Betinget bevegelse

Transkript

1 Beinge beegelse FYS-MEK

2 epeisjon: ball som spreer lfmosand: F D = D () normalkraf: = +k y j 0 y y > graiasjon: G = mgj nmerisk beregning: hensiksmessig alg a idsseg = s = 0.01 s = 0.03 s FYS-MEK

3 epeisjon: graiasjonsloen F G mm r r r mm r r å falle rn jorden bane ahengig a iniialbeingelser 0 = m/s 0 = m/s 0 = m/s FYS-MEK

4 fri beegelse beegelsen besemmes a krefene og iniialbeingelser forskjellige iniialbeingelser forskjellige bane beinge beegelse banen er gi krefene og iniialbeingelser besemmer hordan objeke beeger seg på denne banen FYS-MEK

5 Lineær beinge beegelse beinge beegelse beegelse langs en bane Posisjon il legeme hor lang har legeme komme langs banen? i måler asand s() langs banen Perlen kan ikke beege seg enfor snoren. Snoren gir en beingelse for beegelsen il perlen. beinge beegelse Vi elger e koordinasysem: r = x()i her er de enkel: s( ) x( ) hasighe: = dr = dx ds i = i generell for beinge beegelser: Perlen beeger seg langs x aksen. FYS-MEK

6 posisjon il oge i sysem S: r = + s()i enhesekor i beegelsesrening: i = cos θ i + sin θ j bane il oge i sysem S: r s = + si posisjon langs banen: s( ) x'( ) hasighe: = dr = d + s()i = ds i far: ( ) ( ) ds ds måler hasigheen langs banen FYS-MEK

7 En bil kjører rnd en sing posisjonsekor: r () r r s r s r kjørelengde langs banen: s() i parameriserer banen med kjørelengden: r (s) hasighe er angenial langs eien: ( ) ( ) ( ) angensialekor: s( ) er ahengig a hor på banen bilen er og dermed også idsahengig. i kan måle faren langs banen: dr dr ds ( ) ( ) ds ( ) ( ) for små ineraller er kjørelengde og forflyning de samme: s r r' r og forflyningsekor peker i angensial rening. dr ds r s s( ) ds FYS-MEK

8 FYS-MEK ) ( ) ( ) ( ) ( ds hasighe: akselerasjon: d a ) ( d d ) ( ) ( ) ( ) ( d ) ( ) ( for små ineraller: s ) ( rening a er normal på angensialekoren 0 1 enhesekor û s d 0 lim s lim 0 d d d a ) ( a a a senripealakselerasjon o komponener : lokal krmningsradis

9 a( ) d a a lokale koordinaer: aksekors a angensial og normal ekorer følger med objeke langs banen angensialkomponen a akselerasjon: forandring a faren langs banen a d angensialakselerasjon normalkomponen a akselerasjon: forandring a beegelsesrening akselerasjon som rengs for å bli på banen a senripealakselerasjon FYS-MEK

10 ( ) s 1 d 1 ds dr ds d ds s : lokal krmningsradis d r ds 1 FYS-MEK

11 Eksempel: ds ( ) 0 E legeme beeger seg med konsan far på en sirkelbane med radis. ( ) 0 ( ) a( ) d d ( ) ( ) a a angensialakselerasjon: a d 0 legeme beeger seg med konsan far og har ingen akselerasjon langs sirkelbanen. senripealakselerasjon: ( ) ( ) 0 a senripealakselerasjonen har konsan sørrelse og peker mo sirkelens senrm. FYS-MEK

12 Eksempel: E legeme beeger seg på en sirkelbane med radis med konsan far. De ar en id for e hel omløp. faren er konsan: ds s s( ) ( ) ds d ) d ( d inkelhasighe, enhe: rad s her er inkelhasigheen konsan: d a d konsan far ingen angensialakselerasjon a senripealakselerasjon FYS-MEK

13 hp://pingo.pb.de/ access nmber: E objek beeger seg på en sirkelbane mo klokken. Under beegelsen peker akselerasjonsekoren allid i rening mo pnk A. Faren il objeke 1. øker i S og minker i Q.. minker i S og øker i Q. P 3. øker i P og minker i. 4. minker i P og øker i. 5. Ingen objek kan beeger seg på denne måen. Q A S FYS-MEK

14 P Q A S far langs banen øker far langs banen minker Faren øker i P og minker i. Faren er maksimal i Q og minimal i S. FYS-MEK

15 hp://pingo.pb.de/ access nmber: En berg-og-dalbane kjører gjennom en looping. I de laese pnk er akselerasjonen fire ganger sørre enn på oppen a loopen. I forhold il faren på oppen er faren i bnnen: A. ganger sørre B. ganger sørre C. 4 ganger sørre D. 16 ganger sørre E. ahengig a eken a a senripealakselerasjon: a Vi kan beskrie beegelsen langs en bane, men hordan finner i akselerasjonen? krefer i en beinge beegelse. FYS-MEK

16 Spesialfall for beinge beegelse: ingen beegelse ingen beegelse, men en beingelse: bakken hindrer bilen å falle banen er gi fri-legeme diagram: konakkrefer: normalkrefer 1, langrekkende kraf: graiasjon G i kjenner graiasjonskraf: G = mgj men i kjenner ikke normalkrefene. ewons andre lo: F G ma ex 1 1 G 0 beingelse fra banen ( bilen faller ikke ) informasjon om normalkrefene FYS-MEK

17 en bil kjører langs en horisonal ei beinge beegelse: banen er gi graiasjon: F ex 1 G = mgj normalkraf: = 1 + = G F ma 1 + j Vi anar a en yre kraf F beeger bilen horisonal langs eien. Fex = Fi + ( 1 + mg)j = ma x i + ma y j langs eien fri beegelse F ma x normal il eien beinge beegelse 1 mg may 1 mg 0 his eien er gi (beinge beegelse) dekomponer krefene: krefer langs eien krefer normal il eien FYS-MEK

18 1 G x en bil på skråplan koordinasysem: x aksen langs plane y aksen inkelre på plane G y G ewons andre lo: F G ma ex 1 normalkraf: = 1 + = 1 + j graiasjon: komponener i x og y rening G = G x i + G y j G x Gsin() G y Gcos() G = G sin(α) i G cos(α) j G G mg G x i G y j = ma x i + ma y j ingen beegelse i y rening: 1 G y may 1 Gy Gcos( ) mg cos( ) 0 akselerasjon i x rening: Gx ma x G Gsin( ) mgsin( ) x ma x a x g sin() FYS-MEK

19 hp://pingo.pb.de/ access nmber: Jeg singer en ball i en snor på en erikal sirkelbane. I de nederse pnke på banen er snordrage: 1. Sørre enn yngden il ballen. Like sor som yngden il ballen 3. Mindre enn yngden il ballen FYS-MEK

20 Snordrage : kraf fra snoren på ballen Graiasjon G (Vi ser bor fra lfmosand.) L i y rening: G may G ma y senripealakselerasjon mo sirkelens senrm: mg m m mg a y a y mg m m mg Snordrage er sørre en yngden il ballen. Snoren kan bare dra, ikke dye: >0 minimalfar for å holde snordrage posii! FYS-MEK

21 hp://pingo.pb.de/ access nmber: En bil kjører oer en bakkeopp med faren. Da er: 1. G. G 3. G 4. Vi kan ikke si noe om en å kjenne. G FYS-MEK

22 erikale krefer: normalkraf fra bakken graiasjon G = mgj i neglisjerer lfmosand og friksjonskrefer = j L i y rening: G may bil i konak med bakken: a y senripealakselerasjon senripealakselerasjon må ære negai: G FYS-MEK

23 hp://pingo.pb.de/ access nmber: En snmann kjører en bil med masse m = 1000 kg oer en bakkeopp med krmningsradis = 100 m. Eer noen forsøk finner han a han må kjøre med c = 113 km/h for å mise konaken med bakken. Hor for må han kjøre for å gjøre de samme med en bil med masse m = 1500 kg? c 113 km/h c (1.5) c 138 km/h 169 km/h c 54 km/h FYS-MEK

24 erikale krefer: normalkraf fra bakken graiasjon G = mgj = j L i y rening: mg may bil i konak med bakken: a y senripealakselerasjon mg m m g normalkraf er farsahengig Med økende far blir normalkrafen mindre. Passasjerer føler redser yngdeakselerasjon. Bilen miser konak med bakken når m g 0 g 981 m/s 113 km/h Om bilen miser konak er ahengig a massen m. FYS-MEK

25 hp://pingo.pb.de/ access nmber: Jeg snrrer en jo-jo i e horisonal plan om hånden min. Hilken a følgende baner er mlige: A B C 1. Bane A. Bane B 3. Bane C 4. Bane A og B 5. Bane A og C 6. Bane B og C 7. Alle re FYS-MEK

26 A: > 90 B: = 90 C: < 90 graiasjon W snordrage y W x y W x y W x neokraf nedoer horisonal bane ikke mlig neokraf nedoer horisonal bane ikke mlig snordrage kan kompenserer graiasjon neokraf innoer senripealakselerasjon FYS-MEK