Bjørn Davidsen MATEMATIKK FOR INGENIØRER. Rekker

Transkript

1 Bjør Davidse MATEMATIKK FOR INGENIØRER Reer

2 Reer Side Ihold FORORD REKKER 4 NOEN INNEDENDE DEFINISJONER 4 KONVERGENS AV REKKER 6 ARITMETISKE OG GEOMETRISKE REKKER 9 Aritmetise tallfølger og reer 9 Geometrise tallfølger og reer 4 NOEN KONVERGENSTESTER 4 Geerelle merader 4 Itegralteste 4 4 Sammeliigsteste og gresesammeliigsteste 7 44 Altererede reer 45 Forholdsteste 4 46 Rotteste 6 POTENSREKKER 8 INNEDNING 8 DEFINISJONER KONVERGENS AV POTENSREKKER 4 REGNING MED POTENSREKKER 4 5 TAYOR-REKKER 9 5 Utledig av Taylor-reer 9 5 Oppsummerig 46 6 ANVENDESER AV POTENSREKKER 47 6 Numeris beregig av bestemt itegral 47 6 Forelig av ompliserte uttry 48 6 Bestemmelse av greseverdier øsig av differesialliiger 49 FOURIER-REKKER 5 INTRODUKSJON TI FOURIER-REKKER 5 PERIODISKE FUNKSJONER 5 BEREGNING AV FOURIER-REKKER 5 Formlee for Fourier-oeffisietee 5 Et større esempel 59 4 FOURIER-REKKER FOR JAMNE OG ODDE FUNKSJONER 6 4 Beregig av Fourier-oeffisieter for jame og odde fusjoer 6 4 Halvperiodise utvidelser 64 5 UTEDNING AV FORMENE FOR FOURIER-KOEFFISIENTENE 67 6 ØSING AV DIFFERENSIAIKNINGER 69 7 MER OM FOURIER-REKKER 7 7 Freves, amplitude og fase 7 7 Fourier-reer på omples form 75 7 Fourier-trasforme 78

3 Reer Side 4 BANDEDE OPPGAVER 8 4 OPPGAVER 8 4 ØSNING PÅ BANDEDE OPPGAVER 9 5 TIEGG 8 5 TABE OVER UBESTEMTE INTEGRA 8 5 ZENONS PARADOKS 9 5 ITT FINANSMATEMATIKK 4 54 UTEDNING AV FORMENE FOR FOURIER-KOEFFISIENTENE 4 55 FOURIER-KOEFFISIENTENE FOR JAMNE OG ODDE FUNKSJONER FORSKYVNING TI JAMNE EER ODDE FUNKSJONER 47 6 SMÅOPPGAVER I TEKSTEN 5 6 OPPGAVER 5 6 ØSNINGER PÅ SMÅOPPGAVER 55

4 Reer Side Forord Kjære studet! I dette heftet sal vi ta opp temaer som ved første øyeast a vire oså merelige Vi sal srive valige fusjoer som e uedelig sum av ete potesuttry eller sius- og cosiusledd De potesreee som framommer på dee måte aller vi Taylor-reer, og de trigoometrise reee som framommer aller vi Fourier-reer Begge disse reetypee viser seg å ha overrasede mage yttige avedelser Vi sal også se på oe av disse Det er e fordel om du allerede har vært gjeom det første apitlet i heftet om Tallfølger, side vi sal brue oe resultater derfra Du bør også beherse itegrasjo, ettersom vi sal utføre mage itegrasjoer år vi ommer til Fourier-reer Her som ellers i matematie må du legge vet på å arbeide øyatig og oversitlig Flere steder vil du råe bort i lage utregiger der uttry må foreles og trees samme Da er det fort gjort å gjøre små regefeil som ødelegger alt De vitigste lærdomme du bør sitte igje med etter å ha gått gjeom apitlee om Taylorreer og Fourer-reer, er at du vet at det esisterer slie reer Du bør ue jee igje situasjoer der det er gustig å hete dem fram, og du bør ue sette dem opp år du får bru for dem Me du treger ie å pugge stygge formler, for disse formlee a du hete fram etter behov Med hilse Bjør Davidse

5 Reer Reer Side 4 Noe iledede defiisjoer I et eget hefte har vi sett på egesaper ved tallfølger Nå sal vi summere leddee i e tallfølge Da får vi ei ree Slie reer sriver vi gjere ved hjelp av summeteg Dersom vi summerer et edelig atall ledd, sriver vi a = a + a+ + a = Mer at side første ledd er a, vil dee rea få + ledd Dersom vi summerer uedelig mage ledd, sriver vi a = a + a+ a + = I summee ovefor brute vi som summasjosides Vi bruer ofte adre bostaver, som i, j, m,, p osv Esempel : Sriv disse reee ledd for ledd: 4 a) = 4 p+ ( ) b) p= p + ( ) c) + = øsig: 4 a) = = 4 4 p+ 4 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) = = + + p= p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) = = = egg mere til de siste rea i esemplet ovefor Når vi har srevet ut såpass mage ledd i ei uedelig ree at det er opplagt hvorda systemet er, sriver vi ofte bare prier for å marere at rea ieholder uedelig mage ledd Noe gager sriver vi også formele for ledd r, sli at rea i esempel c) ovefor blir ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = Oppgave egg spesielt mere til defiisjoe av -faultet edefor:

6 Reer Side 5 Produtet -faultet srives!, og defieres sli: def! = år,! = Vi a også beytte e reursiv defiisjo:! =,! = (! ) der Det er lett å gjøre feil år vi beytter srivemåte!, oe esemplee edefor viser: Esempel : Forort brøee edefor: a) ( +! )! b) ( )!! øsig: a) Av defiisjoe får vi at! =, mes ( + )! = ( + ) ( + ) =! ( + ) ( + ) Dermed blir ( +! )! ( + ) ( + ) = = ( + ) ( + )!! b) Srivemåte ( )! betyr at vi sal multiplisere samme alle heltallee fra og med til og med, sli at ( )! = ( + ) Da blir ( )! ( + ) ( )! ( + ) ( ) = =!!! ( + ) ( ) = = ( + ) ( + ) ( ) Nå er vi lar til å se på et par esempler på reer: Esempel : Sriv de 4 første leddee i disse reee: a) =!! b) ( )! = øsig:

7 a) Reer Side = = = =!!!!!!!!!! b) = = ( )!! ( )! ( )! ( )! = = Oppgave I esemplee ovefor to vi utgagsput i ei ree srevet med summeteg, og srev ut de første leddee i rea a oss se på det motsatte problemet: Vi har srevet ut så mage ledd i ei uedelig ree at vi ser systemet, og sal srive rea ved hjelp av summeteg Dette problemet har fatis ie oe etydig løsig, oe esemplee edefor illustrerer: Esempel 4: Sriv de uedelige reee edefor med summeteg, gjere på forsjellige måter: 4 a) b) øsig: a) Vi ser at tellere er de aturlige tallee fra og oppover, mes evere er vadratee av aturlige tall fra og oppover Dette a vi uttrye for esempel på de tre måtee som er vist edefor: p +,, = + = p= p + b) Her sifter teller mellom + og, oe vi a få til med fatore ( ) der Vi a forreste også få det til med fatore cos( ) der Dersom vi er påpasselige med at første ledd får rett forteg, a vi uttrye rea for esempel på de fire måtee som er vist edefor: + ( ), + = ( ), + = ( ) p, p p= p= ( p ) cos p Oppgave Koverges av reer a oss starte med et lite esempel: E dag stiller du deg meter fra e vegg, og går mot vegge Først går du halve avstade til vegge, dvs meter Så går du halvparte av

8 Reer Side 7 gjeværede avstad, dvs 5 meter Sli fortsetter du med å gå halvparte av gjeværede avstad i mot vegge Det er da ilysede at: De samlede streige du går er m + 5 m + 5m + 5m + Dersom vi ser bort fra beevige meter, a dee rea srives sli: = = Du vil aldri omme helt fram til vegge, side det alltid er et lite stye igje Det vil si at du tilbaelegger e streig som er midre e meter Me du a omme så ær vegge du vil ved å gå tilstreelig mage sritt Esemplet over illustrerer at selv om vi legger samme uedelig mage positive ledd, a summe gå mot et fast tall (i vårt tilfelle mot ) Vi sier at rea ovefor overgerer mot Dermed har vi bagrue for e aturlig defiisjo: Rea a overgerer mot S = def lim a = = S Dersom rea ie overgerer, sier vi at de divergerer Mer forsjelle mellom overges av tallfølger og overges av reer E tallfølge overgerer dersom ledd r går mot e fast verdi, mes ei ree overgerer dersom summe av leddee går mot e fast verdi De veljete historie om Ailles og silpadda (Zeos parados) er egetlig e mer omplisert variat av vårt iledede esempel Dersom du vil gjeomføre esperimetet i prasis, må du jo avslutte før eller side Dersom du avslutter etter sritt, har du gått e streig S = ( ) = = Dee summe alles for de te partialsumme av rea Geerelt defierer vi: Gitt ei uedelig ree a =

9 Reer Side 8 De te partialsumme av dee rea er S = a = Vi er som regel mest iteressert i uedelige reer Dersom vi bare sier ree, er det este alltid uedelig ree vi meer dersom det ie framgår av sammehege at rea har et edelig atall ledd Når vi jobber med slie uedelige reer, vil vi alltid være iteressert i å fastlegge overgesegesapee Da har vi ofte bru for setige edefor: a S = a være de te partialsumme til rea = Rea a overgerer mot S = def S overgerer mot S a = Esempel : Udersø overgese til rea = = øsig: Ved hjelp av delbrøoppspaltig får vi at = ( + ) + Da a rea srives som = = De te partialsumme blir S = = = = ( + ) Vi ser at S = lim S = lim = lim = = + + sli at rea overgerer mot Oppgave I det iledede esemplet og i Esempel ovefor ble leddee i de uedelige rea stadig midre, og overgerte mot ull Dee egesape er et absolutt rav for at rea sal ue overgere Vi har altså at:

10 Reer Side 9 Rea Tallfølge { } a overgerer = a overgerer mot Mer at impliasjospila bare går e vei Vi sal etter hvert se esempler der tallfølge { a } overgerer mot ull, mes de tilhørede rea a divergerer = Selv om impliasjoe ovefor egetlig er ilysede, a vi spadere på oss et formelt bevis Fra defiisjoe av partialsum får vi at S = S + a Så lar vi Side rea overgerer, er lim S = lim S = S Da blir lim S = lim S + a = lim S + lim a S = S + lim a lim a = Og det er jo ettopp defiisjoe på at tallfølge overgerer mot Det a være yttig å sette opp setige over på dee forme: Tallfølge { a } overgerer ie mot Rea a divergerer = I esemplee ovefor har vi lart å fie ut hva reee overgerte mot Me i de fleste tilfellee må vi begrese oss til å avgjøre om ei gitt ree overgerer eller divergerer, ute å fie hva rea evetuelt overgerer mot Vi har da e ree overgestester til disposisjo Vi sal etter hvert se på oe av disse Me før du går løs på disse testee, sal vi ta e titt på et par vitige reer som vi ofte støter på: aritmetise reer og geometrise reer Spesielt de geometrise reee er vitige, både i pratise avedelser og i teoretise aalyser Aritmetise og geometrise reer Aritmetise tallfølger og reer Aritmetise tallfølger arateriseres ved at differese mellom to etterfølgede ledd i tallfølge er ostat Dette formuleres reursivt sli:

11 Reer Side E tallfølge { a } er e aritmetis tallfølge def a a d = + + Størrelse d alles tallfølges differes Hvis vi aller første ledd i tallfølge for a, a vi sette opp: a = a + d a = a + d = a + d + d = a + d a = a + d = a + d + d = a + d Sli a vi fortsette, og får geerelt a = a + d Vi ser at hvis d vil de aritmetise tallfølge divergere fordi leddee aldri a gå mot oe fast verdi Hvis m og er to hele tall, blir a a = a + d a + m d = m d m Setter vi m =, får vi de sammehege som valigvis fies i formelsamliger: a a = d a = a + d Vi får e aritmetis ree år vi summerer ledd i e aritmetis tallfølge Side aritmetise tallfølger divergerer, vil også de aritmetise reee divergere Vi sal å fie e formel for de te partialsumme S, og lar første ledd være a S = a+ a + a + + a = a+ ( a+ d) + ( a+ d) + + ( a+ ( ) d) Me vi a også starte summerige bafra i rea: S = a + a + a + + a = a + ( a d) + ( a d) + + ( a ( ) d) Vi summerer å disse to uttryee for S Da får vi: S = a + a + d + a + d + + a + d ( ( ) ( ) ( )) ( a ( a d) ( a d) ( a ( ) d) ) ( a a ) ( a a ) ( a a ) ( a a ) ( a a ) S ( a a ) = = + = + Esempel : I e aritmetis tallfølge er sjuede ledd li mes femtede ledd er li Fi ledd r 5 øsig: Vi fier først d ved å beytte at a am 5 a am = ( md ) d= = = = m 5 7 8

12 Reer Side Da blir a a = 5 5 d a = a + d = + = Esempel : I e aritmetis ree vet du at summe av de 8 første leddee er li, mes summe av de første leddee er li 48 Hva er summe av de første leddee i dee rea? øsig: Det lureste er asje å sette i uttryet for a i formele for S Da får vi: 8 S8 = ( a+ a8) = 4( a + ( a+ ( 8 ) d) ) = 8a+ 8d 5 = a+ 7d mes S = ( a + a ) = 6( a + ( a + ( ) d) ) 48 = a + 66d 8 = a + d Dette er to liiger med a og d som ujete Treer liigee fra hveradre, og får = 4d d = 4 Da blir a = ( 5 7d ) = ( 5 7 4) = 8 Nå blir a = a + d = + 9 = sli at S = a + a = + = Oppgave Geometrise tallfølger og reer Geometrise tallfølger arateriseres ved at forholdet mellom to etterfølgede ledd i tallfølge er ostat Dette formuleres reursivt sli: E tallfølge { a } er e geometris tallfølge a a + def = a = a + Størrelse alles tallfølges votiet Hvis vi aller første ledd i tallfølge for a, a vi sette opp: a = a a = a = a = a = = = a a a a

13 Sli a vi fortsette, og får geerelt a = a Reer Side Vi ser at hvis < < vil de geometrise tallfølge overgere mot Hvis m og er to hele tall, blir a a m m = = a m = am am a Setter vi m =, får vi de sammehege som valigvis fies i formelsamliger: a = a Vi får e geometris ree år vi summerer ledd i e geometris tallfølge Vi sal å fie e formel for de te partialsumme S : S = a+ a + a + + a = a+ a+ a+ + a Vi multipliserer dette uttryet med : S = a+ a+ a+ + a Vi treer å disse to uttryee fra hveradre Da står vi u igje med S S = ( a+ a+ a+ + a) ( a+ a+ a+ + a) = a a = a( ) Da blir ( ) S = ( ) a S = a Vi ser at dersom < <, blir lim = Da vil de geometrise rea overgerer mot S a a = = Disse resultatee er såpass vitige at vi rammer dem i: Summe av de første leddee i ei geometris ree er S = a+ a+ a+ + a = a Når vil rea overgere dersom < < Da er summe i a S = a+ a+ a+ = a = i= Esempel : I ei geometris ree er tredje ledd li 4 mes femte ledd er li rea overgerer, og fi summe som de uedelige rea overgerer mot Vis at øsig: Vi har at 5 4 a = a = 4 = = =± Vi ser at < < sli at rea overgerer for begge verdiee av

14 Fier a ved å beytte at a 4 a = a a = = = 54 Vi får å to løsiger: Dersom = +, blir a 54 S = 6 = = Dersom =, blir a 54 6 S = = = 5 Reer Side ( ± ) Esempel 4: Ei geometris ree er gitt ved at første ledd er a = a) Sriv ut de første leddee i rea b) Sett opp e formel for det te leddet i rea c) For hvile verdier av overgerer rea? d) Fi summe av rea år de overgerer øsig: a) De første leddee i rea blir 4,,4, 8, b) = = ( ) = ( ) a a (som a omformes til mage adre former) c) Rea overgerer år < < < < > > < < d) Når rea overgerer, er summe a S = = = + = og votiete er Geometrise reer duer opp i mage sammeheger De daer for esempel grulaget for beregig av auitetslå Oppgave 4 Noe overgestester 4 Geerelle merader Det er gase valig at vi må øye oss med å avgjøre om ei ree overgerer, ute å fie hva rea evetuelt overgerer mot Vi har da til disposisjo e ree overgestester Vi sal å se på de vitigste av disse

15 Reer Side 4 Før du i det hele tatt beytter e overgestest, bør du forvisse deg om at lim a = Dersom dee greseverdie ie er li ull, eller greseverdie ie esisterer, a du være sier på at rea divergerer Når du å sal lære deg disse overgestestee, må du mere deg hvile rav som må være oppfylt for at teste sal ue avedes Me vær lar over at det spiller ige rolle om ravee ie er oppfylt for de første leddee av rea Vi a da sille ut disse første leddee i e ege edelig ree, som alltid har e edelig sum Deretter går vi løs på de resterede leddee som oppfyller ravee, som da vil utgjøre e uedelig ree Vi sier gjere at vi u er iteressert i hale til rea Dette iebærer at formuleriger av type for alle hele tall a oppfattes som det esisterer et edelig tall N sli at ravee er oppfylt for alle hele tall N 4 Itegralteste Dette er e overgestest som gjelder i dette spesielle tilfellet: Bevis: a f ( ) a { a } være e mootot avtaede tallfølge som overgerer mot ull, der alle leddee er positive a f ( ) være e fusjo som er otiuerlig og avtaede for, og som er sli at f = a Da gjelder: f d overgerer f d divergerer a overgerer = a divergerer = Vi sal først brue figure til vestre til å vise at: a overgerer f ( ) d overgerer = Figure framstiller grafe til e fusjo f som er a positiv, otiuerlig og avtaede år, og som er sli at f = a Du ser siert at arealet av søyle legst til a vestre er a = a, og geerelt at arealet av søyle r er a = a Dessute ser du at samlet areal av alle søylee er større e arealet uder grafe, sli at = a + a + a + f d a f d Side rea a etter forutsetigee sal overgere, må itegralet esistere =

16 Reer Side 5 a a f ( ) Så bruer vi figure til vestre til å vise at: f d a + a + a Så legger vi til a på begge sider av ulihete: f d overgerer a overgerer = Av figure ser du at arealet av søyle legst til vestre er a = a, og geerelt at arealet av søyle r er a+ = a+ Dessute ser du at arealet uder grafe er større e summe av arealee av alle søylee, sli at 4 f d + a a + a + a + a + f d + a a 4 Me etter forutsetigee sal f ( ) d overgere Da må også f ( ) d + a Side a ligger mellom dee verdie og, må = = esistere a esistere sli at rea overgerer = Siste del av setige a bevises på tilsvarede måte Me det er elere å ta egasjoee av de to bevisee vi allerede har gjeomført Hvis vi tar egasjoe av impliasjoe a overgerer f ( ) d overgerer = får vi a divergerer f ( ) d divergerer = Og tar vi egasjoe av impliasjoe f ( ) d overgerer a overgerer = får vi f ( ) d divergerer a divergerer = Til samme har vi å bevist hele setige Vi sal å brue dee teste til å udersøe overgese til to spesielle reer Resultatee er vitige, og vil bli mye brut seere Esempel 4: De harmoise rea er gitt ved = = 4 Udersø om dee rea overgerer øsig: Vi merer oss først at leddee i rea bli stadig midre og overgerer mot For å ue brue itegralteste, daer vi fusjoe

17 Reer Side 6 f ( ) = som er otiuerlig og avtaede år Videre er f ( ) d = [ l ] d = = lim l l = lim l Me dee grese esisterer ie Altså divergerer d Da divergerer også rea = = Esempel 4: Udersø om rea = = 4 overgerer øsig: Vi merer oss først at leddee i rea blir stadig midre og overgerer mot For å ue brue itegralteste, daer vi fusjoe f ( ) = som er otiuerlig og avtaede år Videre er f ( ) d = d = lim = = + = Altså overgerer d Da må også = = 4 overgere (me vi vet ie hva rea overgerer mot) Begge disse esemplee er spesialtilfeller av setige edefor, som du a bevise selv: Rea alles p-rea p = Dee rea overgerer dersom p >, og divergerer dersom p Oppgave 4, Oppgave 4

18 Reer Side 7 4 Sammeliigsteste og gresesammeliigsteste Det er ofte mulig å udersøe om ei ree overgerer ved å sammelie rea med ei ree som du jeer overgesegesapee til Da beytter du dee setige, som alles sammeliigsteste: a { a } og { } Da gjelder: b være to tallfølger, der a b for alle a overgerer = b divergerer = b overgerer = a divergerer = Setige er egetlig ituitivt ilysede De første impliasjoe sier jo at dersom rea med de største leddee overgerer, må også rea med de miste leddee overgere Og de siste impliasjoe sier at dersom rea med de miste leddee divergerer, må også rea med de største leddee divergere Vi spaderer lievel på oss et formelt bevis av de første setige De adre setige er bare egasjoe av de første Beviset baserer seg på e setig om tallfølger: For e mooto tallfølge gjelder at: Tallfølge er Tallfølge er begreset a S være de te partialsumme til Side b, dvs at = S = b = b er tallfølge { S } mootot vosede Me { } S = b a a = = = S er også begreset fordi De første ulihete følger av at b a for alle, og de siste ulihete følger av at tallfølge a er vosede fordi a Me side rea a overgerer, må S være = = begreset Og setige over sier at e tallfølge som er mootot vosede og begreset må overgere Altså overgerer rea b = Når vi bruer dee teste, sammelier vi ofte med ei passede p-ree Dersom både teller og ever er polyomer, lar vi p være li forsjelle i grad mellom ever- og tellerpolyomee Esemplee edefor viser teie:

19 Esempel 4: Udersø om rea = overgerer eller divergerer Reer Side 8 øsig: Vi ser at evere er et førstegradspolyom i, mes tellere er ostat Det er derfor ærliggede å sammelie med ei p-ree av samme type, dvs p-rea = Dee rea divergerer, og det er derfor ærliggede å gjette på at også rea = divergerer Vi må da påvise at leddee i rea er større e tilsvarede ledd i rea = Me dersom vi sriver ut oe ledd i hver av reee, ser vi at det ie er tilfelle: = = = 5 7 = = 4 Me dersom vi multipliserer rea med, vil dee rea fremdeles divergere Da blir = = = = = eddee i dee rea ser ut til å være midre e de tilsvarede leddee i rea = Me vi må vise at det gjelder geerelt Det gjøres sli: ( ) = = > år sli at > for alle Da må divergere fordi divergerer = = Esempel 44: Udersø om rea = ( + ) overgerer eller divergerer øsig: Vi ser at evere er et adregradspolyom i mes tellere er e ostat Da er det ærliggede å sammelie med rea =

20 Reer Side 9 som vi vet overgerer Vi sriver ut oe av de første leddee i hver av reee, og får = = + = = Vi ser at de tre første leddee i rea er midre e de tilsvarede leddee i ( ) = + rea Me vi må vise at det gjelder geerelt: sli at Da må = ( + ) = = = = < < ( + ) ( ) = + for alle overgere fordi overgerer = år Esemplee over viser at det a være pludrete både å fie rett ree å sammelie med, og å vise at leddee i de ee rea er større e leddee i de adre rea Vi sal derfor utvile sammeliigsteste til e ae form som ofte a være gustigere i bru, og som også er mer geerell e sammeliigsteste Dee ye forme alles gresesammeliigsteste: a a og = b være to reer som begge har bare positive ledd = Dersom a = lim b esisterer og er forsjellig fra, så vil ete begge reee overgere, eller begge reee vil divergere Bevis: Dersom betigelsee i setige er oppfylt, vil det alltid være mulig å fie to positive tall m og M sli at år er stor o er a < m< < M < m b < a < M b b Ata først at a overgerer Side m b a = <, får vi at m b < a m b < a b < a = = = = = m =

21 Me side Ata så at a overgerer, må også = a divergerer Side a M b = Reer Side b overgere = <, får vi at a < M b a < M b b > a = = = = = M = Me side a divergerer, må også = b divergere = Reste av setige følger ved å ivertere disse to impliasjoee I Esempel 4 og 44 så vi at det a være pludrete å brue sammeliigsteste Vi sal å se på de samme reee på ytt, me å med gresesammeliigsteste Esempel 45: Udersø overgese til de to reee: a) = b) = + øsig: a) Side tellere er ostat mes evere er et førstegradspolyom i, er det aturlig å sammelie med som vi vet divergerer: = ( ) = lim = lim = lim = ( ) Greseverdie esisterer og er forsjellig fra ull Altså må divergere fordi divergerer = = b) Side tellere er ostat mes evere er et adregradspolyom i, er det aturlig å sammelie med som vi vet overgerer: = ( + ) ( + ) lim = lim = lim = ( + ) + + Greseverdie esisterer og er forsjellig fra ull Altså må overgere fordi overgerer = + = Oppgave 4

22 Reer Side 44 Altererede reer Vi ommer ofte bort i reer der aethvert ledd er positivt og aethvert ledd er egativt Slie reer alles altererede, og defieres formelt sli: Ei ree der leddee er veselvis positive og egative, alles altererede Slie reer a srives på forme ( ) a eller ( ) = + a der = a > for alle, avhegig av om første ledd er egativt eller positivt Mer at defiisjoe er sli at a alltid er positiv Det altererede forteget ligger i fatore ( ) eller + Esempel 46: Rea + ( ) = + + = 4 alles de altererede harmoise rea Vi har e gase eel overgestest for altererede reer: Dersom leddee i ei altererede ree er sli at a a + og lim a =, så vil rea overgere Beviset er gase morsomt Vi sal først ata at første ledd er positivt, og sal se på partialsumme av et jamt atall ledd: + S = ( ) a = a a + a a4 + a5 a6 + + a + a = der er et jamt tall Dee summe a vi splitte opp med pareteser på to måter: S= ( a a) + ( a a4) + ( a5 a6) + + ( a a) = a ( a a) ( a4 a5) ( a a ) a Me side a a, er alle differasee ii paretesee positive Da viser () at S er ledd i e mootot vosede tallfølge Me () viser at dee tallfølge er opptil begreset Altså er { S } e overget tallfølge, og rea + a overgerer Dersom er et oddetall, a vi føre et tilsvarede resoemet der vi viser at S er ledd i e tallfølge som er mootot avtaede og edtil begreset Også da må rea ( ) overgere = = + a

23 Reer Side Esempel 47: Vis at de altererede harmoise rea overgerer øsig: De altererede harmoise rea er + ( ) = + +, = 4 dvs at a = Vi må å vise at ravee for overges er oppfylt Vi ser direte at lim a = lim = Videre er ( + ) a+ a = = = < for alle + ( + ) ( + ) sli at a < a for alle + Og da er begge ravee for overges oppfylt Oppgave 44 I pratis arbeid a det være vaselig å fie summe av ei overget ree, dvs fie hva de uedelige rea overgerer mot Vi a da være fristet til å summere bare de første leddee, og håpe at feile vi gjør ie er for stor For altererede reer har vi e eel test på hvor stor feile da blir: a S være summe av e overget altererede ree a S være de te partialsumme til rea Da er S S < a + itt elere (og midre presist) formulert: Feile vi gjør ved å utte rea etter ledd, er midre e absoluttverdie av det første leddet vi utter Setige a bevises med et tilsvarede resoemet som beviset for overges Esempel 48: Fi et tilærmet uttry for summe av rea ( ) = med usierhet på midre e

24 Reer Side øsig: Vi ser at dette er e altererede ree som tilfredsstiller ravee for overges At usierhete sal være midre e, betyr at første ledd som uttes ut må være sli at Vi summerer derfor de 9 første leddee, og får 9 ( ) ( ) = = = Oppgave 45 I mer videregåede studier av reer har vi bru for begrepee absolutt overges og betiget overges Disse begrepee defieres sli: Ei ree Ei ree a overgerer absolutt dersom = a overgerer betiget dersom = a overgerer = a overgerer, mes = a divergerer = Vi a blat aet vise at: Dersom ei ree overgerer absolutt, vil de også overgere Esempel 49: Udersø om reee ( ) + a) (de altererede harmoise rea) = + b) = overgerer betiget eller absolutt øsig: Vi vet at begge reee overgerer Vi må å udersøe om de reee som framommer år vi summerer absoluttverdiee av leddee, også overgerer: a) a =, som er de harmoise rea Vi vet at de divergerer = = + Altså vil overgere betiget =

25 b) a = = = Reer Side 4 som vi vet overgerer fordi det er e p-ree med Da må ( ) + overgere absolutt = p = Absolutt overgete reer har oe gustige egesaper som betiget overgete reer ie har Vi a bla stoe om reefølge på leddee i e absolutt overget ree ute at summe av rea edres Me dersom vi stoer om leddee i e betiget overget ree, a vi risiere at summe edres Som esempel a vi få summe av leddee i de altererede harmoise rea til å bli hva som helst ved å summere i e bestemt reefølge Vi a for esempel få summe til å overgere mot ved at vi først summerer bare positive ledd itil summe er blitt større e Dette a vi lare fordi divergerer Deretter legger vi til egative ledd til = summe er uder Så legger vi til positive ledd til summe er over, og sli fortsetter vi På de måte vil summe overgere mot Eller vi a få summe til å gå mot et hvilet som helst aet tall ved å beytte e tilsvarede prosedyre rudt dette tallet Morale er at vi må være svært forsitig med å maipulere med reefølge av ledd i e betiget overget ree Me dersom rea overgerer absolutt, treger vi ie å være lie forsitige Det sal vi dra ytte av etter hvert 45 Forholdsteste Når du bruer sammeliigs- eller gresesammeliigsteste, sammelier du ledd i e ree med ledd i e ae ree Forholdsteste som vi å sal se på, sammelier to ledd som følger etter hveradre i samme ree Vi treger altså ie å beytte usaper om adre reer a a være ei ree der alle leddee er forsjellig fra ull = Bereg forholdet lim a + = a Dersom <, overgerer rea absolutt Dersom > eller ie esisterer, divergerer rea Dersom =, gir ie dee teste oe avgjørelse

26 Bevis: r a a Reer Side i a + Ata først at < = lim < a Dette betyr at år er stor o, må det fies et tall r der < r <, og som er a + sli at r a Se figure til vestre Vi sal å begye summerige år betigelse over er oppfylt Summe av et edelig atall ledd for lavere verdier av vil alltid være et edelig tall Når betigelse er oppfylt, har vi at a+ r a Me vi vet at for ei geometris ree er a+ = r a Slie geometrise reer overgerer år r < Av sammeliigsteste får vi at reer der a+ r a også må overgere år r < Dermed har vi vist første del av setige Dersom >, må det esistere e N sli at a + > a+ > a år N a Da er tallfølge { a } vosede Og e vosede følge av positive ledd a umulig overgere mot ull Altså divergerer a = egg mere til at setige ie gir oe avgjørelse dersom = Da må vi brue adre riterier Forholdsteste er således oså "grovmaset", me er svært yttig år det a brues Esempel 4: Udersø overgese for reee a) b) =! = øsig: a) + + a lim = lim = lim = lim = a + Da overgerer rea absolutt b) ( + )! ( +! )! ( + ) + = = = = a lim lim lim lim lim a +!!! Me dee greseverdie esisterer ie Da divergerer rea

27 Reer Side 6 Oppgave Rotteste Vi avslutter med e overgestest som er besletet med forholdsteste: Vi har gitt rea = = lim a a Bereg Dersom <, overgerer rea absolutt Dersom > eller ie esisterer, divergerer rea Dersom =, gir ie dee teste oe avgjørelse Beviset følger samme taegag som beviset for forholdsteste Dersom <, må det esistere et tall r der < r < som er sli at r a år er over e viss grese Da er også a r Me dersom a = r får vi ledd i e geometris tallfølge Vi vet at de tilhørede geometrise rea overgerer år r < Ved å brue sammeliigsteste ser vi at også rea a der = lim a < må overgere = Dersom >, må også a > år er stor o Da a rea umulig overgere Mer at heller ie her a teste gi oe avgjørelse dersom = Når vi bruer rotteste, råer vi oe gager bort i uttry av type lim Vi sal å vise at dee greseverdie går mot Det gjør vi sli: y = = l y = l = l Ved å brue 'Hôpitals regel, får vi at l lim = lim = = Da må også l y = l år, sli at y = e = år Esempel 4: Bru rotteste til å udersøe overgese til disse reee: a) (samme oppgave som esempel 4a) b) = = e

28 øsig: a = = = = Da blir a) lim = lim = = < sli at rea overgerer absolutt Reer Side 7 a = e = e = e b) Da blir lim e = lim e = e = e < sli at rea overgerer absolutt Oppgave 47

29 Potesreer Reer Side 8 Iledig Potesreer er et av de mest speede feltee av matematie, fullt av overraselser Etter hvert sal vi blat aet vise at 4!! 4!! = e ( )! 4! 6! ( )! = cos ( ) +! 5! 7! ( +! ) = si + + a du mere til at jeg brute idetitetsteget istedefor det valige lihetsteget = i uttryee ovefor? Valigvis bruer vi bare =, me her beyttet jeg for å uderstree at de uedelige rea er idetis med fusjoe for alle verdier av, på samme måte som ( + ) er idetis med behov + +, dvs at de to uttryee a beyttes om hveradre etter Syes du det virer merelig at e fusjo som f ( ) = e a erstattes av et polyom i, selv om dette polyomet får uedelig mage ledd? Se på figuree edefor: y y Ty stre: e - Ty stre:! = Ty stre: e - Ty stre: 5! = Til vestre er grafe til f ( ) = e teget samme med summe av de fire første leddee i rea for e Du ser at grafee er temmelig lie år ligger mellom og Til høyre er grafe til f ( ) = e teget samme med summe av de sju første leddee i rea for e Da faller grafee samme helt til de begyer å sprie ær = Det virer asje ie så urimelig at fusjoee blir lie år vi tar med uedelig mage ledd i rea Me hva er hesite med å erstatte greie fusjoer som e, cos eller si med uedelige reer? Et foreløpig svar a være at slie reer viser seg å være gustig i de utroligste situasjoee Esemplee edefor viser to slie situasjoer

30 Reer Side 9 Esempel : Fi e tilærmet verdi for det bestemte itegralet cos d øsig: Det er ie mulig å løse det tilhørede ubestemte itegralet Vi må derfor øye oss med tilærmigsverdi for det bestemte itegralet Simpsos metode a selvsagt brues, me vi har e mye bedre metode til disposisjo Vi bruer rea for cos, og får: cos ( + +! 4! 6! 8! ) = ! 4! 6! 8! 4 6 = = + +! 4! 6! 8! Da blir cos 4 6 ( d =! 4! + 6! 8! + ) d 5 7! 4! 6! 5 8! 7 = + + = Du iser sier at tallrea i svaret ovefor er e altererede ree der absoluttverdie av leddee overgerer mot ull Da vet vi at feile vi gjør ved å utte rea, er midre e absoluttverdie av det første leddet vi utelater Det vil si at dersom vi tar med bare de tre første leddee i rea, får vi at cos d med e øyatighet som er bedre e Oppgave Når du jobber med omplese tall, har du ofte bru for idetitete i e cos + i si Hittil har vi bare sagt at sli er det Nå er det på tide å vise at idetitete virelig stemmer Esempel : Vis at idetitete i e cos + i si stemmer e, bruer lihetsteg istedefor, og får !! 4! 5! 6! 7! øsig: Vi erstatter med i i rea for i e = + i + i + i + i + i + i + i + = + i i + + i i !! 4! 5! 6! 7! ( ) i(! 4! 6!! 5! 7! ) = = cos + i si Mer at omstoige av leddee stregt tatt forutsetter at rea overgerer absolutt

31 Reer Side Ved ærmere ettertae har du fatis vært borti situasjoer der e fusjo av er li e uedelig ree tidligere Du har jo sett rea = = Dette er ei geometris ree der første ledd er a = og votiete er reer overgerer år <, dvs år < < Da er summe a = = = Du vet at slie S Med adre ord, = = forutsatt at < < = Nå håper jeg at du sitter igje med mage gode spørsmål, for esempel: Hvorda har vi ommet fram til reee for e, cos og si? Hvorda a vi vite at reee for e, cos og si overgerer for alle verdier av, mes rea for bare overgerer for < <? Ka vi fie tilsvarede reer for adre fusjoer? I så fall, hvorda a vi avgjøre overgese av slie reer? Hva a vi brue slie reer til? Noe svar på slie spørsmål fier du i reste av dette apitlet om potesreer Defiisjoer a oss starte helt fra grue av Vi sal studere reer der leddee ieholder e fri variabel Vi sal osetrere oss om potesreer, som er reer som ieholder i stadig høyere potes I si eleste form ser disse reee li ut: Ei ree av forme = c alles ei potesree i Du ser siert at reee for e, cos, si og Me vi får ofte bru for e mer geerell form: er slie potesreer Ei ree av forme = ( ) c a alles ei potesree i ( a)

32 Reer Side Vi sal å se på oe egesaper ved slie reer Deretter sal vi vise hvorda vi a fie reee for e, cos, si og adre fusjoer av, og vi sal se mer på hva slie reer a brues til Koverges av potesreer Potesreee siller seg fra de reee vi har sett på hittil ved at de ieholder e fri variabel Vi må da forvete at overgesegesapee avheger av verdie av dee variabele Etter hvert som du jobber med potesreer, vil du ise at slie reer har de overgesegesapee som er agitt i ramma edefor: Ei potesree c ( a) har e og u e av disse egesapee: = Rea overgerer u for = a Rea overgerer absolutt for alle verdier av Det fis et itervall I = a ρ, a+ ρ som er sli at rea overgerer absolutt år I Det er også mulig at rea overgerer i ett eller begge edeputee av I Størrelse ρ alles reas overgesradius, og I (evetuelt med tillegg av edeputer der rea overgerer) alles reas overgesområde eller overgesitervall Jeg vil stert abefale at du går gjeom beviset edefor, blat aet fordi beviset sisserer opp hvorda vi går fram år vi udersøer overgese for slie reer Vi starter med forholdsteste, og bereger størrelse ( ) ( ) + ( ) a c a c a c = lim = lim = lim = lim a a c c a c Nå huser du siert at rea overgerer absolutt år < Vi må da sille mellom disse tre situasjoee: c Dersom lim + ie esisterer, overgerer rea u år = a sli at = Da er c alle leddee i rea li c + Dersom lim =, er = for alle verdier av Rea overgerer da absolutt for c alle verdier av

33 c Dersom lim + c c + lim a c Reer Side esisterer og er forsjellig fra, overgerer rea absolutt år < Vi ifører å overgesradie ρ ved å sette c lim + = c ρ Da overgerer rea absolutt år a < a < ρ ρ < a< ρ a ρ < < a+ ρ ρ Når vi udersøer overges med forholdsteste, a vi få stygge brude brøer Dersom du ie lier å rege med brude brøer, a du gage med de omvedte brøe istedefor å dele på e brø Jeg har beyttet dee framgagsmåte i mage av esemplee edefor I et par av esemplee ommer du ut for faultetsuttry Hus da at (! )! ( ) at! = Esempel : Udersø overgese til disse reee: a)! = b) ( ) =! c) ( ) = + = +, og øsig: a) Bruer forholdsteste, og bereger størrelse a ( +! + )!! = lim = lim = lim = lim = lim a (! )! + + +! Me år Altså er < for alle verdier av, og rea overgerer + absolutt for alle verdier av b) Bruer forholdsteste, og bereger størrelse! ( ) + a +!! + + = lim = lim = lim = lim + a! Vi ser at år Altså overgerer rea u år = (da er alle leddee li ull) og divergerer for alle adre verdier av c) Bruer forholdsteste, og bereger størrelse

34 + Reer Side ( ) + + ( ) ( + ) ( ) + a + + lim lim lim ( ) = a = = = lim = lim lim = = Rea overgerer år < < < < < < < Til slutt må vi udersøe edeputee: = : Rea blir å ( ) = = som overgerer absolutt = : Rea blir å = = = = = som også overgerer absolutt = = = Altså vil rea overgere absolutt år Oppgave Hovedpoeget ved dette temaet er at e fusjo av a være idetis med e potesree år ligger iefor et overgesitervall Formelt bør vi si at: Potesrea c ( a) overgerer mot = Me i prasis bruer vi ofte de elere formulerige: c ( a) = f ( ) år a ρ, a+ ρ = f år a ρ, a+ ρ Selv om de første formulerige er mest orret, er det ofte yttigere å beytte lihetsteget (egetlig et idetitetsteg) mellom rea og de fusjoe som rea overgerer mot år ligger iefor overgesitervallet

35 Reer Side 4 4 Regig med potesreer Vi a maipulere slie reer på mage måter Vi a for esempel itegrere eller derivere reee sli setigee edefor agir: Ata at rea = ( ) = c a f år tilhører et overgesitervall a ρ, a+ ρ Da a vi: Derivere ledd for ledd, og får at c ( a) = f '( ) = Itegrere ledd for ledd, og får at c + ( a) = f ( t) dt + a = Kovergese gjelder år a ρ, a+ ρ Edeputee av overgesitervallet må udersøes spesielt Det er forholdsvis eelt å brue forholdsteste til å vise at de tre reee c ( a) c ( a) og ( a) =, = c + har samme overgesradius ρ Det er atsillig verre = + å vise at år c ( a) overgerer mot f = heholdsvis f '( ) og a, vil de adre to reee overgerer mot f t dt, og vi sal derfor hoppe over beviset a oss se et par esempler på hva dette a brues til: Esempel 4: Ta utgagsput i at = = år < < = Fi de reee som framommer år du a) deriverer ledd for ledd b) itegrerer ledd for ledd Fi også de fusjoee som de ye reee overgerer mot, og bestem overgesområdee

36 Reer Side 5 øsig: a) Deriverer ledd for ledd, og får at = ( ) ( ) ( ) = = = Må udersøe overgese i edeputee: = : Rea blir + som åpebart divergerer = : Rea blir som åpebart divergerer Altså ser vi at = = år < < = b) Itegrerer ledd for ledd, og får at = dt 4 = = t ( t) ( ) ( ) = l = l + l = l Må udersøe overgese i edeputee: = : Rea blir + + som overgerer (altererede ree) 4 = : Rea blir som divergerer (harmois ree) 4 Altså ser vi at 4 4 = = = l år < Vi har tidligere sagt at de altererede harmoise rea overgerer, me vi har ie sagt hva dee ree overgerer mot Det sal vi gjøre å Esempel 4: Bru resultatet i esempel 4b til å fie et esat uttry for summe av de altererede harmmoise rea ( ) = = øsig: I del b) av esempel 4 har vi bla fuet at = l 4 ( ) år < Side rea også overgerer år =, setter vi dee verdie i i rea, og får + + = l ( ( ) ) + + = l 4 4 De altererede harmoise rea overgerer altså mot l Me vi treger ie å øye oss med å derivere eller itegrere reer Vi a også multiplisere reer med fusjoer av Resultatet fier du i ramma edefor:

37 Reer Side 6 Ata at rea c ( a) overgerer mot f ( ) = år tilhører et overgesitervall a ρ, a+ ρ Da vil c g( ) ( a) overgerer mot g( ) f ( ) = iefor samme overgesitervall Esempel 4: Fi summe av rea edefor, med tilhørede overgesitervall: = = Bru resultatet til å fie summe (med overgesitervall) av rea = + = øsig: Fra Esempel 4a har vi at = = år < < = = ( ) Multipliserer med, og får = = år < < ( ) Så itegrerer jeg ledd for ledd, og får at 4 5 t = dt 4 5 t Itegralet løses med substitusjoe t = u t = u dt = du Tilpasser gresee til de ye itegrasjosvariabele, og får t ( t) u dt = ( du) = + du = + l u u u u u ( ) = + l ( ) l = + l = + l Vi samler trådee så lagt, og ser at = + l 4 5 ( ) Nå gjestår det bare å dele på : l 4 ( ) = 4 5 = + + = Til slutt må vi se på overgesitervallet Vi vet allerede at rea overgerer år < < Me vi må også sjee edeputee Da ser vi at år = ±, vil absoluttverdie av leddee i rea gå mot år Me vi vet at dersom ei ree overgerer, må

38 Reer Side 7 absoluttverdie av leddee gå mot år Rea overgerer derfor ie i edeputee, sli at overgesitervallet blir < < Oppgave 4 E ae yttig operasjo er å erstatte i e potesree med et aet uttry Da får vi e y ree, som har e y sum (egetlig: overgerer mot e y fusjo) Nedefor ser du et par esempler Esempel 44 Sett opp potesreer for a) f ( ) = e f = si b) øsig: a) Vi tar utgagsput i rea for e : 4!! 4!! = e = = Så erstatter vi med, og får 4 e = !! 4! 4 ( )!! 4!! = = + + = b) Vi tar utgagsput i rea for si : 5 7 ( ) +! 5! 7! ( +! ) = si = + + = Så erstatter vi med : ( ) ( ) ( ) ( ) 5 7 si = + +! 5! 7! ( ) + +! 5! 7! ( +! ) = = + + = Oppgave 4 Noe gager løer det seg å være litt mer omstedelig år vi erstatter med et aet uttry, oe este esempel viser Esempel 45: Fi ei potesree for l med tilhørede overgesitervall øsig: Vi går tilbae til Esempel 4b, der vi fat at 4 4 = = = l år < Vi starter med å bytte ut med u samtidig som vi sifter forteg:

39 4 Reer Side 8 4 = l u = u u u u = u år u < Så setter vi u = u = =, og får ( ) ( ) ( ) ( ) 4 l = 4 4 = ( ) = + + = 4 Dette er e potesree i ( ) Fier overgesitervallet: u < < < < Det fis mage flere setiger om potesreer Vi a bla multiplisere potesreer: Ata at rea c ( a) overgerer mot f = overgesitervall a ρ, a+ ρ, og at rea b ( a) overgerer mot = overgesitervall a ρ, a+ ρ Da vil ( ) = ( ) ( ) d a c a b a = = = år tilhører et g år tilhører et overgere mot f ( ) g( ), og overgesradie er ρ Mi ( ρ, ρ ) = Til slutt e setig om etydighet av potesreer: To potesreer c ( a) og b ( a) = = med samme overgesitervall a ρ, a+ ρ overgerer mot samme fusjo f ( ) c = b for alle =,,, Nå gjestår bare hovedproblemet: Hvorda fier vi potesrea til e vilårlig fusjo f? Dette problemet sal vi ta opp i este avsitt

40 5 Taylor-reer Reer Side 9 5 Utledig av Taylor-reer Iledigsvis satte jeg opp tre potesreer som jeg påsto overgerer mot heholdsvis cos og si Nå sal jeg vise hvorda disse reee framommer For å omme på sporet av hvorda vi utleder disse reee, a vi se litt på de første partialsummee i rea for e Du huser siert at i iledige påsto jeg at 4 e = !! 4! a oss brue srivemåte T ( ) for de te partialsume av dee rea, sli at T = +, T ( ) T = = + +,! 4!! Nedefor fier du grafee av disse partialsummee (ty stre) samme grafe for stre): e, e (ty y y y - - T = = + + T! - - = T 4!! Du ser at T ( ) Grafe til = + er taget til grafe til e år = e år = T = + + tagerer også grafe til, og de to grafee ser også! ut til å ha samme rumig ær = Grafe til T ( ) = ligger eda tettere i til grafe til e ær = 4!! Disse egesapee a tyde på at for alle partialsummee der er: ' ' '' '' f = T fordi grafee faller samme år = f = T fordi grafee har samme stigigstall år = f = T fordi grafee ser ut til å ha samme rumig ær = Nå har vi fuet e ede som vi a øste videre på E om vi bygger opp e partialsum ved å reve at partialsumme sal være li fusjosverdie år =, og at alle de deriverte av partialsumme sal være li de tilsvarede deriverte av fusjoe år =? Hvis vi er heldige (og dytige), a vi asje fie et system sli at partialsumme etter hvert får uedelig mage ledd Da går de over til å bli e uedelig ree Og hvis vi er eda heldigere, vil dee rea overgere mot de fusjoe som vi gi ut fra, i alle fall år ligger iefor et overgesitervall

41 Reer Side 4 Me vi treger jo ie å bygge opp partialsumme rudt = Vi a heller bygge opp partialsumme rudt e vilårlig verdi = a E sli partialsum med ledd alles et Taylorpolyom rudt a T a =, og srives Vi øser altså å fie oeffisietee c, c, c osv i ei ree a 4 T ( ) = c + c( a) + c( a) + c( a) + c4( a) + + c( a) (Dee rea har egetlig + ledd, me det bryr vi oss ie om å) Vi deriverer, og får d T a ( ) c c a c a 4 c a c a = d d T a ( ) c c ( a ) 4 c 4( a ) ( ) c ( a = ) d d T a ( ) c 4 ( a ) ( )( ) c ( a = ) d Og sli fortsetter det Så sal ravee våre oppfylles: a T ( a) = f ( a) c = f ( a) d a d d T ( a) = f ( a) c = f ( a) d d d d a d d d T ( a) = f ( a) c = f ( a) c = f ( a) d d d d d a T a = d f a c d d = f a c = f a d d d d Og sli fortsetter det Du iser siert at vi eder opp med de geerelle formele d c = f ( a)! d Nå er vi fatis i mål De rea som framommer, alles Taylor-polyomet av te grad for f() om ( a) Vi summerer opp: Gitt e fusjo f ( ) som er gager deriverbar i et itervall, og et put = a i dette itervallet f rudt = a er Taylor-polyomet av te grad for der a = = ( ) = + ( ) + + ( ) T c a c c a c a c = d f ( a)! d, =,,,,

42 Reer Side 4 Nå er det veldig fristede å la De potesrea som da framommer, alles Taylorrea for f() om ( a) Me det gjestår et stort og vitig problem: Ka vi være sire på at f som vi gi ut fra? Eller e mer dee Taylor-rea overgerer mot de fusjoe forsitig formulerig: fis det et itervall for sli at Taylor-rea overgerer mot f ( )? Svaret på dette problemet ligger i e setig som alles Taylors setig, og som vi ie sal bevise: Gitt e fusjo f ( ) som er + gager deriverbar i et itervall, og et put = a i dette itervallet a a = ( ) T c a = være Taylor-polyomet av te grad for a f ( ) = T ( ) + R ( ) der ( + f ) ( c) ( +! ) R = a og c er et tall mellom a og + f rudt = a Da er Det setrale i dee setige er at f ( + f ) ( c) + R ( ) = ( a), ( +! ) er li Taylor-polyomet pluss et stygt ledd som alles restleddet i Taylors setig Dersom vi a vise at dette restleddet går mot år, har vi fatis vist at Taylor-rea er li f ( ) Me dette a være problematis, ie mist fordi restledd-formele ieholder e ujet størrelse c Det eeste vi vet om c er at de ligger mellom a og I prasis oster vi helst restledd-formele uder teppet, og tar sjase på at dersom Taylor-rea overgerer, så overgerer de mot f ( ) Dee overgese udersøer vi med forholdsteste, som også gir oss overgesitervallet E lite merad til slutt: Svært ofte setter vi opp Taylor-polyom og Taylor-reer rudt = Slie polyom og reer rudt = alles Maclauri-polyom og Maclaurireer De reee jeg har presetert for e, cos og si er egetlig Maclauri-reer Nå er det på tide å vise at de reee vi satte opp i iledige for e, cos og si virelig stemmer Vi sal gjøre det ved å sette opp Macauri-polyom, la, og til slutt udersøe overgese med forholdsriteriet Esempel 5: Sett opp Maclauri-rea for a) f ( ) = e b) f ( ) = si c) f ( ) = cos Udersø overgese for disse reee

43 Reer Side 4 øsig: Som regel løer det seg å starte med å derivere f ( ) mage gager, og se om vi fier et system Deretter setter vi i = (hus at vi sal fie Maclauri-reer), og fier oeffisietee i rea med formele d c = f ( )! d d d d a) f ( ) = e f ( ) = e f ( ) = e f ( ) = e d d d Da blir d c = f = e = c = f = e =!! d d d c = f = e = c = f = e =! d!!! d!! Og geerelt: d c = f ( ) = e =! d!! Da blir rea e = c + c+ c + c + + c + = =!!!!! Udersøer overgese med forholdsteste: + + a + ( +! )!! = lim = lim = lim = lim = lim a +!! + + = Me dee greseverdie går mot ull år Da er < for alle verdier av, sli at rea overgerer for alle d d d f = si f = cos f = si f = cos d d d d d d f 4 ( ) = si f 5 ( ) = cos f 6 ( ) = si d d d Og sli fortsetter det Vi ser at det samme møsteret vil gjeta seg Da får vi at: 4 c = f = si = d c4 = f = si = 4! 4! d 4! d 5 c = f = cos = d! d c5 = f = cos = 5 5! d 5! 5! d 6 c = f = ( si ) = d! d! c6 = f = ( si ) = 6 6! d 6! d 7 c = f = ( cos) = d! d!! c7 = f 7 = ( cos) = 7! d 7! 7! b) Vi ser at aehver oeffisiet blir li ull De gjeværede oeffisietee får altererede forteg, med absoluttverdi Maclauri-rea blir da!

44 si = c + c+ c + c + + c + Reer Side 4 ( ) ( ) ( ) ( ) = =! 5! 7! +! +! Så var det overgese Mer at forteget til leddee ie spiller oe rolle på gru av absoluttverditegee: + ( ) ( ( ( )! ) ) a + lim lim lim + ( +! )! ( ) ( + ) = ( + )! = = = + a ( +! ) lim ( + )! ( + )( + ) ( + )( + ) = lim = Me dee greseverdie går mot ull år Da er < for alle verdier av, sli at rea overgerer for alle c) Her a vi gå fram på samme måte som da vi utledet rea for si Me det er lettere å d beytte at si = cos Vi deriverer derfor Maclauri-rea for si, og får d ( ) ( ) + cos 5 7! 5! 7!! 4 6 = ( ) = ! 4! 6!! =! 4 6 Dee rea får samme overgesitervall som rea for si, dvs at rea overgerer for alle = Vi utleder ei ree til: Esempel 5: Sett opp Taylor-rea til f ( ) = l rudt =, og udersø overgese for dee rea øsig: Vi går fram på samme måte som før: d d d f ( ) = l f ( ) = = f ( ) = f ( ) = ( ) d d d 4 5 d 4 d 5 f 4 ( ) = ( )( ) f 5 ( ) = ( )( )( 4) d d d f ( ) = ( )( ) ( ( ) ) = ( ) (! ) d Da blir (hus at å er a = ): c f l! d c f! d! d c = f = =! d d c = f = =! d! = = = = = =

45 4 d 4 4 f 4 c = = = 4! d 4! 4 Og geerelt: Reer Side 44 d c = f = ( ) ( )! =! d! Da blir rea l = c + c + c + c + + c + ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) + ( ) + = Udersøer overgese med forholdsteste: ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) = + + a + lim lim lim lim a + ( ) + = lim = = + + Rea overgerer år < < < < < < ( ) = = = = Må også sjee edeputee: = : Rea blir ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = = Me dee summe er de harmoise rea som vi vet divergerer = : Rea blir ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = Her har vi de altererede harmoise rea (ritigo med egativt forteg) som vi vet overgerer Altså overgerer rea år < y Det a være istrutivt å plotte grafe til l samme med oe av partialsummee til Taylor-rea På figure til vestre er grafe til l plottet med ty stre, mes summe av de 5 første leddee i rea er plottet med ty stre og summe av de første leddee er plottet med stiplet lije Vi ser hvorda disse partialsummee ommer ærmere i mot grafe til l år atall ledd øer, forutsatt at vi befier oss iefor overgesitervallet Går vi utefor overgesitervallet, vil rea absolutt ie overgere mot l

46 Reer Side 45 Ta forreste et lite tilbaebli på Esempel 45 Der utledet vi de samme rea med det samme overgesitervallet på e ae måte Oppgave 5 I este esempel sal vi sette opp e Maclauri-ree som alles de biomise rea: Esempel 5: Sett opp Maclauri-rea for m f = + øsig: Vi går fram etter jet møster: m d m d m f ( ) = ( + ) f ( ) = m( + ) f ( ) = m( m )( + ) d d d m f ( ) = mm ( )( m )( + ) d d m f ( ) = mm ( ) ( m ( ) )( + ) d Da blir: m c = f = ( + ) = d m c = f = m( + ) = m! d d m c = f = mm ( )( + ) = mm ( )! d!! d m c = f = mm ( )( m )( + ) = mm ( )( m )! d!! Og sli fortsetter vi Du ser at d m mm ( ) ( m ( ) ) c = f = mm ( ) ( m ( ) )( + ) =! d!! Hele rea blir m mm ( ) mm ( )( m ) ( + ) = + m + + +!! mm ( )( m ) ( m + ) = +! = Vi sal hoppe over udersøelse av overges Me vi a vise at overgesitervallet er < < Mer at dersom m er et helt, positivt tall, vil rea få et edelig atall ledd Hvis for esempel m =, får vi at + = = + + +!! som du (forhåpetlig) jeer fra før Alle etterfølgede ledd får oeffisiet li ull Nedefor ser du et esempel på brue av de biomise rea:

47 Reer Side 46 Esempel 54: Sett opp Maclauri-rea for 4 f = øsig: Vi starter med e omsrivig: 4 4 ( ) ( ) f = = = = Hvis vi å setter 4 = Rea overgerer år 4 m = og erstatter med ( ( ) ), a vi brue de biomise rea: ( ) = !! = = < < > > 4> > < < 4 5 Oppsummerig Nå er det på tide å oppsummere de vitigste av de reee vi har fuet 4 e = = for alle!! 4! =! 4 6 ( ) cos = + +! 4! 6! = for alle! = = ( ) ( + ) ( ) si = + + = for alle! 5! 7!! l = + = = for < = = = for < < m mm ( ) mm ( )( m ) ( + ) = + m + + +!! mm ( )( m ) ( m + ) = + =! for < < Jeg forveter ie at du går rudt og huser alle disse reee Me jeg forveter at du vet at de esisterer, og at du a fie dem fram etter behov Hus også at vi a fie mage ye reer på grulag av disse Vi a itegrere reee, derivere dem, erstatte med adre uttry, multiplisere reee med fusjoer av, osv sli vi gjorde i iledige