Forelesning Elkraftteknikk 1, Oppdatert Skrevet av Ole-Morten Midtgård. HØGSKOLEN I AGDER Fakultet for teknologi

Transkript

1 Forelesig Elkrafttekikk, Oppdatert Skreet a Ole-Morte Midtgård HØGSKOEN I AGDER Fakultet for tekologi Komplekse tall og isere Komplekse tall er sært yttige i aalyse a elkraftsystemer. Et elkraftsystem ka i sært mage tilfeller med meget god tilærmelse betraktes som et system i stasoær tilstad med alle strømmer og speiger siusarierede. Da ka strømmee og speigee i systemet represeteres som isere. E iser er rett og slett et komplekst tall som ieholder iformaso om e siusarierede størrelses amplitude og faseikel. Komplekse tall og isere er derfor del a grukuskape som e elkraftigeiør må ha. Komplekse tall er pesum i matematikkuderisige i. klasse ed høgskole, mes isere ble brukt i Elektrotekisk grulag, me ute at det ble eksplisitt sagt at ma brukte isere. Istedefor ble betegelse ektorer brukt med bakgru i det at grafisk addiso og subtrakso a isere og ektorer er helt likt. Mye a stoffet i dette otatet er hetet fra boka Electric Circuits a Nilsso og Riedel (5. utgae), og er til dels re oersettelse. De fleste figuree er kopiert fra boka. Det egelske uttrykket for iser er phasor. Komplekse tall Komplekse tall ble oppfuet for at ma skulle kue ta kadratrote a egatie tall. Komplekse tall forekler løsige a problemer som ellers ille ære sært askelige. igige x + 8x + 4 0, for eksempel, har ige løsig i et tallsystem som ekskluderer komplekse tall. Disse tallee, og mulighete til algebraisk å maipulere dem, er særdeles yttig i kretsaalyse. Notaso Det fis to måter å agi et komplekst tall på: kartesisk form, også kalt rektagulær form polar form, også kalt trigoometrisk form Rektagulær form: a + b hor a kalles realdele, mes b kalles imagiærdele. er per defiiso lik, kadratrote a mius e. * Polar form: θ ce * I matematikke brukes som oftest symbolet i for kadratrote a mius e, me i elkrafttekikke er det alig å bruke symbolet i for strøm, og derfor har ma algt å bruke.

2 hor c er størrelse, θ er ikele, e er grutallet i de aturlige logaritme, mes som før er lik. I elkrafttekikke bruker i ofte otasoe c θ for polar form, me i meer da det samme som oer. Vi ka eksle mellom polar og rektagulær form geom å bruke Eulers idetitet: ± θ e cosθ ± siθ Vi ka derfor gå fra polar til rektagulær form ed å skrie: ce θ c(cos θ + siθ ) c cosθ + csiθ a + b Vi ka gå fra rektagulær til polar form ed å skrie: a + b ( a ) + b e θ der ta θ b / a Det er ikke åpebart fra uttrykket oer hilke kadrat ikele θ ligger i. Dee tetydighete ka løses ed de grafiske represetasoe a et komplekst tall. Grafisk represetaso a et komplekst tall Et komplekst tall represeteres grafisk i det komplekse tallpla, som bruker e horisotal akse for å plotte realdele og de ertikale akse for å plotte imagiærdele. Vikele til et komplekst tall måles mot klokka fra de positie reelle akse. De grafiske represetasoe a det komplekse tallet hor det er atatt at både a og b er positie. a + b c θ er ist i figure uder, Dee figure gør forholdet mellom rektagulær og polar form sært klart. Ethert pukt i det komplekse tallpla er etydig defiert ed ete å gi dets distase fra her akse (les: a og b), eller dets radielle distase fra origo c samt ikele θ.

3 3 Det følger fra figure oer at θ er i første kadrat år både a og b er positie, i adre kadrat år a er egati og b positi, i trede kadrat år a og b er begge egatie, og i ferde kadrat år a er positi og b er egati. Disse obserasoee er illustrert i figure uder, hor tallee 4 + 3, 4 + 3, 4 3, 4 3 er teget i. egg merke til at i også ka spesifisere θ som e ikel målt med klokka fra de positie reelle akse. I elkrafttekikke er det alig å uttrykke θ i egatie erdier år θ ligger i trede eller ferde kadrat. For eksempel ka 4 3 også uttrykkes som De grafiske fremstillige a et komplekst tall iser også sammehege mellom et komplekst tall og des kougerte. De kougerte a et komplekst tall daes ed å reersere forteget på de imagiære kompoete. Med adre ord, de kougerte a a + b er a b. Når i skrier et komplekst tall på polar form, daes de kougerte gaske ekelt ed å reersere forteget til ikele θ. Derfor er de kougerte a c θ lik c θ. Det er alig å bruke otasoe * for de kougerte a. Figure uder iser to komplekse tall og deres kougerte. egg merke til at kougerig iebærer å speile det komplekse tallet oer de reelle akse.

4 4 Aritmetiske operasoer For å addere eller subtrahere komplekse tall, er det best å uttrykke dem i rektagulær form. Addiso iebærer å addere realdelee og imagiærdelee her for seg. Eksempel addiso: (8 + ) + (6 3) Eksempel subtrakso: ( 8) + ( 3 6) 4 9 Når tallee er gitt i polar form, omformes de først til rektagulær form før idere addiso eller subtrakso. Oppgae: Reg ut og + (Sar: og ) Multiplikaso og diiso a komplekse tall ka utføres med tallee skreet ete i rektagulær eller i polar form.

5 5 Eksempel multiplikaso: eller (8 + 0)(5 4) ( )( ) Eksempel diiso: (8 + 0)(5 + 4) (5 4)(5 + 4) eller ommekalkulatorer for igeiørbruk har ofte mulighete til å rege med komplekse tall, ikludert fuksoer for å skifte mellom polar og rektagulær form. Nyttige idetiteter ± ( )( ) e e ± π ± π / ± 80 ± 90 ±

6 6 Visere Defiiso E iser er et komplekst tall som bærer iformaso om -erdie (eetuelt amplitude, dersom det skulle ære øskelig) og faseikele til e siusarierede fukso. Gitt følgede fukso: ( t) V cos( ω t + θ ) θ Viserrepresetasoe a dee fuksoe er V V e V cosθ + V siθ Vi bruker dee represetasoe år i skal aalysere systemer hor alle størrelsee er siusarierede (med forskellige faseikler) og frekese er ket, slik som i elkraftsystemet i stasoær tilstad. I Norge er frekese i elkraftsystemet f 50 Hz, slik at ikelfrekese ω πf 00π. Dee represetasoe er sært yttig fordi de reduserer aalyse a det stasoære elkraftsystem til komplekse talls algebra. His hor alle speigee på høyreside er siusformede speiger, så gelder at V V + V + + V Med adre ord, iserrepresetasoe a er lik summe a isere til delkompoetee. Eksempel: Gitt følgede fuksoer: y 0 cos( ω t 30 y 40 cos( ω t + 60 ) ) Fi y y + y som e ekelt siusformet fukso, a) Ved å bruke trigoometriske idetiteter b) Ved å bruke iser-koseptet Sar: a) Prø sel!

7 7 b) Y Y Y ( 7.3 0) + ( ) Y + Y 43 Ved å trasformere oss tilbake til tidsplaet, ka i å skrie y 44.7 cos( ω t ) (I dette eksempelet algte i å bruke topperdi istedefor -erdi i represetaso a isere. Dette er et alg ma står fritt til å gøre. For e siusformet fukso er o topperdie lik kadratrote a to gager -erdie, så dersom ma er koseket og et om ma opererer med topperdi eller -erdi, er ikke dette oe problem. Me ma må passe på å ære koseket. I elkrafttekikke er det alig å bruke effektierdi.) His du sel prøde å løse eksempelet som agitt i pukt a, ble du forhåpetligis oerbeist om at isermetodikke er eklere. De passie kretselemetee Når i skal aalysere e elektrisk krets i iserplaet, må alle størrelsee i kretse først represeteres som komplekse tall. I praksis betyr dette speiger, strømmer, motstader (R), iduktaser () og kapasitaser (C). De passie kretselemetee R, og C har følgede represetasoer i iserplaet år i behadler dem som impedaser: Elemet Tidspla Viserpla Resistas R R Spole ω X Kodesator C ω C X C Størrelsee X ω og X C /ωc kalles reaktas. Reaktase til e iduktas er positi, mes reaktase til e kapasitas er egati, som i ser a uttrykkee. Regereglee fra kretstekikk gelder også i iserplaet: Kirchoffs speigslo gelder (KV Kirchoff s Voltage aw) Kirchoffs strømlo gelder (KC Kirchoff s Curret aw) De geeraliserte Ohms lo V ZI gelder, der Z er kompleks impedas Regereglee for seriekoplig og parallellkopliger a motstader gelder også i iserplaet, og da mer geerelt side reglee gelder også for alle mulige kombiasoer a serie- og parallellkopliger a R, X og X C. Det ma må passe på er at ma reger med komplekse tall, og følgelig må følge regereglee for slike. Ofte slår ma samme passie kretselemeter samme til e impedas Z. Geerelt er e impedas et komplekst tall.

8 8 Eksempel: Seriekoplig a R og i iserplaet. R Ω, mh. Ha er impedase Z? 3 Sar: Z R + ω + 00π Ω Parallellkoplig a Z og Z 0.5 Ω. Ha blir total impedas Z 3? Z 3 Z 3 Z 3 ZZ Z + Z ( )( 0.5) Ω egg merke til at impedas ka represeteres ete i rektagulær form eller på polar form, på samme måte som alle adre komplekse tall. Det er også alig å beytte admittas. Admittas Y er gaske ekelt de ierse a impedas, og er defiert som: Y Z R + X G + B R og X er heholdsis resistase og reaktase til impedase Z, mes G og B kalles heholdsis koduktase og susceptase til admittase Y. Parallellkoplig a to admittaser Y og Y er ekialet med e admittas lik Y + Y. De passie kretselemetee har følgede represetasoer i iserplaet år i behadler dem som admittaser: Elemet Tidspla Viserpla Koduktas G G Spole /ω B Kodesator C ωc B C Størrelsee B /ω og B C ωc kalles susceptas. Susceptase til e iduktas er egati, mes susceptase til e kapasitas er positi, som i ser a uttrykkee. Resistas og reaktas måles i Ω, mes koduktas og susceptas måles i siemes. øsigsmetodikk for stasoær siusaalyse Metodikke for å løse e krets i iserplaet blir altså:. Fi isere til alle kete speigskilder og strømkilder. Represeter passie kretselemeter i iserplaet, som ist oer 3. øs kretse på alig måte ed help a KV, KC og Ohm s lo 4. Me husk at du å reger med komplekse tall, slik at regereglee for komplekse tall må følges!

9 9 Eksempel: E resistas på 60 Ω, e spole med iduktas 30 mh og e kodesator med kapasitas 50 µf er koplet oer e siusformet speigskilde som ist i figure edefor. Speigskilde ka uttrykkes som s 750 cos(34t + 30 ) olt. Vi skal løse dee kretse med hesy på strømme i kretse ed å bruke metodikke for stasoær siusaalyse. R 60 ohm 30 mh s C 50E-6 F Steg : 750 V s olt Steg : Impedase til motstade: 60 Ω 3 Impedase til spole: ω Ω Impedase til kodesatore: ωc Ω (egg merke til at ω 34 er gitt fra uttrykket for speige.) Ka å tege kretse i iserplaet, som ist edefor. R 60 ohm w ohm Vs /wc ohm

10 0 Steg 3: De tre impedasee er koplet i serie, og de totale impedase sett fra speigskilde ka derfor fies ed å summere dem: Z tot Ω Bruker å Ohm s lo V s Z tot I, som i løser med hesy på I: V s I ampere Z tot Strømmes effektierdi er altså 7.53 A, og des faseikel er.5º. (Dette betyr at de ligger 3.5º etter speige side speige hadde e faseikel på 30º.) Uttrykt i tidsplaet er strømme: i 7.53cos(34t.5 ) 0.65cos(34t.5 ) ampere Tillegg: Utledig a de komplekse impedase til e spole Speige oer e spole med iduktas er som ket gitt a di dt hor i er strømme geom spole. a å ære e siusformet fukso gitt a V cos( ω t + θ ) (hor θ er speiges faseikel) m Vi reger ut i ed å itegrere Vm i Vm t + d t t + + k cos( ω θ ) ( ω ) si( ω θ ) ω Vi atar at spole ikke har likestrømskompoet, og kostate k blir derfor lik ull. Vi ka derfor skrie i Vm Vm si( ωt + θ ) cos( ωt + θ 90 ω ω ) hor i har beyttet oss a at si( α ) cos( α 90 ). E faktisk spole il alltid ha e iss resistas. E eetuell likestrømskompoet il derfor etter hert dø ut, og i stasoær siustilstad reger i med at alle likestrømskompoeter som måtte ha ært i systemet, er borte.

11 Basert på uttrykkee oer skal å uttrykke speige og strømme som isere Vm V V θ (hor V ) I V ω V ( θ 90 ) 90 θ ω Me i et at I V ω θ 90 e 90 slik at strømisere også ka uttrykkes som Forholdet mellom speigsisere og strømisere blir V I V θ V θ ω ω Dette forholdet ka ses på som sele defiisoe a de komplekse impedase til e spole med iduktas, og i har å utledet at dee er lik Z ω Som før sagt, kalles størrelse ω X reaktas. Oppgae: Bruk samme metodikk som oer og, a) utled de komplekse impedase for e kodesator med kapasitas C. b) utled de komplekse impedase for e motstad med resistas R. Sar: a) Z C ωc b) Z R R ωc