Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Vektorer.

Transkript

1 I dette lille notatet skal jeg gi en kortfattet oersikt oer grnnleggende ektorregning Me a dette er forhåpentlig kjent fra før, men det skader sikkert ikke med en kort repetisjon Definisjoner Mange a de størrelsene i bentter i matematikk, er fllstendig definert bare med et tall, eentelt med en måleenhet i tillegg Slike størrelser kaller i gjerne skalare størrelser I fsikk iser det seg imidlertid at i også må kjenne en retning Slike størrelser som består a tallerdi (gjerne med måleenhet i tillegg) og retning, kaller i ektorer For eksempel er krefter og hastigheter ektorer I tillegg til tallet som angir hor stor kraften eller hastigheten er, må i også ite retningen for at kraften eller hastigheten skal ære fllstendig definert Når i brker bokstaer for å angi en ektor, skrier i bokstaene med theet skrift eller med en pil oer: eller er anlige måter å angi en ektor Noen ganger brkes begge deler: Når i skrier for hand, brker i helst pil oer eller en strek nder bokstaen: eller I dette notatet skal jeg stort sett bentte theet skrift: Noen ganger er i kn interessert i størrelsen (lengden) a en ektor, ten å br oss om retningen Vi brker da skriemåten, eller bare for å angi størrelsen a Vi definerer likhet slik: To ektorer og er like his og bare his begge ektorene har samme størrelse og samme retning Mltiplikasjon a ektor med skalar La ære en ektor, mens t er en skalar (et anlig tall) Da definerer i: Dersom t > 0, er = t en n ektor der = t, og som har samme retning som Dersom t < 0, er = t en n ektor der = t, og som har motsatt retning a Vektorer illstreres gjerne med en anlig pil, der pilens lengde og retning angir ektorens størrelse og retning Nedenfor ser d en ektor samt ektorene = 3 og w = = 3 = w Legg spesielt merke til at er en ektor som er like stor som, men som har motsatt retning a Bjørn Daidsen, Uniersitetet i Tromsø

2 3 Addisjon og sbtraksjon a ektorer Figren nedenfor iser hordan i adderer to ektorer og : + Til enstre ser d de to ektorene og som skal adderes + I midten ser d den ene måten å gå fram på: Vi lar starte der sltter Vektorsmmen + blir da en ektor som går fra starten på til sltten a Til høre ser d en annen måte å gå fram på: Vi lar og starte i samme pnkt slik at de definerer et parallellogram Da blir + en ektor som følger diagonalen fra ektorenes felles startpnkt Dersom i skal addere tre eller flere ektorer, starter i med å addere to a dem Deretter legger i til den tredje Figren nedenfor iser hordan i kan gå fram for å finne a+ b+ c: a b c a a+ b b c a+ b+ c Ved hjelp a slike figrer kan i ise at regnereglene nedenfor må gjelde, der og er ektorer mens s og t er skalarer: a+ b = b+ a a+ b+ c = a+ b + c= a+ b+ c ( ) ( ) t ( + ) = t + t ( s+ t) = s + t Sbtraksjon a ektorer skjer enkelt ed å bentte at = + ( ) Figrene nedenfor iser hordan det kan gjøres: ( ) + + ( ) Vi starter som før med to ektorer og Figren i midten iser hordan i går fram når i adderer og, mens figren til høre iser hordan i bentter den andre diagonalen i + parallellogrammet som og tspenner til å finne ( ) Bjørn Daidsen, Uniersitetet i Tromsø

3 Eksempel 3: Nedenfor til enstre ser d to ektorer og Finn: a) b) 3 Løsning: a) b) 3 Oppgae 3 4 Dekomponering a ektorer La oss starte med et plant (to-dimensjonalt) koordinatsstem I dette koordinatsstemet fastlegger i to retninger, for eksempel ed å tegne to ikke-parallelle linjer l og l Å dekomponere en ektor i disse to retningene består da i å finne to ne ektorer og, en i her a de to retningene, slik at = l + Figren til enstre iser hordan i kan gjøre dette Vi parallellforsker slik at den begnner der l linjene krsser herandre Så trekker i paralleller med linjene l og l gjennom spissen a Dermed framkommer et parallellogram, og og går da langs sidene i dette parallellogrammet I et tre-dimensjonalt koordinatsstem går i fram på samme måten: Vi fastlegger tre retninger ed å trekke tre ikke-parallelle linjer Deretter bestemmer i tre ektorer, og 3, en i her a de tre retningene, slik at = Oppgae 4 5 Enhetsektorer θ Vi skal nå plassere en ektor i et rettinklet koordinatsstem I starten skal i begrense oss til et todimensjonalt koordinatsstem Da kan dekomponeres i to andre ektorer, en ektor parallell med -aksen og en ektor parallell med -aksen Vi har da at = + Se figren til enstre Bjørn Daidsen, Uniersitetet i Tromsø

4 π < θ < π = cosθ < 0 = sinθ > < θ < π = cosθ > 0 = sinθ > 0 3 π < θ < π π < θ < π = cosθ < 0 = sinθ < 0 = cosθ > 0 = sinθ < 0 Nå iser det seg å ære hensiktsmessig å endre litt på denne tolkingen Istedenfor å bentte to ektorer og, innfører i to skalare komponenter og slik: = cosθ, = sinθ Her er θ inkelen mellom positi -akse og Legg spesielt merke til at disse definisjonene fører til at og får korrekte fortegn Se figren til enstre, og hsk fortegnet til cosθ og sinθ når θ ligger i de angitte interallene Nå er det hensiktsmessig å definere to enhetsektorer i og j slik: = sin θ j i θ = cosθ i = j = i har retning langs positi -akse j har retning langs positi -akse Da kan en ektor skries slik: = i+ j Se figren til enstre I et tredimensjonalt koordinatsstem har i en -retning inkelrett på - og -aksene, slik at danner et hørehåndssstem Dette k kan defineres slik: Grip om -aksen slik at 0 j tommelen peker i positi -retning Da il de i fire andre fingrene peke fra positi mot positi slik figren til enstre iser Så innfører i en enhetsektor k i -retningen Et tredimensjonalt koordinatsstem med enhetsektorene i, j og k inntegnet er ist i midten oenfor I et slikt koordinatsstem kan en ektor skries = i+ j+ k Her er komponenten a langs -aksen Vi sier at er skreet på komponentform Slik dekomponering er sært nttig i mange sammenhenger, for eksempel når i skal addere eller sbtrahere ektorer slik eksemplet nedenfor iser: Eksempel 5: Vi har gitt ektorene = i j+ og = i+ 3 j k Bjørn Daidsen, Uniersitetet i Tromsø

5 Finn og + 3 Løsning: = ( i j+ k) ( i+ 3 j k) = 4 i j+ k + i 3 j+ k = 5 i 5 j k + 3 = ( i j+ k) + 3 ( i+ 3 j k) = i j+ k 3 i+ 9 j 6 k = i+ 8 j 5 k Oppgae 5, 5 Dersom det ikke kan føre til misforståelser, kan i nnlate å skrie enhetsektorene i, j og k Da skrier i bare ned komponentene, og i riktig rekkefølge slik: =,, eller ten brk a komma: = Vi kan også skrie ektoren på kolonneform: = Hittil har i fortsatt at enhetsektorene går langs - - eller -aksen Men det er slett ikke nødendig Vi kan ha enhetsektorer som peker i hilken som helst retning Dersom e ˆ er en enhetsektor som peker i samme retning som ektoren, har i at = e ˆ Dermed har i en grei måte å finne en enhetsektor i samme retning som : En enhetsektor i samme retning som er gitt ed eˆ = 6 Skalarprodktet Vi definerer skalarprodktet a to ektorer slik: Skalarprodktet a de to ektorene og er = cosθ der θ er inkelen mellom og Vi kan med en gang merke oss noen iktige konsekenser a denne definisjonen: Siden både, og cosθ er skalarer (anlige tall), blir også en skalar, ikke en ektor Skalarprodktet er kommtatit, ds at = Bjørn Daidsen, Uniersitetet i Tromsø

6 Dersom og står inkelrett på herandre, er θ = π slik at cosθ = 0 Dette fører til at dersom erken eller har lengde lik nll, må i ha at: = 0 = cos0 = = La oss se ha som skjer dersom i beregner skalarprodkt a enhetsektorene i, j og k : i i = j j= k k = fordi både i, j og k har lengde lik i j= j i = i = i = j = j= 0 fordi i, j og k står inkelrett på herandre Dette gir oss en enkel regneregel for skalarprodkt når ektorene er skreet på komponentform: Dersom = i+ j+ og = i+ j+ k, er = + + For oersiktens skld skal jeg nøe meg med å beise dette for todimensjonale ektorer: = i+ j i+ j= ii + i j+ ji + jj = + ( ) ( ) = = 0 = 0 = Beiset for tredimensjonale ektorer er helt likedan, bare med mer skriing Nå er det lett å finne lengden a en ektor på komponentform: = = + + Eksempel 6: Vi har gitt ektorene = i j+ og = i+ 3 j k Finn,,, og inkelen θ mellom og Løsning: = + 3+ = 7 ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = 6 ( ) ( ) = = 4 7 = cosθ cosθ = = θ Oppgae 6 Bjørn Daidsen, Uniersitetet i Tromsø

7 Eksempel 6: Bestem t slik at ektorene = i j+ og = i+ t j k står inkelrett på herandre Løsning: Når to ektorer står inkelrett på herandre, er skalarprodktet lik nll: = 0 + t + = 0 4 t = 0 t = 4 ( ) ( ) ( ) Oppgae 6, 63 Til sltt skal jeg ten beis føre opp disse setningene: ( + w) = + w t ( + ) = t + t 7 Vektorprodktet h = sinθ θ La og ære to ektorer A figren til enstre ser d sikkert at arealet a det parallellogrammet som ektorene tspenner, er A= h= sinθ der θ er inkelen mellom ektorene Vi skal nå tilordne dette arealet en enhetsektor n inklerett på flata som tspennes a og, slik at, og n danner et hørehåndssstem På figren il da n peke t a papirplanet Den ektoren som har størrelse A og retning n skal i kalle ektorprodktet eller krssprodktet a og Vi definerer altså: Vektorprodktet (krssprodktet) a de to ektorene og er = sinθ n der θ er inkelen mellom og, og n er en enhetsektor slik at, og n danner et hørehåndssstem Vi kan med en gang merke oss noen iktige konsekenser a denne definisjonen: blir en ektor som står inkelrett på både og Vektorprodktet er ikke kommtatit Tert imot har i at = fordi n skifter retning når og btter plass Bjørn Daidsen, Uniersitetet i Tromsø

8 Dersom og er parallelle, er θ = 0 slik at sinθ = 0 Dette fører til at dersom erken eller har lengde lik nll, må i ha at: = 0 La oss se ha som skjer dersom i beregner ektorprodkt a enhetsektorene i, j og k : i k 0 j i i = j j= = 0 i j=, j k = i, k i = j j i = k, k j= i, i = j Disse sammenhengene kan d sel kontrollere ed hjelp a figren til enstre og hørehåndsregelen! Væpnet med disse sammenhengene kan i nå sette opp ektorprodktet på komponentform: = i+ j+ i+ j+ k ( ) ( ) = i i+ i j+ i k + j i+ j j+ j k = 0 = = k j = = 0 = i + k i+ k j+ k k = j = i = 0 = i j+ k ( ) ( ) ( ) Dette ttrkket er ikke lett å hske Men dersom d kan beregne determinanter, kan d slippe å hske det Uttrkket kan nemlig skries på determinantform slik det er gjort nedenfor: Dersom = i+ j+ og = i+ j+ k, er i j ( ) ( ) ( ) = = i j+ k Eksempel 7: Vi har gitt ektorene = i j+ = i+ 3 j k Finn Løsning: i j = 3 (( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) = 3 i j+ 3 k = i+ 3j+ 5k Bjørn Daidsen, Uniersitetet i Tromsø

9 Oppgae 7, 7 Det fins en mengde setninger for ektorprodkt, og for kombinasjoner a skalarprodkt og ektorprodkt Jeg skal nøe meg med disse: ( + w) = + w ( + w) = + w Bjørn Daidsen, Uniersitetet i Tromsø