Algoritmer og datastrukturer Avsnitt Algoritmeanalyse

Transkript

1 Kapittel 5. Biære søetrær Algoritmer og datastruturer Avsitt 5..5 Algoritmeaalyse Avsitt Gjeomsittlig avstad mellom to «aboer» i iorde i et biært søetre med forsjellige verdier ver permutasjo av tallee fra til defierer et biært søetre, dvs. det treet vi får ved å legge i verdiee i de reefølge de har i permutasjoe. ide det er! forsjellige permutasjoer, blir det! biære søetrær. Vi atar at alle har samme sasylighet. La p og q være to oder i et biært søetre sli at p ommer rett etter q i iorde. Vi sier at de to er «aboer» i iorde. Da må ete p ligge i det høyre subtreet til q eller så må q ligge i et vestre subtreet til p. I begge tilfellee a vi si at det er e bestemt avstad mellom dem. Det er atall ater på veie fra de ee ed til de adre. Figur : Et biært søetre I Figur ser vi at avstade mellom odee og er, avstade mellom og er, de mellom og er, de mellom og 5 er også, de mellom 5 og 6 er, osv. De orteste avstade mellom to «aboer» er alltid. Me de legste avstade vil variere fra tre til tre. I treet i Figur er det som er størst og det er avstade mellom 8 og 9. Vi a fie summe av alle aboavstadee. For treet i Figur får vi: () La være de gjeomsittlige avstadssumme for biære søetrær med forsjellige verdier. I treet i Figur er = 5. pørsmålet er hvor typis dette treet er. vorda vil 5 være? tørre, li eller midre e? Det viser seg at 5 =,. Me det er jo det vi sal omme frem til i dette otatet. La A være de gjeomsittlige aboavstade. Treet i Figur har e gjeomsittlig aboavstad på /(5 ) =,7.

2 Kapittel 5. Biære søetrær Et biærtre med bare é ode har ige aboer og dermed ige aboavstader. Me vi sier lievel at = 0. Det er to forsjellige biære søetrær med to verdier, me i begge er det u ett abopar og mellom dem er avstade. Dermed blir =. For tilfellet = blir det ses trær side tre tall a permuteres på ses forsjellige måter: Figur : Det er ses trær for = Avstadssummee for de ses trære er heholdsvis,,,, og. Dermed 7 blir,... 6 Det ue også være iteressat å fie. Vi sal fie e geerell formel for og da er det fit å ue teste formele for de jete tilfellee. Figur : Trære for de ses permutasjoee av til der står først For = er det trær. Figur viser de ses trære gitt av de ses permutasjoee av til der står først. For disse er avstadssummee heholdsvis,,,, 5 og 5. Til samme 5. På gru av symmetrie blir det også 5 for de ses trære gitt av de ses permutasjoee av til der står først. Teger e opp de ses trære gitt ved at står først ser e fort at der blir det sammelagt og det samme for de der står først. Til samme = 9. Dermed blir, La T være et biært søetre gitt av e permutasjo av tallee fra til der tallet står først. Da vil det være oder i rotodes vestre subtre og oder i rotodes høyre subtre. vis vi jeer avstadssummee for de to subtrære, a vi da fie avstadssumme for hele treet?

3 Kapittel 5. Biære søetrær Figur : Biært søetre med 5 verdier Permutasjoe 8,,,, 6,, 5,, 7, 0,,, 5, 9, er e av dem som gir treet i Figur. ide 8 står først blir de rotode. Det svarer til = 5 og = 8. Avstadssummee for vestre og høyre subtre er 9 og 8. I tillegg må vi ha avstade fra 7 til 8 og de fra 8 til 9. Geerelt betyr det avstade fra de siste i iorde i det vestre subtreet til rotode og avstade fra rotode til de første i iorde i det høyre subtreet. Vi får derfor flg. sum for treet i Figur : () 9 8 Dette a geeraliseres. De gjeomsittlige avstade mellom rotode i et biært søetre med til verdier og ode som ommer først i iorde, er gitt ved til. e put i Avsitt På gru av symmetrie er det de samme gjeomsittlige avstade mellom rotode og de siste i iorde. vis vi har et biært søetre T gitt av e permutasjo av tallee fra til der tallet, står først, vil vi derfor i gjeomsitt for få flg. avstadssum: () Vi får fordi er avstade mellom rotode i det vestre subtreet og de siste i iorde i det treet og er avstade fra rotode i subtreet til rotode i T. På samme måte er det for. Alle tall fra til har samme sasylighet for å stå først i e permutasjo. vis er det ie oe vestre subtre og hvis er det ie oe høyre subtre. Dermed får vi flg. reursjossligig for : () vis vi slår samme lie ledd i () og bruer summeteg, får vi

4 Kapittel 5. Biære søetrær (5) ( ( ) Vi får et uttry for ( ) hvis vi erstatter med i (5). Tar vi så differese mellom og ( ), får vi (6) ) ( ) og dermed ( (7) ( ) Vi a teste formele for for =, og side vi allerede vet svaree for dem. Vi tar som utgagsput at = 0. ( ), ( ) 7 ( ) Vi ser at dette stemmer for =, og. Uttryet i (7) er e. ordes reursjosligig (eller differesligig), me er ie av e direte jet type. Vi må derfor løse de srittvis. Vi fier e formel for ved å erstatte med i (7). Da vil bli uttryt ved. etter vi så dette uttryet for i i (7) og order opp i leddee, får vi: (8) ( ) Vi gjetar dette, dvs. vi fier et uttry for ved å erstatte med i (7) og sette det i i (8). Det gir oss dette: (9) 6 ( )( ) ( ) er ser vi et møster. Fortsetter vi vil det ede opp med og på høyre side. Me side = 0 og =, får vi gitt som e ree. etter vi opp leddee i ree motsatt vei, blir det: ( ) (0) ( ) ( ) ( )

5 Kapittel 5. Biære søetrær Ree av ( ) () ( ) er jet (se.9 Formelsamlig) og har sum. umme blir. Dermed fører (0) til det overrasede ele uttryet Vi a sette i =,, og og sammelige med fasite. ( ) 0, ( / ), ( / 6) 7 / og ( 5/) / 6. Til slutt a vi sette opp det vi egetlig var ute etter, dvs. de gjeomsittlige aboavstade A : () A ( ) Vi ser at A år. For esempel blir A5, 67og A 00, 9. 0 / =,5 /6 =,8 7/ =, 7/6 =.66 5/ =,08 /6 =,8 /8 =,77 5 7/60 =,8 6/0 = 5, 6/0 =,58 6 7/60 =,5 /0 = 7, /50 =,.... 0,99,,57 5,8,6, ,87 89,65, ,85 985,09,987 A 5