ln( ) d ln( ) d V ln( ) V ln( ) d ln( ) d ln ln d ln ln( ) ln ( ln ( ln)) ln, Hor i har brkt at, som også kan finnes ed polnomdiisjon Omskriingen er nødendig siden telleren ikke har laere grad enn neneren ) Integralet kan også beregnes ed å btte rekkefølgen: dd dd
2 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () Nå har telleren samme grad som neneren og i må polnomdiidere I polnomdiisjonen i ariabelen betraktes som konstant iisjonen gir: : ( ) ln( ) Innsatt får i dd dd d ln( ) d et siste integralet løses ed delis integrasjon og delbrøkoppspalting I ln( ) d lar i U U d og V ln( ) V Innsatt i formelen for delis integrasjon finner i ln( ) d ln( ) d ln( ) d ( ) Vi bentter delbrøkoppspalting på det siste integralet og finner A B A( ) B Valget gir A og alget gir B ( ) ermed er ( ) et siste integralet blir ( ) d d ln( ) ln( ) Totalt gir integrasjonen ln( ) d ln ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) Siden integranden ikke er definert i er ln( ) d et generalisert integral Verdien bestemmes som en grense: ln( ) d lim ln( ) d A A A lim ln( ) ln( ) lim ln( ) ln( ) ( ln( A) ln( A )) A ln ln lim A ln( ) ln ln lim A ln( ) A A A A A A
3 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () en siste grensen er et bestemt ttrkk a tpen og bestemmes fra L Hopitals regel som ln( A) A lim lim, A A A med resltat dd lim ln( ) d ln A A et er enklere å løse integralet ed først å integrere i ariabelen, siden en slipper hele problematikken med generalisert integral Integranden i dobbelintegralet er definert på hele området, men integrasjon først i ariabelen gjør at integranden ikke er definert i Vi ser at ttrkkene kan endre karakter ed å btte integrasjonsrekkefølge Oppgae 6 (6 ) ) Integralet blir etter at i har beskreet integrasjonsområdet som enkelt: sin( ) da sin( ) dd Vi brker delis integrasjon i ariabelen U U og V sin( ) V sin( ) d cos( ) Innsatt gir dette sin( ) d cos( ) ( cos( )) d cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) sin Vi kan brke trigonometriske formler til å forenkle ttrkket til cos sin ikke nødendig, men det er sin( ) dd cos( ) sin( ) sin d sin( ) cos( ) cos sin( ) cos( ) cos ( sin( ) cos( ) cos( ) ) Integralet blir etter at i har beskreet integrasjonsområdet som enkelt: sin( ) da sin( ) dd cos( ) d
4 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () cos cos( ) d (cos( ) cos ) d Igjen kan ttrkket forenkles, nå til cos, men heller ikke dette er nødendig elis integrasjon gir U U og V cos( ) cos V cos( ) cos d sin( ) sin (cos( ) cos ) d (sin( ) sin ) (sin( ) sin ) d cos( ) cos cos cos cos( ) cos Oppgae ( ) ) Integrasjonsområdet beskries som enkelt og integralet blir da dd Vi ser først på d Variabelskiftet ( sbstitsjonen ) d d d d gir ( ) Ne grenser Nedre: og Øre: ermed d d d ln ln( ) (ln( ) ln) Integralet blir ln( ) ln( ) dd d d ette er et generalisert integral sel om dobbelintegralet ikke er det Følgelig får i en grenseberegning i tillegg til innsettingene Vi brker delis integrasjon for å kitte oss med logaritmedelen:
5 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () U U d V ln( ) V og Innsatt ln( ) ln( ) dd d d ln( ) ln( ) lim d ln lim tan ln tan tan ln ) Området beskreet som enkelt gir integralet da dd Vi ser først på d Variabelskiftet ( sbstitsjonen ) gir d d d d ( ) Ne grenser Nedre: og Øre: ermed er d d d tan tan tan tan Innsatt tan tan dd d d Vi kitter oss med iners tangens ed hjelp a delis integrasjon: U U d og V tan V Vi får tan d tan d ln tan tan ln( ), 5
6 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () hor i benttet sbstitsjonen d d d d ln ln( ) d d med Oppgae 5 ( 7) Vi skal btte integrasjonsrekkefølgen i integralet dd Når i btter integrasjons- rekkefølgen må integrasjonsområdet beskries på ntt obbelintegralet er gitt ed iterert integrasjon og i finner først likhetene for integrasjonsområdet isse er integrasjons- grensene i ariabelen som det integreres oer i hert enkelt integral Integrasjonsområdet er beskreet som enkelt og er Vi bestemmer først randa til området enne er gitt ed finne som fnksjon a e to første likningene gir gir at og Kadrering a den siste gir, Vi trenger å,, obbellikheten Samlet gir dette Området er agrenset a en parabel og en rett linje En figr iser at er mlig å resonnere seg fram til dette også, men det er esentlig enklere med figr etter btte a integrasjonsrekkefølge blir da som enkelt område et Vi får 6 dd dd d d Oppgae 7 (5) Problemet med integralet sin dd er at i ikke kjenner noen antideriert til sin d I stedet er det slik at integralet definerer en n fnksjon, på samme måte som d definerer logaritmefnksjonen ln Fnksjonen sin d er ikke iktig nok til å ha eget nan 6
7 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () ermed kan ikke integrasjonen tføres Vi merker oss at integrasjonsområdet beskreet som enkelt gjør at integralet er løselig ette er den tterste ersjon a at integrasjonen ahenger a integrasjonsrekkefølgen Vi skal btte integrasjonsrekkefølge og må beskrie integrasjonsområdet på ntt Fra integralet finner i den enkle beskrielsen a området: Btte a integrasjonsrekkefølgen kreer at i bestemmer området som enkelt Vi finner som den ene randkren Videre har i at Siden må den andre ære ermed er, noe som enkelt finnes fra en figr ermed er sin sin sin dd d d d sin d cos cos cos, hor i har benttet at sin er konstant når det integreres i Merk at integralet ar løselig kn fordi området ar så spesielt at i fikk forkortet i neneren Andre former på området, f eks et kadrat, mliggjør forkortingen og integralet forblir løselig ansett integrasjonsrekkefølge Oppgae 57 (5) Oenfra er legemet agrenset a paraboloiden Øre Nedenfra er legemet agrenset a planet Nedre I planet er projeksjonen a legemet agrenset a linjene, og Vi bestemmer agrensingen langs aksen ed å bestemme skjæringspnktet til linjene: ermed har i beskreet projeksjonen a legemet som en øerste likheten framkommer ed å bestemme hem a linjene som gir størst erdi i Volmet a legemet er ( ) da da Øre Nedre d d d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d Kommentar: Volmet a et legeme er alltid gitt ed ( ) dv ette gjelder ahengig 7
8 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () a koordinatsstem Her integreres den konstante fnksjonen f (,, ), og denne har samme erdi i alle koordinatsstemer Beskrielsen a legemet er Trippelintegralet gir ( ) d d d d d d d, som er dobbelintegralet oer a Øre Nedre, i oerensstemmelse med olmformelen fra dobbelintegral Oppgae 5 () Vi nøer oss med å beregne integralet fra sin cos tan tan () cos sin Integrasjon gir d d Skjæringspnktet til krene bestemmes cos cos sin sin d d d cos sin d sin cos sin cos (sin cos ) Oppgae (7) Gjennomsnittet a en fnksjon i to ariable er f f (, ) da Gjennomsnittshøden a ( ) 8 er h h(, ) da dd d d a ( ) 8 8 Oppgae () Fra integrasjonsgrensene i integralet d d følger at området er Vi har at området ære i kadrant Området er dermed kartsirkelen Siden både og er positie må r Med 8
9 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () r blir integralet 8 d d r r dr d r d Oppgae 8 (8) Arealet a et område er a( ) da, som gjelder ahengig a koordinatsstem Siden randa til området er beskreet i polare koordinater beskrier i området direkte i polare koordinater Krene skjærer herandre når cos cos () ette gir r cos Arealet blir cos cos a ( ) rdrd r d ( cos ) d cos cos d cos ( cos ) d sin ( sin ) {sin ( sin ) sin( ) ( sin( )} ( ) Oppgae () Integralet d d er et generalisert integral siden integrasjonsområdet er ( ) begrenset Integrasjonsområdet er polare koordinater blir området integralet r, som i kjenner igjen som hele kadrant I Med ( ) d d ( r ) r og dd da rdrd blir r dr d Vi ser på r integralet for seg Vi hadde opprinnelig to generaliserte integraler, men etter d ariabelskiftet er det kn ett igjen Vi sbstiterer r dr e ne grensene blir r r og r Integralet blir d r dr r d ( r ) r 9
10 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () Egentlig skal integralet beregnes som en grenseerdi d (lim B ) Siden B grensen ikke er bestemt og har erdi så brkes samme innsettingsnotasjon som for bestemte integral, sel om dette strengt tatt ikke er riktig Vi får ( ) d d d Oppgae 57 (57) cos( w) d d dw sin( w) d dw sin( w) sin( w) d dw cos( w) cos( w) dw cos( w) cos( w) cos( w) cos( w) dw cos( w) cos wdw sin( w) sin w (sin( ) sin sin( ) sin) Vi har kn integrert i en ariabel a gangen og satt inn grenseerdiene for denne et er intet poeng å forsøke å forenkle ttrkket ed å brke addisjonsformlene for sins og cosins Videre har i brkt at perioden er Oppgae 55 (55) I oktant er alle tre ariablene positie Planet ermed er agrensingen ertikalt Slinderen gir agrensingen Vi trenger projeksjonen a legemet i planet Vi trenger agrensingen langs aksen Fra planet har i med at Fra slinderen har i at med samme resltat som for planet siden legemet er i oktant ermed er Vi har fnnet følgende beskrielse a legemet: Vi ser at integrasjonsrekkefølgen aiker noe fra standard, dette for å slippe å løse som fnksjon a som gir en kadratrot Volmet blir ( ) dv d d d ( ) ( )( ) d d d d d d
11 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () 6 8 d Oppgae 67 (67) Massen til et område i planet med tetthet ( er, ) m (, ) da M M Massesentret, som er legemets balansepnkt i et homogent tngdefelt, er C, m m, med momentene M (, ) da og M (, ) da Treghetsmomentene om aksene er I (, ) da, I (, ) da og I da Vi ser at ( ) (, ) I I I Groradiene, som er astanden fra rotasjonsaksen til en ekialent pnktmasse, ds at pnktmassen har samme treghetsmoment om aksen som hele legemet, er I m og I Merk at treghetsmomentene og dermed groradiene anligis er m forskjellige for de forskjellige aksene Vi skal beregne c, I og Vi må først beregne massen til den tnne platen Området er gitt som Med tettheten (, ) 7 blir massen ed innsetting a ttrkket for tettheten m d d d d Massesentrets koordinat er M C (, ) da M (, ) da m m (7 ) 5 d d d d Massesentrets koordinat er Treghetsmomentet om aksen er C 5 5 I (, ) da (7 ) 5 5 d d d d Groradien blir da I m I m,
12 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () Oppgae 6 Kn komponenten Vi må finne en beskrielse a legemet Fra opplsningene om har i gjenstår å bestemme projeksjonen i planet Vi har at for å slippe kadratroten som følger his i løser for Paraboloiden planet i Legemet er i første oktant og dermed er minsløsningen er telkket Videre er kren et og ønsker å beholde denne skjærer, mindre enn siden den går gjennom origo a gjenstår agrensingen langs aksen Vi har at krene skjærer herandre når Første oktant gir Legemet blir Vi skal beregne C, I og Til dette trenger i massen m dv ( ) k d d d k d d k d d k d k d k k( ) k Massesentrets komponent er C M m M (,, ) dv k d d d k k 5 k d d ( ) dd (6 8 ) dd k d k 8 6 d k 5 8 k ( ) k Massesentrets koordinat er C M m k k 8 7 Merk at både massen og momentet ahenger a proporsjonalitetsfaktoren k, mens massesentret er ahengig a proporsjonalitetsfaktoren, k Massesentret ahenger kn a hordan massen er fordelt i legemet ette er rimelig siden to legemer med samme massefordeling har massesentret på samme sted sel om det ene legemet har dobbelt så stor masse som det andre, ds har dobbel så stor k
13 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () Treghetsmomentet om aksen er I dv ( ) (,, ) ( ) ( ) k d d d k d d 5 k ( )( ) d d k ( ) ( ) d d ( 6 ) ( ) 6 k d k d k k( ) k Groradien er I m k k 5 56 Igjen er treghetsmomentet ahengig a proporsjonalitetsfaktoren, k, mens groradien ikke ahenger a k Groradien er ahengig a massefordelingen og ikke a skaleringsfaktoren Oppgae 76 (76) Vi skal stille opp f ( r,, ) dv som et iterert integral oer det gitte området, som er en slinder Vi bør a den grnn elge slinderkoordinater Vi har at 5 Siden ttrkket inneholder koordinaten må i brke r cos, r sin for å skrie om ttrkket Slinderkoordinater kan kn inneholde r,, som ariable Omskriingen blir 5 r cos Projeksjonen er gitt ed r cos Siden sirkelen går gjennom origo blir likningen for inklene r cos ette kan også ses direkte a figren, når i merker oss a aksen peker t a papirplanet ermed er 5 rcos r cos Integralet på iterert form blir cos 5 r cos (,, ) (,, ) f r dv f r r d dr d Vi skal som spesialtilfelle beregne olmet a slinderen a er f ( r,, ) som gir cos 5 r cos cos cos 5 ( ) r dr d r (5 r cos ) dr d r r cos d cos 9 cos d cos d 9 cos d Vi må beregne integralene for seg 5 5
14 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () cos ( cos ) sin d d og cos d cos ( sin ) d cos ( cos sin ) d sin ( ) d ( cos ) 8 sin 8 8 d Volmet blir ( ) Oppgae 78 (78) Her er det natrig å brke klekoordinater siden deler a oerflaten til legemet er en kleflate Igjen må i beskrie området i rommet Legemet er mellom kjegleflaten og planet ette gir, siden inkelen langs den positie aksen ermed er Volmet er ( ) sin dv d d d sin cos ( cos cos ) d d d ette gir en oppdeling a halklen i to deler med samme olm eleinkelen fra toppen er 6 Oppgae 766 (766) Gjennomsnittet er f ( ) f (,, ) dv cos sin d d d cos sin d d 6 sin 6 cos ( cos cos ) 8 d d d Merk at siden cos så har i beregnet gjennomsnittshøden til halkleflaten oer planet For en generell halkle er den h 8, noe som innses direkte fra beregningene
15 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () Oppgae 89 (89) Vi skal beregne integralet da hor integrasjonsområdet er agrenset a, 9,, hor de to første krene er hperbler og de to siste er rette 9 linjer Løst for blir hperblene, Vi skal skifte til ne ariable, med, Her kjenner i de gamle koordinatene som fnksjon a de ne, så i slipper å løse likningene for de gamle ttrkt ed de ne Vi finner først den ne integranden ;, Vi må finne det ne integrasjonsområdet G Vi et at koordinatskiftet tar randa til G på randa til og ice ersa Vi skifter derfor ariable i likningene for randkrene til området Innsatt i den første hperbelen gir dette Siden tilsarende randkren for området G en andre hperbelen gir 9 Siden rette linjen gir er den blir tilhørende randkre for G en første og med er den tilsarende randkren for G en andre linja gir den siste randkren for det ne området G: som med er, et ne integrasjonsområdet blir G og dette gir de ne integrasjonsgrensene Variabelskifteformelen er f (, ) da f ( (, ), (, )) J (, ) da Vi må beregne jacobideterminanten til ariabelskiftet/koordinattransformasjonen ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) J Innsatt i integralet blir dette (, ) ( ) ln G f da da d d d G 5 ln d ln 8ln 9 ln ln 8 Oppgae 8 (8) Integralet ( ) ( ) e d d skal løses ed å bentte koordinattransformasjonen 5
16 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel (), Området er beskreet som enkelt og integrasjonsgrensene er gitt Integrasjonsområdet er Vi må bestemme det ne området G ed å bentte at koordinattransformasjonen oerfører på G og omendt Vi har ( ) Vi setter transformasjonslikningene inn i likningene for randa til området Likningene oerføres da til de ne koordinatene, og siden rendene er i en til en korrespondanse, så er dette likningene for randa til det ne området, G Vi setter inn i likningene etter tr:, ( ), og Vi har fnnet Med dette er de ne integrasjonsgrensene aklart og det ne området er G G Vi trenger å bestemme integranden i de ne koordinatene Vi må først omforme ( ) Integranden i de ne koordinatene blir ( ) ( ) ( ) e ( ) e e Til sltt trenger i jacobideterminanten til koordinattransformasjonen (, ) J (, ) Innsatt blir integralet i ne (, ) koordinater ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e d d ( ) 8 e d d e d e d dw dw dw et siste integralet løser i ed sbstitsjon i en ariabel Lar w d e ne integrasjonsgrensene blir: Nedre grense: w 6 ermed er integralet ( ) 8 w og Øre grense: 6 w 6 w e d d 8 e d 8 e e dw e e e 6
17 Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () Oppgae 8 (8) Vi skal beregne trippelintegralet dv oer området agrenset a,, ed å bentte ariabelskiftet/koordinattransformasjonen,, w Her kjenner i de ne koordinatene,, w som fnksjoner a de gamle koordinatene,, ette gjør at i må løse likningene for å finne de gamle koordinatene som fnksjoner a de ne Med G som området beskreet i de ne koordinatene gir ariabelskifteformelen for trippelintegral f (,, ) dv g(,, w) J (,, w) dv, hor den ne integranden bestemmes ed å sette inn for de gamle koordinatene i f (,, ) Vi starter med å finne integrasjonsområdet G I stedet for å bestemme randa til så setter i inn de ne ariablene direkte i likhetene ette gir w (,, ) (,, w ) Fra likhetene har i det ne integrasjonsområdet G w Her ar opplsningene slik at det ikke lønte seg å gå ia randa til, sel om også dette hadde ført fram Vi trenger de gamle koordinatene som fnksjoner a de ne Fra ttrkkene har i direkte at, w et gjenstår å bestemme Vi har Transformasjonen er w Jcobideterminanten er G w ù w w (,, ) ( ) ( ) ( ) (,, w) w w ( w) ( w) ( w) w w J (,, w), siden determinanten er øre trianglær Ìntegranden bestemmes ed direkte innsetting f (,, ) w w g(,, w ) Trippelintegralet blir w dv ( w) dwd d ( ) dwd d w 9 ( ( ) ( ) w d d d d d d ln ( ln ( ln)) ln 7
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 12 (15).
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 7 ( 5) Vi skal btte integrasjonsrekkefølgen i integralet dd Når vi btter integrasjons- rekkefølgen må integrasjonsområdet beskrives på ntt Dobbelintegralet
DetaljerLøsning 1 med teori, IM3 høst 2012.
Løsning med teori, IM3 høst Oppgae a) Vi obsererer at ttrkket er bestemt og i ndersøker det først langs koordinataksene Langs - aksen er Innsatt gir dette sin( ), Langs - aksen er Innsatt gir dette sin(
DetaljerLøsning 1med teori, IM3 høst 2011.
Løsning med teori, IM høst 0 Oppgae a) Vi obsererer at ttrkket er bestemt og i ndersøker det først langs koordinataksene Langs - aksen er = 0 Innsatt gir dette sin( ), 0 Langs - aksen sin( ) cos( ) er
DetaljerForkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Vektorer.
I dette lille notatet skal jeg gi en kortfattet oersikt oer grnnleggende ektorregning Me a dette er forhåpentlig kjent fra før, men det skader sikkert ikke med en kort repetisjon Definisjoner Mange a de
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i REA2041 - Fysikk, 5.1.2009
Løsningsforslag til eksamen i EA04 - Fysikk, 5..009 Oppgae a) Klossen er i kontakt med sylinderen så lenge det irker en normalkraft N fra sylinderen på klossen og il forlate sylinderen i det N = 0. Summen
DetaljerTegn en skisse som tydelig viser integrasjonsområdet og grensene: = 1 3. dy = 1 3
Integral y x Vi har integralet e x dxdy yx y Tegn en skisse som tydelig iser integrasjonsområdet og grensene: Integrassjonsområdet bestemmes a øre og nedre grenser i integralene Integranten har ingen betydning
Detaljeru 4 du = 1 5 u5 + C = 1 5 (x2 +4) 5 + C u 1/2 du = 1 2 u1/2 + C = 1 2
4 Ukeoppgaver, ke 4, i Matematikk, Sbstitsjon. Fasit, Sbstitsjon. Oppgave a) Med = +4er = slik at d d = d =d. Dermed kan faktorene d i integralet erstattes med d, mens + 4 inne i parentesen erstattes med
DetaljerPARAMETERFRAMSTILLING FOR EN KULEFLATE
1 PARAMETERFRAMSTILLING FOR EN KULEFLATE Vi har tidligere sett hordan i kan lage en parameterframstilling for et plan ed å uttrykke koordinatene ed to parametere, f. eks s og t. Fra 1.2 et i at x = x0
DetaljerLøsning, Trippelintegraler
Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Løsning, rippelintegraler Oppgave a) b) c) 6 x + + ) d d dx x + +/) d dx x) d d dx x + + /] d dx x + /+/] dx x +6)dx 8 6 d ) ) d xdx 6 ) ) ) d d xdx 6 8
DetaljerTFE4120 Elektromagnetisme
NTNU IET, IME-fakultetet, Norge teknisk-naturitenskapelige uniersitet TFE412 Elektromagnetisme Løsningsforslag repetisjonsøing Oppgae 1 a) i) Her er alternati 1) riktig. His massetettheten er F, il et
DetaljerLøsning IM3 15.06.2011.
Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Trond Digernes 75957 Berner Larsen 7 59 5 5 Lisa Lorenten 7 59 5 8 Vigdis Petersen 75965 ide av Vedlegg: Formelliste IF55 Matematikk ide av Oppgave Et plant
DetaljerVektoranalyse TFE4120 Elektromagnetisme
Vektoranalyse TFE4120 Elektromagnetisme Johannes kaar, NTNU 4. januar 2010 1 Integraler og notasjon Linjeintegral Et linjeintegral a et ektorfelt A oer en kure C skrier i C A d l. Når kuren er lukket tegner
DetaljerLøsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 13, (16).
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel, (6) Oppgave 7 ( 67 ) Kurven rt () (, t,), t t ligger i - planet Dette gir alternativ b eller f Setter inn t som gir punktet (, ) som bare er med i alternativ
DetaljerLøsning til eksamen i ingeniørmatematikk
Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk 3 78 Oppgave Vektorfeltet har komponenter og er funksjon av variable Jacobimatrisen er av type ( xy) ( xy) x y ( yx) ( yx) xy x y xy Innsatt finner vi JF ( x, y)
DetaljerKap 5 Anvendelser av Newtons lover
Kap 5 Anendelser a Newtons loer 5.7 En stor kule holdes på plass a to lette stålkabler. Kulens asse er 49 kg. a) este strekket (kraften) T i kabelen so danner en inkel på 4 ed ertikalen. b) este strekket
DetaljerR2 - Kapittel 1: Vektorer
R2 - Kapittel : Vektorer Kompetanseniåer: L(at), M(iddels), H(øyt) Vanlige feil og tips: I (L) Løsningsskisser Korrekt og konsekent arunding: Teoretiske oppgaer: Eksakte tall eller 3 gjeldende siffer.
DetaljerECON 3610/4610 høsten 2012 Veiledning til seminaroppgave 2 uke 37
Jon Vislie ECO 360/460 høsten 0 Veiledning til seminaroppgae uke 37 I de første forelesningene har i sett på følgende problemstilling (modell): Velg den allokering a arbeidskraft til fremstilling a to
DetaljerLøsning IM
Løsning IM Oppgave Den retningsderiverte er D f ( a) u f ( a), når funksjonen er deriverbar i punktet u f f ( y ) ( y ) Innsatt f,, ( y, y ) Den derivertes verdi i punktet er f (,) ( ( ),( ) ) (,) (,)
DetaljerBjørn Davidsen MATEMATIKK FOR INGENIØRER. Integrasjon med anvendelser
Bjørn Davidsen MATEMATIKK FOR INGENIØRER Integrasjon med anvendelser Integrasjon med anvendelser Side Innhold: FORORD INTEGRASJON DE GRUNNLEGGENDE DEFINISJONENE GRUNNLEGGENDE INTEGRASJONSREGLER 6 Generelle
DetaljerOppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.
NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For
DetaljerLøsning IM
Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene
DetaljerMatematikk R1. Odd Heir Gunnar Erstad Ørnulf Borgan Håvard Moe Per Arne Skrede BOKMÅL
Matematikk R Odd Heir Gnnar Erstad Ørnlf Borgan Håard Moe Per Arne Skrede BOKMÅL Matematikk R dekker målene i læreplanen a 006 for Matematikk R i stdiespesialiserende tdanningsprogram H Aschehog & Co (W
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:
DetaljerNewtons lover i to og tre dimensjoner
Newtons loer i to og tre dimensjoner 6..17 FYS-MEK 111 6..17 1 Beegelse i tre dimensjoner Beegelsen er karakterisert ed posisjon, hastighet og akselerasjon. Vi må bruker ektorer: posisjon: r( = x t i +
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 18/10-22/10
Fasit til utalgte oppgaer MAT00, uka 8/0-/0 Øyind Ryan (oyindry@ifiuiono October 5, 00 Oppgae 645 a g er definert der neneren er 0, det il si der tan 0, og der tan er definert Førstnente utelukker bare
DetaljerSIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag
SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver
DetaljerLøsning MET Matematikk Dato 03. juni 2016 kl
Løsning MET 803 Matematikk Dato 03. jni 206 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi løser det lineære sstemet for s 8 ved Gass-eliminasjon: 6 3 3 3 6 3 3 2 2 0 5 3 3 3 6 z 5 0 0 0 z 0 Vi ser at z er en fri variabel,
DetaljerNicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1 Fra grafen for ser vi følgende
DetaljerNTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 5. Avsnitt Vi vil finne dx ( cos t dt).
NTNU Instittt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 5 Avsnitt 5.4 ( + cos x)dx = dx + cos xdx = π + [sin x] π = π + (sin π sin) = π. 44 Vi vil finne d x dx ( cos t dt). Merk
DetaljerInnlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 5 Innleveringsfrist: 18. februar 2011 kl Antall oppgåver: 5 Ein skal grunngi alle svar.
Innleering i matematikk Obligatorisk innleering nr. Innleeringsfrist: 18. februar 2011 kl. 14.00 Antall oppgåer: Ein skal grunngi alle sar. Oppgåe 1 f(x) = x2 +3 x+1. Skjæring med aksane Nullpunkt: f(x)
DetaljerKapittel 11: Integrasjon i flere variable
.. Kurveintegraler Kapittel : Integrasjon i flere variable... Kurveintegraler. Oppgave.: a Her er fx, y, z xyz og slik at C rt t, π, t, r t r t + + t t t, fx, y, z ds t t frt r t dt,, t, t t π t dt π t
Detaljera 2 x 2 dy dx = e r r dr dθ =
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk
Detaljervære en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A
MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t
DetaljerLøsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005
Løsningsforslag eksamen TMA5 matematikk, 5. mai 5 Oppgave Vi finner de partiellderiverte av første og annen orden av f, ) = sin : f = sin, f = cos, f =, f = cos, f = sin. Finner de kritiske punktene ved
DetaljerViktige Fourier-transform par. Konvolusjons-teoremet. 2-D Diskret Fourier-Transform (DFT) INF 2310 Digital bildebehandling
- iskret Forier-Transform FT INF 3 igital bildebehandling FILTRERING I FREKVENS-OMÈNET II Konolsjons-teoremet Lapass- øypass- og Båndpass-filter esign a filtre i frekens-doménet Rask implementasjon a konolsjons-filtre
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
DetaljerForelesning nr.5 INF 1410
Forelesning nr.5 INF 40 Operasjonsforsterker Oersikt dagens temaer Kort historikk til operasjonsforsterkeren (OpAmp) Enkel Karakteristikker modell for OpAmp til ideell OpAmp Konfigurasjoner Mer med OpAmp
DetaljerInstitutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Fredag 7. desember 2007 kl Løsningsforslag. Bokmål
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-3 Geometri Fredag 7. desember 007 kl. 9.00-4.00 Løsningsforslag. Bokmål Oppgae Gitt et linjestykke. La a ære lengden a dette linjestykket. (Alternatit: Tegn ditt
DetaljerØving 3: Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover.
Lørdagserksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 27. Veiledning: 22. september kl 2:5 5:. Øing 3: Impuls, beegelsesmengde, energi. Bearingsloer. Oppgae a) Du er ute og sykler på en stor parkeringsplass.
Detaljery = x y, y 2 x 2 = c,
TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
Detaljer3.2.2 Tilstandsrommodeller
54 Dnamiske sstemer Sperposisjonsprinsippet. For lineære differensiallikninger men ikke for lineære gjelder sperposisjonsprinsippet: Den totale responsen som skldes avhengige inngangssignaler, vil være
DetaljerI = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 6..4 Vi skal evaluere det ubestemte integralet I = ( e k. Vi starter med å dele opp integralet
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerForkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor:
Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter.. Vinkelmål. Vinkler måles trdisjonelt i grder. Utgngspunktet er d t en hel sirkel deles i 6 like store deler, der her del klles en grd. En grd kn deles inn
DetaljerEkstraoppgave
Ekstraoppgave 11.7.1. b) with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot,
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
DetaljerRepetisjonsoppgaver kapittel 3 - løsningsforslag
Repetisjonsoppgaer kapittel 3 - løsningsforslag Krefter Oppgae 1 a) De tre setningene er 1. En kraft irker på et legeme fra et annet legeme.. En kraft som irker på et legeme, kan endre beegelsen til legemet
Detaljer14.1 Doble og itererte integraler over rektangler
Kapittel Mltiple Integals I dette apitlet sal i se på integale a fnsjone a to aiable f og a te aiable f z.. Doble og iteete integale oe etangle Vi ønse å integee en ontinelig fnsjon f oe et etangel. :
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03
Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006
Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT, våren 6 Oppgave : a) Vi har C 5 3 II+( )I a + 3a 3a III+I 3 II 3 3 3 3 a + 3a 3a 3 a + 3a 3a III+II I+( ))II 3 3 3 a + 3a 3a 3 3 3 a + 3a 4 3 3a a + 3a 4 3 3a b)
DetaljerFysikkolympiaden 1. runde 24. oktober 4. november 2016
Norsk Fysikklærerforening i samarbeid med Skolelaboratoriet Uniersitetet i Oslo Fysikkolympiaden 1. runde 4. oktober 4. noember 016 Hjelpemidler: Tabell og formelsamlinger i fysikk og matematikk Lommeregner
DetaljerTMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner
TMA 4105 Representasjoner Funksjoner Operasjoner Funksjoner f : D R m! f(d) R n reelle funksjoner kurver flater vektorfelt Funksjoner i) f : D R n! R reell funksjon av n variabler, f(x), f(x,y) eller f(x,y,z)
DetaljerEKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014
EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner
DetaljerLøsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 13. mai 2004
Løsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 13. mai 2004 Oppgae 1 a) Speilladningsmetoden gir at potensialet for z > 0 er summen a potensialet pga ladningen Q i posisjon z = h og potensialet pga en speillanding
Detaljera. Hva er de inverse transformasjonene avfølgende tre transformasjoner T, R og S: θ θ sin( ) cos( ) Fasit: 1 s x cos( θ) sin( θ) 0 0 y y z
Kommentar: Svar kort og konsist. Husk at eksamen har tre oppgaver. Poengene for hver (del-) oppgave bør gi en indikasjon på hvor me tid som bør benttes per oppgave. Oppgave 1: Forskjellige emner (40 poeng)
DetaljerTrigonometri. Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Formlikhet 200, 201, 202, 203, 204, 206 209, 210, 211, 212, 213, 215 219, 220, 221, 222, 223, 224
2 Trigonometri Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleen skal kunne gjøre rede for definisjonene a sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å beregne lengder, inkler og areal i ilkårlige
DetaljerSupplement til kap. 18 22 i Varian s Intermediate Microeconomics (HV)
Jon Vislie ECON 22 år 27 Supplement til kap. 8 22 i Varian s Intermediate Microeconomics (HV) (De notatene som il bli lagt ut på emnesiden er supplement ikke erstatning til pensum. Jeg il ta opp spørsmål/problemer
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter Ingen
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: 11.12.2018 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Tillatte hjelpemidler: KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter
DetaljerBetinget bevegelse
Beinge beegelse 13.0.017 FYS-MEK 1110 13.0.017 1 epeisjon: ball som spreer lfmosand: F D = D () normalkraf: = +k y j 0 y y > graiasjon: G = mgj nmerisk beregning: hensiksmessig alg a idsseg = 0.001 s =
DetaljerSammendrag kapittel 9 - Geometri
Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning
DetaljerFysikkonkurranse 1. runde november 2001
Norsk Fysikklærerforening Norsk Fysisk Selskaps faggruppe for underisning Fysikkonkurranse. runde 5. - 6. noember 00 Hjelpemidler: Tabeller og formler i fysikk og matematikk Lommeregner Tid: 00 minutter
Detaljer5 z ds = x 2 +4y 2 4
TMA45 Matematikk 2 Vår 25 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete
DetaljerForelesning nr.2 INF 1411 Elektroniske systemer
Forelesning nr. INF 1411 Elektroniske systemer Effekt, serielle kretser og Kirchhoffs spenningslo 1 Dagens temaer Sammenheng, strøm, spenning, energi og effekt Strøm og motstand i serielle kretser Bruk
DetaljerNewtons lover i to og tre dimensjoner
Newons loer i o og re dimensjoner 3..4 Innleering: på papir på ekspedisjonskonore: bruk forsiden elekronisk på froner én pdf fil nan på førse side egenerklæring med signaur innleeringsboks på ekspedisjon
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen
DetaljerNewtons lover i to og tre dimensjoner 09.02.2015
Newons loer i o og re dimensjoner 9..5 FYS-MEK 3..4 Innleering Oblig : på grunn a forsinkelse med deilry er frisen usa il onsdag,.., kl. Innleering Oblig : fris: mandag, 6.., kl. Mideiseksamen: 6. mars
DetaljerNewtons lover i to og tre dimensjoner
Newons loer i o og re dimensjoner 8..16 Innleeringsfris oblig 1: Tirsdag, 9.Feb. kl.18 Innleering kun ia: hps://deilry.ifi.uio.no/ Fellesinnleeringer (N 3): Alle må bidra il besarelsen i sin helhe. Definer
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNVERTETET OLO Det matematisk-naturitenskapelige fakultet Eksamen i: Fys1120 Eksamensdag: Onsdag 12. desember 2018 Tid for eksamen: 0900 1300 Oppgaesettet er på: 5 sider Vedlegg: Formelark Tilatte hjelpemidler
DetaljerIntegraler. John Rognes. 15. mars 2011
15. mars 2011 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
DetaljerEksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed
DetaljerEKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.).
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- KLASSE: men 6stp.). TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER:
DetaljerLøsningsforslag til eksamen FY0001 Brukerkurs i fysikk Torsdag 3. juni 2010
NTNU Institutt for Fysikk øsningsforslag til eksamen FY0001 Brukerkurs i fysikk Torsdag 3 juni 2010 Oppgae 1 a) His i elger nullniå for potensiell energi ed bunnen a skråningen, har du i utgangspunktet
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl.10:00 og 12:00
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 1.1.017 Klokkeslett: 09:00-13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Pedersen et al.: Teknisk
DetaljerR2 Funksjoner Quiz. Test, 3 Funksjoner
Test, Funksjoner Innhold. Trigonometriske definisjoner.... Trigonometriske sammenhenger... 8. Trigonometriske likninger.... Funksjonsdrøfting....5 Omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b
DetaljerOppgaver og fasit til kapittel 6
1 Oppgaver og fasit til kapittel 6 Mange av oppgavene i dette kapitlet brukes for første gang, og det er sannsynligvis flere fasitfeil enn normalt. Finner du en feil, så send en melding til lindstro@math.uio.no.
DetaljerLøsningsforslag kontinuasjonseksamen FYS1000 H11 = 43, 6. sin 90 sin 43, 6
Løsningsforslag kontinuasjonseksamen YS1 H11 Oppgae 1 Sar KORTpå disse oppgaene: a) Totalrefleksjon: Når lyset inn mot en flate kommer i en slik inkel at ingenting blir brutt og alt blir reflektert. Kriteriet
DetaljerMa Flerdimensjonal Analyse II Øving 9
Ma23 - Flerdimensjonal Analyse II Øving 9 Øistein Søvik 2.3.22 Oppgaver 4.5 Evaluate the triple integrals over the indicated region. Be alert for simplifications and auspicious orders of integration 3.
DetaljerEksamen R2, Våren 2015, løsning
Eksamen R, Våren 05, løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f () =- 3cos f =- 3 - sin
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF8052 VISUALISERING ONSDAG 11. DESEMBER 2002 KL LØSNINGSFORSLAG
Sde a 9 TU orges teknsk-natrtenskapelge nerstet Fakltet for fyskk nformatkk og matematkk Instttt for datateknkk og nformasjonstenskap EKSAME I FAG SIF85 VISUALISERIG OSDAG. DESEMER KL. 9. 4. LØSIGSFORSLAG
Detaljera) For å finne den minste nødvendige flytegrensen for akselmaterialet vil vi bruke von = =
SK1 ASKINKONSTUKSJON Kap. Oppgae.1.4 ØVING 1: BEEGNING AV SPENNINGE Oppgae.1 a) For å finne den minste nødendige fltegrensen for akselmaterialet il i ruke on e ises kriteriet uttrkt som ek n ma + 3 till
DetaljerSIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag
SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et
DetaljerR2 - Eksamen Løsningsskisser
R - V0 R - Eksamen 04.06.0 - Løsningsskisser Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) ) Kjerneregel: fx 3 sin u, u x f x 3 cosu 6 cosu 6 cosx ) 3) Produktregel: g x x sin x x cosx x sin x x cosx Kjerneregel:
DetaljerBetinget bevegelse
Beinge beegelse 15.0.016 FYS-MEK 1110 15.0.016 1 epeisjon: ball som spreer lfmosand: F D = D () normalkraf: = +k y j 0 y y > graiasjon: G = mgj nmerisk beregning: hensiksmessig alg a idsseg = 0.001 s =
DetaljerEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME
Norges teknisk naturitenskapelige uniersitet Institutt for elektronikk og telekommunikasjon ide 1 a 7 Faglærer: Johannes kaar EKAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETIME Onsdag 17. august 2016 Oppgae 1 I denne
DetaljerBrukerhåndbok i Query/400
iseries Brukerhåndbok i Query/400 Versjon 5 iseries Brukerhåndbok i Query/400 Versjon 5 Copyright International Business Machines Corporation 2000, 2001. All rights resered. Innhold Om Brukerhåndbok i
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien
DetaljerRepetisjonsoppgaver kapittel 2 løsningsforslag
Repetisjonsoppgaer kapittel løsningsforslag Beegelse Oppgae a) Banelengden er den totale distansen Ida tilbakelegger. Først går Ida 5 m, deretter snur hun og går 5 m tilbake, før igjen går hele eien til
DetaljerEKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 sider inklusiv forside.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematiske metoder. FAGNUMMER: JøG 0 EKSAMENSDATO: 7. desember 003 SENSURFRIST: 7. januar 004. KLASSE: HIS 003/004. TID: kl. 8.00 3.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL
Detaljerarbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid
DetaljerPotensrekker. Binomialrekker
Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
DetaljerBetinget bevegelse neste uke: ingen forelesning (17. og 19.2) ingen data verksted (19. og 21.2) gruppetimer som vanlig
Beinge beegelse 0.0.04 nese ke: ingen forelesning (7. og 9.) ingen daa erksed (9. og.) grppeimer som anlig Mandag, 7.. innleering oblig 3 Mandag, 4.. ingen innleering sjanse for repeisjon FYS-MEK 0 0.0.04
Detaljerx=1 V = x=0 1 x x 4 dx 2 x5
TMA Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 7.. Lat oss først skissera området R som skal roterast om -aksen for å danna S.,) R Me startar med å bruka skivemetoden
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Løsningsforslag Øving 1 Kapittel 7.1: Substitusjon Teorem 1. Hvis u = g() så er f(g())g
DetaljerEksamen R2, Høst 2012
Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir
LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
Detaljer