EKSAMEN I FAG SIF8052 VISUALISERING ONSDAG 11. DESEMBER 2002 KL LØSNINGSFORSLAG

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "EKSAMEN I FAG SIF8052 VISUALISERING ONSDAG 11. DESEMBER 2002 KL LØSNINGSFORSLAG"

Tron Nygaard
6 år siden
Visninger:

1 Sde a 9 TU orges teknsk-natrtenskapelge nerstet Fakltet for fyskk nformatkk og matematkk Instttt for datateknkk og nformasjonstenskap EKSAME I FAG SIF85 VISUALISERIG OSDAG. DESEMER KL LØSIGSFORSLAG OGAVE olygonbaserte modeller a En enkel datastrktr for et objekt modellert som en polygonbaserte modell kan ære bygd opp slk se fgr på neste sde: Objektet består a Flater som består a olygoner som er agrenset a Kanter som er agrenset a Hjørner Eksempler på mlge attrbtter: Objekt: Flate: Objektdentfkasjon Absoltte eller relate koordnater I tlfelle relate koordnater possjon a lokalt orgo og orenterng a akser eker tl neste objekt objektlste eker tl hode for flatelste Flatedentfkasjon Farge eker tl neste flate flatelste eker tl hode for polygonlste

2 Sde a 9 olygon: Kant: Hjørne: Tranglær eller kke Areal Flatenormal Koeffsenter A C D for polygonets plan nneholdet nformasjon om flatenormal Koneks eller kke Inneholder hll eller kke eker tl neste polygon polygonlste eker tl hode for kantlste Lengde Om kanten er mellom to polygoner eller to flater olygoner på begge sder a kanten eller kke eker tl neste kant kantlste eker tl hode for hjørnelste Koordnater Gjennomsnttsnormal Tekstrkoordnater for brk ed mappng på oerflaten eker tl neste hjørne hjørnelste Objekt Flate Flate Flate Flate olygon olygon... olygon... Kant Kant Kant Kant Kant Kant Hjørne Hjørne Hjørne Hjørne

3 Sde a 9 b V trenger lknngen for planet gjennom pnktene og. Den mplstte lknngen for et plan rommet er: Ax y Cz D Vdere et at dette er en normal tl planet: [ A C] T V danner to ektorer ed hjelp a pnktene og : U V Dsse to ektorene lgger planet og ektorprodktet a dem er en normal tl planet: U V Dermed har komponentene tl en normal og kan for de tre koeffsentene A og C elge å sette: A C x y z Det står gjen å bestemme den fjerde koeffsenten D. nktene og lgger alle planet og kan elge koordnatene tl ett a den sette nn lknngen for planet og løse med hensyn på D. V elger pnktet : D Ax y Cz Astanden mellom et lkårlg pnkt x y z rommet og planet er: d Ax y Cz D A C I denne formelen kan sette nn koordnatene for pnktet 4 og få astanden d 4. 4 lgger nnenfor grensen slk a kke trenger å gå dere med oppdelngen dersom: d 4 d max

4 Sde 4 a 9 c V tenker oss en flatenormal: [ A C] T som er kommet fram som ektorprodktet a to ektorer. V et at lengden a er proporsjonal med arealet a parallellogrammet spent t a de to ektorene. Dersom har et lkårlg plant polygon kan også se at det fnnes en normal tl dette polygonet som er proporsjonal med arealet a polygonet. En ser dette ed å tenke seg at polygonet er delt nn trangler halerte parallellogram med kanter som brkes tl å danne ett ektorprodkt for hert trangel. Smmen a alle dsse ektorprodktene blr da normalen tl polygonet. år polygonhjørnene kke lenger er koplanare men aket fra koplanartet kke er for stort kan fortsatt anende oenstående med god tlnærmelse som tgangspnkt en metode for å tlpasse et plan tl pnkter rommet hjørnene det kke plane polygonet. Oenstående er kke en kred del a besarelsen a deloppgae c. V tar skalarprodktet a normalen med her a enhetsektorene j og k langs koordnataksene x y og z. V har forelesnngsnotatene om tlpassng tl ønsket nøyaktghet: x y z A arealet a projeksjonen a polygonet planet x arealet a projeksjonen a polygonet planet y C arealet a projeksjonen a polygonet planet z Målet er å brke koeffsentene A og C den mplstte lknngen for planet søker: Ax y Cz D Dsse koeffsentene kan etter beho eller lkårlg skaleres med samme faktor ten at resltatet pårkes. Derfor kan når har n pnkter hjørner polygonet sette: A C n n n z x y z x y y z x y z x der smmasjonstegnet er defnert slkt: < n : n :

5 Sde 5 a 9 Den fjerde koeffsenten D kan for eksempel bestemmes som gjennomsnttserden a D- erdene får når setter koordnatene for her a de n nn den mplstte lknngen for planet. Ikke sprt etter oppgaen: Dersom noen a blr lggende for langt fra det endelge planet kan det blr nødendg å erksette oppdelng. OGAVE arametrske krer a Lknngen for den rette lnjen gjennom og på parametrsk form er: Q med som parameter. Et natrlg alg a geometrektor l åpenbart ære: b landefnksjonene blr: For : For : arameterektoren for en kre a grad er: [ ] Den bassmatrsen som denne parameterektoren må mltplseres med for å g blandefnksjonene oer er: M ln c Det konekse skallet som to pnkt kan spenne t er en rett lnje og den rette lnjen mellom pnktene l alltd måtte lgge nne dette skallet.

6 Sde 6 a 9 d For at blandefnksjonene skal ha konekst skall-egenskapen krees at smmen a blandefnksjonene skal ære for alle nterallet [ ] og at ngen a blandefnksjonene har negate erder det samme nterallet. Med den gtte bassmatrsen blr blandefnksjonene for Catmll-Rom-splnes: 4 5 Smmen a blandefnksjonene blr: 4 Ut fra dette kan konekst skall-egenskapen mlgens ære tl stede. Det er derfor også nødendg å ndersøke om noen a blandefnksjonene har negate erder nterallet. V ser på og dens førstedererte : V ser at for er og <. Dette betyr at for økende erder a ed er atakende. Dette betyr dere a må ha negate erder for erder a som lgger lke oer. Konklsjonen er at blandefnksjonene for Catmll-Rom-splnes kke oppfyller kraet for konekst skall-egenskapen. Det l selsagt også ære mlg å komme fram tl samme konklsjon ed å søke ekstremalerder for på anlg måte.

7 Sde 7 a 9 OGAVE Kbske ézer-krer a landefnksjonene med den gtt bassmatrsen blr: b Den parametrsk førstedererte får ed å derere det anlge ttrykket for kresegmentet: M Q z Sden bare parameterektoren er ahengg a parameteren blr den dererte: d dq Q c arameterektoren framkommer som den dererte med hensyn på parameteren. år parameteren representerer tden blr derfor parameterektoren å oppfatte som hastgheten tl partkkelen. d En geometrektor som nneholder en enkel sere a ekdstante og kolneære kontrollpnkt er: Dsse kontrollpnktene lgger langs x-aksen. V setter dette nn ttrykket for den parametrsk dererte fra deloppgae b og regner t:

8 Sde 8 a Q are x-komponenten er slk har ordnet oss a nteresse. Den er: Q x 6 6 V ser at bare dersom: l hastgheten ære konstant langs kren ahengg a parameteren. Og ser at dersom setter denne erden for nn den gtt bassmatrsen l få den kjente bassmatrsen for kbske ézer-krer. e G -kontntet oer en kreskjøt nnebærer at kresegmentene henger sammen og har sammenfallende tangent skjøten. C -kontntet nnebærer tllegg at lengden og retnngen a tangentektoren den parametrsk førstedererte er sammenfallende skjøten. Dersom parameteren representerer tden l tangentektoren representere hastgheten tl en partkkel som tenker oss beeger seg langs kren. Dersom har C -kontntet oer en kreskjøt l partkkelen beege seg ten brå endrng hastgheten oer skjøten. Dersom kke har C -kontntet l hastgheten brått endre seg det partkkelen passerer skjøten.

9 Sde 9 a 9 OGAVE 4 mp-mappng a Anendelse a lknng 5 l føre tl at man får en ny pertrbert flate med en ny pertrbert normal. Ideen som bmp-mappng bygger på er å beregne den pertrberte normalen ten å gjennomføre pertrbasjonen a sele flaten. Den pertrberte normalen benyttes hongs belysnngsmodell og skaper gjennom det nntrykk a en pertrbert flate. b Tangentektorene en får ed partell derasjon a flatelknngen med hensyn på parameterene og l begge lgge tangentplanet. Flatenormalen l også ære en normal tl dette planet. Dermed får for flatenormalen: c Flatenormalen for den pertrberte flaten er tlsarende: Med tgangspnkt lknng 5 oppgaeteksten får for dsse partelle dererte: V setter dette nn ttrykket for den pertrberte normalen og får: Leddene med felles faktor er kke skreet t. V fortsetter at er lten for alle erder a parameterene og. Under den fortsetnngen neglsjerer dsse leddene. Det fjerde leddet nneholder faktoren som er lk ektorprodkt a parallelle ektorer. V står da gjen med følgende ttrykk for den pertrberte normalen: D der: D raktsk bmp-mappng kan gjennomføres på forskjellge måter. Vektoren D kan bestemmes ed oenstående lknng eller ed for eksempel mlt-pass bmp-mappng.

Like dokumenter

EKSAMEN I FAG SIF8052 VISUALISERING MANDAG 21. MAI 2001 KL LØSNINGSFORSLAG

Sde 1 av 5 NTNU Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Fakultet for fyskk, nformatkk og matematkk Insttutt for datateknkk og nformasjonsvtenskap EKSAMEN I FAG SIF8052 VISUALISERING MANDAG 21. MAI 2001