1. Egenverdiproblemet.

Transkript

1 Forelesigsotater i matematikk Egeerdier og egeektorer Side Egeerdiproblemet De gruleggede problemstillige Fra de gruleggede matriseregige husker du sikkert at år e ektor multipliseres med e kadratisk matrise A, får i e y ektor u slik: u A Ka i irette oss slik at de ye ektore u blir parallell med? Dersom u er parallell med, må i ha at u λ der λ er et tall, slik at A λ La meg presisere problemstillige: Gitt e kadratisk matrise A Fi e ektor og et tall λ slik at λ A Vi sier at er e egeektor til A, og at λ er de tilhørede egeerdie Eksemplet edefor iser horda i ka agripe dette problemet: Eksempel : Fi egeerdier med tilhørede egeektorer for matrise A Løsig: Vi er på jakt etter e ektor og et tall λ som er slik at A λ Med år matrise A blir dette λ λ λ Dette fører til likigssettet λ ( λ ) λ λ Tilsyelatede er dette to likiger med tre ukjete Me i ka tolke dette som et likigssystem som i skal fie og a I så fall er dette et homoget likigssystem Fra teorie for slike likigssystem et i at det alltid har løsige Me dee løsige gir jo, som ikke er særlig iteressat Me teorie sier også at i ka få adre løsiger dersom determiate til koeffisietmatrise er lik ull: Bjør Daidse, Uiersitetet i Tromsø 8

2 Forelesigsotater i matematikk Egeerdier og egeektorer Side λ ( λ)( λ) ( ) ( ) λ + λ λ ± 4 ± λ Vi har altså fuet to forskjellige egeerdier, og må fie de tilhørede egeektoree Vi må da gå tilbake til likigssettet λ λ og sette i de to egeerdiee etter tur: ) Fier egeektore tilkyttet egeerdie λ : + + Vi ka å elge fritt, og setter t der t er et tilfeldig algt tall forskjellig fra ull Da blir de tilhørede egeektore t t t Eher ektor, uasett erdi a t, il da ære e egeektor tilkyttet λ ) Fier egeektore tilkyttet egeerdie λ : ( ) + Vi ka å elge fritt, og setter t der t er et tilfeldig algt tall forskjellig fra ull Da blir de tilhørede egeektore t t t Eher ektor, uasett erdi a t, il da ære e egeektor tilkyttet λ Vi har altså fuet to løsiger: Egeerdi λ med tilhørede egeektor t Egeerdi λ med tilhørede egeektor t Bjør Daidse, Uiersitetet i Tromsø 8

3 Forelesigsotater i matematikk Egeerdier og egeektorer Side Som kotroll ka i rege ut A for åre to løsiger og se ha i får: A 4 t t t A t t t Vi ser at A λ i begge tilfellee Nå er det på tide å ta for oss det geerelle egeerdiproblemet, og se horda det ka løses: Gitt e kadratisk -matrise a a a a a a A a a a Bestem om mulig e egeerdi λ med tilhørede egeektor som er slik at A λ Vi ka aturligis gå fram på samme måte som i Eksempel Me i ka også sette opp e stadard prosedyre som gjør det eklere å løse problemet Problemet ar altså: Fi og λ slik at A λ λi A λi A λi Skries dette ut på kompoetform, får i a λ a a a a λ a a a a λ eller Bjør Daidse, Uiersitetet i Tromsø 8

4 ( λ ) ( λ ) a + a + + a a a a a + a + + a λ Forelesigsotater i matematikk Egeerdier og egeektorer Side 4 (*) Dette er et homoget lieært likigssystem Fra teorie for slike likigssystem et i at dersom likigssystemet skal ha adre løsiger e, må determiate til koeffisietmatrise ære lik ull: a λ a a a a λ a a a a λ Dette blir e 'tegradslikig i λ, som kalles de karakteristiske likige De il gi løsiger (der oe ka ære sammefallede) For her erdi a λ ka i å fie e egeektor ed isettig i (*) Vi summerer opp: Vi går fram slik for å fie egeerdier med tilhørede egeektorer for de kadratiske matrise a a a a a a A a a a Fi først egeerdiee λ, λ,, λ ed å løse de karakteristiske likige a λ a a a a λ a a a a λ For her egeerdi λ i fier du de tilhørede egeektore i ed å løse likigssystemet a λ + a + + a ( i) ( λ ) a a a + i + + a + a + + a λ i Bjør Daidse, Uiersitetet i Tromsø 8

5 Vi tester dee oppskrifte i este eksempel: Forelesigsotater i matematikk Egeerdier og egeektorer Side 5 Eksempel : Fi egeerdier med tilhørede egeektorer for matrise A 4 Løsig: Vi starter med å fie egeerdiee: λ ( λ)( λ) 4 4 λ + + ± 4 ( 6) ± 5 λ Så ar det egeektoree: λ λ λ 4 λ λ 6 ) Fier egeektore tilkyttet egeerdie λ : Vi ka å elge fritt, og setter t der t er et tilfeldig algt tall forskjellig fra ull Da blir de tilhørede egeektore t t t ) Fier egeektore tilkyttet egeerdie λ : ( ) Vi ka å elge fritt, og setter t der er et tilfeldig algt tall forskjellig fra ull Da blir de tilhørede egeektore t t 4t 4 Vi har altså fuet to løsiger: Egeerdi λ med tilhørede egeektor t Egeerdi λ med tilhørede egeektor t 4 t Bjør Daidse, Uiersitetet i Tromsø 8

6 Forelesigsotater i matematikk Egeerdier og egeektorer Side 6 Du får mye bruk for å berege egeerdier og egeektorer Sel om i i praksis ofte bruker dataerktøy til å fie egeerdier og egeektorer, il jeg sterkt abefale at du et horda du løser slike problem for had Oerbeis deg derfor om at du ka løse de Elemetære, Ekle oppgaee i Oppgae E før du leser idere Så skal i se horda tekikke fugerer med e -matrise: Eksempel : Fi egeerdier og egeektorer til matrise A Løsig: Fier først egeerdiee ed å løse de karakteristiske likige λ λ λ Jeg bereger determiate ed å utikle de etter koloe Dette gir λ λ λ λ λ λ + λ ( λ ) ( ) ( ) ( ) ( λ)( λ + λ + λ ) + ( λ + ) ( λ)( λ λ ) ( λ) + His jeg å fortsetter med å multiplisere ut, får jeg e gradslikig i λ Heldigis ka jeg ugå dette ed se at ( λ ) er felles faktor i de to leddee, og sette dee utefor paretes Da får jeg: λ λ λ + λ λ λ Løsige blir λ λ eller λ λ ± 4( ) ± λ Det er altså tre egeerdier: λ, λ, λ For her a disse egeerdiee må jeg fie e egeektor Jeg setter da λ-erdie i i likige Bjør Daidse, Uiersitetet i Tromsø 8

7 ( λ ) ( λ ) ( λ ) og fier, og : Egeektor tilkyttet λ : Forelesigsotater i matematikk Egeerdier og egeektorer Side Både første og siste likig gir Da gir midterste likig Lar i ære et tilfeldig tall som i kaller t, blir egeektore t t t t Egeektor tilkyttet λ : Her gir siste likig at Midterste likig gir Som kotroll setter i dette i i øerste likig: + + Lar i ære et tilfeldig tall som i kaller t t t t t, blir egeektore Egeektor tilkyttet λ : ( ) + + ( ) Bjør Daidse, Uiersitetet i Tromsø 8

8 Siste likig gir direkte Da gir begge de to adre likigee + Lar i ære et tilfeldig tall som i kaller t t t Forelesigsotater i matematikk Egeerdier og egeektorer Side 8, blir egeektore t Du ser at beregig a egeerdier med tilhørede egeektorer ka medføre mye pirkarbeid I praksis utføres dette gjere med dataerktøy Du fier korte oppskrifter for horda dette gjøres i disse edleggee: Bruk a TI-89 Bruk a Scietific Notebook Sel om du helst bruker dataerktøy til å berege egeerdier og egeektorer, bør du likeel drille tekikke for had med et par oppgaer Når i bruker egeerdier og egeektorer i praksis, iser det seg at i ofte må kree at - matriser har lieært uahegige egeektorer Da får i bruk for setige edefor (som i ikke skal beise): Dersom e -matrise har forskjellige egeerdier, har matrise også lieært uahegige egeektorer I et eget otat har jeg sett på ha som ka skje dersom matrise har to eller flere sammefallede (like) egeerdier Jeg har også laget et lite otat som hjelper deg på ei dersom du får komplekse egeerdier Nå fis det mage setiger om egeerdier og egeektorer som det ka ære yttig å kjee til Jeg har samlet oe slike setiger i et lite otat Nå lurer du sikkert fælt på ha egeerdier og egeektorer ka brukes til Da må du først lære deg diagoaliserig a matriser Deretter ka du gå løs på aedelser, for eksempel: Løsig a system a lieære ordes differeslikiger Løsig a system a lieære ordes differesiallikiger Foreklig a kadratiske former Bjør Daidse, Uiersitetet i Tromsø 8