Matematikk R1. Odd Heir Gunnar Erstad Ørnulf Borgan Håvard Moe Per Arne Skrede BOKMÅL

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Matematikk R1. Odd Heir Gunnar Erstad Ørnulf Borgan Håvard Moe Per Arne Skrede BOKMÅL"

Transkript

1 Matematikk R Odd Heir Gnnar Erstad Ørnlf Borgan Håard Moe Per Arne Skrede BOKMÅL

2 Matematikk R dekker målene i læreplanen a 006 for Matematikk R i stdiespesialiserende tdanningsprogram H Aschehog & Co (W Nygaard) 007 tgae / opplag 007 Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndserkloen eller i strid med ataler om kopiering inngått med Kopinor, interesseorgan for rettighetshaere til åndserk Kopiering i strid med lo eller atale kan føre til erstatningsansar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel Redaktører: Dag-Erik Møller og Knt Barder Grafisk formgining og omslag: Mona Dahl og Marit Heggenhogen Bearbeiding a omslagsfoto: Grafisk Form/Kathinka Kalstad Eckhoff Ombrekning: Type-it AS Bilderedaktør: Annette Faltin Tekniske illstrasjoner: Framnes Tekst og Bilde AS Grnnskrift: Sabon 0,8/3 Papir: 00 g Tom&Otto 0,8 Trykk og innbinding: AIT Trykk Otta AS ISBN wwwaschehogno Bildeliste, se side 44

3 Gide til Matematikk R Aktiitet i starten a hert kapittel: AKTIVITET: Brett og tenk Ta et anlig A4-ark og brett det slik at d får en nøyaktig likesidet trekant Lengden a sidene skal ære lik kortsiden a arket Hilke geometriknnskaper brkte d i bretteprosessen? Læringsmål i margen ed starten a hert nderkapittel: I 5 skal d lære å gjennomføre beis 5 BEVISTYPER Da Ole møtte Lise etter å ha ært oppe til førerprøen, ille hn ite hordan det hadde gått «Det er feil å si at jeg ikke sto,» ar saret «Gratlerer,» sa Lise Teori: A U A Komplementære hendelser La A ære en hendelse ed et forsøk Hendelsen A omfatter alle tfall som ikke er med i A Hendelsene A og A er komplementære Den komplementære hendelsen til A = { 5, 6} ed kast med én terning er A = {,, 3, 4} Eksempler: Eksempel 4 Fart og akselerasjon for en scooter Ved en fartstest a en scooter ble farten fortløpende registrert Det iste seg at etter t seknder ar farten (t) m/s tilnærmet gitt ed (t) = 0,t 3 +,4t + 0,5t, 0 < t <4 Vi il finne fart og akselerasjon etter 3 seknder Innlæringsoppgaer, med henisninger til oppgaesamlingen bak i boka: Sti Sti Sti 3 Stifinner: side 39 Oppgae 35 D kaster fem terninger a Ha er sannsynligheten for at d får fem seksere? b Ha er sannsynligheten for at alle terningene iser det samme? Oppgaesamling bak i boka, med tre forslag til stier: 3 Parallelle ektorer Sti Sti Sti 3 7, 9,, 8, 0,,, 4, 3, 4, 5, 6 7 Skri ttrykt ed når a er dobbelt så lang som og ektorene har samme retning Nettstedet:

4 Forord Matematikk R Læreerket Matematikk R er skreet for læreplanen Matematikk R (matematikk for realfag) på stdiespesialiserende tdanningsprogram Utdrag fra læreplanen finner d på side 390 Læreerket består a Læreboka, alt-i-ett, med teori, eksempler, innlæringsoppgaer og oppgaesamling Nettstedet, på Loksno, med bla interaktie oppgaer, animasjoner og graftegner Læreboka Hert kapittel innledes med en kort aktiitet som kan gi deg en idé om ha kapitlet inneholder Aktiitetene egner seg godt for samtale I hert nderkapittel finner d teori, eksempler og innlæringsoppgaer Innlæringsoppgaene er plassert løpende i teksten, slik at d hele tiden kan kontrollere om d har forstått lærestoffet Det lønner seg å regne alle innlæringsoppgaene D kan så gå til oppgaesamlingen bak i boka for idere arbeid og tdypning I sltten a hert kapittel finner d en kapitteltest og et sammendrag Her kan d kontrollere om d har forstått helheten i kapitlet Sammendragene inneholder bla norsk-engelske ordlister med ti sentrale begreper fra kapitlet D finner løsninger til innlæringsoppgaene og kapitteltestene på nettstedet Undereis har i plassert bilder som kan tdype teksten og knytte stoffet til samfnn og kltr Vi oppfordrer til akti brk a bildene * Oppgaesamlingen bak i læreboka I oppgaesamlingen finner d arierte oppgaer a mange forskjellige typer og anskelighetsgrader D finner blandede oppgaer i sltten a hert kapittel Dessten testen «5 rette eller gale» og eksamensoppgaer Eksamensoppgaene er merket med X Oppgaene innenfor et nderkapittel er ordnet etter anskelighetsgrad De letteste er ikke markert De noe anskeligere er markert med trekanter: eller De blandede oppgaene har ikke markeringer for anskelighetsgrad Noen oppgaer fra oppgaesamlingen har løsninger på nettstedet Disse oppgaene er merket med stjerne *

5 Til hjelp i arbeidet har i laget Stifinneren, en tabell med tre forskjellige forslag til «stier» En sti er et talg a oppgaer satt i en passende rekkefølge Sti er lettest Sti 3 er anskeligst Nettstedet Nettstedet har samme kapittelinndeling som læreboka Til hert kapittel har i laget interaktie oppgaer a mange typer Her får d ite med en gang om d har sart riktig, og ofte kan d elge å se hint og løsningsforslag Vi har også laget animasjoner, graftegner, regneark, matematikkleksikon, lenkesamling, lenkeoppgaer og opplæringskrs i brk a digitale erktøy Nettstedet il ære i stadig tikling Digitale erktøy Der det har ært aktelt å forklare brken a lommeregnere, har i forklart inntastingen for Casio CFX-9850/fx-9860-seriene og Texas TI-83/TI-84-seriene I noen oppgaer blir d bedt om å brke digitalt erktøy Disse oppgaene kan anligis løses både på lommeregner og ed å brke andre digitale erktøy I læreplanen står det at eleene skal knne brke dynamisk konstrksjonsprogram I noen a eksemplene iser i slik brk Skjermbildene er laget med programmet GeoGebra (wwwgeogebraorg), men andre erktøy kan like gjerne brkes Det il i en del tilfeller ære aktelt å brke regneark i arbeidet med matematikk Derfor har i tatt med eksempler på slik brk Forklaringene er tilpasset Microsoft Excel og regnearket i OpenOffice D kan brke registeret for å finne hor i boka brk a digitale erktøy er forklart Se stikkordene digitalt erktøy, dynamisk konstrksjonsprogram, Loksno, lommeregner, regneark og symbolbehandlende erktøy Vi iser også til nettstedet, der d finner opplæringskrs i brk a digitale erktøy Takk Vi takker konslentene Jostein Walle, Petter Callin, Åse Alær Pedersen og Terrence Baine for gode forslag og innspill En spesiell takk til redaktørene Dag-Erik Møller og Knt Barder og teknisk redaktør Fred W Alad Lykke til I årenes løp har i fått mange nyttige tilbakemeldinger fra eleer og lærere Ønsker d å gi kommentarer, kan d brke adressen Vi ønsker deg lykke til med brken a læreerket! Hilsen Odd Heir, Gnnar Erstad, Ørnlf Borgan, Håard Moe og Per Arne Skrede

6 Innhold Vektorer Ha er en ektor? 9 Addisjon og sbtraksjon a ektorer 3 Parallelle ektorer 0 4 Vektorkoordinater 8 5 Lengden a ektorer 34 6 Skalarprodkt 38 7 Skalarprodkt og geometriske problemer 5 Kapitteltest Sammendrag 56 Algebra Faktorisering 59 Polynomdiisjon 65 3 Likninger Implikasjon Ekialens 70 4 Ulikheter 78 5 Beistyper 85 6 Potenser og logaritmer 90 7 Logaritmesetningene 97 8 Logaritmelikninger 0 9 Eksponential- og logaritmelikheter 07 Kapitteltest Sammendrag 0 3 Sannsynlighet 3 Tilbakeblikk 3 3 Betinget sannsynlighet og ahengige hendelser 8 33 Prodktsetningen 4 34 Total sannsynlighet og Bayes setning 7 35 Kombinatorikk Ordnet talg med og ten tilbakelegging Uordnet talg ten tilbakelegging 4 38 Hypergeometriske og binomiske sannsynligheter Mer kombinatorikk 5 Kapitteltest Sammendrag 54

7 4 Fnksjoner 4 Rasjonale fnksjoner 57 4 Grenseerdier og kontinitet Deriasjon Drøfting a fnksjoner Den andrederierte 86 Kapitteltest Sammendrag 96 5 Fnksjoner 5 Fnksjoner med e som grnntall 99 5 Deriasjon a e- og ln-fnksjoner Parameterframstilling 5 54 Vektorfnksjoner 4 55 Deriasjon a ektorfnksjoner 8 Kapitteltest Sammendrag 34 6 Geometri 6 Geometriske steder 37 6 Formlikhet og kongrens Konstrksjoner 5 64 Mer om trekanter 6 65 Å beise pytagorassetningen 7 Kapitteltest Sammendrag 78 Oppgaesamling 80 Utdrag fra læreplanen i Matematikk R 390 Fasit Innlæringsoppgaer og kapitteltester 39 Fasit Oppgaesamling 403 Register 4

8 Vektorer AKTIVITET: Labyrint Lars og Laila har forillet seg inn i en labyrint, der alle stier er rettet nord-sør eller øst-est De forsøker å finne en ei t Lars og Laila starter fra samme tgangspnkt (origo) Lars går m mot øst, 3 m sør, m est, m sør, 4 m øst, 6 m nord, m est og m nord Laila går m mot nord, m est, m sør, 3 m est, 5 m nord og m øst V N S Ø Hor langt øst for, og hor langt nord for tgangspnktet er Lars? Hor langt øst for, og hor langt nord for tgangspnktet er Laila? Tegn inn forflytningene til Lars og Laila i et koordinatsystem La cm sare til m Hor langt fra tgangspnktet er Lars og Laila? Hilken posisjon har Lars i forhold til Laila? Hor langt fra herandre er Lars og Laila?

9 Vektorer 9 I skal d lære å brke ektorer til å illstrere størrelser med retning HVA ER EN VEKTOR? Når meteorologen skal presentere ærmeldingen, brker han eller hn piler på ærkartet for å beskrie indforholdene Ved pilene står det gjerne et tall som iser indstyrken En fllerdig oersikt kreer både indretning og indstyrke Slik er det også med mange andre fysiske størrelser; de har både en retning og en tallerdi For å knne foreta matematiske beregninger på fysiske størrelser der retningen inngår som en del a størrelsen, trenger i et nytt matematisk begrep, som i kaller ektorer Vektorer En ektor er et linjestykke med retning Fysiske størrelser som i må beskrie med ektorer, kaller i ektorstørrelser Kraft og fart er eksempler på ektorstørrelser Vanlige tall og størrelser som ikke har retning, kaller i skalarer Tid og masse er eksempler på skalarer Vind er en ektorstørrelse

10 0 Vektorer Oppgae I hilke tilfeller il en ektor beskrie sitasjonen best? a Volmet a melk i en melkekartong b Tiden d brker på å gjøre matematikkleksene c Farten rallybilen har idet den kjører t i en sing d Vanntemperatren i badekaret e D flytter på en plt i klasserommet f D går fra hytte til hytte i Jotnheimen g Jordas fart i forhold til sola akkrat nå Vektorer i planet Vi tegner en ektor ed å tegne et rett linjestykke med en pilspiss i den ene enden Da har i definert en entydig retning for ektoren Og i har gitt den en bestemt lengde Nedenfor har i tegnet fire ektorer som i har satt nan på (Det er anlig å brke, og w eller a, b og c) For å ise at i har en ektor, setter i en pil oer nanet, som Pila oer nanet peker alltid mot høyre En ektor som går fra et pnkt A til et pnkt B, skrier i AB Vi leser som «-ektor» og AB som «AB-ektor» w A AB B Er noen a de fire ektorene like? Tre a ektorene oenfor har samme retning Og tre a ektorene har samme lengde Men bare og har både samme retning og samme lengde Vi sier da at er lik Like ektorer To ektorer og er like når de har samme retning og samme lengde Da kan i skrie =

11 Vektorer Det at to ektorer regnes som samme ektor når de er ensrettet og har samme lengde, er iktig når i skal addere ektorer NB! Det spiller ingen rolle hor i tegner en ektor Om i flytter en ektor, regner i den som samme ektor, bare i passer på at retningen og lengden ikke blir endret For å slippe å skrie «lengden a ektoren» innfører i skriemåten Lengden er et ikke-negatit tall (ds et positit tall eller nll) Vi kan for eksempel skrie = 5 dersom ektoren er 5 enheter lang, men det gir ikke mening å skrie = 5 kaller i også absoltterdien a Eksempel Vektorer i et parallellogram Firkanten ABCD er et parallellogram (I et parallellogram er to og to sider parallelle og like lange) Her er AB = DC og BC = AD Vektorene AB og CD er ikke like De har samme lengde, men motsatte retninger Men i kan skrie AB = CD, for lengdene er like A B D C Oppgae Figren iser en reglær sekskant Alle sidene i sekskanten er altså like lange, og to og to sider er parallelle a Finn en ektor som er lik AB b Finn en ektor som er lik CB c Finn en ektor som er lik CA d Hilke ektorer er like lange som BE? F E A D B C Oppgae 3 a b c d e f g Stifinner: side 8 a b c Hilke ektorer har samme retning? Hilke ektorer er like lange? Hilke ektorer er like?

12 Vektorer ADDISJON OG SUBTRAKSJON AV VEKTORER I 3 skal d lære å påise parallelle ektorer, og brke parallelle ektorer til å løse problemer Smmen a to ektorer Når i skal addere ektorer, kan det ære til hjelp å tenke seg at ektorene beskrier en sammensatt forflytning fra et gitt tgangspnkt Vi lar ektorene og representere to forflytninger t fra et pnkt A C A B Vi starter i pnktet A og forflytter oss ektoren Da kommer i til et pnkt som i kaller B Så forflytter i oss idere fra B og kommer til et pnkt C Hilken ektor er det da som beskrier år endelige posisjon i forhold til startpnktet A? Jo, det er ektoren som starter i A og sltter i C, ds AC C + A B Addisjon a to ektorer AB + BC = AC Trekantmetoden for å addere to ektorer + + Når i skal tegne smmen a to gitte ektorer og med trekantmetoden, tegner i enten t fra det pnktet der sltter, eller t fra det pnktet der sltter De to ektorene danner da to sider i en trekant Smmen a de to ektorene går langs den tredje siden i trekanten

13 Vektorer 3 Smmen starter der den første ektoren starter, og sltter der den andre ektoren sltter Parallellogrammetoden for addisjon a to ektorer Vi tegner de to ektorene t fra samme pnkt Så parallellforskyer i her a dem slik at i får et parallellogram + Diagonalen fra hjørnet der de to ektorene starter, til hjørnet der de sltter, er lik ektorsmmen + Oppgae 4 Tegn smmen a ektorene a b c d e Eksemplet nedenfor iser hordan i går fram his i skal addere flere enn to ektorer Eksempel Addisjon a tre ektorer Vi skal tegne ektorsmmen + + w w Når i skal addere tre ektorer, finner i først smmen a to a ektorene Deretter adderer i den tredje til smmen a de to På figren har i først fnnet smmen + Vi har kalt ektorsmmen + + w for q w + q

14 4 Vektorer Eksempel Vektorer i dynamiske konstrksjonsprogrammer Figren nedenfor er laget i det dynamiske konstrksjonsprogrammet GeoGebra og iser ektorsmmen + = w Vektorene følger med når man drar i pnktene A, B og C Programmer for dynamisk geometri kan ære til hjelp i ektorregning, både for oppgaeløsning og for å forstå problemstillinger og begreper I oppgaesamlingen finner d noen oppgaer der det legges opp til brk a slike programmer, og på nettstedet på Loksno finner d ektoranimasjoner GeoGebra kan d laste ned fra wwwgeogebraorg Eksempel 3 Flere ektorsmmer Figren iser to like rektangler D E F A B C Vi il finne ektorsmmene AD + DF, AD + BC og AF + EA D E F D E F D E F A B C A B C A B C AD + DF = AF AD + BC = AD + DE = AE AF + EA = AF + FB = AB

15 Vektorer 5 Eksempel 4 Parallellogram Om firkanten ABCD får i ite at sidene AD og BC er parallelle og like lange Vi il brke ektorregning til å beise at da må firkanten ære et parallellogram D C Fordi AD og BC er parallelle og like lange, kan i sette A AD = BC B His de to andre sidene også er like lange og parallelle, er firkanten et parallellogram Det er altså nok å ise at AB = DC AB = AD + DB = BC + DB = DB + BC = DC Sidene AB og DC er altså like lange og parallelle, og firkanten er et parallellogram Oppgae 5 Figren iser fire like parallellogrammer Skri ektorsmmene enklere G H I D E F A a c B C AB + BE b AB + BG + GH AF + HG + IF d IE + BG + AC Oppgae 6 a Tegn to ilkårlige ektorer og Vis at + = + b Tegn tre ilkårlige ektorer, og w Vis at ( + ) + w = + ( + w ) Eksempel 5 Nllektoren Vi skal addere to ektorer og Vektorene er like lange, og de er motsatt rettet Vi kan derfor skrie = AB og = BA Smmen blir da + = AB + BA = AA AA er en ektor som starter og sltter i samme pnkt, og som derfor har lengden 0 Denne ektoren kaller i nllektoren, og den skrier i 0 Vi får altså + =0

16 6 Vektorer Tall og ektorer en sammenlikning Før i går idere med flere regneoperasjoner for ektorer, skal i peke på noen likheter og forskjeller mellom tallregning og ektorregning Regneoperasjonen ektoraddisjon er definert slik at «ektorenes orden» er likegyldig: + = + Vi kan også elge hilke ektorer i il addere først når i adderer flere ektorer: ( + ) + w = + ( + w ) Tilsarende regler brker i når i adderer tall Når i adderer to tall og får nll, et i at de to tallene har motsatt fortegn a+ b =0 gir a = b I eksempel 5 så i at AB + BA =0 Det kan i brke til å definere ha detskal bety å sette et minstegn foran en ektor: AB = BA For tallene a og b er det ene positit og det andre negatit Det kan i derimot ikke si om ektorene AB og BA Vektorer er ikke positie eller negatie En ektor er et linjestykke med retning, og ingen retning har noen forrang foran andre retninger Vektorene AB og AB kaller i motsatte ektorer For et tall a et i at 3a betyr a+ a+ a Da er det rimelig å definere 3 til å bety + + En slik definisjon gjør at mange a de regnereglene i brker for tallregning, også il gjelde for ektorregning En sentral egenskap ed tall er at de kan rangeres For to like tall c og d er enten c < d eller d < c Denne egenskapen har ikke ektorer Å skrie «<» har ikke mening To ektorer og er enten like, =, eller forskjellige, (Lengdene a ektorer kan i selsagt rangere, de er jo anlige tall) Vi skal seinere i kapitlet definere sbtraksjon a ektorer og en spesiell form for mltiplikasjon a to ektorer Vi kan derimot ikke diidere med en ektor, og heller ikke ta kadratroten a en ektor Motsatte ektorer Vektorene og i eksempel 5 er motsatte ektorer, og i kan skrie = + ( ) = 0 og ( ) + = 0 Vektorene og er altså ektorer som er like lange og motsatt rettet Vektorene AB og BA er motsatte ektorer, og i kan skrie AB = BA

17 Vektorer 7 Motsatte ektorer og er motsatte ektorer De er like lange og motsatt rettet AB og BA er motsatte ektorer Vi kan skrie AB = BA Oppgae 7 Figren iser fire like parallellogrammer G H I D E F A B Finn en motsatt ektor til a AB b BI c GC Differansen mellom ektorer C Differansen mellom to ektorer og kan i alltid skrie som en sm: = + ( ) I stedet for å sbtrahere ektoren kan i addere den motsatte ektoren På figren nedenfor brker i trekantmetoden til å addere ektorene og for å finne _ Når ektorene og er tegnet fra samme startpnkt, kan i finne ten å måtte flytte på en a ektorene Se figren nedenfor til enstre For å forsikre deg om at retningen på blir riktig, kan det ære lrt å tenke på differansen som smmen + _ +

18 8 Vektorer Eksempel 6 Sbtraksjon a ektor C C A A CB = AB AC Vi skal finne et enklere ttrykk for ektordifferansen AB AC = AC + AB = CA + AB = CB B AB AC, og tegne ektoren B Eksempel 7 Fartsendring Kristoffer tar fart for å løpe tfor bassengkanten Han går først med farten 4,0 m/s Så øker han farten til 0 m/s Fartsendringen er da 6,0 m/s Fart er en ektorstørrelse Forten erdi og enhet må i også kjenne retningen for at farten skal ære fllstendig gitt (Når i ikke er interessert i fartsretningen, sier i gjerne banefart) Fordi Kristoffer holdt konstant fartsretning nder tilløpet, knne i regne t fartsendringen ed enkel sbtraksjon Når fartsretningen ikke er konstant, må i brke ektorer (his det ikke er banefarten i er interessert i) Vi lar ektoren ære farten til Kristoffer idet han når bassengkanten, og ektoren ære farten idet han lander i bassenget Vi il finne fartsendringen til Kristoffer i løpet a seet _ Generelt finner i endringen a en størrelse ed å ta sltterdien mins starterdien Det gjelder også når i regner med ektorer Fartsendringen, som er en ektor, kan i skrie som Fartsendringen til Kristoffer nder seet har retning loddrett nedoer

19 Vektorer 9 Oppgae 8 Tegn ektordifferansen a b c d Oppgae 9 Uttrykk her a ektorene ed de to andre ektorene w Eksempel 8 Forenkling a ektorttrykk C D A B Vi il skrie ttrykket AC + CD CB BD enklere Vi får brk for addisjonsregelen AB + BC = AC fra side I tillegg er det ofte lrt å gjøre om fra sbtraksjon til addisjon, for eksempel ed å erstatte CB med +BC AC + CD CB BD = ( AC + CD) CB BD = AD CB BD = AD + BC + DB = AD + DB + BC = ( AD + DB) + BC = AB + BC = AC Stifinner: side 8 Oppgae 0 Skri ektorttrykkene enklere a BA CA b AB + BC DC c AB CB DC BD d CA + BA DA CD

20 0 Vektorer 3 I 3 skal d lære å påise parallelle ektorer, og brke parallelle ektorer til å løse problemer 3 PARALLELLE VEKTORER I forrige nderkapittel så d hordan i adderer og sbtraherer ektorer Vi antydet også hordan i definerer mltiplikasjon a en ektor med en skalar, det il si et anlig tall Før i gir en generell definisjon på mltiplikasjon med en skalar, ser i på et eksempel der i tar tgangspnkt i ektoraddisjon Eksempel Mltiplikasjon med skalar Vi skal tegne ektoren 3 I tråd med definisjonen antydet på side 6 skrier i 3 = Vektoren 3 er altså en ektor som har samme retning som og er 3 ganger så lang Når i mltipliserer en ektor med et positit tall k, får i en ektor som har samme retning som, og som er k ganger så lang His k >, blir k lengre enn His 0 < k <, blir k kortere enn Men ha his k er negati? Vektoren kan i skrie ( ) er den motsatte ektoren til er en ektor som har motsatt retning a og er dobbelt så lang som For negatie erdier a k har altså og k motsatte retninger Figren iser k for noen k-erdier,5 π Ha kan d si om alle disse ektorene?

21 Vektorer 3 Absoltterdien a et tall k k = k his k er positi eller nll k = k his k er negati 3 = 3 = 3 Vektorene og har begge lengden His k er positi, kan i skrie lengden a k som k His k er negati, kan i skrie lengden a k som k k står for absoltterdien a tallet k (Se marg) Parallelle ektorer For alle erdier a k er k og parallelle ektorer His k > 0, har k og samme retning His k < 0, har k og motsatt retning His k = 0, er k = 0 (nllektoren) Lengden a k : k = k Vi sier at nllektoren er parallell med enher ektor Da får i ikke noe nntak for k = 0 Oppgae Tegn ektorene a b 3,5 c d e + 3 f Oppgae a d c b Uttrykk ektorene ed Når to ektorer og er parallelle, skrier i gjerne His = k, er To ektorer er parallelle his det fins et tall k som gjør at i kan skrie den ene ektoren som k mltiplisert med den andre ektoren Når i har fnnet en erdi k som gjør at = k, kan i altså slå fast at og er parallelle ektorer

22 Vektorer 3 Setningen gjelder også den andre eien Når to ektorer og er parallelle, har i at = k (Fortsatt at ikke er nllektor) His, er = k Parallelle ektorer kan i trekke sammen, slik som her:,5 4 3,5 0,5 3,5 + 5, = 35, 4 3, 5 = 0, 5 I ektorttrykk som inneholder ikke-parallelle ektorer, trekker i sammen de som er parallelle: = + 3 Noen ganger kan i faktorisere ektorttrykket + = ( + ) ( + ) ( + )

23 Vektorer 3 3 Generelt har i disse regnereglene når a og b er tall: a + b = ( a + b) a ( + ) = a+ a a ( b) = ( ab) Eksempel Parallelle sider Figren iser en ilkårlig trekant ABC der D og E er midtpnktene på AB og AC C E B A D Vi il brke ektorregning til å ise at DE er parallell med BC Vi må da ise at det fins et tall k slik at DE = k BC Først finner i et ttrykk for BC BC = BA + AC Så finner i et ttrykk for DE DE = DA + AE = BA + AC = ( BA + AC) = BC Fordi DE BC, må sidene DE og BC ære parallelle = Eksempel 3 Vektorregning og parallelle ektorer og er to ektorer som ikke er parallelle Vi il ndersøke om ektorene ( + ) + og ( + ) er parallelle Vi forenkler de to ttrykkene ( + ) + = + + = + 4 ( + ) = + = + Vi ser at + 4 = ( + ) Det iser at ( + ) + = ( ( + ) ), og ektorene må ære parallelle

24 4 Vektorer 3 Oppgae 3 Trekk sammen ektorttrykkene a b 4( ) + c ( 3) 5 Oppgae 4 Undersøk om noen a ektorene er parallelle a = +, b = 3+ 3, c =, d = Like ektorer Vi ser på ektorlikningen 3 + a = b Vi ser at b = 3 og a = er en løsning Da er tallet foran det samme på her side a likhetstegnet, og tallet foran er det samme på her side Men er dette den eneste løsningen? His ektorene og ikke er parallelle, er saret ja! Vi il ise det generelt for ektorlikningen a + b = c + d Vi skal altså ise at i da må ha a = c og b = d Vi samler leddene med på enstre side, og leddene med på høyre side Det gir a c = d b ( a c) = ( d b) Vektoren på enstre side er parallell med, mens ektoren på høyre side er parallell med Men og er ikke parallelle Da kan ektorene ære like bare his begge har lengden nll! Altså må i ha a c =0 og d b =0 Det il si at a = c og b = d Like ektorer Vi lar og ære to ikke-parallelle ektorer Da er a + b = c + d his a = c og b = d, men ellers ikke Oppgae 5 Bestem k og m i ektorlikningen a 3 + = k + ( m ) b k + m = m + 4

25 Vektorer 3 5 Midtpnktet på et linjestykke På figren ser d linjestykket AB og et pnkt O B M O A Midtpnktet på AB kaller i M Vi skal ise et resltat for ektoren OM som i får brk for seinere Vi setter OA = og OB = Så finner i OM ttrykt ed og Først ttrykker i AB ed og : AB = AO + OB = + B M O Så finner i OM : OM = OA + AM = OA + AB = + ( + ) = + = + His i starter fra pnktet O og går, og deretter, haner i altså midt mellom A og B Dette gjelder ansett hor startpnktet O ligger! B A O Vektorttrykket for eier» fra O til M: OM = OA + AM OM = OB + BM OM M A kan i også tlede ed å elge to «like

26 6 Vektorer 3 Vi adderer og får OM = OA + OB + AM + BM AM og BM er motsatte ektorer, og smmen a dem er derfor 0 Da står i igjen med OM = OA + OB OM = ( OA + OB) = ( + ) Mange ektorproblemer blir løst ed å «gå to like eier» fra pnkt til pnkt, slik i gjorde nederst på forrige side Setter i de to ektorttrykkene lik herandre, får i gjerne en ektorlikning i kan brke til å finne kjente størrelser Det skal i se i eksemplet nedenfor Oppgae 6 Tegn en ilkårlig firkant ABCD Kall midtpnktene på sidene for E, F, G og H Brk ektorregning til å ise at firkanten EFGH er et parallellogram Eksempel 4 Medianene i en trekant En median i en trekant er et linjestykke fra et hjørne til midtpnktet på motstående side I trekanten ABC er D og E midtpnktene på AB og BC P er skjæringspnktet mellom medianene AE og CD A C P D E Vi skal ise at P deler linjestykkene AE og CD slik at den lengste delen er dobbelt så lang som den korteste Det il si at AP = PE og CP = PD For å forenkle regningen kaller i AB for og AC for Fordi AP er parallell med AE, kan i sette AP = k AE Det samme gjelder for CP og CD Altså kan i sette CP = m CD Ved å sette opp en ektorlikning skal i bestemme erdiene til k og m I ektorlikningen skrier i ektoren AP på to måter, ttrykt ed og Først går i direkte fra A til P AP = k AE Her får i brk for «midtpnktresltatet» fra forrige side AE = ( + ) AP = k ( + ) = k + k B AB = AC =

27 Vektorer 3 7 Så går i fra A til P ia C AP = AC + CP = AC + m CD Også her får i brk for «midtpnktresltatet» CD = ( CA + CB ) Vi ttrykker CA og CB ed og : CA = og CB = CA + AB = + Det gir CD = ( + ( + )) = ( + ) = + Tilbake til AP : AP = AC + m CD = + m ( + ) = m + m AP = m + ( m) Nå har i to ttrykk, og, for den samme ektoren, og ttrykkene må ære like k + k = m + ( m) Skal ektorene på enstre og høyre side ære like, må faktoren foran ære den samme på begge sider Det samme gjelder faktoren foran Vi løser likningssettet: k = m 3 k = m 4 A 3 får i k = m Det setter i inn for m i 4: k = m k = k k = k 3k = k = 3 Vi får løsningen m = k = 3 Dette iser at AP = AE og CP CD 3 = 3 Da må i også ha PE = AE og PD CD 3 = 3 Dermed har i ist at AP er dobbelt så lang som PE, ogatcp er dobbelt så lang som PD (Dette resltatet iser i også på side 66 i kapittel 6, da ten ektorregning)

28 8 Vektorer 3 4 Oppgae 7 Q D P B C Stifinner: side 84 A Figren iser parallellogrammet ABCD Q er midtpnktet på CD, og P er skjæringspnktet mellom AQ og BD Sett AB = og AD = a Finn BD og AQ ttrykt ed og b Brk resltatene fra oppgae a til å finne to ektorttrykk for AP c Vis at AP = PQ 4 VEKTORKOORDINATER I 4 skal d lære å regne med ektorer på koordinatform Vektorkoordinater Ved regning med ektorer har i ofte beho for å knne beskrie retning og lengde for en ektor ed hjelp a tall Det kan gjøres på flere måter, for eksempel ed å oppgi hor lang en ektor er, og hilken retning den har i forhold til himmelretningene Eksempel: En ektor er smmen a en fire meter lang ektor i østlig retning og en tre meter lang ektor i nordlig retning Regn t hor lang ektoren er, og hor stor inkel den danner med øst-retningen! En mer praktisk metode er å plassere ektorene i et anlig rettinklet koordinatsystem, et koordinatsystem med x-akse og y-akse, der alle pnkter har to koordinater, én x- koordinat og én y- koordinat Det iser seg også at når i plasserer ektorer i et koordinatsystem og brker begreper hentet fra fnksjonslæren, får i mange nye og iktige anendelser a ektorregningen

29 Vektorer 4 9 Eksempel Vektorer i koordinatsystem y 4 A (, 4) 3 D (, ) C (3, ) B (7, ) x Tenk deg at d sklle beskrie de to ektorene på figren i en telefonsamtale, slik at edkommende knne tegne samme figr som den d har, men ten å nene koordinatene til de fire pnktene Ha ille d si? Kanskje ille d si: D får ektoren AB ed å gå 5 hakk rett til høyre og deretter 3 hakk rett ned D får ektoren CD ed å gå 4 hakk rett til enstre og deretter ett hakk rett ned Og da er ektorene klart beskreet, og edkommende kan tegne de samme ektorene Men ha med beliggenheten til ektorene? D blir kanskje oerrasket a spørsmålet D har jo lært at to ektorer er like his de er parallelle og like lange Så om d lot startpnktet ære A( 5, 5) i stedet for A(, 4), så ille det ære samme ektor Det stemmer fortsatt Men for mye a det i brker ektorregningen til når i benytter et koordinatsystem, kan også plasseringen ære iktig Oppgae 8 Tegn en ektor som går a 4 hakk rett til høyre og hakk rett opp b hakk rett til høyre og 3 hakk rett ned c 5 hakk rett til enstre og hakk rett ned De «matematiske» betegnelsene «hakk ned», «hakk til høyre» og «hakk til enstre» i eksempel blir ikke brkt i praksis I stedet for antall hakk i en bestemt retning snakker i om enhetsektorer Som nanet antyder har en enhetsektor lengden én, ds lengdeenhet En enhetsektor som peker rett mot høyre, skrier i e x (e for enhet og indeksen x for retning) Og da ser d ha betyr e y e x og e y peker da henholdsis mot enstre og nedoer Enhetsektorene kan tegnes hor som helst i koordinatsystemet, men anligis tegner i dem t fra origo Når i lar enhetsektoren e x starte i origo, ender den i pnktet (, 0) på x-aksen Enhetsektoren ey kan tilsarende starte i origo og ende i pnktet (0, ) på y-aksen

30 30 Vektorer 4 Vektoren AB i eksempel er smmen a 5 ex -ektorer og 3 e y -ektorer Vi kan derfor skrie AB = 5e x 3ey Fordi i har «standard rekkefølge» ( e x først, og så ey ) når i omtaler ektorer i et koordinatsystem, kan i tillate oss å skrie AB = [ 5, 3] som altså betyr AB = 5e 3e Vanligis skrier i i stedet for Det er derfor lett å glemme ha egentlig betyr Men det kan straffe seg For a og til må d hske at betyr for å knne løse et problem Når i har gitt enhetsektorene e x i x-retning og ey i y-retning, kan i ttrykke alle ektorer ed hjelp a disse to En ektor = aex + bey er entydig bestemt a erdiene til a og b, og i skrier altså bare tallene a og b, i hakeparenteser: Skriemåte: Vektorkoordinater [ a, b] = a e + b e x y x y NB! Skriemåten [ a, b] for en ektor minner om skriemåten for et pnkt, ( a, b) Det er derfor sært iktig at i brker hakeparenteser når i mener ektoren ae + be ( 5, ) er et pnkt [ 5, ] er en ektor x y Oppgae 9 e y a b c ex d e f Uttrykk ektorene ed og e x ey

31 Vektorer 4 3 Oppgae 0 c a b d e e y f ex «Komposisjon», 930, a Vasilij Kandinskij Skri ektorene med ektorkoordinater, ds på formen [ a, b] Posisjonsektor På figren nedenfor har i tegnet ektoren 5 ex + 4 e i et koordinatsystem y y flere steder P O x Vektoren som er tegnet med start i origo, går til pnktet P( 5, 4) Denne ektoren, OP, har en littspesiell stats Den iser posisjonen til pnktet P i forhold til origo OP = 5 ex + 4 ey iser at P ligger 5 enheter til enstre for origo og 4 enheter oer origo En ektor som går fra origo til et pnkt P, kaller i posisjonsektoren til P Ha er posisjonsektoren til pnktet A(, 3)?

32 3 Vektorer 4 Eksempel Posisjonsektor Vi skal finne koordinatene til pnktet Q når i får oppgitt ektorene OP = ex + 4e PQ = 3ex ey OQ = OP + PQ = ( ex + 4ey) + ( 3ex ey) y P = ex + 3ex + 4ey e 4 y = 5ex + ey 3 Fordi OQ = 5e e, har pnktet Q x + y Q koordinatene (5, ) y og O x Posisjonsektor Vektoren fra origo O til pnktet Pa (, b) er gitt ed OP = [ a, b ] Oppgae Finn koordinatene til pnktet Q når P = ( 3, ) og QP = [, 4] Regning med ektorkoordinater Parallelle ektorer kan i trekke sammen, slik som her: 4ex + ex ex = 3ex 4 e 3 5e = 8e 5e = 7e y y y y y Når i regner med ektorkoordinater, kan i derfor trekke sammen alle førstekoordinatene De representerer parallelle ektorer Tilsarende kan i trekke sammen alle andrekoordinatene Det gir disse regnereglene: Regneregler for ektorer gitt ed ektorkoordinater Vi har to ektorer = [ x, y] og = [ x, y] + = [ x, y] + [ x, y] = [ x + x, y + y] = [ x, y ] [ x, y ] = [ x x, y y ] k [ x, y] = [ kx, ky]

33 Vektorer 4 33 Eksempel 3 Addisjon med ektorkoordinater Vi skal finne ektorsmmen + når = [ 4, ] og = [, ] Her ser d tregningen med ektorkoordinater og med enhetsektorene e x og ey : + = [ 4, ] + [, ] + = ( 4ex ey) + ( ex + ey) = [ 4, + ] = 4ex ex ey + ey = [, ] = e + e x y Eksempel 4 Regning med ektorkoordinater Vi skal finne ektoren w når = [ 4, ], = [, ] og w = [ 3, 0] w 3+ 4 w = 3 [ 4, ] + 4 [, ] [ 3, 0] = 3 ( 4ex ey) + 4 ( ex + ey) ( 3ex + 0ey) = [, 3] + [ 8, 8] [ 6, 0] = ex 3ey 8ex + 8ey 6ex = [ 8 6, ] = ex 8ex 6ex 3ey + 8ey = [, 5] = e + 5e x y Oppgae Vi har gitt tre ektorer = [ 3, ], = [, 4] og w = [ 0, 5] Regn t koordinatene til a + b 4 c w d 3 + 4w Eksempel 5 Vektor mellom to pnkter Vi skal bestemme ektoren PQ når P = ( 3, 4) og Q = ( 5, ) Når i kjenner koordinatene til pnktene P og Q, kjenner i også posisjonsektorene til de to pnktene: y P OP = [ 3, 4] og OQ = [ 5, ] 4 3 PQ = PO + OQ = OP + OQ = OQ OP Q = [ 5, ] [ 3, 4] = [ 5+ 3, 4] = [ 8, ] NB! Det samme resltatet får i med «rtetelling» For å komme fra P til Q må i gå 8 enheter i x-retning og enheter i negati y-retning 3 O x

34 34 Vektorer 4 5 Vektoren fra pnktet Px (, y) til pnktet Qx (, y) er gitt ed PQ = [ x x, y y ] Eksempel 6 Vektorer mellom to pnkter Det er gitt to pnkter A = ( 3, 4) og B = ( 5, ) AB = [ 5 3, ( 4)] = [, 5] BA = [ 3 5, 4 ] = [, 5] Tegn inn pnktene A og B i et koordinatsystem og se om d får samme resltat ed «rtetelling» Stifinner: side 86 Oppgae 3 Bestem ektorene når pnktene P, Q og R har koordinatene P = (, ), Q = ( 3, 5) og R = (, 4) a PQ b QR c RP 5 LENGDEN AV VEKTORER I 5 skal d lære å bestemme lengden a ektorer og agjøre om ektorer gitt på koordinatform er parallelle Lengden a ektorer på komponentform Når en ektor er gitt på formen = [ a, b], kalles ae x og be y komponentene til ektoren Vi sier derfor at er gitt på komponentform Nedenfor ser d ektoren = [ 4, 3] 3 e y 4 e x Når = 4ex + 3ey, tgjør de tre ektorene,4ex og3e sider i en y rettinklet trekant der danner hypotensen Katetene er 4 og 3 enheter Lengden a blir altså = = 5 = 5

35 Vektorer e y 3e y 4e y 4e x 4e x 3e x Ha blir lengden a de tre grønne ektorene oenfor? Lengden a en ektor Lengden a = [ x, y] er = [ x, y] = x + y Eksempel Lengden a en ektor astanden mellom to pnkter Vi il regne t astanden mellom pnktene P = (3, ) og Q = ( 4, ) y 3 Q 4 3 O 3 x P Astanden mellom P og Q er lik lengden a ektoren PQ Vi starter derfor med å finne PQ PQ = OQ OP = [ 4, ] [ 3, ] = [ 4 3, ( )] = [ 7, 3] PQ = ( 7) + 3 = 58 7, 6 Astanden mellom P og Q er altså 7,6 Oppgae 4 Finn lengden a ektorene a [ 6, 8 ] b [, 5 ] c [, 5] Resltatet i eksempel kan i generalisere: Astanden mellom to pnkter Astanden mellom P = ( x, y) og Q= ( x, y) er PQ = [ x x, y y ] = ( x x ) + ( y y )

36 36 Vektorer 5 Eksempel Astanden mellom to pnkter Vi il finne astanden mellom pnktene A = (, 5) og B = ( 4, ) AB = ( 4 ) + ( ( 5)) = 4+ 9 = 3 3, 6 Oppgae 5 Bestem astanden mellom pnktene P og Q når a P = (, 4) og Q = ( 5, 8) b P = ( 4, 3) og Q = (, ) c P = ( 3, ) og Q = ( 53, 3) Parallelle ektorer på koordinatform I nderkapittel 3 så i at to ektorer og er parallelle his det fins et tall k slik at = k Kan d agjøre om ektorene [ 3, 4] og [ 6, 8] er parallelle? Vi ser at [ 6, 8] = [ 3, 4] Det iser at ektorene er parallelle Fordi k = er positi, har ektorene også samme retning Vektoren [ 6, 8 ] er dobbelt så lang som ektoren [ 3, 4] To ektorer [ a, b ] og [ c, d] er like his a = b og c = d, og ellers ikke Parallelle ektorer?

37 Vektorer 5 37 Eksempel 3 Parallelle ektorer Vi il agjøre om noen a ektorene = [ 5, 9], = [ 0, 36] og w = [, 4] er parallelle = k [ 0, 36] = k [ 5, 9] [ 0, 36] = [ 5k, 9k] 0 = 5k og 36 = 9k k = 4 og k = 4 Vi kan altså skrie = 4 Vektorene og er derfor parallelle = t w [ 0, 36] = t [, 4] 0 = t og 36 = 4t t = 0 og t = 9 Førstekoordinatene er like for t = 0 Men da er ikke andrekoordinatene like og w er altså ikke parallelle Når er parallell med, og w ikke er parallell med, så er heller ikke og w parallelle Oppgae 6 Agjør om ektorene er parallelle a = [, 4] og = [, 8] b = [ 4, 4] og = [, ] c = [, 8] og = [0, 6] Eksempel 4 Å finne en ektor som er parallell med en gitt ektor Vi skal bestemme tallet a slik at ektorene = [, a] og = [ 5, ] blir parallelle [, a] = k [ 5, ] = k 5 og a = k k = 4, og a = 4, = 48, [, 4, 8 ] er altså parallell med [ 5, ] Oppgae 7 Bestem a slik at ektorene blir parallelle a = [3, 4] og = [a, 5] b = [ a,8] og = [ 5, ] c = [a,] og = [a,]

38 38 Vektorer 5 6 Eksempel 5 Pnkter på en rett linje Vi il ndersøke om pnktene P = (, 4), Q = ( 4, ) og R = ( 0, ) ligger på en rett linje His P, Q og R ligger på en rett linje, er ektorene PQ, QR og PR parallelle Det er tilstrekkelig å sjekke om to a ektorene er parallelle Vi elger QP og QR QP = [ 4, 4 ] = [ 3, ] QR = [ 0 4, ] = [ 6, 4] Vi ser at QR = QP Det il si at P, Q og R ligger på en rett linje Stifinner: side 88 Oppgae 8 Agjør om pnktene ligger på en rett linje a (, 5 ), ( 4, 8 ) og ( 8, 4) b ( 3, ), ( 0, 7 ) og ( 4, ) I 6 skal d lære å agjøre om ektorer står inkelrett på herandre, og å finne inkelen mellom to ektorer 6 SKALARPRODUKT Vi har tidligere sett hordan i kan agjøre om to ektorer er parallelle I dette nderkapitlet kommer ortogonale ektorer til å stå sentralt Det il si ektorer som står inkelrett på herandre (Ortos = rett, gonia = inkel) Vi skal også se hordan i kan bestemme inkelen mellom to ektorer Da trenger i først en entydig definisjon a ha i mener med inkelen mellom ektorer: Vinkelen a mellom to ektorer a er den minste inkelen i må dreie én a ektorene slik at ektorene får samme retning NB! For å få et klart bilde a inkelen samme pnkt! a må i tegne ektorene t fra

39 Vektorer 6 39 Vinkelen mellom to ektorer ligger alltid i interallet [ 0º, 80º] Vinkelen mellom to parallelle ektorer er 0 eller 80, som denne figren iser: Oppgae 9 Finn inkelen mellom og ed hjelp a gradskie a b c d Ha er inkelen mellom «langiserektoren» og «kortiserektoren»? Skalarprodkt Vi er nå klare til å innføre den siste regneoperasjonen (i R-krset) for ektorer Det er en spesiell måte å mltiplisere to ektorer på, der resltatet ahenger a ektorenes lengder og a inkelen mellom ektorene

40 40 Vektorer 6 Regneoperasjonen likner ikke på noen regneoperasjoner d har lært så langt, men den følger mange a de samme reglene som gjelder for anlig mltiplikasjon Derfor omtaler i regneoperasjonen som et prodkt, nærmere bestemt skalarprodkt Dette nanet har den fått fordi resltatet er en skalar, ds et anlig tall Så til definisjonen: Skalarprodktet a to ektorer er lik lengden a den ene ektoren mltiplisert med lengden a den andre ektoren mltiplisert med cosins til inkelen mellom dem Med matematiske symboler skrier i definisjonen slik: Skalarprodkt Skalarprodktet a og er = cosa der a er inkelen mellom og På høyre side a likhetstegnet har i tre tallfaktorer, og prikkene står for anlig mltiplikasjon På enstre side står prikken mellom to ektorer, og da har i et skalarprodkt Skalarprodktet blir også kalt prikkprodkt Vi kan lese som «prikk» Eksempel Skalarprodkt Vi skal regne t skalarprodktet a ektorene og med lengder henholdsis 8 og 5, når inkelen mellom dem er 60 = cosa = 8 5 cos 60º = 0 = 60 Oppgae 30 Regn t skalarprodktet når = 8, = 5 og inkelen mellom og er a 45 b 50 c 90 D lrer kanskje på ha i skal brke skalarprodktet til? Før i går inn på det, ser i på noen flere eksempler

41 Vektorer 6 4 Nedenfor ser d ektoren med lengden 8, og tre ektorer, og 3, alle med lengden 5 3 Skalarprodktene for de tre tilfellene blir = 8 5 cos 0º = 8 5 = 40 = 8 5 cos 90º = 8 5 0= 0 3 = 8 5 cos 80º = 8 5 ( ) = 40 Skalarprodktet får størst erdi når ektorene har samme retning, og minst erdi når de har motsatt retning Legg spesielt merke til at skalarprodktet er nll når ektorene står inkelrett på herandre For spisse inkler er cosins positi, og for stmpe inkler er cosins negati Vi lar a ære inkelen mellom to ektorer og (som ikke er nllektor) His a < 90, er > 0 His a > 90, er < 0 His a = 90º, er =0 Den siste linja kan i også skrie slik: His, er =0 Skriemåten betyr «står inkelrett på» Oppgae 3 3 Mål inkler og lengder på figren, og regn t skalarprodktene, og Ha finner d? 3

42 4 Vektorer 6 Skalarprodktet og parallellkomponenten Nedenfor ser d to ektorer og tegnet t fra pnktet O Fra spissen a har i trkket en normal ned på O Vi kan skrie som en sm a to ektorer, der den ene er parallell med og den andre står normalt på = OP+ PQ= + Å skrie en ektor som en sm kaller i å dekomponere ektoren His a < 90, så har i at cosa =, som gir = cosa Dette setter i inn i definisjonen på skalarprodktet: = cosa = For a > 90 kan en ise at = Skalarprodktet er altså lik ± lengden a den ene ektoren mltiplisert med lengden a parallellkomponenten til den andre ektoren Fortegnet er negatit his a > 90, og positit his a < 90 Dette er iktig i forbindelse med definisjonen på arbeid i fysikk Oppgae 3 Tegn to ektorer og, der =, = 8 og inkelen mellom dem er 60 a er komponenten til som er parallell med Tegn denne komponenten og regn t lengden a den Regn t b Tegn komponenten til som er parallell med, og regn t lengden a den Regn t Sammenlikn med resltatet i oppgae a Arbeid som skalarprodkt Q P I fysikkfaget er størrelsen arbeid W definert som skalarprodktet a kraft F og forflytning s : W = F s Enheten til arbeid er newton meter = jole

43 Vektorer 6 43 Eksempel Arbeid Anton og Barbro har fått motorstopp De flytter bilen 5 m langs en horisontal ei Barbro dytter med en horisontal kraft på 450 N Anton drar i et ta med en kraft på 500 N Taet danner 30 med eien F B F A 30 s Barbro tfører arbeidet WB = FB s = FB s cos 0º = 450 N 5 m = 6750 J 6,8kJ Anton tfører arbeidet W = F s = F s cos 30º = 500 N 5 m cos 30º = 6495 J 6,5kJ A A A Sel om Anton trekker med større kraft enn Barbro, tfører han altså mindre arbeid Dekomponerer i F A i komponenter langs s og inkelrett på s, får i F F A 30 F F A = [ 500 cos 30º, 500 sin 30º] = [ 433, 50] Det er bare kraftkomponenten parallelt med forflytningen som bidrar til arbeid Den er på 433 N Kraftkomponenten på 50 N oppoer tfører ikke noe arbeid Anton og Barbro inn i solnedgangen etter å ha fått bilen i gang igjen

44 < 44 Vektorer 6 F s I eksempel så i eksempler på to krefter som begge tførte et positit arbeid Begge kreftene hadde komponenter i samme retning som forflytningen s His kraften F står inkelrett på s, blir skalarprodktet W = F s = 0 Kraften tfører da ikke noe arbeid Se figr i margen His inkelen mellom F og s er større enn 90, blir skalarprodktet W = F s mindre enn nll Kraften F tfører et negatit arbeid Det betyr at kraften bremser opp eller holder igjen gjenstanden som beeger seg F 90 s Oppgae 33 Linda drar kofferten sin 60 m bortoer glet på Oslo Lfthan, Gardermoen Hn brker en kraft på 0 N Kraften danner inkelen 65 med glet Hor stort arbeid tfører Linda på kofferten? Regneregler for skalarprodkt For skalarprodkt gjelder disse regnereglene: a b = b a ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d a ( kb) = ka b 3 Tilsarende regneregler kjenner d fra anlig mltiplikasjon I tillegg skrier i a for a a Det gir a = a a cos 0º = a Oppgae 34 Brk definisjonen på skalarprodkt til å ise at a a b = b a b a ( kb) = ka b Oppgae 35 Regn t skalarprodktene Hsk at ex = ey = a ex ey b ex ex c ey ey d e 5e e 3 e 8e f 4 e 3e x y x x y y

45 Vektorer 6 45 Skalarprodkt på koordinatform Vi skal ise hordan i regner t skalarprodktet a to ektorer når i kjenner ektorkomponentene til ektorene Vi ser på skalarprodktet ( 3ex + 4ey) ( 5ex ey) Her kjenner i i tgangspnktet erken lengden a ektorene eller inkelen mellom dem Men i kjenner lengden a e x og ey, og inkelen mellom disse to ektorene Vi brker regneregelen og tnytter at ex = ey = og ex ey =0 : ( 3ex + 4ey) ( 5ex ey) = 3ex 5ex + 3ex ( ey) + 4ey 5ex + 4ey ( ey) = 3 5ex + 3 ( ) ex ey + 4 5ey ex + 4 ( ) ey = ( ) = Utregningen oenfor iser at [ 3, 4] [ 5, ] = ( ) Dette kan i generalisere: Skalarprodkt på koordinatform Skalarprodktet a = [ x, y] og = [ x, y] er = [ x, y ] [ x, y ] = x x + y y Oppgae 36 Regn t skalarprodktene a [, 5] [, 3] b [, 4] [ 4, ] c [ 8, 4] [, ] d [ 7, 3] [ 5, ] Ortogonale ektorer Fra definisjonen på skalarprodkt, = cosa, et i at skalarprodktet er nll for ortogonale ektorer, ds ektorer som står inkelrett på herandre His skalarprodktet ikke er nll, er inkelen mellom ektorene forskjellig fra 90 Dette skal i brke til å ndersøke ortogonalitet Ortogonale ektorer To ektorer = [ x og er ortogonale his, y] = [ x, y] x x + y y =, og ellers ikke 0

46 46 Vektorer 6 Eksempel 3 Ortogonale ektorer? Vi skal agjøre om ektorene OP = [, 3] og OQ = [ 6, 4] er ortogonale 4 y Q P 3 O x Vi regner t skalarprodktet OP OQ OP OQ = [, 3] [ 6, 4] = ( ) = 0 Siden skalarprodktet er nll, er ektorene OP og OQ ortogonale Eksempel 4 Ortogonale ektorer? Vi skal agjøre om ektorene OA = [ 5, ] og OB = [, 4] er ortogonale B y 4 3 A O x Skalarprodktet blir OA OB = [ 5, ] [, 4] = 5 ( ) + 4= 0+ 4= 6 Siden skalarprodktet ikke er nll, er ektorene ikke ortogonale Vinkelen a på figren er altså ikke rett Oppgae 37 Agjør om ektorene og er ortogonale når a = [ 4, ] og = [ 4, 6] b = [, 5] og = [ 4, 6] c = [ 8, 5] og = [, 5] d = [, 8] og = [ 6, 9]

47 Vektorer 6 47 Eksempel 5 Å finne en ektor som står inkelrett på en gitt ektor Vi il bestemme k slik at ektorene = [ 7, 4] og = [, k] blir ortogonale Vi setter skalarprodktet lik nll Da får i en likning med k som kjent =0 [ 7, 4] [, k] = k = 0 4 k = k = = 4 7 Vektorene = [ 7, 4] og = [, ] er ortogonale Nedenfor ser d et skjermbilde fra programmet GeoGebra (wwwgeogebraorg) Vi har her fnnet løsningen k = 35, grafisk (Som en hjelp har i ist konstrksjonsforklaring og ist hor d finner kommandoen «Vektor») Først har i definert to pnkter A og B slik at = AB=[ 7, 4] Deretter har i lagt inn et pnkt C med x-koordinat Gjennom C har i tegnet en linje inkelrett på x-aksen Så har i plassert et pnkt D på linja og definert ektoren = AD Da blir x-komponenten til lik ansett hor i flytter D på linja Etter å ha definert inkelen a mellom ektorene og, lar i D gli langs linja inntil a blir 90 Ser d hor på figren d kan lese a k?

48 48 Vektorer 6 Figren iser ektorene [ 3, ], [, 3 ], [ 3, ] og [, 3] y x 3 NB! Her a ektorene står inkelrett på to a de andre ektorene Generelt har i at ektorene [ b, a] og [ b, a] står inkelrett på [ a, b] Vis dette! En enkel måte å finne en ortogonal ektor til [ a, b] på er altså å bytte om på x-ogy-koordinatene, og skifte ett fortegn Oppgae 38 Bestem erdien til k slik at ektorene blir ortogonale a [, 5] [ k, ] b [, k] [ 3, 3] c [ k, k 4] [, 3 ] d [ k, 3] [ k, ] Oppgae 39 Finn en ektor som står inkelrett på a [ 5, ] b [ 3, ] c [ 7, 8] Skalarprodkt og inkelen mellom ektorer Vi har så langt sett hordan i kan brke skalarprodktet til å agjøre ortogonalitet Nå skal i bestemme inkelen mellom ektorer

49 Vektorer 6 49 Eksempel 6 Vinkel mellom ektorer Vi il regne t inkelen a mellom ektorene OA = [ 5, ] og OB = [, 4] y 5 B 4 3 A 3 O x Først regner i t skalarprodktet: OA OB = [ 5, ] [, 4] = 5 ( ) + 4= 6 Dette resltatet kan i kombinere med definisjonen på skalarprodkt: OA OB = OA OB cosa Vi kjenner enstresiden og regner t lengdene a OA = [ 5, ] og OB = [, 4] : OA = 5 + = 6 og OB = ( ) + 4 = 0 OA OB 6 Det gir cos a = = = 0, 63 OA OB 6 0 a = cos ( 0, 63) = 05, 3º Vinkelen a mellom OA og OB er altså ca 05 Vinkelen a mellom to ektorer = [ x, y] og = [ x, y] er gitt ed + cosa = x x y y = x + y x + y Eksempel 7 Vinkel mellom ektorer Vi il regne t inkelen a mellom ektorene [, 3 ] og [, 5] + 35 cos a = = 0, ( ) + + a = cos ( 0, 7634) = 40, Vinkelen a mellom ektorene [, 3 ] og [, 5] er 40,

50 50 Vektorer 6 Eksempel 8 Krsendring På grnn a tåke må et fly endre krs Flyet holder konstant høyde oer bakken Vi ser på krsendringen i et koordinatsystem der x-aksen peker østoer og y-aksen nordoer Før krsendringen ar fartsektoren = [ 50, 360] Etter krsendringen ar fartsektoren = [ 400, 90] Farten er gitt i km/h Vi il finne krsendringen, det il si inkelen mellom de to ektorene og Vi regner først t lengden a ektorene [, ] = = = 390 Sarene iser at flyet hadde farten 390 km/h før krsendringen, og 40 km/h etter Så setter i inn i formel på forrige side x + cos a = x y y = = 0, a = cos 0, 5779 = 54, 7º 55º Flyets krsendring ar 55 og [, ] = = = 40 Oppgae 40 Regn t skalarprodktene og bestem inkelen mellom ektorene a [, 5] [ 5, ] b [, ] [, 3] c [, 5] [ 40, 9 ] d [ 4, 0] [, ] Eksempel 9 Vinkler i en trekant Vi skal finne inklene i trekanten ABC, der A = (, ), B = ( 0, 8) og C = ( 4, 7) y B 8 C A x

51 Vi starter med inkel A Det er inkelen mellom ektorene AB og AC Vi finner først koordinatene til AB og AC og lengdene a ektorene: AB = [ 0 ( ), 8 ( )] = [, 9] AB = + 9 = 5 AC = [ 4 ( ), 7 ( )] = [ 6, 8] AC = = 0 Så finner i inkelen: AB AC cos A = AB AC, 9, = = 096, [ ][ 6 ] = A = cos ( 096, ) = 63, º Så finner i inkel B Det er inkelen mellom ektorene BA og BC BA = AB = [, 9] og BC = [ 4 0, 7 8] = [ 6, ] BA = AB =5 og BC = ( 6) + ( ) = 37 BA BC [ cos B = =, 9 ] [ 6, ] = 088, 78 BA BC 5 37 B = cos 0, 8878 = 7, 4º Vinkel C = 80 6,3 7,4 = 36,3 Vektorer Vi knne også ha fnnet inklene i trekanten ed hjelp a cosinssetningen Da måtte i ha regnet t alle lengdene først Etter å ha regnet t én inkel, knne i også ha brkt sinssetningen Stifinner: side 90 Oppgae 4 Bestem inklene i trekanten ABC a A = (, 3), B = ( 6, 4) og C = ( 4, 5) b A = ( 3, ), B = ( 3, 6) og C = (, ) 7 SKALARPRODUKT OG GEOMETRISKE PROBLEMER I 7 skal d lære å brke skalarprodktet til å løse like geometriske problemer Brk a regneregler for skalarprodkt Ved å regne med koordinatfrie ektorer kan i ise mange generelle resltater som gjelder linjer som står inkelrett på herandre Da får i brk for regnereglene for skalarprodkt fra s 44

52 5 Vektorer 7 Eksempel Ortogonale diagonaler I dette eksemplet skal i brke regneregler for skalarprodkt til å ise at diagonalene i en D rombe står inkelrett på herandre En rombe er en firkant der alle sidene er like lange Vi setter AB = og AD = Da er også DC = og BC = Diagonalene ttrykker i så ed og AC = AB + BC = + DB = DA + AB = + = Vi må nå ise at skalarprodktet AC DB er nll AC DB = ( + ) ( ) = + = Hsk at = = I en rombe er sidene like lange, altså er = Da er AC DB = = 0 A C B Dette iser at diagonalene i en rombe står inkelrett på herandre Eksempel Thales setning En inkel som har toppnkt på en sirkelperiferi (sirkellinje), kaller i en periferiinkel Ha kan i si om en periferiinkel som spenner oer sirkeldiameteren, ds en be på 80? Vi il sjekke om periferiinkelen BAC er 90 Vi ttrykker skalarprodktet AB AC ed ektorene og, se figren Disse ektorene et i har samme lengde, lik radien i sirkelen AB AC = ( AO + OB) ( AO + OC) = ( + ) ( ) = + = = = 0 C A O B Vinkel BAC er altså 90 Dette gjelder ansett hor på sirkelperiferien i plasserer A Det at en periferiinkel som spenner oer en be på 80, er 90, kalles Thales setning (Se også side 45)

PARAMETERFRAMSTILLING FOR EN KULEFLATE

PARAMETERFRAMSTILLING FOR EN KULEFLATE 1 PARAMETERFRAMSTILLING FOR EN KULEFLATE Vi har tidligere sett hordan i kan lage en parameterframstilling for et plan ed å uttrykke koordinatene ed to parametere, f. eks s og t. Fra 1.2 et i at x = x0

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver.

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/1. Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 3: Vektorer Dette kapitlet er meget spesielt og annerledes enn den matematikken

Detaljer

Trigonometri. Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Formlikhet 200, 201, 202, 203, 204, 206 209, 210, 211, 212, 213, 215 219, 220, 221, 222, 223, 224

Trigonometri. Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Formlikhet 200, 201, 202, 203, 204, 206 209, 210, 211, 212, 213, 215 219, 220, 221, 222, 223, 224 2 Trigonometri Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleen skal kunne gjøre rede for definisjonene a sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å beregne lengder, inkler og areal i ilkårlige

Detaljer

Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7

Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7 Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i 155 kapittel 1.6 og 1.7 a) 12:00: u og v har samme retning: u v u v cos0 2 3 1 6 b) 09:30: Hver time er 30. Lilleviser (u) midt mellom 09 og 10! Altså

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 Versjon 07.01.2011. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Matematikk R1. det digitale verktøyet. Kristen Nastad

Matematikk R1. det digitale verktøyet. Kristen Nastad Matematikk R1 og det digitale verktøyet Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.4.11643 2008 07 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating System Software

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Matematikk 2T. det digitale verktøyet. Kristen Nastad

Matematikk 2T. det digitale verktøyet. Kristen Nastad Matematikk 2T og det digitale verktøyet Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.4.11643 2008 07 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating System Software

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i REA2041 - Fysikk, 5.1.2009

Løsningsforslag til eksamen i REA2041 - Fysikk, 5.1.2009 Løsningsforslag til eksamen i EA04 - Fysikk, 5..009 Oppgae a) Klossen er i kontakt med sylinderen så lenge det irker en normalkraft N fra sylinderen på klossen og il forlate sylinderen i det N = 0. Summen

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f( x) 5x x 5 b) g( x) x e x Oppgave (4 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved 3 P( x) x x 10x 8, DP a) Faktoriser P( x ) i førstegradsfaktorer.

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

LGU11005 A Naturfag 1 emne 1

LGU11005 A Naturfag 1 emne 1 Indiiduell skriftlig eksamen i LGU11005 A Naturfag 1 emne 1 ORDINÆR EKSAMEN: 4.12.2013 BOKMÅL Sensur faller innen: 6.1.2014 Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første irkedag etter sensurfrist,

Detaljer

MAGNETFELT OG MAGNETISME SOM RELATIVISTISK FENOMEN

MAGNETFELT OG MAGNETISME SOM RELATIVISTISK FENOMEN Institutt for fysikk, NTNU 5. april 2005 FY003/TFY455 Elektromagnetisme MAGNETFELT OG MAGNETISME SOM RELATIVISTISK FENOMEN (orienteringsstoff; ikke pensum til eksamen) Utgangspunkt: Anta at i kjenner til

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

2 Vektorer. 2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer

2 Vektorer. 2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer Vektorer Begrepet vektor dukker opp i mange sammenhenger både i matematikk og i fysikk, og står generelt for et objekt som er bestemt ved en størrelse og en retning. Eksempler fra fysikk er forflytning,

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-3. mai 2006 eksamensoppgaver.org September 21, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Del 1 - Uten hjelpemidler

Del 1 - Uten hjelpemidler Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgaveteksten til del 1 ligger i: http://www.ulven.biz/r1/heldag/r1_hd_100516.docx (Oppgaveteksten til del er inkludert i dette dokumentet.) Oppgave 1 f x 3x 1 x 1 x (Husk: x

Detaljer

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik Eksamen R Løsningsforslag Høst 0..0 Øistein Søvik Del Oppgave a ) ) f x x ex Her bruker vi regelen som sier at uv ' u ' v uv ' u x, u ' og v e x, v ' e x f ' x ex x ex f ' x x ex f ' x x e x Oppgave )

Detaljer

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x =

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x = Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 1. desember 014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 8 (0 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1 Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

Det digitale verktøyet. Matematikk R1. Kristen Nastad

Det digitale verktøyet. Matematikk R1. Kristen Nastad Det digitale verktøyet og Matematikk R1 Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.4.11643 2008 07 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Computer Software for Windows

Detaljer

Matematikk R1 Oversikt

Matematikk R1 Oversikt Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac

Detaljer

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri 1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 30.11.010 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Notat 3: Magnetfelt og magnetisme som relativistisk fenomen (orienteringsstoff; ikke pensum til eksamen)

Notat 3: Magnetfelt og magnetisme som relativistisk fenomen (orienteringsstoff; ikke pensum til eksamen) nst. for fysikk 202 TY455/Y003 Elektr. & magnetisme Notat 3: Magnetfelt og magnetisme som relatiistisk fenomen (orienteringsstoff; ikke pensum til eksamen) Utgangspunkt: Anta at i kjenner til Coulombs

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor Binomisk fordeling: ( ) n k P X k p (1 p k ) n k Antall uavhengige forsøk er n X er antall ganger A inntreffer p i hvert

Detaljer

Trigonometri. Kompetansemål: Stig 1 Stig 2 Stig 3 2.1 Formlikskap 200, 201, 202, 203, 204, 206 209, 210, 211, 212, 213, 215

Trigonometri. Kompetansemål: Stig 1 Stig 2 Stig 3 2.1 Formlikskap 200, 201, 202, 203, 204, 206 209, 210, 211, 212, 213, 215 2 Trigonometri Kompetansemål: Mål for opplæringa er at eleen skal kunne gjere greie for definisjonane a sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, inklar og areal i ilkårlege

Detaljer

Eksamen 25.05.2011. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 25.05.2011. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 25.05.2011 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1003 Matematikk 2P Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1003 Matematikk 2P Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1003 Matematikk P Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1003 Matematikk P HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 17, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK.

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. Som foreleser/øvingslærer for diverse grunnkurs i matematikk ved realfagstudiet på NTNU har jeg prøvd å skaffe meg en viss oversikt over de nye studentenes

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

Årsplan Matematikk 2014 2015 Årstrinn: 7. årstrinn Lærere:

Årsplan Matematikk 2014 2015 Årstrinn: 7. årstrinn Lærere: Årsplan Matematikk 2014 2015 Årstrinn: 7. årstrinn Lærere: Cordula Norheim, Åsmund Gundersen, Renate Dahl Akersveien 4, 0177 OSLO, Tlf: 23 29 25 00 Kompetansemål Tidspunkt Tema/Innhold Lærestoff Arbeidsmåter

Detaljer

Løsning eksamen R1 høsten 2009

Løsning eksamen R1 høsten 2009 Løsning eksamen R høsten 009 Oppgave a) b) f( ) 5e 3 f ( ) 5 e (3 ) 5e 35e 3 3 3 3 ( ) ln( ) g 3 3 3 g( ) ln( ) ln( ) 3 ln( ) ( ) 3 3 ln( ) 3 ln( ) (3ln( ) ) c) La 3 f( ) 0 0. Da er 3 f () 0 0 0 0 0 Dermed

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2008

Løsning eksamen R1 våren 2008 Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen

Detaljer

4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrykk 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1

Detaljer

Formler, likninger og ulikheter

Formler, likninger og ulikheter 58 3 Formler, likninger og ulikheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk

EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk Side 1 av 5 Oppgavesettet består av 5 (fem) sider. EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 4.juni 2015 Emneansvarlig: Lars Sydnes

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket av 1 punkter. Hvert av tallene

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 29.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Eksamen 1T, Våren 2011

Eksamen 1T, Våren 2011 Eksamen 1T, Våren 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (13 poeng) a) Skriv på standardform 1) 36 00 000 ) 0,034

Detaljer

Resultanten til krefter

Resultanten til krefter KRAFTBEGREPET Resultanten til krefter En kraft er en vektor. Kraften har måltall (størrelse), enhet(n) og retning (horisontalt mot høyre) Kraften virker langs en rett linje, kraftens angrepslinje Punktet

Detaljer

Årsplan Matematikk Årstrinn: 7. årstrinn Lærere:

Årsplan Matematikk Årstrinn: 7. årstrinn Lærere: Årsplan Matematikk 2016 2017 Årstrinn: 7. årstrinn Lærere: Måns Bodemar, Jan Abild, Birgitte Kvebæk Akersveien 4, 0177 OSLO, Tlf: 23 29 25 00 Kompetansemål Tidspunkt Tema/Innhold Lærestoff Arbeidsmåter

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM

MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings- og

Detaljer

Fysikkolympiaden 1. runde 24. oktober 4. november 2016

Fysikkolympiaden 1. runde 24. oktober 4. november 2016 Norsk Fysikklærerforening i samarbeid med Skolelaboratoriet Uniersitetet i Oslo Fysikkolympiaden 1. runde 4. oktober 4. noember 016 Hjelpemidler: Tabell og formelsamlinger i fysikk og matematikk Lommeregner

Detaljer

plassere negative hele tall på tallinje

plassere negative hele tall på tallinje Kompetansemål etter 7. trinn Tall og algebra: 1. beskrive plassverdisystemet for desimaltall, regne med positive og negative hele tall, desimaltall, brøker og prosent, og plassere dem på tallinje 2. finne

Detaljer

ÅRSPLAN I MATTE 5. 7. TRINN BREIVIKBOTN SKOLE 2012-2013

ÅRSPLAN I MATTE 5. 7. TRINN BREIVIKBOTN SKOLE 2012-2013 ÅRSPLAN I MATTE 5. 7. TRINN BREIVIKBOTN SKOLE 2012-2013 Lærer: Knut Brattfjord og Hege Skogly Læreverk: Grunntall 5 a og b, 6 a og b og 7 a og b av Bakke og Bakke, Elektronisk Undervisningsforlag AS Målene

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. MAT1010 Matematikk 2T-Y Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. MAT1010 Matematikk 2T-Y Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 MAT1010 Matematikk 2T-Y Ny eksamensordning våren 2015 Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:

Detaljer

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm. 9800 m = 9800 1 m = 9800 0,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

R2 2011/12 - Kapittel 2: 19. september 19. oktober 2011

R2 2011/12 - Kapittel 2: 19. september 19. oktober 2011 R 011/1 - Kapittel : 19. september 19. oktober 011 Plan for skoleåret 011/01: Kapittel : 17/9-0/10. Kapittel 3:5/10 19/11. Kapittel 4: 19/11 1/1. Kapittel 5: 1/1 11/. Kapittel 6: 11/ 9/3. Kapittel 7: 19/3

Detaljer

Eksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 8.11.013 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast

Detaljer

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3 Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 0 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Går «veien om 1»: 150 1% 5 0 100% 5 100 500

Detaljer

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi Kurshefte i GeoGebra Ungdomstrinnet Astrid Johansen - NTNU Skolelaboratoriet - 29.10.2013 GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk

Detaljer