Prosedyre for løsning av oppgaver Jeg skal ved hjelp av noen oppgaver/eksempler fra produsentens tilpasning, gi

Transkript

1 Jo Vislie; mars 07 ECO Prosedyre for løsig av ogaver Jeg sal ved hjel av oe ogaver/esemler fra rodusetes tilasig, gi forslag til rosedyre/hjel/veivalg til å løse ogaver i ECO 00. Det er tre tyer av sørsmål jeg tror mage stiller seg: «Hva er roblemet; hvor sal jeg starte?», «Hvorda sal jeg gå fram?» og «Hvorfor sal jeg gjøre det aurat så?». Dette otatet, som følges o seiere med e tilsvarede ogave fra osumetes tilasig, er u met som e støtte til teorie resetert i Strøm & Vislie dette otatet a å ige måte erstatte de gruleggede teorie. Ogaver vil (este) alltid være sesialtilfeller av mer geerelle modeller. Jeg sal først se å tilasige til e bedrift/roduset som bruer é variabel isatsfator til å rodusere ett rodut, der tilasige er styrt av et mål om å masimere rofitt eller oversudd. Deretter ser vi å et ostadsmiimerigsroblem for e bedrift som roduserer ett rodut med e rodutfusjo med flere fatorer som a substituere hveradre i større eller midre grad. Problem : Produsettilasig rofittmasimerig med é fator La oss først se å følgede ogave som sulle ha vært løst tidligere, emlig: Betrat e bedrift med e rodutfusjo F( ) der følgede egesaer: F (0) 0, greserodutivitet F( ), med F ( ) 0, og som selv er avtaede; dvs. 3 F ( ) 0 for alle 0. (Dee 4 adrederiverte aller vi rodutaselerasjoe; de viser hvorda de deriverte selv varierer med.) Vi a tee oss at er et mål å bru av arbeidsraft (atall asatte) er tidsehet og er rodusert megde er tidsehet. Her vil rodut og sysselsettig måles i samme ehet (litt ustig, asje); alterativt ue vi ha

2 srevet a, der a er e ostat som oversetter sysselsettig/atall asatt er ue til rodut er ue. I vår roblemstillig er a. Vi fier da at a ( 0), der vestre side viser atall sysselsatte er tidsehet er a rodusert ehet er tidsehet, oe også høyre side må gjøre; dermed har mål som atall sysselsatte er rodutehet. Sørsmål: Agi ytterligere egesaer til dee rodutfusjoe. Setrale begreer utover greserodutivitet og rodutaselerasjo, er gjeomsittsrodutivitet og greseelastisitet. Alle disse begreee må e jee til! For dee rodutfusjoe har vi vist at greserodutivitete er F ( ), mes gjeomsittsrodutivitete er. Vi ser at F ( ) F ( ). Videre har vi vist at rodutaselerasjoe er egativ; 3 F ( ) 0. (Side greserodutivitete er midre e 4 gjeomsittsrodutivitete, må være syede med.) Sett å at vi sulle besvare e ogave om hvorda gjeomsittsrodutivitete varierer med isatsfatore. Da må vi se hvorda F( ) selv varierer med. Side dee fusjoe er deriverbar, følger det ved derivasjo av med hesy å, at d 3 ( ) 0. Gjeomsittsrodutivitete, for alle d 0, er overalt fallede i brue av arbeidsraft. Et tredje jeeteg er gitt ved greseelastisitete; dvs. F ( ) El F( ) F ( ). F ( ) este sørsmål: Utled ostadsfusjoe, med tilhørede grese og gjeomsittsostad. Hvorda varierer gjeomsittsostade med rodusert vatum?

3 3 Vi sal da fram til e sammeheg mellom (miste) samlet fatorutlegg og rodusert vatum av ferdigvare. (Med flere rodusjosfatorer må e, som vi sal se seiere, velge de fatorombiasjo å e gitt isovat og som gir lavest samlet fatorutlegg. Her er det u é rodusjosfator.) Vi sal ata at bedrifte egetlig øser å masimere oversuddet, og derfor vil de ie sløse med bru av arbeidsraft. Det betyr at om de sal rodusere e (vilårlig) megde av ferdigvare, vil de ie brue mer arbeidsraft e høyst ødvedig. (De står fritt til å brue mer e ødvedig, me det iebærer sløsig og dermed høyere ostader.) Dermed, om det sal roduseres eheter av ferdigvare (iefor de eriode vi ser å; f.es. e ue), vil bedrifte ie brue mer e så mye arbeidsraft at e aurat larer å frembrige det øsede atall eheter av ferdigvare. Vi fier da, fra rodutfusjoe i dette é-fatortilfellet, (miste) ødvedig isats av arbeidsraft er ue ved å rodusere eheter av ferdigvare over e ue. Iverterig av rodutfusjoe gir da, side vi har X. Om hver ehet arbeidsraft oster bedrifte W roer er ue (dee løa tar bedrifte som e esoget, gitt størrelse, som risfast vatumstilasser i fatormaredet), vil ostadsfusjoe (eller det laveste fatorutlegget) for å rodusere eheter er ue, i roer, være C( ; W) W. (Hus at ostadsfusjoe viser sammehege mellom miste fatorutlegg i roer for ehver gitt rodutmegde.) Dee har følgede egesaer: dc( ; W) C( ; W) dc C(0; W) 0, W, W d dc, og med dc d W. Greseostade, dc d, som er ositiv, er selv stigede og større e gjeomsittsostade som også er stigede i rodusert vatum, idet W jo stiger med rodusert vatum.

4 4 Sørsmål: Hvor mye vil bedrifte øse å rodusere om målet er rofittmasimerig? De ostadsfusjoe vi har utledet sal å brues til å bestemme hvor mye bedrifte vil øse å rodusere av ferdigvare om oversuddet er ue sal masimeres. Ved utledige av ostadsfusjoe var vilårlig å sal dee størrelse selv bestemmes eller avledes fra et overordet mål om å masimere oversudd eller rofitt. Ved selve rofittmasimerige er rodusert vatum e edoge variabel. La hver ehet av ferdigvare selges til e (gitt) ris å et mared der bedrifte otrer som risfast vatumstilasser. Da a vi utlede et uttry for bedriftes oversudd målt i roer er ue som e fusjo av : ( ;, ) ( ; ) W C W W W. Her er de variabel bedrifte selv sal fastlegge, mes risee ( W, ) er esoget gitte størrelser. Bedriftes mål er å: Velg 0 sli at ( ;, W ) masimeres. Da bruer vi matematie og leter etter et masimum. For det første, ser vi at 0 for alle 0 W. Det vil derfor aldri være løsomt å rodusere mer e W eheter av rodutet er ue. (Mes har beevig roer er ehet av, vil W være lø er asatt er ue; der hver asatt svarer til vadratet av ; dvs. W har måleehet «atall eheter av rodutet».) Vi ser da å de førstederiverte av rofitte med hesy å. Vi fier da: d ( ;, W) : ( ;, W ) W d, sli at (0;, ) 0 W og ( ;, ) 0 W. Fordi ( ;, W ) er e otiuerlig fusjo av å W det luede itervallet 0, W, vil de ha et masimum (og også et miimum, me det iteresserer ie oss her). Vi er å jat bare etter et masimum. Fordi vi har at

5 5 (0; W, ) 0, samme med ( 0; W, ) 0 og ( ;, ) 0 W, samtidig som W ( ;, W) W 0 for alle i det iteressate mulighetsområdet, vil ( ;, W ) ha et etydig globalt masimum i det idre av det området der rofitte er ieegativ; dvs. for e * (0, ) W der * * * ( ;, W) W 0 W. Videre har vi at rofitte selv er ositiv for dee rodutmegde side W W W 4W * ( ;, W) W 0. (Her er det o å brue førstederivert-teste; er vosede (avtaede) til vestre (høyre) for *.) este sørsmål: Hvorda åvires tilasige av e øig i W? Det er valig å sørre hvorda bedrifte reagerer å «sjo», risedriger eller adre ytre (esogee) edriger. Vi sal å se hvorda bedrifte vil edre tilasig om «realrise» W øer eller at rodutrise øer mer e løa er asatt er ue. Vi treger ie «rege» så mye å, side vi ser at tilbudt vatum * W da vil øe. Da må selvsagt også ettersørsel eller bru av arbeidsraft er ue øe, side det er e ositiv sammeheg mellom og. Profitte vil (selvsagt) også øe. Problem : Produsettilasig ostadsmiimerig med to isatsfatorer å sal vi betrate et ostadsmiimerigsroblem med to variable rodusjosfatorer. Dette betyr at for et gitt rodusjosrav («isovatbetigelse»), sal e fastlegge fatorbrue sli at samlet fatorutlegg blir så lavt som mulig. Vi atar at et gitt vatum av ferdigvare a fremstilles ved et uedelig atall fatorombiasjoer, reresetert ved de gitte isovate F(, ), der å er et gitt tall (rodusjosrav), samtidig som vi har atatt at rodutfusjoe er gitt som F(, ), defiert for 0, 0.

6 6 Sørsmål: Bestem de ostadsmiimerede fatorombiasjoe. Med rise er ehet av og q som ris er ehet av, der begge risee tas som gitte størrelser av bedrifte, består å roblemet i å velge et ut å de gitte isovate sli at samlet fatorutlegg q miimeres. Dette roblemet a løses ved Lagrages metode eller ved «isettig». Ta det siste først. Fra rodusjosravet følger direte at, sli at isovate a rereseteres ved, som viser at isovate er syede i fatordiagrammet, d d 0, og rummet mot origo, som er evivalet med at de margiale teise substitusjosbrø, d d, er avtaede i. Setter vi i for i uttryet for fatorutlegget, får vi e fusjo u av ; dvs., e vi defierer som ( ) : q, som vi sal fie miimum for. Vi leter da o stasjoærut(er): 0 q q ( ) 0, dvs. vi fier q q ( ). (Bare de ositive rote gir meig.) Dette utet må være et miimumsut side vi har at q q ( ) 0. (Det er også 3 ( ) lett å se at ( ) er syede for, og stigede for. («Førstederivertteste» viser dermed at løser vårt roblem.) Setter vi å i for i vår isovatbetigelse, fier vi de tilhørede ostadsmiimerede brue av som: q q. Dermed har vi svart å sørsmålet: De fatorombiasjo som miimerer bedriftes fatorutlegg med de ogitte rodutfusjoe og med gitt

7 7 q rodusjo, er: (, ), q. Dette gir oss samtidig de betigede fatorettersørselsfusjoee. Alterativ a vi beytte Lagrages metode. Side vi å vet at det fies e løsig, vet vi også at det fies e Lagragemultiliator 0, sli at de ostadsmiimerede fatorombiasjoe fremommer som stasjoærutee til Lagragefusjoe L(,, ) q, gitt ved L 0 L q 0 q q Samme med isovatbetigelse har vi da tre betigelser til å bestemme de tre variablee (,, ). (I e figur er dee løsige jeeteget ved at de gitte isovate tagerer e isoostlije; dvs. at MTSB = q, der vi å har MTSB F F.) Lagragemultiliatore a elimieres fra lihete q q som gir q ; jfr. ravet også om at MTSB q. Bruer vi dee sammehege i rodutfusjoe, som er bibetigelse i vårt roblem, fier vi: q q q, som gir q, sli vi viste tidligere.

8 8 Sørsmål: Hva jeeteger disse betigede fatorettersørselsfusjoee? De er lieære i rodusert vatum dette følger av at rodutfusjoe har ostat salautbytte eller homoge av grad é («ari assu»); summe av greseelastisitetee er li é. Videre ser vi at hver fator vil være syede i ege ris og vosede i de adre rise. Dette betyr at jo høyere er, jo midre vil e brue av og jo mer vil e brue av. Sørsmål: Utled ostadsfusjoe og agi egesaer ved dee. Kostadsfusjoe er å det miimerte fatorutlegget, for de gitt rodusjoe; q dvs., vi har C( ;, q) : q q q q q, q der q q ( q ) er ehetsostadsfusjoe, li greseostade, gitt dc som d q. Side ehetsostade eller gjeomsittsostade er uavhegig av rodusert vatum, er ostadsfusjoe lieær i. Sørsmål: Hvorda varierer ostade med løa? Vi sal å se å C. Partiell derivasjo av ostadsfusjoe med hesy å, gir oss: C q q ( ;, q) som følger direte fra Shehard s lemma. De miimerte ostade er høyrer jo høyere e fatorris er. Sørsmål: Hvorfor er rofittmasimerig «roblematis» år vi har ostat salautbytte sli som her? (Svar: Se boa s ) (Betigelser for rofittmasimum med flere rodusjosfatorer for rodutfusjoer med «U-formet» forlø å gjeomsittsostadsurve har vært tema å grue- og leumsregigee og tas derfor ie o her.)