Faglærer går normalt én runde gjennom lokalet. Ha evt. spørsmål klare!

Transkript

1 Side 1 av 7 Noe viktige pukter: (i) (ii) (iii) (iv) Les hele eksamessettet øye før du begyer! Faglærer går ormalt é rude gjeom lokalet. Ha evt. spørsmål klare! Skriv svaree die i svarrutee og levér i oppgavearket. Bruk gjere blyat! Evt. kladd på eget ark først for å ugå overstrykiger, og for å få e ege kopi. Ekstra ark ka legges ved om ødvedig, me det er meige at svaree skal få plass i rutee på oppgavearkee. Lage svar teller ikke positivt. Eksame har 20 oppgaver, totalt verdt 100 poeg. Poegverdi er agitt ved hver oppgave. For hver av de første 5 oppgavee skal du velge svaret blat disse algoritmee: BFS Bellma-Ford DFS Dag-Shortest-Path Dijkstra Faster-All-Pairs-Shortest-Paths Floyd-Warshall Slow-All-Pairs-Shortest-Paths

2 Kadidatummer: Side 2 av 7 Merk: Sesor har aledig til å gi (evt. delvis) uttellig for adre svar e det som er oppgitt, om det f.eks. dreier seg om små feil, eller alterative fullgode svar. (5 p) 1. Hvilke algoritme på side 1 tillater ikke sykler? DAG-Shortest-Path (5 p) 2. Hvilke algoritme på side 1 tillater vilkårlige positive me ikke egative katvekter? Dijkstra (5 p) 3. Hvilke algoritme på side 1 vil ikke ødvedigvis fie korteste vei i e rettet asyklisk graf der alle katvekter er 1? DFS (5 p) 4. Hvilke algoritme på side 1 bør du bruke for å fie korteste vei fra alle til alle i e vilkårlig graf med positive katvekter, dersom du har Θ(V 2 ) kater? Floyd-Warshall eller Dijkstra Her gis altså full uttellig for Dijkstra, side svaret er korrekt om ma kjører de fra hver ode (e rimelig lesig av oppgavetekste), og om ma bruker e usortert tabell eller Fiboacci-heap som prioritetskø. (Om ma bruker e biær-heap, som var de opprielige take bak oppgave, så vil det ikke løe seg å bruke Dijkstra.) Stregt tatt vil ok Floyd-Warshall være mer effektiv i dette tilfellet uasett, me det var altså ikke poeget med oppgave. Faster-All-Pairs-Shortest-Path gir 1 poeg. (5 p) 5. Hvilke algoritme på side 1 bør du bruke for å fie e flytforøkede sti (augmetig path)? BFS Her gis også 3 poeg for DFS, side de ka brukes, selv om de geerelt ikke bør brukes. (5 p) 6. I maski-modelle til læreboka har heltall ormalt c lg bits. Hva er kravet til c? c 1 Om ma skriver at må kue beskrives med c lg bits, så gir det også full uttellig. Ekelte har oppgitt at c må være et heltall større e 0, evt. et positivt heltall (og dermed større eller lik 1). Dette er et stregere krav e boka (som ikke krever at c må være et heltall), me dette svaret gis 4 poeg. c > 1 gis også 4 poeg. Om ma bare har svart c > 0, gis det 1 poeg. (5 p) 7. Du har fuet best-case-kjøretide for e algoritme. Hvilke av O, Ω eller Θ vil du bruke for å beskrive de? Θ eller Ω Dee oppgave er ikke tydelig ok formulert, og tas dermed ut av sesur der det gir e høyere skalert poegsum. Slik oppgave var met, skulle ma beskrive best-case-kjøretide, som ma hadde et uttrykk for, med asymptotisk otasjo. Det mest presise ville da være Θ. Flere tolket det derimot som at ma skulle beskrive algoritme. Gitt at ma ku har best-case-kjøretide, vil det mest presise da være Ω. Ekelte har forstått oppgave som et lurespørsmål, basert på e misforståelse av idee om at alle otasjoer ka brukes til å beskrive alle cases. Det stemmer geerelt, me her er det likevel gitt hva som er mest gustig/presist. Adre har svart at ma ikke ka velge, side det kommer a på om ma også har fuet e øvre grese. Side ma ble bedt om å velge é av de tre, gis ikke dette poeg, me oppgave tas ut i slike tilfeller, og vil dermed ikke trekke ed. (5 p) 8. Hva er worst-case-kjøretide til Merge-Sort? Θ( log ) Her gis det også full uttellig for O( log ), selv om det er midre presist. Adre logaritmer gir også full uttellig. Ikke-asymptotiske svar (som log ) gir 4 poeg.

3 Kadidatummer: Side 3 av 7 (5 p) 9. Hva har Bellma-Ford oppdaget dersom de returerer false? Negative sykler. (5 p) 10. La A = [3, 3, 1, 4, 4, 3, 1, 2, 3, 5]. Hvorda ser C[0.. 6] ut idet Coutig-Sort(A, B, 6) returerer? [0, 0, 2, 3, 7, 9, 10] Tellesorterig teller først forekomster, gjør så telligee kumulative, og så dekremeterer disse uder isettig. Så telligee til slutt tilsvarer altså hvor mage som er stregt midre. F.eks. vil C[3] hvor mage verdier som er midre e 3. Her gis også ekelte adre svar oe uttellig. For eksempel: [0, 0, 2, 3, 7, 9, 0] 4 poeg Avglemt kumulativ verdi for 6 [0, 2, 3, 7, 9, 10, 10] 4 poeg Før isettig [0, 2, 3, 7, 9, 10, 0] 3 poeg Før isettig, avglemt 6 [0, 2, 1, 4, 2, 1, 0] 3 poeg Ikke-kumulativ telletabell Ett poeg midre gis for hvert av alterativee om ma ku har med de 6 første elemetee (dvs., ma har bare brukt C[0... 5]). (5 p) 11. La A = [0, 9, 2, 8, 1, 5, 3, 4, 7, 6]. Ata at Partitio velger siste elemet som pivot (som i læreboka). Hvilke ideks returerer da Partitio(A, 1, 10)? 6 eller 7 Partitio returerer idekse til pivot (altså 6) i sortert rekkefølge. Selv om det går a å resoere seg frem til at det brukes 1 idekserig (pga. gresee som brukes) så gis det også full uttellig for det 0-idekserte svaret. (5 p) 12. La G = (V, E) være e graf med oder V = {0.. 9} og med positive katvekter w. La D[0.. 9] være e tabell med avstadsestimater, der D[u] = u.d, for u = Etter at Dijkstra(G, w, 0) er utført er D = [0, 2, 3, 5, 8, 6, 9, 1, 7, 4]. I hvilke rekkefølge har odee blitt valgt ut og besøkt? 0, 7, 1, 2, 9, 3, 5, 8, 4, 6 eller 1, 3, 4, 6, 9, 7, 10, 2, 8, 5 Evt. ute startode: 7, 1, 2, 9, 3, 5, 8, 4, 6 eller 2, 3, 5, 8, 6, 9, 1, 7, 4 Her er økkele at Dijkstra besøker odee i stigede avstadsrekkefølge. Meige var at ma skulle liste opp odee i riktig rekkefølge, me om ma i stedet oppgir ummeret i rekkefølge for hver ode så gir det også full uttellig. (5 p) 13. La C = {a, b,.., j}, der a.freq = 11, b.freq = 12,..., j.freq = 20. Utfør Huffma(C). Ata, som i boka, at vestre bar er midre e høyre, og at vestre bar er 0. Hva blir Huffma-kode for g? 010 Her gis 4 poeg for 110. (5 p) 14. La A = [5, 0, 2, 7, 3, 9, 1, 6, 8, 4]. Utfør Build-Max-Heap(A). Hvorda ser A ut etterpå? [9, 8, 5, 7, 4, 2, 1, 6, 0, 3] Om ma har byttet om på to verdier, gis det 4 poeg. Her har ekelte brukt Max-Heap-Isert gjetatte gager. Det vil ha dårligere kjøretid, og er ikke det det er spurt om, me gir likevel 3 poeg. Resultatet blir da [9, 8, 7, 6, 4, 2, 1, 0, 5, 3]. Har ma byttet om på to verdier her, gis det 2 poeg. (5 p) 15. La A = [0, 1, 2, 3, 6, 4, 9, 8, 5, 7]. Utfør Extract-Mi(A). Hvorda ser A ut etterpå? [1, 3, 2, 5, 6, 4, 9, 8, 7] eller [1, 3, 2, 5, 6, 4, 9, 8, 7, 0] Har ma byttet om på to verdier gis det 4 poeg. Her er det altså meige at ma skal bruke heap-versjoe av Extract-Mi (s ). Side det ikke eksplisitt sto Heap-Extract-Mi har ekelte lurt på om det kue være e ae implemetasjo. De eeste adre implemetasjoe i pesum er e usortert array. Om ma har utført dee effektivt, og fått resultatet [7, 1, 2, 3, 6, 4, 9, 8, 5], gis det 1 poeg.

4 Kadidatummer: Side 4 av 7 (5 p) 16. La T (0) = 0 og T () = T ( 1) år > 0. Løs rekurrese. Bruk asymptotsk otasjo. T () = Θ(2 ) Her gis også full uttellig for O(2 ) (5 p) 17. La T (0) = 0 og T () = π 2 T (/π) + 2 år > 0, der π = Løs rekurrese. Bruk asymptotisk otasjo. T () = Θ( 2 lg ) Her gis også full uttellig for O( 2 lg ). Bruk f.eks. masterteoremet, med log π π 2 = 2. Merk: Gresetilfellet T (0) = 0 er ikke egetlig til ytte, og ka igoreres. Side svaret er asymptotisk ka ma uasett basere seg på de geerelle atagelse fra pesum om at T (k) = Θ(1) for e kostat k. (5 p) 18. Du har fuet e reduksjo med polyomisk kjøretid fra A til B, der A og B er beslutigsproblemer. E optimal algoritme for B har worst-case-kjøretid Θ(2 ). Ka du si oe om kjøretide til algoritmer for A? Hvis ja, beskriv kjøretide med asymptotisk otasjo. De tilsiktede tolkige var at, ja, ma ka si oe, emlig at det fies algoritmer med kjøretid O(2 ) for A. Dette er aalogt til det ma kue si om A dersom B var i P, for eksempel. (Ma ville da vite at A kue løses i polyomisk tid.) Me oppgaveformulerige er ikke tydelig ok. Ma ka også tolke spørsmålet som at ma må si oe om alle algoritmer for A, og her har vi igetig å gå på (ma ka jo lett lage algoritmer som er verre), så svaret må bli ei. Ekelte har da også svart Nei, fordi vi reduserer feil vei. Det var egetlig met å være de misforståelse oppgave bl.a. skulle teste, me uder de alterative tolkige av oppgave er dette faktisk korrekt. For om ma hadde redusert fra B til A, så kue ma si oe om alle algoritmer for A, emlig at de har e worst-case på Ω(2 ). Atall poeg tildelt blir dermed midre avhegig av hovediholdet i oppgave, og mer basert på detaljer i svaret, på e såpass lite iformativ måte at oppgave tas ut av sesur. (5 p) 19. Du har et mieområde på bytes, og skal dele det opp i segmeter, som vist i figur 1 på side 6. Et segmet med legde k bytes har e kostad på c k, og du vil fie e oppdelig som er slik at de totale kostade f() blir mist mulig. Skriv e rekursiv ligig som gir de optimale verdie for f(). Løsige skal ege seg for memoiserig. Du ka ata f(0) = 0. f() = mi 1 i c i + f( i) Essesielt ekvivalet med (15.2) i læreboka Her er det også korrekt med e mer divide-ad-coquer-aktig oppdelig, der ma har to rekursive forekomster av f. F.eks.: f() = mi{f(i) + f( i) : i = 1... /2 } {c } Dette gis full uttellig. Adre variater ka også gis full eller delvis uttellig, etter skjø. (5 p) 20. Som i the 0-1 kapsack problem har e tyv gjort ibrudd i e butikk og fuet gjestader. Hu gir hver gjestad i e positiv eller egativ verdi v i, basert på hvor tug de er og hvor mye hu ka selge de for. Hu øsker å velge ut e delmegde S av gjestader slik at i S v i blir størst mulig. Me: Noe av gjestadee er avhegige av adre. For eksempel ka hu ikke ta med det atikke sverdet ute å også ta med de atikke sverdslire. Hu ka bare velge ut e delmegde der slike avhegigheter er ivaretatt: Hvis i er avhegig av j og hu vil ta med i så må hu også ta med j. (Se figur 2 for et eksempel.) Beskriv e algoritme som løser problemet effektivt. Hold forklarige så kort og ekel som mulig. Teg gjere e figur. Løses som et miimum cut-problem, ved hjelp av f.eks. Edmods-Karp. La gjestader være oder, og legg til s og t. Hvis i er avhegig av j, legg til e kat (i, j) med c(i, j) =. Hvis v i > 0, legg til e kat (s, i) med c(s, i) = v i. Hvis v i < 0, legg til e kat (i, t) med c(i, t) = v i.

5 Kadidatummer: Side 5 av 7 Forklarig (kreves ikke av e fullgod løsig): Vi teker altså at de utvalgte delmegde blir S i et miimalt (S, T )-sitt. Se læreboka, 720. Vi må da sørge for at et miimalt sitt gir oss det vi vil. Hvis i S og j T og i er avhegig av j blir kostade uedelig, så dette vil vi automatisk ugå dersom det er mulig. Hvis vi lar e verdifull gjestad i være igje i butikke (dvs., i T ), så taper vi v i. Hvis vi tar de med (i S), taper vi igetig. Hvis vi tar med oss e verdiløs gjestad i (dvs., i S, der v i < 0), så koster det oss v i. Dersom vi lar de være igje (i T ) så koster det oss igetig. Et miimalt sitt vil altså gi oss e lovlig delmegde (der avhegighetee respekteres), der vi taper mist mulig, dvs., der vi får med oss gjestader med størst mulig totalverdi. Noe har gitt e alterativ løsig der ma først fier sterke kompoeter (SCC-er), som må ikluderers eller ekskluderes som helhet, og får e verdi som er lik summe av de opprielige verdiee i kompoete. Ma sitter da igje med e asyklisk utgave av problemet. Her kue ma bruke dyamisk programmerig (DP) for å fie et optimalt subsett. For de k første kompoetee, i omvedt topologisk sortert rekkefølge, ka ma fie e optimal verdi ved å vurdere om ma vil ha med kompoet k eller ikke. Hvis ikke, ka ma bruke optimal verdi frem til k 1. Om ma vil ha med k, bruker ma optimal verdi for k 1, me legger også til alle kompoeter som k er avhegig av. For å få til dette, må ma også ha lagret hvilke objekter som allerede var med i de optimale løsige for k 1 (f.eks. i form av e bit-vektor av legde k). Å få dee algoritme helt korrekt er utfordrede, me hoved-ideee med å fie SCC-er, og deretter bruke DP er såpass god at ma selv ved å skissere hovedtrekkee får 4 poeg. Selv variater som ikke bruker DP til slutt, me eklere (og ikke helt korrekte) løsigsmetoder, ka få 3 eller 4 poeg.

6 Side 6 av 7 Ett segmet med legde : f() = c To like store segmeter: f() = c + c Tre segmeter med ulik legde: f() = c 3 + c 2 + c segmeter med legde 1: f() = c 1 + c 1 + c 1 + c c Figur 1: Illustrasjo til oppgave 19. Mieområdet ka deles i i alt fra ett til segmeter av lik eller ulik legde. Et segmet med legde k har kostad c k, og de totale løsige har kostad f(), som er summe av kostadee til segmetee. Du skal prøve å fie e oppdelig slik at dee totalsumme av kostader blir mist mulig.

7 Side 7 av 7 v 1 = 2 v 2 = v 6 = v 3 = v 5 = 1 v 4 = 1 2 Figur 2: Illustrasjo til oppgave 20. Ibrudstyve vil i dette eksemplet velge e delmegde av {1,..., 6}. Hvert gjestad har e pil til hver av gjestadee de er avhegig av. For eksempel: Hvis du vil ta med gjestad 2 så må du også ta med gjestad 1. Totalt sett bidrar disse to gjestadee med e verdi på 1, så det løer seg ikke. Gjestad 6 ka du ta med eller ikke ute hesy til adre gjestader. De har e positiv verdi, så det løer seg å ta de med. Hvis du vil ta med gjestad 3 må du ta med gjestad 5 og gjestad 6. Selv om v 5 er egativ så vil dette løe seg (heller e å bare ta med gjestad 6), side v 3 + v 5 > 0. Gjestad 4 er det ige vits i å ta med seg.