Viktige Fourier-transform par. Konvolusjons-teoremet. 2-D Diskret Fourier-Transform (DFT) INF 2310 Digital bildebehandling

Transkript

1 - iskret Forier-Transform FT INF 3 igital bildebehandling FILTRERING I FREKVENS-OMÈNET II Konolsjons-teoremet Lapass- øypass- og Båndpass-filter esign a filtre i frekens-doménet Rask implementasjon a konolsjons-filtre GW: ikke efinisjon: F jθ MN ette kan også skries: F MN cosθ + j sinθ Iners transform: f x y e M N x y f x y M N x y f x y e jπ x / M + y / N [ cosπ x / M + y / N j sin π x / M + y / N ] M N F e jπ x / M + y / N F9.3.8 INF 3 F9.3.8 INF 3 Viktige Forier-transform par Sin Cos Firkant Gass Impls Konolsjons-teoremet f x y h x y F Konolsjon i bilde-doménet Mltiplikasjon i frekens-doménet Ff*h F f x y h x y F Mltiplikasjon i bilde doménet Konolsjon i frekens-doménet Ff h F* Tilsarende for korrelasjon men her brkes kompleks konjgert Ff h F * Ff * h F F9.3.8 INF 3 3 F9.3.8 INF 3 4

2 Brk a konolsjons-teoremet - I Filtrering i frekens-doménet Alle konolsjons-filtre kan implementeres enten i bilde-doménet eller i frekens-doménet. ette åpner to nye opsjoner for filtrering:. Utfør filtrering raskt i frekens-doménet for filtre med store filtermasker. esign a filtre i frekens-doménet: A: Lapass B: øypass C: Båndpass/båndstopp : Notch filtre F9.3.8 INF 3 5 gxy fxy * hxy G F F9.3.8 INF 3 6 Filtrering i frekens-doménet. Mltipliser bildet med - x+y for å sentrere transformen.. Beregn F ed hjelp a FT 3. Mltipliser F med et filter 4. Beregn iners FT a resltatet fra 3 5. Finn real-delen fra Mltipliser resltatet med - x+y Noen detaljer er Forier-transformen a et romlig filter. ette kalles en filter transfer fnction. Finnes ed FT a et romlig filter hxy esignes direkte i frekens-doménet. Enkle filtertyper som lapass øypass Båndpass båndstopp designes natrlig i frekens-doménet. F9.3.8 INF 3 7 F9.3.8 INF 3 8

3 ordan mltipliserer i komplekse tall F beregnes ed en pnkt-for-pnkt mltiplikasjon IKKE matrise-mltiplikasjon I Matlab; brk F.* for å mltiplisere hert element i F med hert element i F er kompleks amplitde og fase kan ære et komplekst tall men : e fleste filtrene i brker har fase. Matlab il håndtere dette for deg men pass på his d implementerer mer spennende filtre i andre programpakker! Opsjon : -design filtret i bilde-doménet filtrér i frekens-doménet Vi har en filter-maske hxy i bilde-doménet Men i il tføre filtreringen i frekens-doménet:. Beregn FT a bildet mltiplisert med - x+y.. I bilde-domenet: plasser filter-koeffisientene sentrert i en tom matrise a størrelse MN ed å: Lage en matrise hxy a størrelse MN med bare nller. Sett inn filter-koeffisientene i h sentrert ed M/N/. 3. Beregn ed FT a filteret hxy. 4. Mltipliser element for element i frekens-doménet. 5. Transformér tilbake med iners FT IFT og mltipliser med - x+y. Merk at filtret og bildet må ha samme størrelse. Merk at de er begge sentrert. F9.3.8 INF 3 9 F9.3.8 INF 3 Nll-tidelse for å nngå wrap arond feil Siden Forier-transformen fortsetter at bildet er periodisk får i feil ed bildekantene his i ikke nlltider bildet. Vi trenger bildestørrelser som er toer-potenser for å brke FFT-algoritmer Fast Forier transform Tommelfinger-regel: Finn PN- QN- nlltid til bildestørrelse toerpotens. Matlab-algoritme for FT filtrering. Finn padding-parametre for bildet: PQ paddedsizesizef;. Finn Forier-transformen med padding: F fftf PQ PQ; 3. Generer en filter-fnksjon a størrelse PQxPQ. Enten ed FT a en konolsjons-kjerne. Eller ed design i frekens-doménet. is F er sentrert så må også sentreres. brk fftshift; his nødendig 4. Mltipliser: G.*F; 5. Finn real-delen a den inerse FFT a G: g realifftg; 6. Crop tilbake til original størrelse: g g:sizef :sizef; F9.3.8 INF 3 F9.3.8 INF 3

4 Eksempel: Middelerdi-filter Template matching med FFT IFT * x fftshiftf IFT IFT Problem: har en template hxy a et objekt fra et bilde. Ønsker å finne forekomster a objektet i et annet bilde fxy. Løsning: Korreler templat og bilde ed g h f øye erdier i g sarer til mlig match med template. Korreler i frekens-domenet his templaten er stor! Max sarer til i templaten. F9.3.8 INF 3 3 F9.3.8 INF 3 4 Når er filtrering raskere i frekens-doménet? fxy har dimensjon N N filter-kjernen n n. Fordeler ed filtrering i frekens-doménet Beregning med Fast Forier Transform er ON log N N antall pnkter. Konolsjon i bilde-doménet er OMN MN antall pnkter i hert bilde. en eksakte filterstørrelsen der filtrering er raskere i frekens-doménet ahenger a implementasjonen. En sammenligning i - Brigham iste at frekensfiltrering ar raskere når filtret hadde 3 koeffisienter. Vrder filtrering i frekens-doménet for filtre større enn 9x9 his hastighet er et esentlig tema. Konolsjon i frekens-doménet raskere for store filtre M>9x9 F9.3.8 INF 3 5 F9.3.8 INF 3 6

5 Brk a konolsjons-teoremet -II Alle konolsjons-filtre kan implementeres enten i bilde-doménet eller i frekens-doménet. ette åpner to nye opsjoner for filtrering:. Utfør filtrering raskt i frekens-doménet for filtre med store filtermasker. esign a filtre i frekens-doménet: A: Lapass B: øypass C: Båndpass/båndstopp : Notch filtre F9.3.8 INF 3 7 Opsjon : Filterdesign i frekens-doménet A: Lapass-filtre Bare lae frekenser < kalt ct-off frekens beholdes Enkelt også kalt ideelt lapass filter: > Astanden fra et pnkt til origo M/N/ er gitt ed [ M / + / ] / N ette filtret har noen ønskede effekter som gjør at i normalt ikke brker det.. F9.3.8 INF 3 8 Et ideelt lapass-filter Parameteren For et NxN bilde er relatert til N/ Nyqist-frekensen: N/ Alternatit kan i reskalere til r / N/ r :. Velg r r N. Finn r 3. Sett inn i ligningene for F9.3.8 INF 3 9 F9.3.8 INF 3

6 Filteret i bilde-doménet Eksempel ideelt lapass IFT hxy Original r. r.3 Bilde-filteret blir en trnkert sinc-fnksjon ette filteret il gi ringing rndt pnkter kanter og linjer. Ringing er lett synlig i de to bildene til høyre. F9.3.8 INF 3 F9.3.8 INF 3 a skyldes ringingen? To ideelle lapass-filtre Et ideelt lapass-filter transformert til bilde-doménet Merk at filterprofilen har negatie erdier. Firkant-filter i bilde-doménet: hx f*h Filtret ligner på et Mexican-hat filter Laplace-of-Gassian. fft a for ideell lapass - profil for ideell lapass Radis og antall sirkler er omendt proporsjonal med ctoff -freqensen. La ctoff gir stor ringradis i bilde-doménet. Ideelt lapass-filter i frekens-doménet: hx f*h Konolsjon m/ trappe-kant Konolsjon m/ trappe-kant F9.3.8 INF 3 3 F9.3.8 INF 3 4

7 F9.3.8 INF 3 5 Ringing og impls-respons hxy i bilde-doménet kalles filterets impls-respons i signalbehandling is i anender filtetet på en - impls il responsen ære eksakt lik filter-koeffisientene. ette gjelder for alle filtrene i diskterer her. h f h f F9.3.8 INF 3 6 Forier-spektra og power Power-spektret er gitt ed Totalt power i bildet er is filtret er sentrert il en sirkel med radis r omsltte α prosent a massen nder bildefnksjonen: der i smmerer oer erdier a innenfor eller på sirkelen. ette gir en alternati måte å elge ctoff -frekens: slik at x % power blir beart. M N M N F P PT PT P / α I R F P + F9.3.8 INF 3 7 Radis og 46 F9.3.8 INF 3 8 Tilsarende lapass-filtrerte bilder Original 3 6

8 Btterworth lapass-filter Btterworth lapass-filtre a flere ordener + / efinisjon: er astanden fra til er ctoff -frekensen n er filtrets orden [ ] n beskrier det pnktet der.5 La filter-orden n liten: atar langsomt: lite ringing øy filter-orden n stor: atar raskt: mer ringing Fordeler: Redserer ringing sel om ctoff -frekens er klart definert Kompromiss mellom ringing og skarphet i ctoff. F9.3.8 INF 3 9 F9.3.8 INF 3 3 Romlig representasjon a BLPF ILPF mot BLPF n samme ctoff F9.3.8 INF 3 3 F9.3.8 INF 3 3

9 Btterworth lapass-filtreringer Gassisk lapass-filter frekens ILPF r. e / σ n4 n6 BLPF r. n F9.3.8 INF 3 33 F9.3.8 INF 3 34 Gassisk lapass-filter bilde ILPF BLPFn GLPF; samme ctoff Man kan ise at iners Forier-transform a en Gass-fnksjon også er en Gass-fnksjon. Ae / σ h x πσae πσ x Merk relasjonen mellom standard-aikene i de to doménene: is er bred σ er stor så er hx smal is er smal så er hx bred Et Gassisk filter forårsaker ingen ringing i bildet. F9.3.8 INF 3 35 F9.3.8 INF 3 36

10 ilket lapass-filter skal d elge? Opsjon : Filterdesign i frekens-doménet B: øypass-filter Ideelt høypass-filter: hp >. eller hp lp Gass-filtre sikrer deg mot ringing. ette kan ære ekstremt iktig i noen applikasjoner! Ønsker d bedre kontroll med oergangen mellom lae og høye frekenser: brk Btterworth. øyere orden il gi ringing. Ideelt lapass brkes nesten ikke! Btterworth høypass-filter: hpb + Gassisk høypass-filter: hpg e [ / ] n / F9.3.8 INF 3 37 F9.3.8 INF 3 38 Ideelt Btterworth og Gassisk høypass-filtre Eksempel ideelt høypass F9.3.8 INF 3 39 F9.3.8 INF 3 4

11 Eksempel Btterworth høypass Eksempel Gassisk høypass F9.3.8 INF 3 4 F9.3.8 INF 3 4 ordan filtrerer i bort en sinsoid? Opsjon : Filterdesign i frekens-doménet C: Båndpass og båndstopp filtre Båndpass filter: bearer kn energien i et gitt frekens-bånd < low high > eller < -W/ + W/> W er bredden på båndet er senter-frekensen radielt. Båndstopp filter: fjerner all energi i et gitt frekens-bånd < low high > F9.3.8 INF 3 43 F9.3.8 INF 3 44

12 F9.3.8 INF 3 45 Båndstopp-filtre Ideelt Btterworth Gassisk + > + < if - if if W W W W bs n bs W + B W bsg e F9.3.8 INF 3 46 Plot a båndstopp-filtre F9.3.8 INF 3 47 Eksempel på båndstopp-filtrering F9.3.8 INF 3 48 Båndpass-filtre efinert ed bs bp Original Resltat a båndpass-filtrering

13 Eksempel: diskrete frekenser skal filtreres ordan kan i filtrere bort bare de ønskede toppene i spektret? Opsjon : Filterdesign i frekens-doménet : Notch -stop filtre Stopper frekenser i et definert naboskap omkring en senter-frekens. Notch hakk innsnitt. Eksempel: periodisk støy som ises som topper eller linjer i spektret. Scanlinje-støy rastreringsstøy mosaikk-støy interferens... Filteret må ære symmetrisk om origo. Et ideelt notch -stop filter med radis og sentra - - : n his ellers / [ M / + N / ] [ M / + + N / + ] / eller F9.3.8 INF 3 49 F9.3.8 INF 3 5 Btterworth og Gass notch -stop filtre Utidet notch -filter Btterworth a orden n: Gass: ng + e is blir dette høypass-filtre. Notch -pass filter: n np ns En skanner har gitt horisontale striper i bildet. or i spektret ser i dette? ette ligner wraparond error. Stripene kan ikke fjernes på samme måte! ordan kan stripene fjernes? Lag en binær notch i frekens-domenet. Glatt t filtret ed konolsjon i frekens-domenet. Mltipliser med original-spektret. Iners Forier-transform gir et restarert bilde. Originalbilde fxy Notch filter Spektrm a F Restarert bilde gxy F9.3.8 INF 3 5 F9.3.8 INF 3 5

14 Oppsmmering Forier amplitde-spektret er nyttig for å se hilke frekenser som finnes i bildet. sk hordan i isaliserer spektret og hordan typiske spektra ser t. Alle konolsjons-filtre kan implementeres i Forierdoménet se konolsjons-teoremet. Rask implementasjon a store romlige konolsjonskjerner er mlig i frekens-doménet. Filtre kan designes i Forier-doménet: Lapass høypass båndpass/båndstopp notch. Btterworth eller Gass-filtre bør brkes ikke ideelle filtre pga. ringing. F9.3.8 INF 3 53 En liten test... Forier-transformen a en firkant-profil er en sinc-fnksjon. a er Forier-transformen a en trekant-profil? int nr : ordan kan d prodsere en trekant-profil? int nr : sk konolsjons-teoremet : Ff*h F F9.3.8 INF 3 54