EKSAMEN I FY1001 og TFY4145 MEKANISK FYSIKK

Transkript

1 TFY445/FY00 6. des. 20 Side a 8 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støneng, telefon: EKSAMEN I FY00 og TFY445 MEKANISK FYSIKK Fredag 6. desember 20 kl Bokmål Tillatte hjelpemidler (kode C): Bestemt enkel godkjent kalkulator. Rottmann: Matematisk formelsamling. C. Angell og B. E. Lian: Fysiske størrelser og enheter. Vedlagt formelark (side 7). Sensurdato: Senest 6. januar 202. Prosenttallene i parentes gitt ed her oppgae angir hor mye den i utgangspunktet ektlegges ed bedømmelsen. I de fleste tilfeller er det fullt mulig å løse etterfølgende punkter sel om et punkt foran skulle ære ubesart. Noen generelle merknader: - Symboler i kursi (f.eks. m for masse), enheter uten kursi (f.eks. m for meter) - Vektorer med fete bokstaer (f.eks. p) - ˆ er enhetsektor i -retning etc. - Ved tallsar krees både tall og enhet. I fleralgsspørsmålene er kun ett a sarene rett. Du skal altså sare A, B, C eller D. Rett sar gir 2.5 p, galt sar (eller flere sar) gir 0 p.

2 TFY445/FY00 6. des. 20 Side 2 a 8 Oppgae. Ti fleralgsspørsmål (teller = 25 %) a. A B C D Et hjul triller mot høyre uten å gli. Hilken figur iser riktige hastighetsektorer på de fire stedene på hjulet (nederst, øerst, enstre og høyre)? b. En kloss sendes oppoer et skråplan. Det er friksjon mellom klossen og underlaget. Hilken eller hilke a figurene iser mulig graf for klossens hastighet? (s angir klossens posisjon på skråplanet, og og s er begge positie i retning oppoer skråplanet.) A Kun graf. B Kun graf 2. C Graf 2 og 4. D Graf og 3. 2 s s 3 s 4 s c. A B C D Ei ogn har stor nok hastighet til å fullføre en ertikaltstilt sirkelformet loop. Hilken figur iser riktige akselerasjonsektorer på de fire stedene på loopen (nederst, øerst, enstre og høyre)? (Se bort fra friksjon.) d. His ogna i oppgae c (masse m) har hastighet 3gr på toppen a loopen (radius r), hor stor er da normalkraften fra loopen på ogna når ogna passerer nederst på loopen? A 4mg B 6mg C 8mg D 0mg e. En satellitt har potensiell energi U = U(r). Vi elger U( ) = 0. Ha blir da satellittens kinetiske energi K og totale energi E når den går i sirkelbane med radius r rundt jorda? A K = E = U/2 B K = E/2 = U C K = E/2 = U/2 D K = E = U f. Jordas radius er ca km. Astanden mellom (sentrum a) sola og jorda er ca km. Ha blir da et rimelig anslag for forholdet mellom banedreieimpulsen L b til jorda relatit sola og jordas spinn L s? (Tips: Anta sirkulær bane, og se oppgae 3d og edlagte formler.) A L b /L s B L b /L s C L b /L s 5 D L b /L s 5 0 3

3 TFY445/FY00 6. des. 20 Side 3 a 8 g. En ball med radius R og tyngde G henger i ei masseløs snor mot en ertikal egg som ist i figuren til høyre. Det er stor nok friksjon mellom egg og ball til at ballen kan henge med snorfestet på toppen, slik at snora danner en inkel på 45 grader med ertikalen. Ha er snordraget S? A S = 2G B S = G/ 2 C S = 2G D S = G/2 45 o R h. [t,,y]=tetread( legeme.tt, %f %f %f ); N=length(t); A=zeros(,N); B=zeros(,N); for i=2:n- A(i)=((i+)-(i-))/(t(i+)-t(i-)); B(i)=(y(i+)-y(i-))/(t(i+)-t(i-)); C(i)=A(i)*A(i)+B(i)*B(i); D(i)=sqrt((i)*(i)+y(i)*y(i)); E(i)=C(i)/D(i); end Matlabkoden til enstre leser, fra fila legeme.tt, sammenhørende erdier for tid (t) og kartesiske koordinater (, y) for et legeme som følger en sirkulær bane. Hilken fysisk størrelse representerer E i programmet? A B C D Kinetisk energi pr masseenhet. Lineær impuls pr masseenhet. Sentripetalakselerasjonen. Dreieimpuls pr masseenhet. i. Figuren til høyre iser såkalte faseplott, ds utsing og impuls p = mẋ, for fri singninger for en endimensjonal harmonisk oscillator. Hilke grafer tilsarer hh udempet, sakt ( underkritisk ) dempet og sterkt ( oerkritisk ) dempet oscillator? A B C D : udempet; 2: sakt dempet; 3: sterkt dempet : sakt dempet; 2: sterkt dempet; 3: udempet : sterkt dempet; 2: sakt dempet; 3: udempet : sterkt dempet; 2: udempet; 3: sakt dempet p p p j. En masse m er festet til ei fjær med fjærkonstant k og påirkes a en ytre harmonisk kraft F 0 cos ωt slik at den tinges til å singe med samme frekens, ds med utsing (t) = A(ω)sin(ωt+φ). Singebeegelsen påirkes a en friksjonskraft bẋ, med dempingskonstant b. Hor stor er utsingsamplituden A på resonans, ds for ω = ω 0 = k/m, i forhold til for riktig lae frekenser, ds ω 0? A B C D A(ω 0 )/A(0) = k/mb A(ω 0 )/A(0) = k/b A(ω 0 )/A(0) = m/kb A(ω 0 )/A(0) = km/b k b m F 0 cosωt

4 TFY445/FY00 6. des. 20 Side 4 a 8 Oppgae 2. Skråplan med friksjon (teller 20 %: ) g α 0 m µ En kasse sendes i ei med starthastighet 0 oppoer et skråplan. Kassen har masse m, skråplanet danner en inkel α med horisontalen, og friksjonskoeffisienten mellom kasse og skråplan er µ. Vi antar for enkelhets skyld at statisk og kinetisk friksjonskoeffisient er like store. a. Tegn to figurer, en der kassen er på ei oppoer skråplanet og en der kassen er på ei nedoer, og angi i begge figurer alle kreftene som irker på kassen. b. Kassen sklir en lengde L oppoer skråplanet før hastigheten er redusert til null. Finn L uttrykt ed gitte størrelser. Vurder om saret ditt er rimelig dersom skråplanet er nesten flatt og nesten friksjonsfritt, ds α 0 og µ 0. c. På ei opp skråplanet, oer lengden L, har kassen mistet en iss brøkdel a sin opprinnelige mekaniske energi E i, pga friksjonen mot underlaget. Finn et uttrykk for denne brøkdelen W f /E i, der W f angir friksjonsarbeidet oer lengden L. d. Anta at kassen sklir ned igjen. Finn et uttrykk for kassens hastighet når den har sklidd ned hele lengden L. His inkelen α er gitt, for hilke erdier a µ er saret ditt gyldig? Ha skjer med kassen his µ har en erdi som ligger utenfor gyldighetsområdet for? Oppgae 3. Jordas treghetsmoment (teller 5 %: ) ρ(r) ρ 0 Figuren iser en forenklet modell for jordas massetetthet (masse pr olumenhet) ρ(r). Vi antar at jorda er ei sti kule med radius R. a. Bruk figuren til å fastlegge konstanten α i funksjonen R r ρ(r) = ρ 0 ( αr/r) som beskrier hordan massetettheten atar fra sentrum og ut til oerflaten. b. Jordas masse kan nå skries på formen Vis dette, og fastlegg dermed konstanten β. M = βρ 0 R 3.

5 TFY445/FY00 6. des. 20 Side 5 a 8 c. Jordas treghetsmoment med hensyn på en akse gjennom sentrum kan uttrykkes på formen Vis dette, og fastlegg dermed konstanten γ. I 0 = γmr 2. d. Bruk erdiene 2.6 g/cm 3 og m for hh ρ 0 og R og regn ut jordas masse og treghetsmoment. (His du ikke har greid å bestemme β og γ i hh b og c, kan du benytte de omtrentlige erdiene β.8 og γ 0.3.) Oppgitt: Volum a tynt kuleskall: dv = 4πr 2 dr. Treghetsmoment til tynt kuleskall: di 0 = 2dm r 2 /3. Oppgae 4. Hastighetsmåling (teller 20 %: 5+7+8) M m R ω Figuren iser ei sirkulær horisontaltstilt skie som kan dreie praktisk talt friksjonsfritt om en ertikal aksling gjennom skias sentrum. Skia har uniform massetetthet, masse M = 0000 g og radius R = 0.00 cm. Den skal benyttes til å måle hastigheten til ei lita kule med masse m = 20.0 g. Kula kan betraktes som en punktmasse. Kula skytes horisontalt inn og kolliderer fullstendig uelastisk på skias oerflate i astand = 5.0 cm fra sentrum, som ist i figuren. Dette fører til at skia, som i utgangspunktet ar i ro, begynner å rotere med inkelhastighet ω, som måles til.00 rad/s. Etter en grundig analyse a eksperimentet kommer du fram til at målte størrelser har følgende usikkerhet: M = g, m = 0. g, R = 0.0 cm, = 0. cm og ω = 0.0 rad/s. a. Forklar kort horfor erken energi- eller impulsbearelse kan benyttes til å løse dette problemet. Forklar deretter kort horfor dreieimpulsbearelse relatit skias sentrum kan benyttes til å løse problemet. Skias sentrum benyttes som referansepunkt idere i oppgaen. b. Finn et uttrykk for systemets dreieimpuls L i før kula kolliderer med skia. Finn også et uttrykk for systemets dreieimpuls L f etter at kula har kollidert med skia. Med utgangspunkt i tallerdiene nent innledningsis, is at kulas hastighet er gitt ed = ωmr2 2m. c. Finn et uttrykk for relati usikkerhet i kulas hastighet, /, uttrykt ed relati usikkerhet i samtlige målte størrelser. Foreta deretter en kritisk urdering a hilken eller hilke størrelsers målefeil som bidrar signifikant til, og bestem kulas hastighet med usikkerhet, på formen ±, med ett gjeldende siffer i. Oppgitt: Treghetsmoment for skie: I 0 = MR 2 /2. (Se også edlagte formler.)

6 TFY445/FY00 6. des. 20 Side 6 a 8 Oppgae 5. Jakt på Nordpolen. (teller 20 %: 4+0+6) ρ ω N I denne oppgaen er i på jakt på Nordpolen (N) og ønsker å gjøre oss noen betraktninger knyttet til prosjektilets bane, i lys a at i befinner oss i et roterende referansesystem (inkelhastighet ω), slik at prosjektilet påirkes a både corioliskraft F C, tyngdekraft G og luftmotstand f. Våre prosjektiler har masse m = 20 g og forlater munningen a åpenet med hastighet u 0 = 800 m/s, noe som er mer enn nok til at luftmotstanden hele tiden kan regnes som kadratisk ahengig a hastigheten, ds f = bu 2, med b = Ns 2 /m 2. Alle skudd afyres horisontalt. a. Beregn tallerdier for kreftene F C, G og f som irker på prosjektilet når det forlater geærmunningen. Horfor kan i se bort fra sentrifugalkraften her? b. Du har nå forhåpentlig konstatert at luftmotstanden f dominerer fullstendig med tanke på å bestemme prosjektilets hastighet som funksjon a tiden, u(t), fra det forlater geærmunningen (ed t = 0) til det ankommer målet en astand L unna (ed t = τ). Bruk Newtons andre lo og skri ned differensialligningen for u(t), i det du ser bort fra andre krefter enn luftmotstanden f = bu 2. Løs ligningen ed å integrere fra t = 0 til t = t, og is dermed at hastigheten blir på formen u(t) = u 0 + αt, der det blir din oppgae å bestemme konstanten α uttrykt ed gitte størrelser. Vis deretter at prosjektilet tilbakelegger distansen L i løpet a tiden Tips: ds = udt. τ = α ( ) e αl/u 0. c. Anta nå at L = 50 m. Hor langt, z, faller prosjektilet mot bakken oer denne strekningen? Og hor langt,, abøyes prosjektilet mot høyre oer denne strekningen? His du ikke har funnet et uttrykk for α i punkt b, kan du her bruke den omtrentlige erdien 3/6. Kommenter til slutt kort om dine erdier for z og gir grunnlag for å legge siktepunktet hh litt høyt eller litt til enstre. Oppgitt: d = ln

7 TFY445/FY00 6. des. 20 Side 7 a 8 FORMLER. Formlenes gyldighetsområde og symbolenes betydning antas å ære kjent. Symbolbruk og betegnelser som i forelesningene. Vektorer med fete typer. Newtons andre lo: F = dp/dt Konstant akselerasjon: = 0 + at p = m = mṙ = t + 2 at2 Konstant inkelakselerasjon: ω = ω 0 + αt θ = θ 0 + ω 0 t + 2 αt2 Arbeid: dw = F dr Kinetisk energi: K = 2 m2 r Konserati kraft og potensiell energi: U(r) = F dr F = U(r) r 0 Friksjon, statisk: f µ s N kinetisk: f = µ k N Luftmotstand (liten ): f = k Luftmotstand (stor ): f = b 2ˆ Tyngdepunkt: R CM = r i m i r dm M M i Sirkelbeegelse: = rω Sentripetalakselerasjon: a = 2 /r Baneakselerasjon: a = d/dt = r dω/dt Dreiemoment: τ = (r r 0 ) F Statisk likeekt: ΣF i = 0 Στ i = 0 Dreieimpuls: L = (r r 0 ) p τ = dl/dt Stie legemer, sylindersymmetri mhp rotasjonsaksen: L = L b + L s = (R CM r 0 ) MV + I 0 ω Kinetisk energi, stit legeme: K = 2 MV I 0ω 2 Treghetsmoment: I = m i ri 2 r 2 dm i Steiners sats (parallellakseteoremet): I = I 0 + Md 2 Graitasjon: F = GMm r 2 ˆr U(r) = GMm g = F/m V (r) = U(r)/m r Enkel harmonisk oscillator: ẍ + ω 2 = 0 T = 2π/ω f = /T = ω/2π Masse i fjær: ω = k/m Fysisk pendel: ω = mgd/i Matematisk pendel: ω = Dempet singning, langsom beegelse i fluid: mẍ + bẋ + k = 0 Underkritisk demping: (t) = Ae bt/2m sin(ωt + φ) ω = k/m b 2 /4m 2 Oerkritisk demping: (t) = Ae t/τ + Be t/τ 2 τ,2 = ( b/2m ± Tungen singning, harmonisk ytre kraft: mẍ + bẋ + k = F 0 cos ωt (partikulær-)løsning: (t) = A(ω) sin(ωt + φ(ω)) F 0 /m amplitude: A(ω) = ω (ω 2 2 ω0 2)2 + (bω/m) 2 0 = k/m g/l b 2 /4m 2 k/m Kraft F målt i koordinatsystem S som roterer med inkelfrekens ω: F = F + mω 2 ρ + 2mu ω (F er kraft målt i inertialsystemet S, ρ er astand fra rotasjonsaksen, u er hastighet målt i S.) n ( ) Gauss feilforplantningslo: ( q) 2 q 2 = a i a i= i Middelerdi (gjennomsnittserdi): = N i N i= ) Standardaik (feil i enkeltmåling): δ = ( N ( i ) 2 N Standardfeil (feil i middelerdi): δ = δ / N i= )

8 TFY445/FY00 6. des. 20 Side 8 a 8 GOD JUL!