Supplement til kap i Varian s Intermediate Microeconomics (HV)

Transkript

1 Jon Vislie ECON 22 år 27 Supplement til kap i Varian s Intermediate Microeconomics (HV) (De notatene som il bli lagt ut på emnesiden er supplement ikke erstatning til pensum. Jeg il ta opp spørsmål/problemer som jeg mener ikke dekkes godt nok i HV, og også noen som blir tnt behandlet i forelesningene.).produsenttilpasning kort sikt (HV: kap. 8,2,5,7,9, 2,2,3, 22,2,3,4,5,6,7.) a) Utgangspunktet er en gitt teknologi, representert ed en produktfunksjon f(, ) for en enare produsent. Her angir fsisk mengde produsert = 2 per tidsenhet (f.eks. antall tonn per måned), er bruk a innsatsfaktor nr. i; i=,2, også det per tidsenhet. (Som en forenkling antar i kun to produksjonsfaktorer.) Det antas at funksjonen f er tilstrekkelig (minst to f ganger) derierbar; foreløpig kreer i at > ; her faktor har positi grenseproduktiitet. Kort sikt innebærer her at faktor 2 tar en bestemt erdi; ds. i kan tenke oss at mens faktor er arbeidstimer, er faktor 2 størrelsen på maskinparken denne kan bare endres på lang sikt, og på kort sikt er den derfor gitt: 2 = 2. Dermed kan i skrie korttidsproduktfunksjonen som = f(, ): = G( ), med G() =. Denne sier at på kort sikt er det ikke 2 mulig å få noe produkt uten bruk a arbeidstimer, samtidig som endring i produktmengden bare lar seg realisere ed endring i innsatsen a den f dg ariable faktor. Vi har selsagt at = = G ( ) > for alle (releante) d erdier på i ; ds. positi grenseproduktiitet for arbeidskraften. Denne angir endringen i per enhets marginal endring i bruken a faktor. (Legg merke til at kortidsproduktfunksjonen sel ahenger a størrelsen på den faste faktoren nr. 2. Dette er en egenskap i kommer tilbake til i forbindelse med sammenhengen mellom kort og langtidskostnadsfunksjoner.) Foruten grenseproduktiiteten til faktor ; den derierte a kortidsproduktfunksjonen G ( ), gitt ed stigningstallet til grafen utregnet i et bestemt punkt, il i også se på faktor s gjennomsnittsproduktiitet; definert som produktmengde per enhet a faktor ;. For en gitt innsats a faktor, il gjennomsnittsproduktiiteten a faktor i dette punktet ære gitt ed stigningstallet til strålen fra origo til punktet på grafen for den gitte innsatsen a faktor. Videre skal i tenke oss at produktfunksjonen G oppiser et generelt forløp, med både stigende og fallende gjennomsnittsproduktiitet. Vi illustrerer de teknologiske sammenhengene i to figurer under: i

2 2 Figur, ( ) I den øre del a Figur har i asatt grafen til korttidsproduktfunksjonen G; som iser en liggende S form. For alle erdier a mindre enn, ser i stigningstallet til strålen fra origo til et punkt på grafen er laere enn stigningstallet til grafen sel i punktet (markert med tangenten til grafen); som i =. I området til enstre for er gjennomsnittsproduktiiteten oksende i. Jo større erdi i har for innsatsen a faktor ( så lenge i er i området < ), desto større er stigningstallet til strålen fra origo til punktet på grafen for denne innsatsen a. Vi kan begrunne dette forløpet i hordan den ariable og den faste faktoren irker sammen. For en la innsats a faktor, f.eks. få arbeidstakere som skal betjene mange maskiner, il me a arbeidstiden gå med til å løpe mellom maskinene, og lite blir produsert. Om det nå ansettes én n person, il den faste faktoren utnttes mer effektit, slik at gjennomsnittsproduktiiteten sel øker her arbeidstaker il bruke færre arbeidstimer til å løpe mellom maskinene som nå utnttes bedre. Men dette må bet at marginalbidraget for den sist ansatte arbeidstaker oerstiger gjennomsnittsproduktiiteten for de arbeidstimene som ar ansatt. For at gjennomsnittsproduktiiteten skal øke, må grenseproduktiiteten ære større enn gjennomsnittsproduktiiteten. (Vises formelt seinere.) I nedre del a figuren har i asatt gjennomsnittsproduktiiteten som den stiplede kuren med topp punkt for, og grenseproduktiiteten som den heltrukne kuren. G ( For < < ), il = ( ) >. > ære oksende i. I dette området må i ha For il i ha ansatt så mange arbeidere at det gjennomsnittsproduktiiteten begnner å snke. Nå begnner det å bli så folksomt at arbeiderne løper i eien for herandre, med det resultat at gjennomsnittsproduktiiteten snker ed tterligere ansettelser. For at dette

3 3 skal kunne inntreffe, må grenseproduktiiteten ære mindre enn G ( gjennomsnittsproduktiiteten for > ). Her er snkende i, med ( ) <. Merknad: Noen produktfunksjoner er slik som ist i Figur 8.5 (HV; s. 33), som iser snkende gjennomsnittsproduktiitet oeralt, samtidig som grenseproduktiiteten sel er positi, men oeralt atakende; <. (Jfr. oppgae 3 til seminargang 3.) Dette betr at hele området til enstre for der stiger i Figur, ikke gjelder for slike oeralt konkae produkfunksjoner. Vi skal nå ise formelt følgende sammenheng: ( ) > stiger snker ( ) < G ( ) Derier gjennomsnittsproduktiiteten = den derierte a en brøk, og i finner: mhp.. Bruk reglen for d( ) d G( ) G ( ) G( ) () = ( ) = = ( 2 ) d d som bekrefter år påstand. Vi kan angi egenskapen ed produktfunksjonen ed et tredje mål, nemlig relati produktiitetsendring, gitt ed faktor s grenseelastisitet. Vi spør: His faktor øker med %, med hor mange produsent øker da? Dette finner i ed å se på elastisiteten, skreet som G ( ) (2) ε = G ( ) = = El : der i normalt har at grenseelastisiteten sel arierer med faktorinnsatsen; ( ). Dermed har i: ε

4 4 d( ) = G ( ) () = [ ε ] 2 2 d Gjennomsnittsproduktiiteten til faktor er stigende (snkende) i området der grenseelastisiteten er større (mindre) enn én. i det b) La oss nå se hordan i kan utlede bedriftens kostnadsfunksjon. Hilken forbindelse er det mellom produktfunksjonen og kostnaden ed å produsere en bestemt mengde a ferdigaren? For å en eksplisitt sammenheng for det laeste faktorutlegg (kostnad) ed å fremstille en helt bestemt mengde a det ferdige produktet, skal i gå eien om den inerse a produktfunksjonen, som i et er en entdig, siden >. Dermed il G ha en iners, gitt ed g. Om i inerterer produkfunksjonen, finner i en sammenheng fra til ; = g( ), som forteller ha i i det minste må bruke a faktor for å frembringe en gitt mengde a. His G har den liggende S formen fra Figur, il g se ut slik som ist i Figur 2: g( ) Figur 2 Sammenhengen = g( ) forteller oss ha nødendig innsats a faktor er for en gitt produktmengde. His i ønsker å produsere enheter a ferdigaren, krees i det minste enheter a faktor. (Vi kan selsagt bruke mer, men det il innebære sløsing, så lenge faktor koster noe.) Stigningstallet til g() finner i på følgende måte: His i skal produsere enheter a ferdigaren, krees det i det minste = g( ) enheter a faktor ; ds. i må ha = G( g( )) som må gjelde uansett ha er. Når i derierer mhp., og bruker kjernereglen, får i: d (3) = G( g( )) = ( ) g ( ) g ( ) = = d G ( )

5 5 Den siste aledete sammenhengen sier: Per enhets marginale økning i produktmengden, er nødendig økning i bruken a faktor gitt ed ( ) g. Innfør prisene w, w 2 i kroner per enhet a hh. faktor og faktor 2, og anta at produsenten er prisfast kantumstilpasser i begge faktormarkeder prisene påirkes ikke a produsentens disposisjoner; de oppfattes som gitte (eksogene) størrelser, og produsenten kan kjøpe så me eller så lite hun eller han måtte ønske til disse prisene. Da il i kunne skrie opp de totale kostnadene (laeste faktorutlegg) ed å produsere en gitt mengde : (4) Cw ( ;, w, ) = w g ( ) + w : = c ( ) = c( ) + F Til de gitte prisene og den gitte mengden a den faste faktoren, skrier i totalkostnaden, Cw ( ;, w, 2 ), bare som en funksjon a, nemlig som c(). 2 Denne totalkostnaden består igjen a ariable kostnader; angitt ed c ( ), og er de kostnadene som arierer med produksjonsskalaen, og a faste kostnader, angitt ed F som her er kostnaden a å bruke den faste faktoren; F= w2 2. (Seinere skal i se på ulike tper faste kostnader; her kan i tenke oss at den faste kostnaden er en anleggsbetinget, men driftsuahengig fast kostnad. Den faller helt bort når bedriften legges ned; den påløper selom i elger =.) De ariable kostnadene fremkommer nå ed å multiplisere g() i Figur 2 med w og som gir en kure som den nederste a de to i øre del a Figur 3. c ( ), c( ), målt i kroner c ( ) c ( ) Figur 3 F Grense- og Gj.sn.ar. kostn. c ( ) = MC α c( ) = AVC

6 6 Den øerste a de to kurene i øre del a Figur 3 er kuren for totalkostnaden; denne fremkommer ed at i har flttet kuren for ariable kostnader uniformt opp i en astand lik de faste kostnadene F. De to kurene i nedre del a figuren er hh. ariable gjennomsnittskostnader (AVC) og grensekostnad (MC). Vi har ikke tegnet inn kuren for totale enhetskostnader. På egen hånd: Hordan ligger den i forhold til de to andre? På samme måte som i iste hordan gjennomsnitts og grenseproduktiitet fremkom ed å se på produktfunksjonens forløp, kan i finne ut hordan ariable gjennomsnittskostnader og grensekostnad forløper ed å se nærmere på kuren for de samlede ariable kostnader. For en gitt produktmengde il ariable gjennomsnittskostnader ære gitt ed stigningstallet til strålen fra origo til grafen for de ariable kostnadene for det bestemte produksjonsniået. Den ariable gjennomsnittskostnaden for en produktmengde, er nettopp stigningstallet til strålen fra origo til c( ). For alle produktmengder laere enn, il de ariable gjennomsnittskostnadene snke med. Strålen som tangerer ( ) c i er den med det laest stigningstall; her oppnår AVC sitt minimum. For produktmengder utoer il kuren for AVC stige. Grensekostnaden for en bestemt produktmengde er gitt ed stigningstallet til grafen til de ariable kostnadene (også lik stigningstallet til de totale kostnadene) for den gitte produktmengden. Grensekostnaden iser økningen i ariabel kostnad per enhets marginale økning i produktmengden. Grensekostnaden ed en produktmengde er derfor gitt ed stigningstallet til c( ), lik stigningstallet til c ( ), utregnet i punktet. Grunnen til at dc( ) dc( ) c ( ) = = følger a at F er konstant. d d Siden i har at AVC er snkende i for <, må i i dette området ha ( ) < c ( ) c. I det området der AVC er stigende; ds. for >, må i selsagt ha ( ) > c ( ) c. Samme intuisjon som tidligere. Før i iser dette formelt, kan det ære nttig å se nærmere på grensekostnaden: Fra (3) og (4): ( ) = ( ) dc( ) w c w g, og dermed = w = = g ( ) c ( ). d ( ) Om i skal øke med én enhet, må bruken; jfr. (3), a den ariable faktor øke med enheter. Siden her enhet a faktor koster w kroner, il G ( )

7 7 grensekostnaden ære ( ) w, med måleenhet kroner per marginal enhet produktmengde. Hordan arierer nå = c ( ) AVC med? Derier direkte: c( ) c ( ) dc d( ) > > dc d c ( ) = = dc( ) c( ) (5) = = 2 d d d < dc < d d dc c mhp.. Dette gir oss Grensekostnaden il dermed skjære gjennom kuren for AVC i dennes minimum; på samme måte som den også il skjære gjennom minimumspunktet for de totale enhetskostnader. (Vis dette!) w g( ) Merknad: Legg merke til at fordi AVC =, kan i ise at ( ) ( ) d( c ) ( w g d ) w g ( ) w g( ) w = = = 2 w = g ( ) 2 d d G ( ) w G ( ) = w = [ ε ], ( ) G ( ) der i har brukt tidligere sammenhenger. Vi ser dermed at AVC okser (snker) med der er mindre (større) enn én. Men dette er samme betingelse for når gjennomsnittsproduktiiteten G ( ) = snker (okser) med bruken a faktor sel. Ikke oerraskende om en tenker etter! c) Vi skal nå se nærmere på det i kaller den økonomiske tilpasningen. Anta at bedriftens eiere ønsker så stort oerskudd som mulig når bedriften opptrer som prisfast kantumstilpasser også i ferdigaremarkedet, der pris i kroner per enhet a ferdigaren er gitt ed p. Vi ser bort ifra en eentuell beslutning om å legge anlegget ned; dermed gjenstår to spørsmål. Skal det produseres? His ja, hor me? Det første spørsmålet er knttet til om drift er lønnsomt eller ikke (driftsstans). His det til de gitte prisene er slik at det fins produktmengder som gir større oerskudd (profitt) enn ed driftsstans, da må i finne et sett a regler for denne beslutningen. ε c c

8 8 La profitten ære smbolisert ed π ( ), gitt som: p c( ; w) F : = D( ; w) F his > (6) π( ) = F his = der D angir dekningsbidraget. (Vi lar prisen på den ariable faktoren inngå i uttrkket for de ariable kostnadene, fordi i seinere il se hordan tilpasningen påirkes bl.a. a prisen på faktor endres.) Anta først at det til de gitte prisene fins produksjonskanta slik at c( ; w) Dw ( ; ) p. Da bør bedriften produsere siden den har et ikke negatit dekningsbidrag til dekning a F som jo løper uansett. c La ( ; w) α = Min angi minimum a de ariable gjennomsnittskostnadene slik som ist i nedre del a Figur 3. Vi har dermed Beslutningsregel #: His p α, er drift lønnsomt. Gitt at prisen er så hø at det fins produksjonskanta som gir ikke negatit dekningsbidrag, samtidig som det fins erdier på som gir Dw ( ; ) =, da et i også at D oppnår et maksimum for en eller annen produktmengde. Spørsmålet er: Hordan finner i den profittmaksimerende produktmengden og ha kjennetegner den? La oss resprodusere deler a Figur 3, slik som i Figur 4. c ( ), p, målt i kroner p α c ( ) Figur 4 Grense- og Gj.sn.ar. kostn. p α c ( ) c( )

9 9 Vi har tegnet inn en produktpris p som er høere enn den laeste prisen forenlig med fortsatt drift; α. Den tilhørende inntektslinjen er tegnet inn i øre del, mens prisen er asatt i nedre del. Fra den øre del a Figur 4 kan i asette funksjonen D: D Figur 5 Med de antakelsene i har gjort, il funksjonen for dekningsbidraget D() oppnå et maksimum for et produksjonskantum =, der i har π( ) > > π() = F. Gitt at p α, ha kjennetegner da årt profittmaksimum? Dette kantum er her kjennetegnet ed følgende to betingelser: (7) π ( ) = D ( w ; ) = p c ( w ; ) = for = π ( ) = D ( ; w) = c ( ; w) < rundt (Normalt er disse betingelsene bare nødendige.) Produktmengden skal innstilles slik at grensekostnaden er lik den gitte produktprisen, samtidig som i da er på den stigende (ikke snkende) delen a grensekostnadskuren. Fra tidligere har i at grensekostnaden er gitt som dc( ; w) w = w g ( ) = = c ( ; w), eller som: ( g( )) c = w. Vi skal d ( ) bruke denne til å se på sammenhengen mellom c på den ene siden og og/eller g på den andre siden. Fra sammenhengen i (3) finner i ed å deriere en gang til mhp. : (3) = ( g( )) g ( ) g ( ) + ( g( )) g ( ) Ved hjelp a kjernereglen og fordi w er konstant, finner i ed å deriere gjennom mhp. i sammenhengen ( g( )) c (, w ) = w : (8) ( g ( )) g ( ) c ( w ; ) + ( g ( )) c ( w ; ) = Vi et at såel som g begge er positie; samt at grensekostnaden er positi. For at annenordensbetingelsen c ( ; w) > skal ære oppflt, må følgelig tilpasningen finne sted i et område a produktfunksjonen der < ;

10 atakende grenseproduktiietet; eller, fra (3), der g >. Men da har i år andre beslutningsregel: Beslutningsregel #2: His drift er lønnsomt, il bedriften med åre ørige antakelser tilpasse seg i henhold til betingelsene i (7). Dermed il tilbudet a ferdigaren generelt kunne uttrkkes ed tilbudsfunksjonen (9) T his p < α = s( p; w ) his p α der s( p; w ) er definert som den stigende del a grensekostnadskuren som ligger oer kuren for de ariable gjennomsnittskostnadene; ds. ed p = c (( s p; w), w). w Førsteordensbetingelsen kan skries som: c (, w) = = p pg ( ) w G ( ) = E som definerer etterspørsel etter den ariable faktoren = X( w, p) ed drift. d) Komparati statikk: Hordan påirkes tilpasningen a endringer i priser? i) Endring i p: Derier p = c (( s p; w), w) mhp. p, og bruk at c >. Vi finner: s s () = c = >, med sakere kantumsutslag jo brattere helning p p c grensekostnadskuren har gjennom tilpasningspunktet. X X (Videre; fra p ( X( w, p)) = w, følger + p = = >.) p p p ii) Endring i w : Derier tilpasningsbetingelsen mhp. w, når i skrier den som p = w g ( ) = w g ( s( p; w)) = c (, w ): d d s = dw ( c (, w [ ] )) = dw w g ( s( p; w)) = g ( ) + w g ( ). Dermed må, fordi w g, g begge er positie, tilbudet a ferdigaren gå ned når den ariable faktoren stiger i pris: s g () = < w w g X X Men fra p ( X( w, p)) = w, må det da bet at: p = = < w w pg (Begge endringene kan enkelt illustreres i Figur 4.)