Notat 3: Magnetfelt og magnetisme som relativistisk fenomen (orienteringsstoff; ikke pensum til eksamen)

Transkript

1 nst. for fysikk 202 TY455/Y003 Elektr. & magnetisme Notat 3: Magnetfelt og magnetisme som relatiistisk fenomen (orienteringsstoff; ikke pensum til eksamen) Utgangspunkt: Anta at i kjenner til Coulombs lo og elektriske krefter. Vi et derimot ingenting om magnetfelt og magnetisme. (kke så ulikt år situasjon nå.) Vi gjør så eteksperiment: a (uendelig) lang strømførende leder... og måler til år store oerraskelse en kraft på ladningen : k a med retning inn mot lederen dersom >0. (Retning ekk fra lederen dersom, eller skifter fortegn.) Lederen er elektrisk nøytral den elektriske kraften må ære null! HVOR KOMMER KRATEN RA?? Løsning: Relatiitetsteori! Lorentzkontraksjon: staen :) :) Per Pål Per: Staens lengde er L. Pål: Staens lengde er L/γ < L. TY455/Y003 s.

2 Her er: γ 2 /c 2 med c lyshastigheten ( m/s lengderetning) i forhold til Pål. m/s) og hastigheten til staen og Per (i staens Eksempel: Per er i ro i forhold til staen og måler dens lengde til m. Pål ser en sta som har en hastighet km/s. Da er 2 /c og Pål il si at staens lengde er m, ds 5 mm kortere. Altså: Objekter i beegelse er kortere enn når de er i ro! Konsekenser a Lorentzkontraksjon for ladningen som er i beegelse langs den strømførende lederen: :) Per u a :) Pål dq dt strømførende leder 2λ dx dt u 2λ u Per: Lederen har negati ladning λ pr lengdeenhet og positi ladning λ pr lengdeenhet. Alt i alt er lederen elektrisk nøytral. Dette ser Pål: Pål: Lederen har negati ladning λ per lengdeenhet og positi ladning λ + pr lengdeenhet. De negatie ladningene har størst hastighet i forhold til meg. På grunn a størst Lorentzkontraksjon ligger derfor disse tettere enn de positie ladningene. Altså erλ >λ +. Alt i alt er lederen ikke elektrisk nøytral; denharennetto negati ladning Δλ λ + λ + < 0. Dermed måler Pål en tiltrekkende elektrisk kraft på ladningen : Δλ Pal e E 2πε 0 a der i har brukt at elektrisk felt i astand a fra en uendelig lang sta med ladning Δλ pr lengdeenhet er (se øing 2, oppgae 3d og øing 5, oppgae 2) E Δλ/2πε 0 a So what? Vi er typisk i Pers situasjon, ds på laben, i ro i forhold til lederen, og hem har sagt at Per, som ser en nøytral leder, il måle en kraft på? TY455/Y003 s.2

3 Jo, det sier Einstein, med sitt relatiitetsprinsipp: ysikkens loer gjelder i alle inertialsystemer, ds i alle referansesystemer som er i ro eller i konstant hastighet. Dermed: His Pål måler en kraft på, må også Permåle en kraft på! forelesningene tok i her rett og slett en snarei og konstaterte at Per 2 /c 2 Pal Δλ 2λu c 2 2 /c 2 Den første a disse to ligningene skal i ikke forsøke å utlede, men den uttrykker altså hordan krefter, ifølge relatiitetsteorien, transformerer mellom ulike referansesystemer som er i relati beegelse med hastighet. årt tilfelle er ladningen i ro i Pål sitt referansesystem, i Per sitt referansesystem har den hastighet (mot høyre). His da Pål måler en kraft Pal Pal + Pal der Pal er komponenten a Pal parallelt med hastighetsektoren og Pal er komponenten a Pal normalt på hastighetsektoren, så kan det ises at Per il måle en kraft Per Per + Per Pal + γ Pal Med andre ord, en eentuell kraftkomponent parallelt med blir den samme i de to referansesystemene (i årt tilfelle er 0), mens for kraftkomponenten normalt på (og år kraft er nettopp normalt på ) hari som konstatert oenfor. Per γ Pal 2 /c 2 Pal Den andre a de to ligningene oenfor kan i utlede på bakgrunn a Einsteins regel for addisjon a relatie hastigheter. La oss ta for oss 3 objekter A, B og C. Dersom AB er hastigheten til A relatit B og BC er hastigheten til B relatit C, da ille en nok intuitit tenke som Galilei og si at AC AB + BC må bli hastigheten til A relatit C. Tro det eller ei, men dette er faktisk ikke riktig! Og problemet oppstår i forbindelse med Einsteins 2. postulat (det. postulatet ar relatiitetsprinsippet, se oenfor): Lyshastigheten c i akuum er konstant, uahengig a kildens eller obseratørens relatie hastighet. Nå ser du problemet med Galileis addisjonsformel: Dersom AB c (ds A er et lyssignal som beeger seg med hastighet c iforholdtilb), blir AC c (ds C il påstå at hastigheten til lyssignalet A ikke er lik c)!! Løsningen har i med Einsteins addisjonsregel: AC AB + BC + AB BC /c 2 Setter du nå AB c, il du også finne at AC c, i samsar med postulatet oenfor. Utstyrt med denne formelen kan i nå regne ut hor stor Lorentzkontraksjon ladningen ser for henholdsis de positie og de negatie ladningsbærerne i den strømførende lederen. Lederladningenes hastighet målt a Pål: ±u +( ) u ± +(±u) ( )/c 2 ± u u/c 2 Her er lederladningene objekt A (øre fortegn for de positie), Pål og ladningen er objekt C, mens Per tilsarer objekt B. Dermeder AC u ± lederladningenes hastighet relatit Pål og, AB ±u lederladningenes TY455/Y003 s.3

4 hastighet relatit Per (ds laboratoriet, der lederen ligger i ro), mens BC Pers (og laboratoriets) hastighet relatit Pål (og ladningen ). Da kan i regne ut Lorentzkontraksjonsfaktorene γ ± for de positie (øre fortegn) og de negatie (nedre fortegn) lederladningene, sett fra Pål og sitt referansesystem: γ ± u 2 ± /c2 (u )2 ( u/c 2 ) 2 c 2 u/c 2 ( u/c 2 ) 2 (u ) 2 /c 2 u/c 2 2u/c2 + u 2 2 /c 4 u 2 /c 2 2 /c 2 ± 2u/c 2 u/c 2 ( u2 /c 2 ) ( 2 /c 2 ) Dette gjør oss i stand til å regne ut tettheten a lederladninger, obserert fra Pål og sitt referansesystem: λ ± γ ± λ 0 der (NB!) λ 0 er (antalls-)tettheten a lederladninger målt a lederladningene sel. Per, i ro i laboratoriet, måler antallstettheten λ for lederladningene. Ettersom disse har hastigheten u relatit Per, blir sammenhengen mellom λ og λ 0 λ u2 /c λ 2 0 (> λ 0 ) Ds like stor Lorentzkontraksjon for positie og negatie lederladninger, sett fra Pers ståsted. (Sagt på en annen måte: ordi Per måler like stor antallstetthet for positie og negatie lederladninger, og dermed en elektrisk nøytral leder, og samtidig like stor hastighet (±) u, betyr det at lederladningene sel ogsåmåmåle en like stor antallstetthet λ 0,entendenå er a det positie eller negatie slaget.) Tilbake til Pål og, somnåaltså ikke obsererer en elektrisk nøytral leder, men derimot en ladet leder med ladning pr lengdeenhet Δλ λ + λ γ + λ 0 γ λ 0 (γ + γ ) u 2 /c 2 λ u2 /c 2 λ [ ( u2 /c 2 ) ( 2 /c 2 ) u ( c + u )] 2 c 2 2λu c 2 2 /c 2 Det negatie fortegnet innebærer at Pål ser en negatit ladet leder, noe i allerede fant ut på side3.nåharii tillegg altså regnet ut hor mye negati ladning Pål ser på lederen. Dermed kjenner i elektrisk kraft målt a Pål (side 3), horetter i kan regne ut magnetisk kraft målt a Per, ds i laboratoriet: Per m 2 /c 2 2λu 2πε 0 ac 2 2 /c 2 2λu magnetisk kraft fra strømførende leder på ladning iastanda og med hastighet langs lederen. Ds: Som årt eksperiment, med (ds en naturkonstant) La oss skrie k 2πε 0 c 2 Per m B TY455/Y003 s.4

5 med B Størrelsen B er nettopp magnetfeltet (her: i astand a fra en lang, rett strømførende leder med strøm ), og m er den magnetiske kraften på ladningen med hastighet. Merk at i har fått oppklart to iktige spørsmål: Hor kommer magnetfeltet fra? Sar: ra ladninger i beegelse, ds elektrisk strøm. Hordan irker den magnetiske kraften på en ladning i beegelse? Sar: m B Men hordan uttrykke m B på ektorform? Både m og er jo ektorer, men ikke parallelle ektorer... Vi må ty til kryssprodukt! La B ære en ektor som peker inn i planet: B x m Daseriatikanskrie: m B KONKLUSJON: ra før: Elektrisk felt E lages a ladninger (i ro eller i beegelse) og resulterer i elektrisk kraft på ladninger (i ro eller i beegelse): e E Nå: Magnetfelt B lages a strøm (ds ladninger i beegelse) og resulterer i magnetisk kraft på ladninger i beegelse: m B Med både E og B til stede samtidig, påirkes ladningen med hastighet a Lorentzkraften e + m E + B E B e m Tekst: Jon Andreas Støneng TY455/Y003 s.5