Newtons lover i to og tre dimensjoner

Transkript

1 Newons loer i o og re dimensjoner Innleeringsfris oblig 1: Tirsdag, 9.Feb. kl.18 Innleering kun ia: hps://deilry.ifi.uio.no/ Fellesinnleeringer (N 3): Alle må bidra il besarelsen i sin helhe. Definer en gruppe i Deilry Skri ydelig på besarelsen hem du leerer med FYS-MEK

2 Beegelse i re dimensjoner Beegelsen er karakeriser ed posisjon, hasighe og akselerasjon. Vi må bruker ekorer: posisjon: r() = x i + y j + z()k hasighe: akselerasjon: = dr d = dx dy dz i + j + d d d k = x i + y j + z ()k a = d d = d x d i + d y d j + d z d k = a x i + a y j + a z ()k hasighe: () far: ( ) ( ) kraf akselerasjon NL inegrasjon hasighe, posisjon FYS-MEK

3 Fri-legeme diagram i 3 dimensjoner Tegn e fri-legeme diagram for den øerse ballen. sysem: øre ballen omgielse: nedre ballen, kare konakpunker konakkrefer: normalkraf fra egg på ball normalkraf fra nedre ball på øre ball langrekkende kraf: graiasjon sysem er i ro: Fex Nw Nb G ma N b N w G FYS-MEK

4 FYS-MEK hp://pingo.upb.de/ access number: En kjede fese il bilen holder bilen i ro på den friksjonsfrie rampen (inkel ). Rampen uøer en normalkraf på bilen. Hor sor er normalkrafen N i forhold il eken W a bilen? an cos sin W N W N W N W N W N T sin cos W T W N W T N

5 Relaibeegelse og referansesysemer En person kjører med konsan hasighe i en åpen bil og kaser en ball re opp. Hordan il en annen person som sår på gaen beskrie beegelsen? (Vi ser bor fra lufmosand.) Se fra bilen (sysem S ): ballen beeger seg re opp og faller re ned igjen. Se fra gaen (sysem S): beegelsen beskries som en skrå kas S y y S r ' R r x x posisjon i gae-sysem S: r () posisjon i bil-sysem S : r '( ) posisjon a bilen i gae-sysem: R () r( ) R( ) r'( ) FYS-MEK

6 S y y S r r( ) R( ) r'( ) ' R x r dr d dr dr ' ( ) R( ) r'( ) u '( d d d d x d d d' a( ) u '( ) a'( ) d d d ) Bilen beeger seg med konsan hasighe u akselerasjonene er de samme i begge sysemer. Sysemer som beeger seg med konsan hasighe er inerialsysemer. Samme krefer og akselerasjon i begge sysemer. Hordan beskrie i beegelsen a ballen? fra bilen (sysem S ): enese kraf er graiasjon: G = mgj iniialbeingelse: = = j fra gaen (sysem S): enese kraf er graiasjon: G = mgj iniialbeingelse: = u + = ui + j FYS-MEK

7 Eksempel: Du ror en bå oer en el. Elen srømmer med hasighe. Hilken inkel bør du holde for å komme re oer elen? Sysem fese på elebredden: S Sysem fese il anne: S hasighe il anne i sysem S: hasighe il båen i sysem S : hasighe il båen i sysem S: u = i b = b sin θ i + b cos θ j b = u + b = i b sin θ i + b cos θ j For å komme re oer elen må hasighe i x rening ære null i sysem S b sin θ = sin( ) b sin( ) 1 b Du kan bare klare de his du ror raskere enn elen srømmer. FYS-MEK

8 hp://pingo.upb.de/ access number: E slagskip skyer samidig o skudd mo fiendeskip. Iniialfaren er de samme for begge skudd, men inklene mo horison er forskjellige. Granaene følger de parabolske banene is. Hilke skip blir ruffe førs? skip A skip B skipene blir ruffe samidig FYS-MEK

9 Skrå kas E prosjekil skyes u fra bakkeniå med far og inkelen mo horisonale. sysem: prosjekil omgielse: luf koordinasysem: x horisonal, y erikal iniialbeingelser: r = = = cos α i + sin α j konakkrefer: lufmosand langrekkende kraf graiasjon nyig å egne hasighesekoren i fri-legeme diagram. ikke bland ekorer for hasighe og kraf! Hasighesekoren må ikke berøre syseme. FYS-MEK

10 Forenkel modell: i ser bor fra lufmosanden: (Vi inkludere lufmosanden senere.) F D y ĵ enese kraf: graiasjon: G = mgj î x Newons andre lo: Fne = G = mgj = ma a = gj i komponener: a a x y g kas uen lufmosand: ingen akselerasjon i x rening FYS-MEK

11 akselerasjon: a g ˆj iniialbeingelse: = = cos α i + sin α j hasighe: = a d = gj d = gj = gj = cos α i + ( sin α g)j i komponenform: x y ( ) ( ) cos( ) sin( ) g konsan hasighe x x sørre for små inkel men skip A ligger nærmere... FYS-MEK

12 hasighe: = gj iniialbeingelse: r ) r ( posisjon: r r = d = gj d r = 1 g j = cos α i + sin α 1 g j i komponenform: x( ) y( ) cos( ) sin( ) 1 g FYS-MEK

13 hp://pingo.upb.de/ access number: E slagskip skyer samidig o skudd mo fiendeskip. Iniialfaren er de samme for begge skudd, men inklene mo horison er forskjellige. Granaene følger de parabolske banene is. Hilke skip blir ruffe førs? skip A skip B skipene blir ruffe samidig FYS-MEK

14 posisjon som funksjon a iden: x( ) y( ) cos( ) sin( ) 1 g skipe skyer ed id = prosjekile reffer ed id 1 : y( 1 ) 1 sin( ) g sin( ) 1 g 1 sin( ) g iden 1 er korere for små inkel skip B blir ruffe førs. FYS-MEK

15 Vi har bruk oppskrifen: finn iniialbeingelser idenifiser krefer, løs beegelsesligninger... rygg meode, sikker å finne sare Argumenasjon som renger li erfaring: beegelsen i x og y rening er koble fra herandre: konsan hasighe i x rening, beegelse med konsan akselerasjon i y rening parabelbane er symmerisk: de ar like lang id å komme opp som ned jo høyere den maksimale høyden jo lengre id ar de å falle ned FYS-MEK

16 Hilken inkel bør du elge for å skye lengs mulig? kulen reffer bakken ed iden 1 : 1 sin( ) g x( ) y( ) cos( ) sin( ) 1 g x komponen a posisjon ed id 1 : x( 1) 1 cos( ) sin( )cos( ) g i derierer for å finne maksimum: dx d (cos sin ) g cos sin an 1 45 Prosjekile kommer lengs med =45. FYS-MEK

17 FYS-MEK Numerisk løsning for små idsseg : a ) ( ) ( ) ( a ) ( ) ( ) ( i Malab: for hasighe: r r ) ( ) ( ) ( r r ) ( ) ( ) ( i Malab:

18 Numerisk løsning FYS-MEK

19 [ ] Som forene kommer prosjekile lengs når i elger 45. Prosjekile kommer like lang ed og 9 : x( 1) sin( )cos( ) g men iden 1 er forskjellig FYS-MEK

20 hp://pingo.upb.de/ access number: Hilken inkel bør du elge for å komme lengs mulig his du kaser en ball fra ake a en bygning? (Vi ser forsa bor fra lufmosand.) > 45 = 45 < 45 FYS-MEK

21 Kommer prosjekile også lengs med 45 his i skyer fra en høyde h >? De er anskelig å regne u analyisk: finn id 1 når: y( 1 ) h 1 sin( ) g 1 1 sin( ) g sin g ( ) 1 h g x ) cos( ) og så må i finne maksimum... ( 1 1 De er le å gjøre numerisk: FYS-MEK

22 His du skyer fra en høyde h oer bakken: r = r = hj iniialbeingelser: y m m/s [ ] Vi kan finne den maksimale lengden ed ariasjon a : x max max m FYS-MEK

23 Skrå kas med lufmosand Vi har allerede diskuer o modeller for iskøs kraf: for små hasighe: eksempler: fallskjermhopp grus i anne... F k for sørre hasighe: F eksempler: sku a en kanonkule ballkas bil, og, fly D spesialfall: r ( ) r h ˆ j ( ) endimensjonal, ball faller ned med graiasjon, bremse a lufmosanden y G F D Lufmosandskrafen øker med hasighe il den blir like sor som graiasjonskrafen: F ne D mg ˆj akselerasjonen blir null og D ballen oppnår erminalhasighe: ay T g m meode for å finne lufmosandskoeffisien: måling a erminalhasighe D mg T FYS-MEK

24 Skrå kas med lufmosand Fri-legeme diagram: Fne = F D + G = D mgj NL: Fne = ma a = F ne m = D m gj hor x y komponener: a x d x d D m x x y a y d y d D m y x y g koble beegelse: a a, ) a a, ) x x( x y y y( x y i kan ikke løse beegelsesligningen for her komponen separa, i må løse beegelsesligninger for x og y rening samidig de gjører i bes numerisk FYS-MEK

25 Numerisk løsning for skrå kas med lufmosand Fne = F D + G = D mgj Fne = ma funksjon norm(a) beregner lengden il ekoren A norm(a) = sqr(do(a,a)) FYS-MEK

26 Numerisk løsning for skrå kas med lufmosand FYS-MEK

27 Resula D =.49 kg/m D = kg/m iniialbeingelser: h m m/s 35 prosjekile beeger seg ikke lenger på en parabel bane ikke anskelig å implemenere lufmosanden numerisk, men analyisk løsning blir mege kompliser. ha beyr lufmosand for den bese inkelen? FYS-MEK

28 [ ] x max max m obs: Vi har funne bese inkelen for gi iniialbeingelser og parameer: h,, D! FYS-MEK

29 Hilken inkel burde jeg bruke for å kase lengs fra Prekesolen? (Samme iniialhasighe og lufmosand, men h = 6 m.) [ 1 3] x max max m His høyden er sor må du bruke en mindre inkel for å komme lengs. På sluen faller ballen ned erikal oer en iss høyde er max konsan. Den enese måe å kase lenger er å øke. FYS-MEK