3.2.2 Tilstandsrommodeller
|
|
- Oddvin Helgesen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 54 Dnamiske sstemer Sperposisjonsprinsippet. For lineære differensiallikninger men ikke for lineære gjelder sperposisjonsprinsippet: Den totale responsen som skldes avhengige inngangssignaler, vil være den samme som smmen av de enkelte inngangssignalers respons. Eksempel: For (3.1), når vi antar at den er en LTI-differensiallikning, betr sperposisjonsprinsippet at den totale responsen i temperatren T er lik smmen av disse to (del)responsene: (1): Den (del)responsen som skldes P når samtidig T i settes lik nll. (2): Den (del)responsen som skldes T i når samtidig P settes lik nll. Dette skal vi se mer på i nderkapittel der vi skal brke Laplacetransformasjonen for å beregne tidsresponser (løse differensiallikninger) Tilstandsrommodeller En tilstandsrommodell (eng.: state-space model) er bare en strktrert måte å skrive differensiallikningene for et sstem på. 1 Tilstandsrommodeller er nttige i mange sammenhenger: Opptegning av blokkdiagrammer for modellen (jf. kap ); linearisering av lineære modeller (jf. kap ); beregningavtidsresponser både analtisk og nmerisk (jf. kap og 3.2.6); brk av simlatorprogrammer (jf. kap ); analse av dnamiske sstemer, som stabilitetsanalse (jf. kap. 6). Dessten er tilstandsrommodeller tgangspnktet for emner som strbarhets- og observerbarhetsanalse, design av regleringssstemer (som optimalreglering, modellbasert prediktiv reglering og lineær dekopling) og design av tilstandsestimatorer (Kalman-filter). Generelt består en n te ordens tilstandsrommodell av n stk. 1. ordens differensiallikninger kjennetegnet ved at de tidsderiverte står alene på venstre side. En generell n te ordens tilstandsrommodell ser slik t: ẋ 1 = f 1 () (3.6). ẋ n = f n () (3.7) der f 1 (),..., f n () er fnksjoner (som gitt av modellikningene, selvsagt). De variablene som inngår med sine deriverte i tilstandsrommodellen, er 1 Som vi skal se, er det nokså enkelt å sette opp en differensiallikningsmodell på tilstandsrommodellform. Denne modellformen er nttig i mange sammenhenger. Det kan imidlertid være ganske komplisert å tføre teoretisk analse av tilstandsrommodeller, siden analsen er basert på nokså avansert matematikk, nemlig lineær algebra (matrise- og vektorregning). Jeg vil nderstreke at en trenger ikke beherske slik analse bare for å knne sette opp tilstandsrommodeller.
2 Dnamiske sstemer 55 sstemets tilstandsvariable. 2 I modellen ovenfor er derfor -variablene tilstandsvariable. er et vanlig navn for tilstandsvariabel, men d kan gjerne brke andre navn. Sstemets initialtilstand (t =) angis med initialverdiene 1 (),..., n (). Noen ganger defineres tgangsvariablene for en tilstandsrommodell. er et vanlig navn for tgangsvariabel. En modell med m tgangsvariable kan skrives 1 = g 1 () (3.8). m = g m () (3.9) der g 1 (),..., g m () er fnksjoner. Vi kan brke betegnelsen tilstandsrommodell om bare (3.6) (3.7) eller om hele modellen (3.6) (3.9). Følgende eksempel viser et eksempel på en tilstandsrommodell. En opprinnelig 2. ordens differensiallikning (for et masse-fjær-demper-sstem) skrives der som en 2. ordens tilstandsrommodell. Prinsippet er at vi definerer en variabel for hver av de variable som inngås med sine tidsderiverte i differensiallikningen. Disse ne variablene blir tilstandsrommodellens tilstandsvariable. (Samme prinsipp benttes også for tvikling av tilstandsrommodeller t fra opprinnelige differensiallikninger av høere orden enn 2.) Eksempel 12 Masse-fjær-demper-modell skrevet som tilstandsrommodell I eksempel 4 side 28 ble modellen for et masse-fjær-demper-sstem tviklet. Modellen er gitt ved (2.33). Der er posisjonen. Det er nå best å brke et annet variabelnavn for posisjonen enn siden vi ovenfor har benttet som generelt navn for tgangsvariabel i tilstandsrommodeller. La oss her brke z for posisjon. Modellen kan da skrives m z = Dż K f z + F (3.1) som er en 2. ordens differensiallikning. Vi innfører følgende ne variable: 1 for posisjonen z, 2 for hastigheten ż og for kraften F.Vikannå 2 Bakgrnnen for betegnelsen tilstandsrommodell: Verdiene av tilstandsvariablene, 1(t),..., n(t), definerer tilstanden som sstemet til enhver tid befinner seg i. Disse verdiene kan betraktes som pnkter i tilstandsrommet.
3 56 Dnamiske sstemer skrive modellen (3.1) som følgende ekvivalente sett av to stk. 1. ordens differensiallikninger: ẋ 1 = 2 (3.11) mẋ 2 = D 2 K f 1 + (3.12) som kan skrives på standardformen (3.6), (3.7): ẋ 1 = 2 {z} f 1 (3.13) ẋ 2 = 1 m ( D 2 K f 1 + ) {z } f 2 (3.14) La oss videre definere modellens tgangsvariabel som posisjonen 1 : = 1 {z} g (3.15) Intitialposisjonen 1 () og initialhastigheten 2 () tgjør sstemets initialtilstand. (3.13) og (3.14) samt (3.15) tgjør en 2. ordens tilstandsrommodell som er ekvivalent med den opprinnelige 2. ordens differensiallikningen (3.1). [Sltt på eksempel 12] Lineære tilstandsrommodeller Lineære tilstandsrommodeller er spesialtilfeller av den generelle tilstandsrommodellformen (3.6) (3.7). Mange metoder for analse av differensiallikningsmodeller (som stabilitetsanalse, responsberegning, modelltransformasjoner, simleringsfnksjoner) er basert på lineære tilstandsrommodeller. Vi nøer oss med å se på en generell 2. ordens lineær tilstandsrommodell med 2 tilstandsvariable, 1 og 2,og2 inngangsvariable, 1 og 2 (ttrkkene blir prinsipielt de samme ansett orden): ẋ 1 = a a b b 12 2 (3.16) ẋ 2 = a a b b 22 2 (3.17) der a ene og b ene er parametre (konstanter).
4 Dnamiske sstemer 57 (3.16), (3.17) kan skrives på matrise-vektor-form slik: a 11 a 12 b 11 b 12 ẋ1 = ẋ 2 {z } a 21 a 2 22 {z } b 21 b 2 22 {z } ẋ {z } {z } A B (3.18) eller kompakt: ẋ = A + B (3.19) der er tilstandsvektoren og er inngangsvektoren. En tilsvarende generell lineær tgangsfnksjon med 2 tgangsvariable er 1 = c c d d 12 2 (3.2) 2 = c c d d 22 2 (3.21) som kan skrives på matrise-vektor-form slik: c 11 c 12 d 11 d 12 1 = {z } c 21 c 2 22 {z } d 21 d 2 22 {z } {z } {z } C B (3.22) eller kompakt: = C + D (3.23) Eksempel 13 Masse-fjær-demper-modell skrevet som tilstandsrommodell Tilstandsrommodellen (3.13), (3.14), (3.15) er lineær. Vi får: 1 ẋ1 = 1 + (3.24) ẋ 2 {z } K f m m D 2 1 {z } m ẋ {z } A {z } B = (3.25) {z } 2 {z } C {z } D [Sltt på eksempel 13]
5 58 Dnamiske sstemer Generell tilstandsrommodell på matrise-vektor-form (3.6) (3.7) kan skrives ẋ = f() (3.26) der ẋ =[ẋ 1, ẋ 2,...,ẋ n ] T og f =[f 1,f 2,...,f n ] T. Tilsvarende kan (3.8) (3.9) skrives = g() (3.27) Disse matrise-vektor-ttrkkene er hensiktsmessige ved tledning eller beskrivelse av formler for nmerisk beregning av tidsresponser og linearisering for differensiallikningsmodeller som er på tilstandsromform Blokkdiagram for differensiallikningsmodeller Et matematisk blokkdiagram gir en grafisk representasjon av en matematisk modell. Blokkdiagrammet i seg selv kan gi god informasjon om modellens strktr, bl.a. om hvordan delsstemer er sammenkoplet, og blokkdiagrammodeller kan simleres i SIMULINK og i LabVIEW. Figr 3.1 viser de mest brkte enkeltblokkene, som vi kan kalle elementærblokkene, for opptegning av blokkdiagrammer. De er beskrevet nedenfor. Integratorblokk: Utgangen er lik integralet av inngangen, plss initialverdien av tgangen, (t =): (t) =() + (θ) dθ (3.28) Forsterkningsblokk: Sammenhengen mellom inngangssignalet og tgangssignalet er (t) =K(t) (3.29) der K er et hvilket som helst tall. Betegnelsen forsterkning brkes selv om K har (absoltt)verdi mindre enn 1, dvs. selv om det faktisk er en forminskning som tføres. Smmasjonsblokk: Utgangssignalet er smmen av inngangssignalene, med evt. negativ fortegn ved en eller flere signalpiler for angivelse av sbtraksjon: (t) = 1 (t)+ 2 (t) 3 (t) (3.3) Plsstegn eller intet fortegn angir at signaler går inn positivt på blokken. Antall innganger på smmasjonsblokken er valgfritt.
6 Dnamiske sstemer 59 Integrator: Forsterkning: K 1 Smmasjon (inkl. sbtraksjon): 2 3 Tidsforsinkelse: Figr 3.1: Elementærblokker for opptegning av blokkdiagrammer Tidsforsinkelsesblokk, som ttrkker at tgangen er lik inngangen tidsforsinket med tiden τ: (t) =(t τ) (3.31) Vi skal nå arbeide oss igjennom et enkelt eksempel for å bli kjent med framgangsmåten for tvikling av blokkdiagrammer. Alle blokkene beskrevet ovenfor vil da bli brkt. (Deretter følger et eksempel som viser hvordan blokkdiagram for en 2. ordens differensiallikning kan tegnes.) La oss ta tgangspnkt i modellen a 1 ẋ(t)+a (t) =b(t τ) (3.32) som er en 1. ordens lineær differensiallikning for. Initialtilstanden er ()., som inngår tidsforsinket i modellen, er inngangsvariabel, mens er tgangsvariabel. (t) skal vises (med en variabel- eller signalpil) i blokkdiagrammet. Med andre ord skal blokkdiagrammet vise løsningen (t) av differensiallikningen (3.32). Det er derfor hensiktmessig å starte
7 6 Dnamiske sstemer tviklingen av blokkdiagrammet med å ttrkke (t) som løsning til (3.32): Fra (3.32) fås ẋ(t) = 1 a 1 [ a (t)+b(t τ)] (3.33) som vi så integrerer (på begge sider) fra tid til t (θ er innført som integrasjonsvariabel): som gir {ẋ(θ)} dθ = (t) () = 1 a 1 [ a (θ)+b(θ τ)] dθ (3.34) 1 (t) =() + [ a (θ)+b(θ τ)] dθ (3.35) a 1 {z } ẋ(θ) Det er (3.35) vi skal brke som tgangspnkt for tegning av blokkdiagrammet. For opptegningen trenger vi følgende blokker: En integrator (inkl. angivelse av initialtilstanden ()), tre forsterkningsblokker (for hhv. a, b(t τ) og mltiplikasjonen av parentesen med faktoren 1/a 1 ), en tidsforsinkelsesblokk for tidsforsinkelsen av, samt en smmasjonsblokk for smmeleddene i integranden. Vi begnner med å tegne inn integratoren, og deretter tegner vi resten blokkdiagrammet ihht. ttrkket for (t) gitt ved (3.35). Resltatet blir som vist i figr 3.2. (t-τ) b Smmasjon 1/a 1 Initialtilstand () ẋ Inngangsvariabel Utgangsvariabel Tidsforsinkelse Forsterkning Integrator a Forsterkning Figr 3.2: Blokkdiagram tilsvarende likn. (3.35). Nå følger et eksempel som viser hvordan vi kan tegne blokkdiagram for en 2. ordens differensiallikning ved først å skrive differensiallikningen som en tilstandsrommodell.
8 Dnamiske sstemer 61 Eksempel 14 Blokkdiagram for en 2. ordens differensiallikning Gitt differensiallikningen mÿ = Dẏ K f + F (3.36) (som tgjør modellen for et masse-fjær-demper-sstem, jf. eksempel 4 side 28). Vi skal tegne blokkdiagram for denne differensiallikningen. En sstematisk framgangsmåte er å starte med å skrive differensiallikningen som en tilstandsrommodell og så tegne blokkdiagram for tilstandsrommodellen. Vi fant en tilstandsrommodell i eksempel 13, nemlig (3.13), (3.14). Vi skriver nå tilstandsrommodellen på formen ẋ 1 = 2 (3.37) ẋ 2 = 1 m ( K f 1 D 2 + ) (3.38) Fra denne tilstandsrommodellen får vi, ved å integrere, følgende ttrkk (løsninger) for tilstandsvariablene 1 (t) og 2 (t): 1 (t) = 1 () + 2 (t) = 2 () + [ 2 (θ)] dθ (3.39) 1 m [ K f 1 (θ) D 2 (θ)+(θ)] dθ (3.4) som vi brker som tgangspnkt for tegning av blokkdiagrammet. Vi kan først tegne en integrator for 1 og en integrator for 2, og deretter tegner vi resten av blokkdiagrammet ihht. modellen. Blokkdiagrammet blir da som vist i figr () 1 () 2 1/m 1 D K f Figr 3.3: Blokkdiagram for (3.39), (3.4). [Sltt på eksempel 14]
9 62 Dnamiske sstemer Andre (lineære) blokker D kan brke andre blokker enn elementærblokkene vist i figr 3.2 for å representere f.eks. lineære fnksjoner. Figr 3.4 viser noen mlige slike blokker, men d kan (selvsagt) bestemme blokkenes tseende og innhold selv. For noen av blokkene må d angi parametre for å definere blokkens fnksjon presist, f.eks. metningsgrensene for metningselementet. Parametrene kan skrives ved siden av den aktelle blokken. Metning: Stigningsbegrensning: Dødsone: Relé: Svitsj: Mltiplikasjon: 1 MULT 2 Figr 3.4: Blokker for lineære fnksjoner
Simulering i MATLAB og SIMULINK
Simulering i MATLAB og SIMULINK Av Finn Haugen (finn@techteach.no) TechTeach (http://techteach.no) 13. november 2004 1 2 TechTeach Innhold 1 Simulering av differensiallikningsmodeller 7 1.1 Innledning...
DetaljerLineær analyse i SIMULINK
Lineær analyse i SIMULINK Av Finn Haugen (finn@techteach.no) TechTeach (http://techteach.no) 20.12 2002 1 2 Lineær analyse i SIMULINK Innhold 1 Innledning 7 2 Kommandobasert linearisering av modeller 9
DetaljerLøsning 1med teori, IM3 høst 2011.
Løsning med teori, IM høst 0 Oppgae a) Vi obsererer at ttrkket er bestemt og i ndersøker det først langs koordinataksene Langs - aksen er = 0 Innsatt gir dette sin( ), 0 Langs - aksen sin( ) cos( ) er
DetaljerSimuleringsalgoritmer
Simuleringsalgoritmer Finn Aakre Haugen, dosent Høgskolen i Telemark 14. september 2015 1 Innledning 1.1 Hva er simulering? Simulering av et system er beregning av tidsresponser vha. en matematisk modell
DetaljerLøsning 1 med teori, IM3 høst 2012.
Løsning med teori, IM3 høst Oppgae a) Vi obsererer at ttrkket er bestemt og i ndersøker det først langs koordinataksene Langs - aksen er Innsatt gir dette sin( ), Langs - aksen er Innsatt gir dette sin(
DetaljerLøsning MET Matematikk Dato 03. juni 2016 kl
Løsning MET 803 Matematikk Dato 03. jni 206 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi løser det lineære sstemet for s 8 ved Gass-eliminasjon: 6 3 3 3 6 3 3 2 2 0 5 3 3 3 6 z 5 0 0 0 z 0 Vi ser at z er en fri variabel,
DetaljerForkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Vektorer.
I dette lille notatet skal jeg gi en kortfattet oersikt oer grnnleggende ektorregning Me a dette er forhåpentlig kjent fra før, men det skader sikkert ikke med en kort repetisjon Definisjoner Mange a de
DetaljerStabilitetsanalyse. Kapittel Innledning
Kapittel 6 Stabilitetsanalyse 6.1 Innledning I noen sammenhenger er det ønskelig å undersøke om, eller betingelsene for at, et system er stabilt eller ustabilt. Spesielt innen reguleringsteknikken er stabilitetsanalyse
DetaljerLøsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 14 (12).
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () For å gi et inntrkk a integrasjonsrekkefølgens betdning er oppgaene fra asnitt løst på begge måtene Vi får forskjellige ttrkk ahengig a integrasjonsrekkefølgen
DetaljerControl Engineering. State-space Models. Hans-Petter Halvorsen
Control Engineering State-space Models Hans-Petter Halvorsen Dataverktøy MathScript LabVIEW Differensial -likninger Tidsplanet Laplace 2.orden 1.orden Realisering/ Implementering Reguleringsteknikk Serie,
Detaljer2.2.1 Framgangsmåte for matematisk modellering Modellering av massesystemer. Modellbegreper... 15
Innhold 1 Innledning 9 2 Matematisk modellering 13 2.1 Innledning... 13 2.2 Utviklingavdynamiskemodeller... 14 2.2.1 Framgangsmåte for matematisk modellering...... 14 2.2.2 Modellering av massesystemer.
DetaljerTilstandsestimering Oppgaver
University College of Southeast Norway Tilstandsestimering Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Grunnlag... 3 1.1 Statistikk og Stokastiske systemer... 3 1.2
DetaljerSpørretime / Oppsummering
MAS107 Reguleringsteknikk Spørretime / Oppsummering AUD F 29. mai kl. 10:00 12:00 Generell bakgrunnsmateriale Gjennomgang av eksamen 2006 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 1 G. Hovland Presentasjon
DetaljerEKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014
EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner
DetaljerGenerell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas.
Stavanger, 26. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold
DetaljerTilstandsestimering Oppgaver
Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Tilstandsestimering Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.01.27 Faculty of Technology, Postboks 203,
DetaljerDato: fredag 14 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen. 1 Diskret tilstandsrommodell 2. 2 Stående pendel 4
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: fredag 4 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:
DetaljerSLUTTPRØVE (Teller 60% av sluttkarakteren)
Høgskolen i Telemark Avdeling for teknologiske fag SLUTTPRØVE (Teller 60% av sluttkarakteren) EMNE: EE4209 Modellbasert regulering LÆRERE Kjell - Erik Wolden og Hans - Petter Halvorsen KLASSE(R): 2IA DATO:
DetaljerLøsningsforslag øving 4
TTK405 Reguleringsteknikk, Vår 206 Oppgave Løsningsforslag øving 4 Når k 50, m 0, f 20, blir tilstandsromformen (fra innsetting i likning (3.8) i boka) Og (si A) blir: (si A) [ ] [ ] 0 0 ẋ x + u 5 2 0.
Detaljera 2 x 2 dy dx = e r r dr dθ =
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk
DetaljerUniversity College of Southeast Norway. Observer HANS-PETTER HALVORSEN.
University College of Southeast Norway HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Forord Dette dokumentet tar for seg modellbasert regulering over temaet s og tilstandsestimering. Noen forenklinger
DetaljerKalmanfilter HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24
Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24 Faculty of Technology, Postboks 203, Kjølnes ring 56, N-3901 Porsgrunn,
DetaljerEksamen i SEKY3322 Kybernetikk 3
Høgskolen i Buskerud. Finn Haugen(finn.haugen@hibu.no). Eksamen i SEKY3322 Kybernetikk 3 Tid: 2. april 2009. Varighet 5 timer. Vekt i sluttkarakteren: 70%. Hjelpemidler: Ingen trykte eller håndskrevne
DetaljerOppgaver til Dynamiske systemer 1
Oppgaver til Dynamike ytemer Oppgave 0. Lineariering av ulineær modell Likning (2.28) i læreboka er en dynamik modell av en tank med gjennomtrømning og oppvarming. Modellen gjengi her: cρv T (t) P (t)+cw(t)[t
DetaljerSimulerings-eksperiment - Fysikk/Matematikk
Simulerings-eksperiment - Fysikk/Matematikk Tidligere dette semesteret er det gjennomført et såkalt Tracker-eksperiment i fysikk ved UiA. Her sammenlignes data fra et kast-eksperiment med data fra en tilhørende
DetaljerSIF5025: Differensiallikninger og dynamiske systemer
SIF505: Differensiallikninger og dnamiske sstemer Løsningsskisse til eksamen mai 003 Oppgave Bestem likevektspunktene til følgende sstem og skisser fasediagrammene (med orientering) a) Sstemet kan skrives
Detaljeru 4 du = 1 5 u5 + C = 1 5 (x2 +4) 5 + C u 1/2 du = 1 2 u1/2 + C = 1 2
4 Ukeoppgaver, ke 4, i Matematikk, Sbstitsjon. Fasit, Sbstitsjon. Oppgave a) Med = +4er = slik at d d = d =d. Dermed kan faktorene d i integralet erstattes med d, mens + 4 inne i parentesen erstattes med
DetaljerGenerell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. 1 En kort oppsummering Adaptiv filtrering 2. 3 Prediksjon 4
Stavanger, 13. august 2013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 2013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 1 En kort oppsummering. 1 2 Adaptiv
DetaljerSammenlikningav simuleringsverktøyfor reguleringsteknikk
Presentasjon ved NFA-dagene 28.-29.4 2010 Sammenlikningav simuleringsverktøyfor reguleringsteknikk Av Finn Haugen (finn.haugen@hit.no) Høgskolen i Telemark Innhold: Eksempler på min egen bruk av simuleringsverktøy
DetaljerSystemidentifikasjon
University College of Southeast Norway HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Forord Dette dokumentet brukes som forelesningsnotater i modellbasert regulering over temaet systemidentifikasjon.
DetaljerNTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 5. Avsnitt Vi vil finne dx ( cos t dt).
NTNU Instittt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 5 Avsnitt 5.4 ( + cos x)dx = dx + cos xdx = π + [sin x] π = π + (sin π sin) = π. 44 Vi vil finne d x dx ( cos t dt). Merk
DetaljerLøsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk
Løsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk Eksamensdato: 03.12 2018. Varighet 5 timer. Emneansvarlig: Finn Aakre Haugen (finn.haugen@usn.no). Løsning til oppgave 1 (35%) a (5%) Massebalanse: ρ*a*dh/dt
DetaljerLøsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk ved Høgskolen i Sørøst- Norge
Løsning til eksamen i IA32 Automatiseringsteknikk ved Høgskolen i Sørøst- Norge Eksamensdato: 24. 207. Varighet 5 timer. Emneansvarlig: Finn Aakre Haugen (finn.haugen@usn.no). Løsning til oppgave a (5%).
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Fredag. mars Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerEksamen i SEKY3322 Kybernetikk 3
Høgskolen i Buskerud. Finn Haugen(finn.augen@ibu.no). Eksamen i SEY3322 ybernetikk 3 Tid: 27. mai 2009. Variget 5 timer. Vekt i sluttkarakteren: 70% Hjelpemidler: Ingen trykte eller åndskrevne jelpemidler.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)
DetaljerEKSAMEN I TMA4120 MATEMATIKK 4K, LØSNINGSFORSLAG
EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 4K, 3..5. LØSNINGSFORSLAG Oppgave. y + y + t y(τ)e t τ dτ = u(t ) t >, y() = Anta at den Laplacetransformerte Y (s) av y(t) eksisterer. Siden integralet er konvolusjonen av y(t)
DetaljerTTK4100 Kybernetikk introduksjon Øving 1 - Løsningsforslag
TTK4100 Kybernetikk introduksjon Øving 1 - Løsningsforslag Oppgave 1: UAV En AUV (Autonoous Underwater Vehicle) er et ubeannet undervannsfartøy so kan utføre selvstendige oppdrag under vann. I denne oppgaven
DetaljerNå er det på tide å se hvordan dette fungerer i praksis. Vi skal beregne et par Laplacetransformer som vi får mye bruk for senere.
Laplace-transform: Et nyttig hjelpemiddel Side - Laplace-transformen et nyttig hjelpemiddel Hva er Laplace-transformen? Vi starter med å definere Laplace-transformen: Definisjon : La f t være en funksjon
DetaljerObserver HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24. Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics
Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Observer HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24 Faculty of Technology, Postboks 203, Kjølnes ring 56,
Detaljer<kode> Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5
Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5 Emnebeskrivelse 1 Emnenavn og kode Grunnleggende matematikk for ingeniører 2 Studiepoeng 10 studiepoeng 3 Innledning Dette er det ene av
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } V kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og B utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer
DetaljerØving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)
Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen
DetaljerForelesning 5/ ved Karsten Trulsen
Forelesning 5/4 2018 ved Karsten Trulsen Litt regning med del-operatoren Rottmann s.64, M s.82 Eksempel: Se på uttrkket a b hvor pila som peker ned på krøllparentesen indikerer at del-operatoren sin derivasjonsoperasjon
DetaljerForelesning 14 Systemer av dierensiallikninger
Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som
DetaljerDifferensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning
Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning
DetaljerEksamen i MIK130, Systemidentifikasjon
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: Fredag 4. desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen
DetaljerLøsningsforslag eksamen INF3480 vår 2011
Løsningsforslag eksamen INF3480 vår 0 Oppgave a) A - Arbeidsrommet er en kule med radius L 3 + L 4. B - Alle rotasjonsaksene er paralelle, roboten beveger seg bare i et plan, dvs. null volum. C - Arbeidsrommet
DetaljerMIK-130 Systemidentifikasjon Løsningsforslag eksamen 28 mai 2004
MIK-130 Systemidentifikasjon Løsningsforslag eksamen 28 mai 2004 Oppgave 1 a Energibalanse: Endring i energi = sum av tilført energi - sum av avgitt energi. Her får en da for vannet E t = (m vc pv T v
DetaljerTallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.
Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget
DetaljerÅrsplan i matematikk for 10. trinn
Årsplan i matematikk for 10. trinn Emne på etter KAP A GEOMETRI Før høstferien (34-39) analysere, også digitalt, egenskaper ved to- og tredimensjonale figurer og bruke dem i sammenheng med konstruksjoner
DetaljerLøsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk
Høgskolen i Telemark/Finn Haugen (finn.haugen@hit.no). Løsning til eksamen i IA32 Automatiseringsteknikk Eksamensdato: 8. desember 203. Varighet 5 timer. Vekt i sluttkarakteren: 00%. Hjelpemidler: Ingen
DetaljerSystemidentifikasjon Oppgaver
University College of Southeast Norway Systemidentifikasjon Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Innledning... 3 2 Minste kvadraters metode... 4 3 Validering...
DetaljerOppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
DetaljerHvordan lage pene kurver?
Christoph Kirfel Hvordan lage pene krver? Bildet i figr er tegnet med tegneprogrammet Smopaint, et program som er gratis tilgjengelig på Internett, og som noen av leserne kanskje har rkt en gang. Andre
DetaljerTilstandsrommodeller. Hans- Pe1er Halvorsen, M.Sc.
Tilstandsrommodeller Hans- Pe1er Halvorsen, M.Sc. Tilstandsrom- modeller Dataverktøy Spesial>lfelle MathScript LabVIEW Differensial - likninger Tidsplanet Laplace Blokk- diagrammer Transfer- funksjoner
DetaljerKapittel 6 Stabilitetsanalyse Oppgave 6.1 Stabilitetsegenskap for transferfunksjoner
Figur 30: Oppgave 5.2: Frekvensresponsen fra T i til T for regulert system Kapittel 6 Stabilitetsanalyse Oppgave 6. Stabilitetsegenskap for transferfunksjoner Bestem stabilitetsegenskapen for følgende
DetaljerEKSAMENSFORSIDE Skriftlig eksamen med tilsyn
BOKMÅL EKSAMENSFORSIDE Skriftlig eksamen med tilsyn Emnekode: IA311 Dato: Porsgrunn Ansv. faglærer: Finn Aakre Haugen (9701915). Emnenavn: Automatiseringsteknikk Tid fra / til: 03. desember 018. Kl. 09:00-14:00
DetaljerEksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra
Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK3, Systemidentifikasjon ( sp) Dato: Mandag 8 desember 28 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte
Detaljer6 Modellering av smelteovn Modellering Tilstandsromform Diskretisering Observerbarthet Tidssteg...
Stavanger, 28. mai 2019 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2019. Innhold 6 Modellering av smelteovn. 1 6.1 Modellering............................. 1 6.2 Tilstandsromform..........................
DetaljerEKSAMENSFORSIDE Skriftlig eksamen med tilsyn
Emnekode: IA311 Dato: Porsgrunn Ansv. faglærer: Finn Aakre Haugen Campus: Porsgrunn Antall oppgaver: 1 Tillatte hjelpemidler: EKSAMENSFORSIDE Skriftlig eksamen med tilsyn Emnenavn: Automatiseringsteknikk
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerGenerell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas.
Stavanger, 26. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold
DetaljerKalmanfilter på svingende pendel
Kalmanfilter på svingende pendel Rolf Henriksen og Torbjørn Houge Institutt for teknisk kybernetikk NTNU 2005 Vi skal se på hvordan Kalmanfilteret fungerer på et velkjent eksempel, den svingende pendel
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen
Detaljer48 Praktisk reguleringsteknikk
48 Praktisk reguleringsteknikk Figur 2.18: Simulering av nivåreguleringssystemet for flistanken. Regulatoren er en PI-regulator. (Resten av frontpanelet for simulatoren er som vist i figur 2.14.) Kompenseringsegenskaper:
DetaljerTilstandsestimering Løsninger
University College of Southeast Norway Tilstandsestimering Løsninger HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Grunnlag... 3 1.1 Statistikk og Stokastiske systemer... 3 1.2
DetaljerLøsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk ved Høgskolen i Sørøst- Norge
Løsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk ved Høgskolen i Sørøst- Norge Eksamensdato: 30.11 2016. Varighet 5 timer. Vekt i sluttkarakteren: 100%. Emneansvarlig: Finn Aakre Haugen (finn.haugen@hit.no).
DetaljerObligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit
Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert
DetaljerEKSAMEN I SIF4018 MATEMATISK FYSIKK mandag 28. mai 2001 kl
Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPEIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk og Institutt for matematiske fag Faglig kontakt under eksamen: Professor Per Hemmer, tel. 73 59 36 48 Professor Helge Holden,
DetaljerForelesning nr.8 INF 1410
Forelesning nr.8 INF 4 C og kretser 2.3. INF 4 Oversikt dagens temaer inearitet Opampkretser i C- og -kretser med kondensatorer Naturlig respons for - og C-kretser Eksponensiell respons 2.3. INF 4 2 Node
DetaljerLøsningsforslag Dataøving 2
TTK45 Reguleringsteknikk, Vår 6 Løsningsforslag Dataøving Oppgave a) Modellen er gitt ved: Setter de deriverte lik : ẋ = a x c x x () ẋ = a x + c x x x (a c x ) = () x ( a + c x ) = Det gir oss likevektspunktene
Detaljer1 I mengdeteori er kontinuumshypotesen en antakelse om at det ikke eksisterer en mengde som
Forelesning 12/3 2019 ved Karsten Trulsen Fluid- og kontinuumsmekanikk Som eksempel på anvendelse av vektor feltteori og flervariabel kalkulus, og som illustrasjon av begrepene vi har gått igjennom så
DetaljerVår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 6. 5 Exercise Exercise
TMA405 Matematikk 2 Vår 205 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete
Detaljer5 z ds = x 2 +4y 2 4
TMA45 Matematikk 2 Vår 25 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete
DetaljerOm fordelingen tilx +Y
Variansen til X +Y Om fordelingen til X +Y Vi viste at generelt, dvs. også når X og Y er avhengige gjelder E[X +Y] = E[X]+E[Y] Med µ X og µ Y forventningen til X og Y har vi da STK1100 V11 1. Variansen
DetaljerPartieltderiverte og gradient
Partieltderiverte og gradient Kap 2 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Struktur Mye er repitisjon fra MAT1100, litt
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
DetaljerEKSAMEN I FAG SIO 1043 STRØMNINGSLÆRE Lørdag 1. juni 2002 Tid: kl. 09:00 15:00
Side 1 av 10 Norges teknisk natrvitenskapelige niversitet NTNU Fakltet for Ingeniørvitenskap og teknologi Instittt for Mekanikk, Termo og Fliddynamikk Faglig kontakt nder eksamen: Per-Åge Krogstad, tlf.:
DetaljerDELUTREDNING - OU
DELUTREDNING - OU 2016-2019 Tema/Navn: Felles ngdomsskole på Dokka: Relatert til OU-rapporten, tiltak SO01 og kap. 7.1.4. der konsekvenser er beskrevet. Anslag på innsparing i drif i 2018 er sat til kr.
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24
DetaljerEmne 11 Differensiallikninger
Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi
DetaljerComputers in Technology Education
Computers in Technology Education Beregningsorientert matematikk ved Høgskolen i Oslo Skisse til samlet innhold i MAT1 og MAT2 JOHN HAUGAN Både NTNU og UiO har en god del repetisjon av videregående skoles
DetaljerLøsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 12 (15).
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 7 ( 5) Vi skal btte integrasjonsrekkefølgen i integralet dd Når vi btter integrasjons- rekkefølgen må integrasjonsområdet beskrives på ntt Dobbelintegralet
DetaljerVekstrater og eksponentiell vekst ECON 2915 Vekst og næringsstruktur
Vekstrater og eksponentiell vekst ECON 2915 Vekst og næringsstruktur KÅRE BÆVRE Høsten 2005 1 Vekstrater og eksponensiell vekst 1.1 Vekstrater i iskret ti Vekstraten til en størrelse Y angir hvor stor
DetaljerSystemidentifikasjon Løsninger
University College of Southeast Norway Systemidentifikasjon Løsninger HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Innledning... 3 2 Minste kvadraters metode... 7 3 Validering...
DetaljerEksamen STK2400, 6/ Løsningsforslag
Eksamen STK2400, 6/12-07 - Løsningsforslag Arne ang Huseby December 19, 2007 Oppgave 1 I denne oppgaven skal vi se på et binært monotont system (C, φ) med komponentmengde C = {1,..., 5} og strukturfunksjon
DetaljerLP. Leksjon 6: Kap. 6: simpleksmetoden i matriseform, og Seksjon 7.1: følsomhetsanalyse
LP. Leksjon 6: Kap. 6: simpleksmetoden i matriseform, og Seksjon 7.1: følsomhetsanalyse matrisenotasjon simpleksalgoritmen i matrisenotasjon eksempel negativ transponert egenskap: bevis følsomhetsanalyse
DetaljerKYBERNETIKKLABORATORIET. FAG: Industriell IT DATO: 08.14 OPPG.NR.: LV4. LabVIEW Temperaturmålinger BNC-2120
KYBERNETIKKLABORATORIET FAG: Industriell IT DATO: 08.14 OPPG.NR.: LV4. LabVIEW LabVIEW Temperaturmålinger BNC-2120 Lampe/sensor-system u y I denne oppgaven skal vi teste et lampe/sensor-system som vist
DetaljerSystemidentifikasjon Oppgaver
Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Systemidentifikasjon Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.03.16 Faculty of Technology, Postboks
DetaljerEnkel introduksjon til kvantemekanikken
Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks
DetaljerObligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15
Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006
Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT, våren 6 Oppgave : a) Vi har C 5 3 II+( )I a + 3a 3a III+I 3 II 3 3 3 3 a + 3a 3a 3 a + 3a 3a III+II I+( ))II 3 3 3 a + 3a 3a 3 3 3 a + 3a 4 3 3a a + 3a 4 3 3a b)
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4
FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 4 1 Løsning oppgave 4 1 LØSNING ØVING 4 Elektron i potensial med to δ-funksjoner a En delta-brønn er grensen av en veldig dyp og veldig trang brønn Inne i
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
DetaljerMatematikk og fysikk RF3100
DUMMY Matematikk og fysikk RF3100 Løsningsforslag 16. mars 2015 Tidsfrist: 23. mars 2015 klokken 14.00 Oppgave 1 Her skal vi se på hvordan man kan sikte seg inn på stridsvogner i bevegelse. Ved t = 0 befinner
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA113 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 5. Juni 19 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
Detaljerdifferensiallikninger-oppsummering
Kapittel 12 differensiallikninger-oppsummering I vår verden endres størrelsene og verdiene som populasjon, vekt, lengde, posisjon, hastighet, temperatur ved tiden eller ved en annen uavhengig variabel.
DetaljerI = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 6..4 Vi skal evaluere det ubestemte integralet I = ( e k. Vi starter med å dele opp integralet
Detaljer