Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 6. november 2002, kl Løysingsforslag:

Transkript

1 Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 6 noember 2002, kl Løysingsforslag: 1a Her er r 0 løysing a det karakteristiske polynomet med mltiplisitet 2 pga t 3 -faktor i den partiklære løysinga Dette gir den generelle løysinga yt C 1 t + C 2 + t 3 /6 1b Laplacetransformerer likninga og får frå Tab 621 nr2, og nr18: s 2 Y s s Y s 1 s 2 Løyser for Y Y s delbrøkoppspalter og får at: Tab 621 nr2, og nr8 gir 1 Y s + s s 1s+1s 2 s s 2 s 1 6 s+1 3 s 2 s 2 1 yt 1 2 et e t e2t + cosh t 1c Her er λ 2 løysing a det karakteristiske polynomet med mltiplisitet 2 pga t-faktor og ξ [1, 1] T er den tilhøyrande eigenektoren La η [0, 1 T ] og a b A c d Vi får no 4 likningar for a, b, c og d gitt ed: A ξ 2ξ og A η 2η + ξ, løyser desse og får: A

2 2aSinglære pnkt sarer til nllpnkta for x 2, ds x 2 Konergensradis til ei rekkeløysing om x 0 er astanden frå x 0 til det nærmaste singlære pnktet i det komplekse planet, ds x 2, som gir konergensradis ρ 2 2b Rekketikler om x 0: yx a k x k y x ka k x k 1 y x kk 1a k x k 2 k0 k1 k2 Dette innsatt i likninga gir: x 2 k2 kk 1a k x k 2 k0 k k x k x 2 a 0 4a 2 a 1 2a a 3 x+ k2 { 2k + 2k + 1a k+2 + k + 1ka k+1 a k }x k x 2 Samanliknar koeffisientar framfor ledd a same grad og får: a 0 4a 2 2, a 1 + 2a 2 12a 3 1, 2k + 2k + 1a k+2 + k + 1ka k+1 a k 0, k 2, 3, Startkraa gir at y0 a 0 1 og y 0 a 1 1, som saman med trykka oer gir rekka for y yx 2c Reknar t koeffisentane og får frå rekrsjonen: yx 1 + x x2 1 8 x x x5 + Ox 6 2d Generelt il i ha at eit starerdiproblem på forma 2a il ha ei eintydig bestemt løysing innanfor konergensradien til rekkeløysinga Denne løysinga kan trykkast ed hjelp a rekka i har fnne i 2b 3a Fnksjonen fx er jamn fordi f x fx Den har dermed Forierrekka fx 1 2 A 0 + A n cosnx, 2

3 med B n 1 π π π π A π π 2 x2 π 2 dx 2 3 π2 1 2 x2 π 2 cosnxdx 2 n cosnπ 2 2 1n n 2 3b Fnksjonen fx har ei kontinerlig 2π-tiding sidan lim x π x π fx lim fx 0 + Forier-rekka koneregerer dermed pnktis mot den tida fnksjonen for alle x Spesielt får i med x π: 0 π n 2 cosnπ π2 n n, 2 som gir det søkte resltatet 3c La x, t XxT t T { T X A X X σ + σx 0 B T + σt 0 Løyser A med randkraa X π Xπ 0 Vi får karakteristisk polynom: r 2 + σ 0 r ± σ For σ 0 får i kn den triielle løysinga 0-løysinga Vi kan difor gå tifrå at σ λ 2, λ > 0 som gir generell løysing a A: Randkraa fører til: Xx C 1 cosλx + C 2 sinλx X 0 0 λc 2 0, X π 0 sinλπ 0 λ n, n 0, 1, 2, Eigenerdier og eigenfnksjoner for problemet er dermed: λ n n, og X n x cosnx, n 0, 1, 2, 3

4 Løyser likning B med gitte eigenerdier: som gir σ n λ 2 n n 2, T n + n 2 T n 0 T n t B n exp n 2 t, n 0, 1, 2, Vi har dermed fnne fndamentalløysingar n x, t X n xt n t Sperposisjon a fndamentalløysingane gir: Initialkraet gir at x, t 1 2 A 0 + A n exp n 2 t cosnx x, A 0 + A n cosnx fx Dette er Forier-rekka til den jamne tidinga a fx som i har fnne i 3a, dermed er x, t 1 2 π2 + 1 n 2 n 2 exp n2 t cosnx 4a La F x, y 1 γyx 2 3x 1 γyxx 3, Gx, y yx 2 4x + 3 yx 1x 3 Likeektspnkt er gitt ed at F G 0 Dette gir flg isolerte likeekter: X, Y {0, 0, 1, 1/γ} I tillegg gir alle pnkt på linja x 3 likeekt 4b Vi ndersøker stabiliteten til det ikkje-linære systemet ed å linearisere omkring dei isolerte likeektene X, Y, og stdere stabiliteten a det tilhøyrande lineære sytemet La x X og y Y 4

5 Det lineariserte systemet kan skriast: d Fx X, Y F y X, Y dt G x X, Y G y X, Y eller d dt 1 γy 2X 3 γxx 3 Y 2X 4 X 1X 3, Vi må finne eigenerdiane til det lineære systemet om kar a likeektene i skal analysere: ix, Y 0, 0: som gir eigenerdiar: d dt λ 1,2 ±3 Origo er dermed eit stabilt sadelpnkt både i det lineære og det ikkje-lineære tilfellet Trajektoriane for dette lineære systemet er gitt ed d/dt d/dt d d dy dx y x Får at xy C, som gir hyperbelkrer med x- og y-aksen som asymptoter A forteikna på d/dt og d/dt får i at trajektoriane i 1 kadrant beeger seg mot likeekten langs x-aksen og ekk frå likeekten langs y-aksen iix, Y 1, 1/γ: Eigenerdiar: d dt λ 2/γ 0 2γ 2/γ 0 2γ λ λ , ds λ 1,2 ±2i Likeekten 1, 1/α er dermed eit marginalt stabilt senter i det lineære tilfellet Vi kan ikkje ttale oss om det ikkje-lineære tilfellet tifrå lineariseringa Trajektoriane er: d d γ2 2 + γ 2 2 C x γ 2 y 1/γ 2 C, 5

6 som er ellipsebaner med sentrm i likeekten Fordi d/dt γ > 0 når > 0 og d/dt < 0 når < 0, il trajektoriane traersere ellipsebanene i negati omløpsretning 4c Trajektoriane er gitt ed dy/dt Gx,y dx/dt F x,y dy dx 1 γdy 1 1dx y x 0 ln y αy x + ln x C y x 1 1 γy x Trajektoriane danner lkka baner i faseplanet med sentrm i x, y 1, 1/γ Frå retningen på trajektoriane kan i agjere stabiliteten til likeektene som ligg på linja x 3: Når y > γ er dx/dt 1 γyxx 3 > 0 når x < 3 og dx/dt < 0 når x > 3 Ds stabilitet for y > 1/γ Omendt er dx/dt < 0 når x < 3 og dx/dt > 0 når x > 3 for 0 < y < 1/α Ds stabilitet for 0 < y 1/γ 6